§1 周期现象
学习目标 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．
知识点 周期现象
(1)概念：相同间隔重复出现的现象．
(2)特点：
①有一定的规律；
②不断重复出现．
【预习评价】
1．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)
(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)
2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．
解析 观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.
答案 2
题型一 周期现象的判断
【例1】 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．
(1)地球的自转；
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；
(3)钟表的秒针的转动；
(4)某段高速公路每天通过的车辆数．
解 (1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．
(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．
(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．
规律方法 周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
【训练1】 判断下列现象是否为周期现象：
(1)每届奥运会的举办时间；
(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；
(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．
解 (1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．
(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．
(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．
题型二 周期现象的应用
【例2】 一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
日期位置
序号x
1
59
80
117
126
白昼时间
y(时)
5.6
10.2
12.4
15.9
17.3
日期
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期位置
序号x
172
225
263
298
355
白昼时间
y(时)
19.4
15.9
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？
解 (1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．
(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．
规律方法 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
【训练2】 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？
解 由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．
【例3】 2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？
解 按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．
【迁移1】 试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？
解 由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．
【迁移2】 从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？
解 因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．
【迁移3】 试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？
解 每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．
规律方法 应用周期性解决实际问题的两个要点
特别提醒 计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．
课堂达标
1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.
答案 B
2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )
A．五 B．六
C．日 D．一
解析 每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．
答案 C
3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．
解析 周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．
答案 直升机
4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．
解析 4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．
答案 10
5．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？
解 共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．
课堂小结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.
基础过关
1．下列是周期现象的为( )
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③
解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．
答案 C
2．把化成小数，小数点后第20位是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 ＝0.4285，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.
答案 C
3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( )
A．2020 B．2024
C．2026 D．2028
解析 C中2026不是4的倍数，选C.
答案 C
4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．
解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．
答案 红
5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．
答案 2
6．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)
解 每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.
∴第7天后的那一天是星期一．
∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．
7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝
1 920(升)．
能力提升
8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )
A．8点处 B．10点处
C．11点处 D．12点处
解析 由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.
答案 B
9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )
A．点A处 B．点B处
C．O、A之间 D．O、B之间
解析 钟摆的周期T＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．
答案 D
10．今天是星期六，再过100天后是星期________．
解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．
答案 一
11．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________ s.
解析 质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．
答案 1.4
12．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多少时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，你距离地面是多少？
解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈．
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．
(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．
(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．
13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？
解 通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.
§2 角的概念的推广
学习目标 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．
知识点1 角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)
(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)
(4)终边和始边重合的角是零角(×)
(5)经过1小时时针转过30°(×)
知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
【预习评价】
1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
2．第二象限的角比第一象限的角大吗？
提示 不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等(×)
(2)相等的角终边一定相同(√)
(3)终边相同的角有无数多个(√)
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)
题型一 角的概念的推广
【例1】 写出下图中的角α，β，γ的度数．
解 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.
规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”
2．表示角时的两个注意点
(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．
【训练1】 (1)图中角α＝________，β＝________；
(2)经过10 min，分针转了________．
解析 (1)α＝－(180°－30°)＝－150°
β＝30°＋180°＝210°.
(2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.
答案 (1)－150° 210° (2)－60°
题型二 终边相同的角
【例2】 已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.
规律方法 将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．
【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．
解 终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
答案 C
【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．
解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．
所以表示为：
第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．
第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．
【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，分别是第几象限角？
解 ∵α是第二象限角，
∴90＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，
180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z.
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋×360°＜＜90°＋×360°，k∈Z.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n×360°＜＜90°＋n×360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n×360°＜＜270°＋n×360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－是第几象限角．
解 ∵α为第一象限角，
∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
∴k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
∴－45°－k·180°＜－＜－k·180°，k∈Z，
∴135°－k·180°＜180°－＜180°－k·180°，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，135°－n·360°＜180°－＜180°－n·360°，为第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，－45°－n·360°＜180°－＜－n·360°，为第四象限角．
∴180°－是第二或第四象限角．
规律方法 1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
2．α，2α，等角的终边位置的确定方法
不等式法：
(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围．
(2)利用不等式的性质，求出2α，等角的范围．
(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k×120°＜＜k×120°＋30°，k∈Z，可画出0°＜＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．
易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.
课堂达标
1．－361°的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.
答案 D
2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
答案 D
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
答案 195°＋(－3)×360°
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
答案 －252°
5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α课堂小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜
－180°＋k×360°，k∈Z}.
基础过关
1．下列各组角中，终边相同的是( )
A．495°和－495° B．1 350°和90°
C．－220°和140° D．540°和－810°
解析 －220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．
答案 C
2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )
A．B?C?A B．B?A?C
C．D?(A∩C) D．C∩D＝B
解析 锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.
角
集合表示
锐角
B＝{α|0°<α<90°}
0°～90°的角
D＝{α|0°≤α<90°}
小于90°的角
A＝{α|α<90°}
第一象限角
C＝{α|k·360°<α答案 D
3．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
答案 C
4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．
解析 ∵－3 000°＝－9×360°＋240°，
∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.
答案 240°
5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．
解析 因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．
答案 －160°，200°
6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与
－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.
解 与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．
令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；
令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；
令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．
故符合条件的角有－1 055°，－695°.
能力提升
8．以下命题正确的是( )
A．第二象限角比第一象限角大
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
解析 A不正确，如－210°<30°.
在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.
∴A?B，∴B正确．
又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，
∴C不正确．显然D不正确．
答案 B
9．集合M＝，P＝，则M、P之间的关系为( )
A．M＝P B．M?P
C．M?P D．M∩P＝?
解析 对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
答案 B
10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．
解析 ∵α、β终边相同，
∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．
∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．
答案 x轴的非负半轴上
11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．
解析 ∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．
答案 一或三
12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.
解 因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．
13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：
(1)α、β的终边关于原点对称；
(2)α、β的终边关于y轴对称．
解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．
两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．
§3 弧度制
学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．
知识点1 弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√)
(2)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的(√)
(3)1°的角比1 rad的角要大(×)
(4)1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×)
知识点2 角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
【预习评价】
请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
Α为弧度制
扇形的弧长
l＝
L＝|α|·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R＝|α|·R2
【预习评价】
1.一个扇形的半径为2 cm，圆心角为，则该扇形所对的弧长l＝________cm.
答案
2.一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.
答案 2
知识点4 利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
【预习评价】
1.与30°终边相同的角为( )
A．2kπ＋(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．360°k＋(k∈Z) D．2kπ＋30°(k∈Z)
答案 B
2.终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．
答案 {α|α＝kπ，k∈Z}
题型一 角度与弧度的互化
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解 (1)20°＝20× rad＝ rad.
(2)－15°＝－15× rad＝－ rad.
(3)π rad＝×180°＝105°.
(4)－π rad＝－×180°＝－396°.
规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·180°；n°＝n·rad.
(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
【训练1】 将下列各角度与弧度互化：
(1)π；(2)－π；(3)－157°30′.
解 (1)π＝×180°＝75°；
(2)－π＝－×180°＝－210°；
(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5× rad
＝－π rad.
题型二 用弧度制表示终边相同的角
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
解 (1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤＜2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断
2 015°是不是这个集合的元素．
解 因为150°＝.所以终边在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 015°＝215°＋5×360°＝＋10π，
又＜＜.所以2 015°＝∈S，即2 015°是这个集合的元素．
方向1 求弧长
【例3－1】 已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；
解 ∵α＝120°＝π，r＝6，
∴的长l＝π×6＝4π.
方向2 求圆心角
【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
解 设圆心角是θ，半径是r，
则?或(舍)．
故扇形圆心角为.
方向3 求面积的最值
【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
课堂达标
1．与120°角终边相同的角为( )
A．2kπ－(k∈Z) B.
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析 120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)，
∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．
答案 C
2．－化为角度应为( )
A．－345° B．－15°
C．－315° D．－375°
解析 －＝－×180°＝－345°.
答案 A
3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．
解析 由弧长公式l＝αR得α＝＝＝.
答案
4．下列结论不正确的是________(只填序号)．
① rad＝60°；②10°＝ rad；③36°＝ rad；④ rad＝115°.
解析 rad＝×180°＝112.5°，∴④错．
答案 ④
5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
基础过关
1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 240°＝240× rad＝π rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.
答案 A
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
3．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵－π＜－3＜－，∴－3是第三象限角．
答案 C
4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．
答案 π
5．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析 由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案
6．把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°；(3)－20.
解 (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为.
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而<8π－20<2π.∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
7．直径为20 cm的圆中，求下列两个圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)；(2)165°.
解 (1)l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)，
S＝|α|·r2＝×π×102＝π(cm2)．
(2)165°＝×165 rad＝π rad.
∴l＝|α|·r＝π×10＝π(cm)．
S＝l·r＝×π×10＝π(cm2)．
能力提升
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
答案 B
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A.(2－sin 1cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析 ∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△＝|α|R2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案 D
10．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－π＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案 (－π，－π)∪(，2]
11．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________________.
解析 α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ
＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
答案 π或π
12．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
13．(选做题)如图所示，点A以逆时针方向做匀速圆周运动，
已知点A每分钟转过θ角(0＜θ≤π)，经过2分钟第一次到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求θ的大小．
解 经过2分钟，点A转过2θ的角，经过14分钟，点A转过14θ的角．
由已知π＜2θ＜得＜θ＜，且14θ＝2kπ，k∈Z，
∴θ＝，k∈Z.
即＜＜，＜k＜，k＝4或5.
k＝4时，θ＝；k＝5时，θ＝.
4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
学习目标 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．
知识点1 任意角的正弦、余弦函数
(1)单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．
(2)正弦函数、余弦函数的定义
如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α.
(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．
【预习评价】
1．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为
( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
2．若角α的终边与单位圆相交于点(－，)，则cos α＝________.
答案 －
知识点2 正弦函数、余弦函数值的符号
【预习评价】
记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：
x
0
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－
－
－1
－
－
0
y＝cos x
1
0
－
－
－1
－
－
0
1
知识点3 周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，f(x＋T)＝f(x)都成立．那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期．
(2)y＝sin x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
y＝cos x的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π.
【预习评价】
如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？
提示 不一定，如函数f(x)＝x2，存在非零常数T＝4，存在x＝－2，使得
f(－2＋4)＝f(－2)，但是函数f(x)＝x2不是周期函数.
题型一 三角函数定义的应用
【例1】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
解析 因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案 －8
规律方法 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
【训练1】 若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，则sin α＝________.
解析 如图，点P(2m，－3m)(m＜0)在第二象限，且r＝－m，
故有sin α＝＝＝.
答案
题型二 有关三角函数值的符号问题
【例2】 (1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
(2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．
解 (1)∵α是第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0.
(2)由sin αcos α＜0知有两种可能：
或
故α是第二象限角或第四象限角．
规律方法 正余弦函数符号的确定
(1)终边在坐标轴上的角：
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1.
(2)终边在各个象限内的角：
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正．
【训练2】 判断下列各式的符号．
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin 240°·sin 300°；
(3)cos·sin π；
(4)cos 4·cos 5.
解析 (1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.
(2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0.
(3)因为sin π＝0.所以cos·sin π＝0.
(4)因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角，
所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.
【例3】 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋π)＝f(x)，当x∈[0，)时，f(x)＝2sin x，求f＋f的值．
解 ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π，
∴f＋f
＝f＋f
＝f＋f
＝－f＋f
＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移1】 在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝－f(x)”，求f(－)＋f()的值．
解 由f(x＋π)＝－f(x)知
f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)
∴f(x＋2π)＝f(x)．知f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
又∵f(x)是奇函数，
∴原式＝－2sin＋2sin＝－.
【迁移2】 在例3中把条件“f(x＋π)＝f(x)”改为“f(x＋π)＝”，则函数f(x)的周期为________．
解析 由f(x＋π)＝得f[(x＋π)＋π]＝＝f(x)，∴f(x＋2π)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2π.
答案 2π
【迁移3】 把例3中的条件“函数f(x)是定义在R上的奇函数．且满足f(x＋π)＝f(x)”改为“函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x－π)＝f(x＋π)”，求f＋f的值．
解 ∵f(x)是偶函数．∴f(－x)＝f(x)，
又∵f(x－π)＝f(x＋π)．
令x＝x＋π得f(x)＝f(x＋2π)
∴函数f(x)的周期为2π.
∴f＋f＝f＋f
＝f＋f
＝2sin＋2sin
＝＋.
规律方法 常见周期函数的形式
周期函数除常见的定义式f(x＋T)＝f(x)外，还有如下四种形式：
(1)f(x＋a)＝－f(x)．(2)f(x＋a)＝.
(3)f(x－a)＝－.(4)f(x－a)＝f(x＋a)．
以上四种形式的函数都是以2a为周期的周期函数．
课堂达标
1．若角α的终边过点，则cos α的值为( )
A. B.
C. D.
解析 易知点在单位圆上，故cos α＝.
答案 A
2．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析 ∵r＝，
cos α＝＝＝－.
∴b＝3.
答案 A
3．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析 由题意知，角α的终边上一点的坐标为.
∴cos α＝＝.
又α的终边在第四象限．
∴α的最小值为.
答案 π
4．若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f＝1，则f的值是________．
解析 f()＝f(2π＋＋)＝f()＝1.
答案 1
5．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a，b)，若sin α＝－，求a、b的值，并说明α是第几象限角．
解 由正弦函数的定义可知b＝sin α＝－.
又a2＋b2＝1，∴a2＝1－b2＝，∴a＝±.
故a＝±，b＝－.
当a＝，b＝－时，点P在第四象限，此时角α是第四象限角；
当a＝－，b＝－时，点P在第三象限，此时角α是第三象限角．
课堂小结
1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
基础过关
1．若sin θcos θ>0，则θ在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
答案 B
2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x等于( )
A. B．±
C．－ D．－
解析 依题意得cos α＝＝x＜0，
由此解得x＝－.
答案 D
3．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)
解析 A选项中，f(x＋)＝sin＝sin(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
B选项，f(x＋)＝sin 2(x＋)＝sin (2x＋π)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
C选项，f(x＋)＝cos (x＋)＝cos(＋)，不满足对任意x，f(x＋)＝f(x)；
D选项，f(x＋)＝cos＝cos(－4x－2π)＝cos(－4x)＝f(x)，∴选D.
答案 D
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝
－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案 －2
5．下列说法中，正确的为________．
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；
③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos α＝.
解析 三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝，故④也是不正确的．
答案 ①②
6．确定下列三角函数值的符号：
(1)sin；(2)cos(－925°)．
解 (1)∵＝2π＋，且是第三象限角，
∴是第三象限角；∴sin＜0.
(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，
∴－925°是第二象限角．
∴cos(－925°)＜0.
7．已知角α的终边经过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(k∈Z)，求角α的正弦函数值及余弦函数值．
解 ∵θ∈(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)，
∴cos θ＜0.又x＝－3cos θ，y＝4cos θ，
∴r＝＝＝－5cos θ.
∴sin α＝－，cos α＝.
能力提升
8．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵r＝，
∴cos α＝＝－，
∴m>0，∴＝，即m＝.
答案 B
9．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝－＝2.
答案 C
10．若α＝＋2kπ(k∈Z)，则cos 3α＝________.
解析 cos 3α＝cos 3＝cos(＋6kπ)＝cos＝0.
答案 0
11．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∵|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案 2
12．已知cos α<0，sin α>0，
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin，cos的符号．
解 (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角．
即的终边落在第一象限或第三象限．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin>0，cos>0；
当是第三象限角时，sin<0，cos<0.
13．(选做题)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及
sin α的值．
解 (1)由＝－，
可知sin α＜0，
由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.
3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．
知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数
y＝sin x
余弦函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
周期
2π
在[0,2π]上的单调性
在，上是增加的；在上是减少的
在[π，2π]上是增加的；在[0，π]上是减少的
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.(√)
(2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数．(×)
(3)函数y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]．(×)
(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√)
知识点2 2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α.(1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.(1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α.(1.10)
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.(1.11)
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
【预习评价】
1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.
角
2kπ＋α
π－α
π＋α
－α
2π－α
所在象限
一
二
三
四
四
2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.
相关角
终边之间的对称关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
题型一 正弦函数、余弦函数的定义域问题
【例1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝4－cos x；
(2)y＝.
解 (1)由y＝4－cos x知定义域为R.
(2)由题意知2sin x＋1≥0，即sin x≥－在一周期内满足上述条件的角为x∈，由此可以得到函数的定义域为(k∈Z)．
规律方法 利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式．
【训练1】 (1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数y＝ln sin x的定义域为________．
解析 (1)由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1,1]，故定义域为R.
(2)由题意知sin x＞0.又y＝sin x在[0,2π]内sin x＞0满足0＜x＜π，∴定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案 (1)R (2)(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题
【例2】 求下列函数的值域：
(1)y＝(sin x－2)2＋1；(2)y＝msin x＋n(m≠0)．
解 (1)设t＝sin x，则有y＝(t－2)2＋1，t∈[－1,1]，
∴当t＝－1时 ，y＝(t－2)2＋1取得最大值10；
当t＝1时，y＝(t－2)2＋1取得最小值2，
∴y＝(sin x－2)2＋1的值域为[2,10]．
(2)∵sin x∈[－1,1]，且m≠0，
∴当m＞0时，y＝msin x＋n的值域是[n－m，n＋m]；
当m＜0时，y＝msin x＋n的值域是[n＋m，n－m]．
综上可知，函数y＝msin x＋n(m≠0)的值域是[n－|m|，n＋|m|]．
规律方法 求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用．
【训练2】 求y＝cos x，x∈[，]的最大值．
解 结合单位圆知y＝cos x在上y∈.故最大值为0，即ymax＝cos ＝0.
方向1 给角求值问题
【例3－1】 求下列三角函数的值：
(1)sin；(2)cos 960°.
解 (1)sin＝－sinπ＝－sin
＝－sinπ＝－sin＝－sin＝－.
(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
方向2 给值求值问题
【例3－2】 已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．
解 sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
方向3 化简问题
【例3－3】 化简(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立).
解 原式＝
＝＝
＝＝－1.
规律方法 1.解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2．化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．
(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.
课堂达标
1．sin 585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.
答案 A
2．若sin x＝2m＋3，且x∈，则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵x∈，∴结合单位圆知sin x∈，即－≤2m＋3≤.
∴－≤m≤－.
答案 C
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．
解析 α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
答案
4．已知cos＝，则cos＝________.
解析 cos＝cos
＝－cos＝－.
答案 －
5．化简：.
解 原式＝
＝
＝＝1.
课堂小结
1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用．
2．明确各诱导公式的作用
(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．
3．诱导公式的记忆
诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
基础过关
1．cos 660°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°
＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)
＝cos 60°＝.
答案 B
2．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.
∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．
答案 B
3．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
答案 D
4．函数y＝2－sin x的最小正周期为________．
解析 因为2－sin(2π＋x)＝2－sin x，所以y＝2－sin x的最小正周期为2π.
答案 2π
5．f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 016)＝1，则f(2 017)＝________.
解析 ∵f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋2＝asin α＋bcos β＋2＝1，∴asin α＋bcos β＝－1.
f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋2＝－(asin α＋bcos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.
答案 3
6．化简下列各式．
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解 (1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)
＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝1.
7．(1)已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a、b的值；
(2)求y＝－2sin x，x∈[－π，π]的最大值与最小值．
解 (1)当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2.
(2)当x＝－时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝－2.
能力提升
8．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A. B．±
C. D.
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∵π＜α＜2π，∴α＝π.
故sin(2π＋α)＝sin α＝sin π＝－sin＝－ (α为第四象限角)．
答案 D
9．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(A＋B)＋cos C；③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析 ①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.
答案 B
10．下列三角函数，其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是________(只填序号)．
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin.
解析 对于①，当n＝2m时，sin＝sin＝－sin，∴①不同；
对于②，cos＝cos＝sin，∴②，③相同；
对于④，cos＝cos＝－sin.
∴④不同；
对于⑤，sin＝sin＝sin，
∴⑤相同．
答案 ②③⑤
11．已知f(x)＝则f(－)＋f()＝________.
解析 f(－)＝sin(－π)＝sin ＝，
f()＝f()－1＝f(－)－2＝sin(－)－2＝－，
∴f(－)＋f()＝－＝－2.
答案 －2
12．化简：(k∈Z)．
解 当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
13．(选做题)若≤x≤，求函数y＝sin2 x－sin x＋1的最大值和最小值．
解 令t＝sin x.
∵x∈，结合单位圆知t∈，
∴y＝t2－t＋1＝2＋，t∈，
又t＝?，
∴当t＝时，ymin＝－＋1＝；
当t＝1时，ymax＝1.
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．
知识点1 ±α的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(＋α)＝cos α，cos(＋α)＝－sin α.(1.13)
sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α.(1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
【预习评价】
请你根据上述规律，完成下列等式．
sin(π－α)＝－cos_α，cos(π－α)＝－sin_α.
sin(π＋α)＝－cos_α，cos(π＋α)＝sin_α.
知识点2 诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
【预习评价】
(1)cos(α－)＝________.
(2)sin(α＋)＝________.
(3)cos(3π－α)＝________.
(4)sin(2π＋α)＝________.
答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α
题型一 条件求值
【例1】 已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
解 ∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝.
规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．
【训练1】 已知sin＝，求cos的值．
解 ∵cos＝cos＝cos
＝sin＝.
题型二 利用诱导公式化简和证明
【例2】 求证：＋
＝.
证明 左边＝＋
＝＋
＝
＝＝右边，
所以原式得证．
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
【训练2】 设sin(α＋)＝acos(α＋)，
求证：＝.
证明 ∵sin(α＋)＝acos(α＋)．
∴左边＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原等式得证．
【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，
即sin α＝－2cos α.
∴
＝
＝
＝－.
【迁移1】 若例3中的条件不变改为求的值，则结果如何？
解 原式＝
＝＝.
【迁移2】 若例3中的条件不变改为求的值．
解 由例题知，sin α＝－2cos α.
原式＝
＝＝＝－3.
【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝
－”．求原式的值．
解 ∵α＝－，
∴sin α＝sin(－)＝－sin(5×2π＋)＝－sin＝－，
cos α＝cos(－)＝cos(5×2π＋)＝cos＝，
∵＝
＝＝＝－13＋7.
规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z)时，要注意讨论k为奇数或偶数.
课堂达标
1．若sin α＝，则cos(＋α)的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵sin α＝，∴cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案 C
2．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
答案 D
3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
答案 1
4．若sin(α＋)＝，则cos(α＋)＝________.
解析 cos(α＋)＝cos[＋(α＋)]
＝－sin(α＋)＝－.
答案 －
5．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；
(2)sin.
解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
(1)cos＝cos＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos α＝－.
课堂小结
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用－α化为内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.
基础过关
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝，
∴cos(－α)＝cos(－α)＝－cos(－α)
＝－sin α＝－.
答案 A
2．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 cos＝sin
＝sin＝－sin＝－.
答案 A
3．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α
＝－3sin α＝－m.
答案 C
4．已知sin α＝，则cos(＋α)的值为________．
解析 cos(＋α)＝－sin α＝－.
答案 －
5．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝sin θ.
答案 sin θ
6．已知角α终边经过点P(－4,3)，求
的值．
解 ∵角α终边经过点P(－4,3)，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴
＝
＝－.
7．求证：＝.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
证明 ∵左边＝
＝
＝＝
＝＝＝右边．
∴原式成立．
能力提升
8．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
答案 D
9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________.
解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1°
cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2°
……
cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°
∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋
(cos 90°＋cos 180°)
＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1.
答案 －1
10．已知α为第二象限角，化简＝________.(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析 原式＝＝.
∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴原式＝＝－1.
答案 －1
11．若k∈{4,5,6,7} ，且sin＝－sin α，
cos＝cos α，则k＝________.
解析 利用验证法，当k＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k＝5,6,7时，不符合条件．故k＝4.
答案 4
12．化简求值：
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)sin(2nπ－)·cos(nπ＋)(n∈Z)．
解 (1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos ＋cos －
cos －cos ＝0.
(2)①当n为奇数时，
原式＝sin(－)·(－cos )
＝sin(π－)·cos(π＋)
＝－sin ·cos ＝－×＝－；
②当n为偶数时，
原式＝－sin ·cos
＝－sin(π－)·cos(π＋)
＝sin ·cos
＝.
13．(选做题)是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
5．1 正弦函数的图像
学习目标 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．
知识点1 正弦线
如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.
我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式．(×)
(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)
知识点2 正弦函数图像的画法
(1)几何法
利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的过程如下：
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线．
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．
④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．
⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y＝
sin x，x∈[0,2π]的图像．
(2)“五点法”
在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．
【预习评价】
1．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
答案 [，] 1
2．利用五点法作函数y＝Asin x(A＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？
提示 依次是(0,0)，(，A)，(π，0)，(，－A)，(2π，0)．
题型一 “五点法”作函数的图像
【例1】 利用“五点法”作出y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．
解 按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－1＋sin x
－1
0
－1
－2
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．
规律方法 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．
【训练1】 (1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像．
(2)用“五点法”画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．
解 (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x
0
2
0
－2
0
描点作图：
(2)列表：
x
0
π
2x
0
π
2π
sin 2x
0
1
0
－1
0
描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：
方向1 解不等式
【例2－1】 利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sinx≥－的x的范围．
解 列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图像．
由图像可得sin x≥－的范围∪.
方向2 判断方程解的个数
【例2－2】 (1)方程|sin x|＝的根中，在[0,2]内的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 如图所示，在区间[0，π]内|sin x|＝的两个根为和，又因为2＜，所以在区间[0,2]内|sin x|＝只有一个根.
答案 A
(2)求方程lg x＝sin x的实数解的个数．
解 作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．
方向3 求参数的取值范围
【例2－3】 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
解 y＝
作出图像分析(右图)，
∵f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．
∴1＜k＜3.
故实数k的取值范围是(1,3)．
规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
2．一般地，函数y＝|f(x)|的图像可将函数y＝f(x)的图像作如下变换得到：在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方，x轴上方的部分保持不变.
课堂达标
1．函数y＝sin x (x∈R)图像的一条对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
答案 D
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点( )
A．(，) B．(，1)
C．(π，0) D．(2π，0)
解析 易知(，)不是关键点．
答案 A
3．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
解析 画出y＝sin x的图像（图像略）可得．
答案 [，]
4．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.
解析 如图所示，
x1＋x2＝2×＝3π.
答案 3π
5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sin x－1的图像．
解 (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2sin x－1
－1
1
－1
－3
－1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，(，1)，(π，－1)，(，－3)，(2π，－1)．
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
课堂小结
1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，，π，，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．
2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.
基础过关
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
答案 D
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．
答案 B
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由1＋sin x＝2，得sin x＝1，∵x∈[0,2π]，只有当x＝时，sin x＝1.
答案 B
4．函数y＝sin x，x∈的图像与函数y＝x的图像交点个数是________．
解析 在同一坐标系内画出图像．
答案 1
5．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
解析 所描五个点为(0,0)，(，1)，(π，0)，，(2π，0)，横坐标和为0＋＋π＋＋2π＝5π.
答案 5π
6．用五点法作函数y＝2＋sin x，x∈[0,2π] 的图像．
解 列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2＋sin x
2
2
2
描点作图，如图所示：
7．求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
解 由题意，x满足不等式组
即作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
能力提升
8．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析 在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．
答案 A
9．已知函数y＝2sin x的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( )
A．4 B．8
C．4π D．2π
解析 数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
答案 C
10．函数y＝的定义域是__________________．
解析 由logsin x≥0知0答案 (2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
11．如果直线y＝a与函数y＝sin x，x∈的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是________．
答案 [－1,0)∪{1}
12．函数f(x)＝2sin x＋|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝m＋1有且仅有两个交点，求m的范围．
解 ∵f(x)＝2sin x＋|sin x|
＝
作出图像分析，
由有且仅有两个交点，可得
0＜m＋1＜3或－1＜m＋1＜0，
即－1＜m＜2或－2＜m＜－1，
即m的范围为{m|－2＜m＜2且m≠－1}．
13．(选做题)判断方程x2－sin x＝0的根的个数．
解 设f(x)＝x2，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图像有两个交点，即方程x2－sin x＝0有两个根.
5.2 正弦函数的性质
学习目标 1.理解正弦函数y＝sin x，x∈R的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．
知识点1 正弦函数的性质
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0),2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(－x)为奇函数(√).
(2)函数y＝sin x，x∈[－，]的值域是[－，](×).
(3)函数y＝sin x在[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是单调递增的(√).
(4)函数y＝sin x在第一象限内是递增的(×).
题型一 与正弦函数有关的值域问题
【例1】 求下列函数的值域：
(1)y＝sin(2x－)，x∈[0，]；
(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2.
解 (1)∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，－≤2x－≤，令2x－＝t，则原式转化为y＝sin t，t∈[－，]．
由y＝sin t的图像知－≤y≤1，
∴原函数的值域为[－，1]．
(2)y＝－2sin2x＋5sin x－2＝－2(sin x－)2＋.
∵－1≤sin x≤1，
∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，
ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.
故函数y＝－2sin2x＋5sin x－2的值域是[－9,1]．
规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
2．求值域时，注意：(1)利用sin x的有界性；(2)利用y＝sin x的单调性．
【训练1】 (1)函数y＝2sin x＋1的值域是( )
A．[1＋，3] B．[1＋，3]
C．[1－，1＋] D．[－1,3]
(2)设函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则以下四个结论正确的是________．
①b－a的最小值为；
②b－a的最大值为；
③a不可能等于2kπ－(k∈Z)；
④b不可能等于2kπ－(k∈Z)．
解析 (1)画出函数y＝2sin x＋1(≤x≤)的图像如图所示，当x＝或x＝时，最小值为1＋；当x＝，最大值为3.
(2)由图像知，b－a的最大值为(如a＝－，b＝)；在b－a取最大值的情况下，固定左(或右)端点，移动右(或左)端点，必须保证取－1的最小值点在[a，b]内，所以b－a的最小值为，b可能等于2kπ－(k∈Z)．若a＝2kπ－(k∈Z)，则由图像可知函数的最大值为的情况下，最小值不可能为－1.所以a不可能等于2kπ－(k∈Z)．
答案 (1)B (2)①②③
题型二 正弦函数的周期性与奇偶性
【例2】 求下列函数的周期：
(1)y＝sinx；
(2)y＝|sin x|.
解 (1)∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期是4π.
(2)作出y＝|sin x|的图像，如图．
故周期为π.
规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．
【训练2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin x；
(2)f(x)＝|sin x|＋1.
解 (1)∵x∈R，且关于原点对称，
又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
方向1 利用正弦函数的单调性比较大小
【例3－1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)sin 1，sin 2，sin 3.
解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
0<π－3<1<π－2<且y＝sin x在上递增，
∴sin(π－3)方向2 求函数的单调区间
【例3－2】 求函数y＝－sin x＋3的单调区间．
解 ∵y＝－sin x＋3与y＝sin x的增减性相反．
而y＝sin x的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．
∴函数y＝－sin x＋3的单调增区间是(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
方向3 求复合函数的单调区间
【例3－3】 求函数y＝logsin x的单调递增区间．
解 由sin x＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∵0<＜1，
∴函数y＝logsin x的递增区间即为u＝sin x＞0的递减区间．
∴2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝logsin x的递增区间即为
(k∈Z)．
规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
2．求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.
课堂达标
1．函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A. B．[－π，0]
C. D.
解析 由≤x＋≤π，
解得≤x≤π.故选D.
答案 D
2．下列函数中是奇函数的是( )
A．y＝－|sin x| B．y＝sin(－|x|)
C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x|
解析 利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．
答案 D
3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________.
解析 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.
答案 1
4．函数y＝|sin x|的值域是________．
解析 作出函数y＝|sin x|的图像(图像略)可知．
答案 [0,1]
5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课堂小结
1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．
3．观察正弦曲线不难发现：
(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．
(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.
基础过关
1．函数y＝cos(x∈R)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．无法确定
解析 y＝cos＝－sin x.
答案 A
2．函数f(x)＝|sin x|的一个递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析 画出函数f(x)＝|sin x|的图像如图所示，由图像可知是函数f(x)＝
|sin x|的一个递增区间．
答案 C
3．设M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m＝( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析 ∵M＝－1，m＝－－1，
∴M＋m＝－2.
答案 D
4．函数y＝的定义域是________，单调递减区间是________．
解析 ∵－2sin x≥0，sin x≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，
即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
∵y＝与y＝sin x的单调性相反，
∴函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案 [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (k∈Z)
5．设a＝cos 29°，b＝sin 144°，c＝sin 50°，则a，b，c的大小关系为________．
解析 a＝cos 29°＝sin 61°，b＝sin 144°＝sin 36°，c＝sin 50°，由正弦函数的单调性可知sin 36°＜sin 50°＜sin 61°，即b＜c＜a.
答案 b＜c＜a
6．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与sin.
解 (1)因为π<<<，且y＝sin x在上是减少的，
所以sin＞sin.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin π，
sin＝sin＝sin ，
因为＞π＞＞0，且y＝sin x在上是增加的，所以sinπ＞sin ，
即sin＞sin.
7．设|x|≤，求函数f(x)＝1－sin2 x＋sin x的最小值．
解 f(x)＝1－sin2x＋sin x
＝－2＋.
∵|x|≤，∴－≤sin x≤.
∴当sin x＝－时，f(x)min＝.
能力提升
8．下列不等式中成立的是( )
A．sin＜sin
B．sin＜sin
C．sin 3＞sin 2
D．sin π＞sin
解析 y＝sin x在上为增函数，而－＜－，故sin＜sin，故选A.
答案 A
9．设函数f(x)＝sin |x|，则f(x)( )
A．在区间上是减函数
B．是周期为2π的周期函数
C．在区间上为增函数
D．对称中心为(kπ，0)，k∈Z
解析 由图易知，f(x)在上是减函数．
答案 A
10．若方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根，则a的取值范围是________．
解析 在同一坐标系中作出函数y＝sin x，x∈的图像(图略)，易知，当≤＜1，即－1＜a≤1－时，
两图像有两个不同的交点，即方程sin x＝在x∈上有两个不同的实根．
答案 (－1,1－]
11．函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，π]的值域是________．
解析 令t＝sin x，y＝f(t)，
∵x∈[，]，
∴≤sin x≤1，即≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－＝2(t＋)2－1，
∴1≤y≤，
∴函数f(x)的值域为[1，]．
答案 [1，]
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由解得
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由解得
13．(选做题)已知函数f(x)＝|sin x－a|，a∈R.
(1)试讨论函数f(x)的奇偶性．
(2)求当f(x)取得最大值时，自变量x的取值范围．
解 (1)当a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)当a＞0且sin x＝－1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；
当a＜0且sin x＝1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为；
当a＝0且sin x＝±1时，f(x)取得最大值，这时x的取值范围为.
§6 余弦函数的图像与性质
学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点1 余弦函数的图像
余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线．
根据诱导公式sin＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)．
要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，可以通过描出(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝
cos x，x∈[0,2π]的图像．
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以向左、向右无限伸展．(√)
(2)y＝cos x 的图像与y＝sin x的形状完全一样，只是位置不同(√)
(3)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点(√)
(4)y＝cos x的图像关于y轴对称(√)
知识点2 余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝－cos x的最小正周期为2π.(√)
(2)函数y＝－cos x在区间[0，]上是增函数．(√)
(3)函数y＝sin(x－)的图像关于x＝0对称．(√)
(4)函数y＝sin(－x)是奇函数．(×)
题型一 余弦函数的图像及应用
【例1】 画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：
(1)y≥时x的集合；
(2)－≤y≤时x的集合．
解 用“五点法”作出y＝cos x的简图．
(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，
则x的集合为.
(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z点和，k∈Z，，k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－≤y≤时x的集合为：
或
.
规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤
【训练1】 (1)函数y＝cos 2x，x∈[0,2π]的简图是( )
解析 由2x＝0，，π，，2π可得五点，描图知，A为x∈[0，π]上的简图；D为x∈[0,2π]上的简图．
答案 D
(2)作出函数y＝1－cos x在[－2π，2π]上的图像．
解 ①列表：
x
0
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x
1
1
②作出y＝1－cos x在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－cos x在x∈[－2π，2π]上的图像．
题型二 余弦函数的性质
【例2】 已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．
解 (1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．
(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，
∴y＝2＋cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2 kπ，2 kπ＋π]( k∈Z)．
(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.
规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练2】 (1)求函数y＝1－cos x的单调区间；
(2)比较cos与cos的大小．
解 (1)∵－＜0，
∴y＝1－cos x的单调性与y＝cos x的单调性相反．
∵y＝cos x的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴y＝1－cos x的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(2)cos＝cos＝cos.
cos＝cos.
又0＜＜＜π，
且函数y＝cos x在[0，π]上是减少的，
∴cos＞cos，即cos＜cos.
【例3】 函数y＝－cos2x＋cos x的值域为________．
解析 y＝－2＋.
因为－1≤cos x≤1，
所以当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
所以函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
答案
【迁移1】 求本例中x∈时函数的值域．
解 ∵y＝－2＋，
因为x∈，所以≤cos x≤1.
所以当cos x＝时ymax＝，
cos x＝1时ymin＝0，
∴原函数的值域为[0，]．
【迁移2】 求本例中x∈时函数的值域．
解 由x∈，所以0≤cos x≤1，
此时函数y＝－cos2x＋cos x的值域也为.
【迁移3】 若将本例改为已知函数y＝a－bcos x的值域为，求ab的值．
解 ∵函数y＝a－bcos x的最大值是，最小值是－.
当b＞0时，由题意得：
∴
ab＝.
当b＜0时，由题意得：
∴
ab＝－.
综上所述，ab＝±.
规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法
(1)利用sin x，cos x的有界性．
(2)利用sin x，cos x的单调性．
(3)化为sin x＝f(x)或cos x＝f(x)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数.
课堂达标
1．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析 画出y＝sin|x|的图像(图略)，易知D选项不是周期函数．
答案 D
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 ∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
答案 B
3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是________．
解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形．
答案 2π
4．使cos x＝有意义的实数m的取值范围是________．
解析 －1≤≤1；即≤1；|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
答案 {m|m≤0}
5．(1)已知函数y＝lg(2cos x＋1)，求它的定义域和值域；
(2)求函数y＝2－3的值域．
解 (1)2cos x＋1＞0，即cos x＞－.
∴定义域为.
令y＝lg t，t＝2cos x＋1，则0＜t≤3.
∴y≤lg 3，即值域为(－∞，lg 3]．
(2)设t＝cos x，则－1≤t≤1.
原函数可转化为：y＝2－3.
∴当t＝时，ymin＝－3；
当t＝－1时，ymax＝－.
∴值域为.
课堂小结
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
2．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
基础过关
1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为( )
解析 由题意得
y＝
显然只有D合适．
答案 D
2．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．减函数 D．增函数
解析 因为y＝cos x为偶函数并且在[－b，－a]上是增函数，所以y＝cos x在[a，b]上递减，故选C.
答案 C
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵0≤x≤，∴≤x＋≤π.
∴cos π≤cos≤cos ，
∴－≤y≤.故选B.
答案 B
4．函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是________．
解析 ∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
5．比较大小：cosπ________cosπ.
解析 ∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0＜＜＜，∴cos＞cos，
即cos＞cos.
答案 ＞
6．比较下列各组数的大小．
(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.
解 (1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，
cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.
∵180°>139°>136°>0°，
∴cos 139°cos 221°.
(2)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ＝cos＝cos.
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，
∴cosπ7．求函数y＝的值域．
解 y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
能力提升
8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
答案 A
9．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
由正弦函数的单调性得sin 11°即sin 11°答案 C
10．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为__________________________．
解析 要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
答案
11．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
解析 y＝2－，
∴当cos x＝1时，y最小值为0.
答案 0
12．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
解 (1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图像如图所示．
(2)由图像知函数的周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)求函数f(x)＝－cos2x＋cos x＋的最大值．
解 f(x)＝－cos2x＋cos x＋，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学习目标 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．
知识点1 正切函数的定义
(1)任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．
(4)正切线：
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝，则x的值为( )
A．7 B．8
C．15 D.
解析 由正切函数的定义tan α＝＝，解之得x＝8.
答案 B
2．函数y＝tan 2x的定义域为________．
解析 由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋(k∈Z)．
解得x≠＋(k∈Z)．
答案
知识点2 正切函数的图像及特征
(1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：
(2)正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．
知识点3 正切函数的性质
函数
y＝tan x
定义域
值域
R
周期性
周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增加的
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数(×)
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√)
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数(×)
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.(×)
题型一 正切函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．
解 r＝＝5|a|，
若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－；
若a＜0，则r＝－5a，
角α在第四象限，sin α＝－，
cos α＝，tan α＝－.
规律方法 已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：
α
0
tan α
0
1
－
－1
－
【训练1】 若tan α＝，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.
解 ∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角．
①若角α是第一象限角，则由tan α＝，角α的终边上必有一点P(2,1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
②若角α是第三象限角，则由tan α＝知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，
∴r＝|OP|＝＝.
∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－.
题型二 正切函数的图像及应用
【例2】 利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝的x的集合．
解 ∵当x∈时，y＝tan x≤0，
当x∈时，y＝tan x＞0，
∴y＝|tan x|＝
如图所示．
使y＝的x的集合为.
规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±为渐近线．
2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
【训练2】 (1)函数y＝的定义域为________．
解析 要使该函数有意义，则有
即x≠kπ－且x≠kπ＋.
答案
(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．
解 作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．
∴满足此不等式的x的集合为
.
方向1 比较大小
【例3－1】 比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．
解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan (2－π)即tan 2方向2 求解最值
【例3－2】 若x∈，求函数y＝tan2x＋2tan x＋2的最值及相应的x值．
解 令t＝tan x，∵x∈，
∴t∈[－，1]，
y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝1，
当t＝1，即x＝时，ymax＝5.
方向3 性质的综合应用
【例3－3】 已知f(x)＝－atan x(a≠0)．
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性；
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的单调区间；
(4)若a＞0，求f(x)在上的值域．
解 (1)∵f(x)＝－atan x(a≠0)，x∈，
∴f(－x)＝－atan(－x)＝atan x＝－f(x)．
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y＝tan x在(k∈Z)上单调递增，
∴当a＞0时，f(x)在(k∈Z)上单调递减，
当a＜0时，f(x)在(k∈Z)上单调递增．
(4)当a＞0时，f(x)在上单调递减，故x＝时，f(x)max＝－a，无最小值．
∴f(x)的值域为(－∞，－a]．
规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.
课堂达标
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
解析 由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋.
答案 C
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析 由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z.
解之得kπ－＜x＜kπ＋，故选C.
答案 C
3．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析 由P点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案 四
4．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________.
解析 由tan θ＝＝＝.
∴m＝－.
答案 －
5．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－＜θ＜，求θ的值．
解 因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴2·＋θ＝，k∈Z.∴θ＝－π，k∈Z.
又∵－＜θ＜，
∴当k＝2时，θ＝；当k＝1时，θ＝－.
∴满足题意的θ为或－.
课堂小结
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三个点(0,0)，(，1)，(－，－1)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.
(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为.
(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增加的.
基础过关
1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 若sin θ＞0，tan θ＜0，则θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，则θ在第三象限．
答案 B
2．若已知角α满足sin α＝，cos α＝，则tan α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由三角函数定义可知tan α＝.
答案 B
3．函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析 由＝2π，故选C.
答案 C
4．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间是________________．
解析 由y＝2tan x与y＝cos x的图像知，同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)．
答案 (2kπ－，2kπ](k∈Z)和[2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)
5．函数y＝tan x的值域是________．
解析 ∵y＝tan x在区间上单调递增．
tan＝－tan ＝－1，tan＝，
∴y＝tan x在上的值域是.
答案 [－1，]
6．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
所以所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z)上是增函数．
7．利用函数图像，解不等式－1≤tan x≤.
解 作出函数y＝tan x的图像，如图所示．观察图像可得：
在内，满足条件的x为－≤x≤，由正切函数的周期性可知，
满足不等式的x的解集为
.
能力提升
8．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图像的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图像的一个对称中心，故选C.
答案 C
9．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析 由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.
答案 A
10．已知函数y＝tan ωx在(－，)是减函数，则ω的取值范围是____________．
解析 ∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
答案 [－1,0)
11．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为____________．
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
答案 [－4,4]
12．若函数f(x)＝tan2x－atan x的最小值为－6.求实数a的值．
解 设t＝tan x，因为|x|≤，
所以t∈[－1,1]．
则原函数化为：y＝t2－at＝2－，
对称轴t＝.
①若－1≤≤1，则当t＝时，
ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)；
②若＜－1，即a＜－2时，
二次函数在[－1,1]上递增，
ymin＝2－＝1＋a＝－6，
所以a＝－7；
③若＞1，即a＞2时，二次函数在[－1,1]上递减．
ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7.
综上所述，a＝－7或a＝7.
13．(选做题)已知函数f(x)＝.
(1)求函数定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解 (1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
f(x)(x∈[－π，π])的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．
7.3 正切函数的诱导公式
学习目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)．
知识点1 正切函数的诱导公式
函数角
y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α
tan α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan α
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，符号看象限
－α
cot α
【预习评价】
1．下列诱导公式中错误的是( )
A．tan(π－α)＝－tan α
B．cos＝sin α
C．sin(π＋α)＝－sin α
D．cos(π－α)＝－cos α
答案 B
2．tan等于( )
A．－cot α B．cot α
C．tan α D．－tan α
答案 A
题型一 三角函数间关系的应用
【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解 (1)因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5.
∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
规律方法 三角函数之间关系的应用
利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．
【训练1】 已知α为第二象限角，且tan α－＝，
求的值．
解 由tan α－＝，
得4tan2α－15tan α－4＝0，
得tan α＝－或tan α＝4.
又α为第二象限的角，
所以tan α＝－.
故＝
＝＝.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】 求以下各式的值：
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2).
解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝2＋.
规律方法 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
【训练2】 (1)tanπ＋tan的值为( )
A．－ B．0
C. D．－
(2)若f(x)＝tan x，则f(600°)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 (1)tan π＋tan
＝tan＋tan
＝tan－tan
＝－－＝－，故选D.
(2)f(600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝.
答案 (1)D (2)C
方向1 化简
【例3－1】 (1)化简：
；
(2)若a＝，求a2＋a＋1的值．
解 (1)
＝
＝
＝＝1
(2)a＝
＝
＝
＝＝1，
∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.
方向2 证明
【例3－2】 ＝－tan α.
证明 左边＝
＝
＝
＝＝＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
方向3 化简并求值
【例3－3】 已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值;
(3)若α＝－120°，求f(α)的值．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解 (1)f(α)
＝
＝＝－cos α.
(2)因为tan(π－α)＝－2，
所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，
所以(2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝.
因为α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
规律方法 1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值为( )
A．1＋ B．1－
C．－1－ D．－1＋
解析 tan 300°＋sin 450°
＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝－tan 60°＋sin 90°＝1－.
答案 B
2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是( )
A．α为锐角
B．α为不等于的任意角
C．α为任意角
D．α≠kπ＋(k∈Z)
解析 由正切函数的定义可知α≠kπ＋(k∈Z)．
答案 D
3．已知tan＝，则tan的值为________．
解析 tan＝tan
＝tan＝－tan
＝－.
答案 －
4．tan＋tan＋tan＋tan的值为________．
解析 原式＝tan＋tan＋tan＋tan
＝tan＋tan－tan－tan＝0.
答案 0
5．已知角α的终边经过点P(4，－3)，
(1)求sin α，cos α，tan α的值;
(2)求·的值．
解 (1)因为r＝＝5，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－.
(2)·
＝·＝－＝－＝－.
课堂小结
(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·±α所在的象限．
(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．
特别提醒 应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.
基础过关
1．tan的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 tan＝tan＝tan＝.
答案 C
2．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－ B．－
C．± D．±
解析 ∵角α终边上有一点P(5n,4n)，
∴tan α＝，tan(180°－α)＝－tan α＝－.
答案 A
3．已知tan(－80°)＝k，那么tan 100°的值是( )
A．－k B．k
C. D.
解析 tan(－80°)＝－tan 80°＝k，则tan 80°＝－k.
tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k.
答案 B
4．函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋2，且f(－3)＝5，则f(3)等于________．
解析 ∵f(－3)＝asin(－6)＋btan(－3)＋2＝5，
∴－asin 6－btan 3＝3，即asin 6＋btan 3＝－3.
∴f(3)＝asin 6＋btan 3＋2＝－3＋2＝－1.
答案 －1
5．已知tan＝，则tan＝________.
解析 tan＝tan
＝－tan＝－.
答案 －
6．求下列各式的值：
(1)sincostan；
(2)sin(－1 200°)tan－cos 585°tan.
解 (1)原式＝sincostan
＝costan
＝cos＝
＝－×＝－.
(2)原式＝－sin(4×360°－240°)tan－cos(360°＋225°)
＝－sin(－240°)tan－cos 45°tan
＝×sin(180°＋60°)－tan
＝－sin 60°－
＝－.
7．已知角α的终边与单位圆交于点，
试求的值．
解 原式＝
＝－＝－tan2α.
∵角α的终边与单位圆交于点，
∴tan α＝－.∴原式＝－.
能力提升
8．已知tan(π－α)＝－，则的值是( )
A. B.
C. D．1
解析 由tan(π－α)＝－得tan α＝.
∴＝＝＝.
答案 B
9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)
＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)]
＝－1.
答案 B
10．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝________.
解析 由tan(π－x)＝，知tan x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝－tan(π－x)
＝tan x＝－.
答案 －
11．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.
解析 由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋π－α，k∈Z.
∴tan β＝tan(2kπ＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.
答案 －2
12．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
13．(选做题)设tan＝a，求的值．
解 原式＝
＝
＝＝.
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ) 的实际意义(重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω、φ对函数图像变化的影响(难点)．
知识点1 振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
(2)要得到函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．
【预习评价】
(1)函数y＝－2sin的最大值为________最小值为________．
答案 2 －2
(2)函数y＝－cos x取得最大值时的x的集合为________．
答案 {x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
知识点2 相位变换
(1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．
(2)对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．
【预习评价】
(1)如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin的图像？
提示 向左平移个单位长度．
(2)如何由y＝sin的图像变换为y＝sin x的图像？
提示 向右平移个单位长度
知识点3 周期变换
(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．
(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
【预习评价】
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
答案 B
2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.
答案 ±2
题型一 五点作图法
【例1】 用五点法作函数y＝3sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解 (1)列表：
x
x－
0
π
2π
y
0
3
0
－3
0
(2)描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．
(4)这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3 sin的图像．
此函数振幅为3，周期为4π，频率为，初相为－.
规律方法 五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：
(1)分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．
(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．
【训练1】 用五点法作函数y＝2sin的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
解 (1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值.
x
－
2x＋
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
(2)描点．
(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin，x∈R的简图(图略)．
此函数的振幅为2，周期为π，频率为，初相为.
题型二 由图像求函数的解析式
【例2】 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．
解 方法一 (逐一定参法)
由图像知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图像上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
方法二 (待定系数法)
由图像知A＝3.∵图像过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三 (图像变换法)
由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法 三角函数中系数的确定方法：
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．
【训练2】 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．
解 由图像知A＝5.
由＝－π＝，
得T＝3π，
∴ω＝＝.∴y＝5sin(x＋φ)．
下面用两种方法求φ：
方法一 (单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)．
由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
方法二 (最值点法)
将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，
得5sin(＋φ)＝5，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<π，∴φ＝.
∴函数式为y＝5sin(x＋)．
【例3】 如何由y＝sin x的图像得到y＝2cos的图像？
解 y＝2cos＝2cos
＝2cos
＝2sin，
【迁移1】 从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解 因为y＝2cos
＝2cos
＝2cos，
所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移2】 从例3中得到的函数图像再得出y＝2cos的图像应如何变换？
解 因为y＝2cos＝2cos，所以只需把y＝2cos的图像向左平移π个单位．
【迁移3】 从例3中得到的函数图像再得出y＝－2cos的图像应如何变换？
解 把y＝2cos的图像作关于x轴的对称图像即可．
规律方法 通常，由y＝sin x的图像经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图像的步骤如下：
(1)(相位变换)先把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin(x＋φ)的图像．
(2)(周期变换)把函数y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin(ωx＋φ)的图像．
(3)(振幅变换)把函数y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
(4)把得到的y＝Asin(ωx＋φ)的图像向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．
也可以先周期变换再相位变换.
课堂达标
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|<)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析 T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝.
答案 A
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析 C1：y＝cos x，C2：y＝sin，
首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．
y＝cos x＝sin，即y＝sin
y＝sin＝sin2
y＝sin 2＝sin.
答案 D
3．把函数y＝sin的图像向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图像．
解析 y＝sin＝sin 2，所以将其向右移个单位得到y＝sin 2x的图像．
答案 右
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析 由＝－＝，∴T＝π，
由T＝(ω＞0)得ω＝2.由2×＋φ＝π得φ＝.
∴点的坐标为(2，)．
答案
5．作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解 列表：
x－
0
π
2π
x
π
4π
7π
y＝sin
0
0
－
0
描点画图(如图所示)：
课堂小结
1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0)．
2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.
基础过关
1．最大值是，周期是，初相是的函数表达式可能是( )
A．y＝sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析 ∵函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值为，周期为，初相为，∴A＝，ω＝3，φ＝.
答案 A
2．函数y＝2sin的相位和初相分别是( )
A．－2x＋， B．2x－，－
C．2x＋， D．2x＋，
解析 y＝2sin
＝2sin
＝2sin
∴相位和初相分别为2x＋，.
答案 C
3．将函数y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 将y＝sin x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像．
答案 A
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图像经过点，则这个函数的解析式是________．
解析 由已知得A＝3，T＝＝，故ω＝6.
∴y＝3sin(6x＋φ)．把代入，
得3sin φ＝－，sin φ＝－.
又π＜φ＜2π，∴φ＝.
∴y＝3sin.
答案 y＝3sin
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(x)=________．
解析 由图知A＝1，T＝4＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
答案 sin
6．怎样由函数y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像，试叙述这一过程．
解 由y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝sin的图像有两种变化途径：
①y＝sin xy＝sin
y＝sin.
②y＝sin x
y＝sin 2xy＝sin.
7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
解 (1)因为函数图像的一个最高点为，
所以A＝，x＝为其中一条对称轴，
这个最高点到相邻最低点的图像与x轴交于点.
所以＝－＝.
又T＝＝π，所以ω＝2，
此时y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f＝，所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ.
又φ∈，所以φ＝，
所以y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
0
π
2x＋
π
2π
y
1
0
－
0
1
作图如下：
能力提升
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图所示，则f等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵T＝－＝，∴T＝.
∴＝，即ω＝3.
又∵3×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－.
∴f＝sin＝sin＝sin＝－.
答案 B
9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图像，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以选B.
答案 B
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______．
答案 ①③
11．若y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是________．
解析 由最小值为－2可得A＝2，
由题意得T＝6π＝，故ω＝，
则y＝2sin，
又sin φ＝，|φ|＜，故φ＝，
所以y＝2sin.
答案 y＝2sin
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(2x)cos x，求g的值．
解 (1)由图可知A＝2，T＝－＝4π，则ω＝＝，
∴解析式为f(x)＝2sin，
且由f(x)的图像过点，
即2sin＝2，可得φ＝2kπ＋，
又－＜φ＜，得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵g(x)＝f(2x)cos x
＝×2sincos x
＝sincos x，
∴g＝sincos
＝sincos
＝(－1)×＝.
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式．
(2)将x＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图像沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像．写出函数y＝g(x)的解析式并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像．
解 (1)由已知，易知A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，
解得T＝6π，所以ω＝.
把(0,1)代入解析式y＝2sin，
得2sin φ＝1.又|φ|＜，所以解得φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移，得g(x)＝2sin＝2sin.
列表：
x－
0
π
2π
x
2sin
0
2
0
－2
0
图像如图：
§8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
学习目标 1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).
2.理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)．
知识点 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数
对称轴方程
由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得
对称中心
由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得
单调性
递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得；
递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得
【预习评价】
(1)函数y＝2sin(2x＋)＋1的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3.
答案 C
(2)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D.
解析 由题意T＝＝π，故选C.
答案 C
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
【例1】 求函数y＝sin，x∈的值域．
解 ∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.
∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
规律方法 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
【训练1】 求函数y＝2sin的最大值和最小值．
解 ∵－≤x≤，
∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
方向1 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期
【例2－1】 求下列函数的周期：
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝sin(x∈R)．
解 (1)T＝＝π.
(2)T＝＝4.
方向2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性
【例2－2】 (1)函数y＝sin的图像的对称轴方程为________，对称中心为________．
(2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( )
A. B.
C. D．－
解析 (1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数y＝sin的图像的对称中心为(k∈Z)．
(2)由f(x)＝2sin为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋.
∴当k＝0时φ＝.故选A.
答案 (1)x＝＋(k∈Z) (k∈Z)
(2)A
方向3 函数y＝Asin(ωx＋φ) 单调性
【例2－3】 求函数y＝2sin的递增区间．
解 ∵y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间就是函数
u＝2sin的递减区间．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为：
(k∈Z)．
规律方法 1.关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性
(1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
2．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的四个步骤
(1)将ω化为正值．
(2)根据A的符号确定应代入y＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间．
(3)将ωx＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间．
(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间．
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
【例3】 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知
sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又∵f(x)在[0，]上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
规律方法 函数y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点
(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ω后再观察x的变化．
(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解出x的值．
(3)对于值域问题同样是将ωx＋φ看作整体，不同的是根据x的范围求ωx＋φ的范围，再依据图像求值域．
(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数．
【训练2】 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解 (1)∵x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，由此可得φ＝－.
(2)由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin的单调递增区间为
，k∈Z.
课堂达标
1．函数y＝2sin－1的图像的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 3x－＝kπ(k∈Z)，x＝＋(k∈Z)，
令k＝0，则x＝，把x＝代入y＝2sin－1，
得y＝－1，∴对称中心为.
答案 D
2．函数y＝3sin的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 y＝3sin＝－3sin，
∴y＝3sin的递减区间就是
y＝sin(3x－)的递增区间．
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)得－≤x≤＋(k∈Z)．
答案 C
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1 C. D.
解析 cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案 A
4．函数f(x)＝3sin的图像为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
①图像C关于直线x＝对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
解析 由于2×－＝，故①正确．
由于2×－＝π，故②正确；由x∈得2x－∈，故函数f(x)为增函数，故③正确；将函数y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得函数y＝3sin2＝3sin的图像，故④不正确．
答案 ①②③
5．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解 (1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋(k∈Z)．所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
课堂小结
1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．
2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.
基础过关
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
答案 A
2．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )
A．－，， B．－，，
C．－，， D．－，，
解析 由题x＝－，－时y＝2sin≠0，故A、C、D错．
答案 B
3．已知函数f(x)＝sin，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是( )
A. B.
C. D.
解析 f(x＋α)＝sin，
f(x＋3α)＝sin，
因为f(x＋α)＝f(x＋3α)且α∈(0，π)，
所以2x＋2α－＝2x＋6α－.
所以α＝.故选D.
答案 D
4．函数y＝sin，x∈的单调递增区间为________．
解析 ∵x∈，∴x＋∈，
∵y＝sin x在上单调递增．
∴－≤x＋≤.
解得－π≤x≤.故填.
答案 [－π，]
5．函数y＝－2sin的图像与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．
解析 函数y＝－2sin的图像与x轴相交．
∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z)．
当k＝1时，交点离原点最近坐标为.
答案
6．已知函数f(x)＝－2asin＋b的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
解 f(x)＝－2asin＋b，
∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈.
则当a＞0时，
∴a＝3，b＝1.
当a＜0时，
∴a＝－3，b＝－2.
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解 (1)∵图像最高点坐标为，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π.
∴ω＝＝2.∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
能力提升
8．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数
( )
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析 由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.
答案 B
9．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析 函数f(x)＝cos的图像可由y＝cos x的图像向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
答案 D
10．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
解析 由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案 2
11．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；
由k＝－1，得x＝－.
答案 x＝－
12．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的范围．
解 令
y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k＜时，直线y2＝k与曲线y＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k＜时，原方程有两个解．
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与对数函数y＝g(x)在同一坐标系中的图像如图所示．
(1)分别写出两个函数的解析式；
(2)方程f(x)＝g(x)共有多少个解？
解 (1)由图像知A＝2，φ＝0，T＝2，
故ω＝π，f(x)＝2sin πx.
设g(x)＝logax，由图像知loga4＝－1，
故a＝，g(x)＝logx.
(2)因g(x)为减函数，f(x)最小值为－2.故当g(x)≥－2时，可能有交点，由logx≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；
当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；
当x＞16时，图像无交点．
综上可知，f(x)＝g(x)共有17个解．
§9 三角函数的简单应用
学习目标 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1 利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．
【预习评价】 求下列函数的周期
(1)y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(2)y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
(3)y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝.
知识点2 三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
【预习评价】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系？
提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2)A＝，b＝.
题型一 已知解析式求周期最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝110(V)．
即开始时的电压为110 V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．
【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin.
(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)图略．
(2)当t＝0时，
s＝6sin＝6×＝3，即
单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
(3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.
(4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.
题型二 已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
解 由图像可知A＝300，
又T＝2＝，∴ω＝＝100π.
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
∴100π(－)＋φ＝0即φ＝，
∴I＝300sin.
规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．
【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．
解析 设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，
周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，
则y＝2sin.
将点(0.1,2)代入，得φ＝.
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin.
答案 y＝2sin
【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为( )
A．4.2万元 B．5.6万元
C．7万元 D．8.4万元
解析 由题知A＝2，T＝2×(7－3)＝8，
∴ω＝，φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7，
把x＝10代入得y＝7＋≈8.4万元．
答案 D
【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？
解 由f(x)＝2sin＋7≥8易知有5个月的时间满足条件．
【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？
解 由2sin＋7＜7得5＜x＜9，所以应该在5月份开始加班，直到9月份加班结束．
规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图
课堂达标
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B. C. D.
解析 T＝，所以，＝＝2π，则l＝.
答案 D
2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x··
解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；令x＝，f＝0，A不合适，故选C.
答案 C
3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．
解析 t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式知单摆周期T＝＝π，频率为.
答案
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案 20.5
5．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
基础过关
1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.
答案 C
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5安 B．5安
C．5 安 D．10安
解析 由图像知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝，∴I＝10sin(100πt＋)，
当t＝秒时，I＝－5安．
答案 A
3．若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( )
A．24.5天 B．29.5天
C．28.5天 D．24天
解析 由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期．
答案 B
4．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π∴m＝26,27,28.
答案 26,27,28
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案 10sin
6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图像可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∵×＝14－8，∴ω＝.
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
7.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得
cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
能力提升
8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析 由－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π.
答案 C
9.如图所示，某风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O距离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．则h与t满足的函数关系为( )
A．h＝sin＋2.5
B．h＝2sin＋1.5
C．h＝－2cost＋2.5
D．h＝2cost＋2.5
解析 最大值M＝4.5 m，最小值m＝0.5 m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，因为T＝12，所以ω＝＝，又风车从最低点开始运动，所以×0＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，不妨设φ＝，所以h与t满足的函数关系为h＝2sin＋2.5＝
－2cost＋2.5.
答案 C
10．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次达到C点，则振子在5秒内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
解析 振幅A＝10，T＝0.5×2＝1，每个周期通过的路程为40 cm,5秒内通过
200 cm；经过5个周期仍回到初始位置B，位移为10 cm.
答案 200,10
11．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin(·ω＋)＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以－<，
即ω<12，令k＝0，得ω＝.
答案
12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.
13．(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．
第一章 三角函数
章末复习课
网络构建
核心归纳
1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．
2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．
善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．
3．三角函数的图像与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
，(k∈Z)
值域
[－1,1]
[－1,1]
(－∞，＋∞)
续表
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
无最大值、最小值
周期性
周期T＝2kπ(k∈Z)
周期T＝2kπ(k∈Z)
周期T＝kπ(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数
在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
对称性
轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)(k∈Z)
轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心(k∈Z)
中心对称图形，对称中心(k∈Z)
4.三角函数的图像与性质的应用
(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．
(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．
要点一 任意角的三角函数的定义
有关三角函数的概念主要有以下两个方面：
(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例1】 已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．
解 (1)当m＝0时，θ＝2kπ±，k∈Z；
当θ＝2kπ＋时，sin θ＝1，tan θ不存在；
当θ＝2kπ－时，sin θ＝－1，tan θ不存在．
(2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0.
(3)当θ在第一、二象限时，
sin θ＝，tan θ＝.
(4)当θ在第三、四象限时，
sin θ＝－，tan θ＝－.
【训练1】 已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
解 由题意，得r＝，
所以sin θ＝＝m.
因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－；
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
要点二 诱导公式的应用
(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”．
(2)对于±α记忆为“函数名改变，符号看象限”．
注意：
①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化．
②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．
③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．
【例2】 (1)若θ∈(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)，则＝( )
A．sin θ－cos θ B．cos θ－sin θ
C．±(sin θ－cos θ) D．sin θ＋cos θ
(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β， a，b均为非零实数，若
f(2 016)＝－1，则f(2 017)等于________．
解析 (1)
＝＝|sin θ－cos θ|，又θ∈，
∴sin θ－cos θ＞0，
故原式＝sin θ－cos θ.
(2)由诱导公式知f(2 016)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 017)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)
＝－(asin α＋bcos β)＝1.
答案 (1)A (2)1
【训练2】 已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解 (1)∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cos α＝.故所求式子的值为.
要点三 三角函数的图像及变换
1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，π，2π.
2．对于y＝Asin(ωx＋φ)＋h，应明确A、ω决定“变形”，φ、h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A、ω、φ影响单调性．针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
【例3】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图像如图．
(1)求f(x)的解析式；
(2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？
解 (1)A＝3，＝＝5π，
故ω＝.
由f(x)＝3sin过得sin＝0.
又|φ|＜，故φ＝－，
故f(x)＝3sin.
(2)由f(x＋m)＝3sin
＝3sin为偶函数(m＞0)，
知－＝kπ＋(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)．
∵m＞0，∴mmin＝.
故至少把f(x)的图像向左平移个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数．
【训练3】 已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝2cos
D．f(x)＝2sin
解析 由图像知周期T＝4π，则ω＝，排除B、D；由f(0)＝1，可排除A.
答案 C
要点四 三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
【例4】f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在
[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明 ∵f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)的周期为2.
∴f(x)在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．
∴f(x)在[－1,0]上单调递减．
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．
∴f(x)在[0,1]上单调递增．①
∵α，β是锐角三角形的两个内角，
∴α＋β>，
∴α>－β，且α∈，－β∈.
又∵y＝sin x在上单调递增，
∴sin α>sin＝cos β，即sin α>cos β.②
由①②，得f(sin α)>f(cos β)．
【训练4】 已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈时，
－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
要点五 三角函数的综合应用
(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；
(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；
(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；
(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．
【例5】 已知函数f(x)＝log.
(1)求它的定义域和值域、单调区间；
(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
解 令u(x)＝sin.
f(x)＝log
＝－＋logsin.
(1)要使f(x)有意义，则sin＞0，所以2kπ＜x－＜(2k＋1)π(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．
因为0＜sin≤1，所以0＜sin≤，
所以f(x)＝logu(x)≥－.
所以f(x)的值域为.
x－∈时，u(x)是增函数，所以f(x)＝logu(x)是减函数．
所以x∈时，函数是减函数．
同理可求得x∈(k∈Z)时，函数是增函数．
(2)因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
又f(x＋2π)＝－＋logsin
＝－＋logsin＝f(x)，
其中x∈(k∈Z)，所以f(x)是周期函数，且最小正周期是2π.
【训练5】 函数f(x)＝cos x＋2|cos x|在[0,2π]上与直线y＝m有且仅有2个交点，求m的取值范围．
解 f(x)
＝
如图：
由图可知：当m＝0或1＜m≤3时，直线y＝m与f(x)的图像有且仅有2个交点.
基础过关
1．sin(－60°)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－.
答案 C
2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P(x,4)，且cos α＝，则tan α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P(x,4)．
∴x＜0.
cos α＝＝，x＝－3.则P(－3,4)．
∴tan α＝＝－.
答案 D
3．已知2sin＝1，则cos(α＋π)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵2sin＝2cos α＝1，
∴cos α＝，cos(α＋π)＝－cos α＝－，故选B.
答案 B
4．已知扇形AOB的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．
解析 由2R＋l＝6，＝1，得R＝l＝2，
∴S＝×2×2＝2.
答案 2
5．函数y＝3sin在区间上的最大值是________，此时自变量x＝________.
解析 ∵x∈，∴－≤2x－≤.令u＝2x－，又函数y＝sin u在上的最大值为1，
∴函数y＝3sin在区间上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x－＝，即x＝.
答案 1
6．计算－cos 585°·tan.
解 原式＝＋cos 225°tan
＝－cos·＋(－cos 45°)·tan
＝－××＋×1＝－＝.
7．已知函数f(x)＝3sin－1，x∈R，求：
(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；
(2)函数y＝sin x的图像经过怎样的变换得到函数f(x)＝3sin－1的图像．
解 (1)函数f(x)的最小值是3×(－1)－1＝－4，
此时有x＋＝2kπ－，解得x＝4kπ－(k∈Z)，
即函数f(x)的最小值是－4，此时自变量x的取值集合是.
(2)步骤是：
①将函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
②将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数
y＝sin的图像；
③将函数y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数
y＝3sin的图像；
④将函数y＝3sin的图像向下平移1个单位长度，得函数y＝3sin－1的图像．
能力提升
8．若直线x＝(－1≤k≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝( )
A. B．－
C.或－ D.或
解析 由2x＋＝＋nπ.n∈Z，得x＝＋.
由题意得＝＋，k＝，
又－1≤k≤1.
∴k＝或k＝－.
答案 C
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析 由题意其中k1，k2∈Z，所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝>2π，
所以0<ω<1，所以ω＝，φ＝2k1π＋π，由|φ|<π得φ＝，故选A.
答案 A
10．已知tan θ＝2，则＝________.
解析 原式＝＝＝＝－2.
答案 －2
11．对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图像关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.
其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．
解析 画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图像．
由图像知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故③④正确．
答案 ③④
12．已知函数y＝sin，求：
(1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
解 由y＝sin可化为y＝－sin.
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤ x≤kπ＋，k∈Z.
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为，.
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f＋f＋f＋…＋f的值．
解 (1)由图像可知A＝2，
周期T＝2＝π，
所以ω＝＝＝2，
则f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由图像过点，
得2sin＝2，
即sin＝1，
取＋φ＝得φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)由(1)可知f(x)的周期为π，
因为f＋f＋f＋f＝1－－1＋＝0，
所以f＋f＋f＋…＋f
＝0×503＋f＋f＋f
＝f＋f＋f＝1－－1
＝－.
