课件39张PPT。§1 简单几何体第一章 立体几何初步学习目标
1.理解旋转体与多面体的概念.
2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 旋转体与多面体平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点二 常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？
答案 不是.以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥.
思考2 能否由圆锥得到圆台？
答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到.梳理 半圆的直径球心曲面圆心球面旋转轴矩形的一边曲面不垂直于旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴旋转轴一条直角边曲面不垂直于旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴旋转轴垂直曲面不垂直于旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴于底边的腰特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面.
(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点.知识点三 常见的多面体及相关概念思考 观察下列多面体，试指明其类别.答案 (1)五棱柱；
(2)四棱锥；
(3)三棱台.梳理 (1)棱柱
①定义要点：
(ⅰ)两个面 ；
(ⅱ)其余各面都是 ；
(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都 .互相平行互相平行四边形②相关概念：
底面：两个 的面.
侧面：除底面外的其余各面.
侧棱：相邻 的公共边.
顶点：底面多边形与 的公共顶点.
③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.
④分类及特殊棱柱：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有 、 、 、…….
(ⅱ)直棱柱：侧棱 于底面的棱柱.
(ⅲ)正棱柱：底面是 的直棱柱.互相平行两个侧面侧面三棱柱四棱柱五棱柱垂直正多边形(2)棱锥
①定义要点：
(ⅰ)有一个面是 ；
(ⅱ)其余各面是三角形；
(ⅲ)这些三角形有一个 .
②相关概念：
底面：除去棱锥的侧面余下的那个 .
侧面：除底面外的其余 面.
侧棱：相邻两个 的公共边.
顶点： 的公共顶点.
③记法：如三棱锥S－ABC.多边形公共顶点多边形三角形侧面侧面④分类及特殊棱锥：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有 、 、 、……，
(ⅱ)正棱锥：底面是 ，且各侧面 的棱锥.
(3)棱台
①定义要点：用一个 的平面去截棱锥， 与 之间的部分.
②相关概念：
上底面：原棱锥的 .
下底面：原 的底面.
侧棱：相邻的 的公共边.
顶点： 与底面的公共顶点.
③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.三棱锥四棱锥五棱锥正多边形平行于棱锥底面侧面全等截面底面截面棱锥侧面④分类及特殊棱台：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有 、 、 、……，
(ⅱ)正棱台：由 截得的棱台.三棱台正棱锥四棱台五棱台[思考辨析 判断正误]
1.棱柱的侧面都是平行四边形.( )
2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )
3.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( )×√××题型探究例1 下列说法正确的是______.(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.类型一 旋转体的概念答案解析 ①以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；
②它们的底面为圆面；
③④正确.解析③④反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1 下列说法：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段.
其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3√解析 ②错误，截面可能是一个三角形；
③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；
①④正确.故选C.答案解析类型二 多面体及其简单应用例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为___.
①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；
④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；
⑤棱柱的每一个面都不会是三角形.解析答案3解析 ①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱.故①错；
②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；
根据棱锥的概念知，③正确；
根据棱台的概念知，④正确；
棱柱的底面可以是三角形，故⑤错.
正确的个数为3.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？解答解 长方体是棱柱，是四棱柱.
因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义.②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由.解答解 用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.解答引申探究
若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？
解 如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥.反思与感悟 (1)棱柱的识别方法
①两个面互相平行.
②其余各面都是四边形.
③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
(2)棱锥的识别方法
①有一个面是多边形.
②其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点.④对几类特殊棱锥的认识
(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体.它的每一个面都可以作为底面.
(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体.
(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直.
(3)棱台的识别方法
①上、下底面互相平行.
②各侧棱延长交于一点.跟踪训练2 下列说法正确的是
A.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B.两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱
C.棱锥的侧面可以是四边形
D.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面解析解析 A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；
C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；
D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确.答案√达标检测答案1.下列几何体中棱柱有
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个12345√解析解析 由棱柱的定义知，①③为棱柱.2.关于下列几何体，说法正确的是
A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥
C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台12345答案√解析解析 由旋转体的结构特征知，D正确.1233.下面有关棱台说法中，正确的是
A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B.棱台的所有侧面都是梯形
C.棱台的侧棱长必相等
D.棱台的上下底面可能不是相似图形45答案√解析解析 由棱台的结构特征知，B正确.12345答案解析解析 中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥.4.等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是
A.圆台 B.圆锥
C.圆柱 D.球√123455.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的母线长为____.解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，
∴AB＝2.
故圆锥的母线长为2.2答案解析1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.棱柱、棱锥、棱台定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台.课件45张PPT。§2 直观图第一章 立体几何初步学习目标
1.掌握斜二测画法的作图规则.
2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 斜二测画法思考1 边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？
答案 A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝ AD.思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
答案 没有都画成正方形.梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法
斜二测画法规则：
①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝_____，它们确定的平面表示_________.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段，长度为原来的 .平行不变水平平面 45°(2)立体图形直观图的画法平行性及长度相等z′轴x′O′z′y′O′z′x′O′y′平面[思考辨析 判断正误]
1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.( )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )×××题型探究例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.类型一 水平放置的平面图形的直观图解答解 画法：
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示；(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝ OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)；(3)去掉辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).引申探究
若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图.解答解 画法：
(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝
OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD；
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.解答解 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).类型二 直观图的还原与计算例2 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解答解 如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
所以面积为S＝ ×2＝5.反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝
S或S＝2 S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.跟踪训练2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是答案√解析(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是_____.(填四边形的形状)解析答案菱形解析 如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，
OD＝2O′D′＝2×2 ＝4 (cm)，
CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形.类型三 简单几何体的直观图例3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解答解 画法：
(1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.反思与感悟 简单几何体直观图的画法
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.跟踪训练3 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解答解 画法：
(1)画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②).达标检测答案1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是12345√解析解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2.下列关于直观图的说法不正确的是
A.原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B.原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D.在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同12345答案√解析解析 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.1233.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为______cm2.45答案解析12345答案解析解析 在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝10.4.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_____.10123455.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,
2 cm，高为2 cm)解答12345解 画法：
(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.12345(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图.1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.课件44张PPT。4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)第一章 §4 空间图形的基本关系与公理学习目标
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.
2.会用符号表达点、线、面的位置关系.
3.掌握空间图形的三个公理及其推论.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面.
思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
答案 相交，平行，既不平行也不相交.
思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？
答案 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.
思考3 六个面之间有哪几种位置关系.
答案 平行和相交.梳理 a∥αa∩b＝Oa?αa∩α＝Aα∥βα∩β＝a任何一个平面内知识点二 空间图形的公理思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？
答案 不在同一直线上的三点确定一个平面.
思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
答案 直尺在桌面上.
思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
答案 这些公共点在同一直线上.梳理 (1)空间图形的公理两点所有的点平面A∈lB∈lA∈αB∈α不在一条直线上P∈α的公共直线通过这个点P∈β(2)公理2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①).
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②).
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③).[思考辨析 判断正误]
1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( )
2.空间不同三点确定一个平面.( )
3.一条直线和一个点确定一个平面.( )×××题型探究例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化(1)点P与直线AB；解 点P∈直线AB.(2)点C与直线AB；解 点C?直线AB.(3)点M与平面AC；解 点M∈平面AC.(4)点A1与平面AC；解 点A1?平面AC.解答(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.解 直线AB∩直线BC＝点B.
解 直线AB?平面AC.
解 平面A1B∩平面AC＝直线AB.解答反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形.
(1)直线l经过平面α内两点A，B；解答解 A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图.(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；解答解 l?α，P∈l，P∈α.如图(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；解答解 l?α，l?β.如图.(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行.解答解 α∩β＝l，m?α，m∥l.如图.命题角度1 点线共面问题
例2 如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.类型二 平面的基本性质的应用证明证明 因为PQ∥a，
所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a?β，点P∈β.
因为P∈b，b?α，
所以P∈α.
又因为a?α，P?a，
所以α与β重合，
所以PQ?α.引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解答解 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明：如图，
∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，
∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2 如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，
∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二 (重合法)
∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，
∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.命题角度2 点共线、线共点问题
例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.
求证：FE，HG，DC三线共点.证明证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，
∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG?平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，
∴K∈平面ABCD，
∴K∈(平面D1C1CD∩平面ABCD)＝DC，
∴EF，HG，DC三线共点.反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.证明证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，
∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，
∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.达标检测答案1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是
A.A∈l，l?α
B.A∈l，l?α
C.A?l，l?α
D.A?l，l?α12345√解析解析 ∵点A在直线l上，∴A∈l.
∵l在平面α外，
∴l?α.故选B.2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β且a∥AB，b∥AB的图形是12345答案√233.下列推理错误的是
A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C.l?α，A∈l?A?α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合45√解析 当l ? α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错.答案解析12345答案4.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M1解析 因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，
所以γ与β的交线必通过点C和点M.解析√5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_____________.P∈直线DE解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.答案23451解析1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课件47张PPT。4.2 空间图形的公理(二)第一章 §4 空间图形的基本关系与公理学习目标
1.掌握公理4及等角定理.
2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立.梳理 平行公理
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行.知识点二 空间两直线的位置关系思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交.
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.任何一个(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交.
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：平行异面相交②从是否共面的角度来分：在同一平面内
不同在任何一个平面内——___________
______平行相交异面知识点三 等角定理思考 观察图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，
∠ADC＋∠D′A′B′＝180°. 梳理 等角定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应 ，则这两个角 或 .相等平行互补知识点四 异面直线所成的角思考 在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等.梳理 异面直线所成角的定义锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b[思考辨析 判断正误]
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( )
2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( )
3.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.( )×√×题型探究例1 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.类型一 公理4及等角定理的应用证明反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练1 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；证明证明 如图 ，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
由正方体的性质得
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明 由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.证明类型二 异面直线命题角度1 异面直线的判定
例2 (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是
A.异面 B.相交或平行
C.平行或异面 D.相交、平行或异面答案√解析解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示.(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？解答解 由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.跟踪训练2 (1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有___对.解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，
同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，
故共有异面直线4×2＝8(对).8答案解析(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解答解 还原的正方体如图所示.
异面直线有三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.命题角度2 求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解答解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.
(2)求异面直线所成的角的一般步骤：
①作角：平移成相交直线.
②证明：用定义证明前一步的角为所求.
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的大小是____.解析 连接B′D′，则E为B′D′的中点，
连接AB′，则EF∥AB′，
又CD∥AB，
所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，
即∠B′AB＝45°.45°答案解析达标检测答案1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交12345√解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.解析2.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定12345答案√解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，
即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.解析233.下列四个结论中错误的个数是
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1 B.2
C.3 D.445√答案解析12345解析 ①④均为错误结论.
①可举反例，如a，b，c三线两两垂直.
④如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交.12345答案解析4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______.(填序号)1②④23451解析 ①中，∵G，M是中点，
∴AG∥BM，AG＝BM，
∴GM∥AB，GM＝AB，HN∥AB，HN＝AB，
∴四边形GHNM是平行四边形.
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，
∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；23451∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；解答2345123451解 如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.解答2345123451解 如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD.23451又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小. 作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).课件37张PPT。5.1 平行关系的判定第一章 §5 平行关系学习目标
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.
3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 直线与平面平行的判定定理思考 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行.梳理 判定定理此平面内一条直线平行知识点二 平面与平面平行的判定定理思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定.
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行.梳理 判定定理两条相交直线a∩b＝P[思考辨析 判断正误]
1.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )
2.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行.( )
3.若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.
( )
4.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.( )×××√题型探究命题角度1 以锥体为背景证明线面平行
例1 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且
求证：MN∥平面SBC.类型一 直线与平面平行的判定问题证明证明 连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
所以MN∥SP，
又MN ?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC，由平行四边形的性质可知，
AC必过BD的中点N，
在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，
所以MN∥SC，
又因为SC?平面SBC，MN?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.证明反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________.平面ABD与平面ABC答案解析解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE，MN.?
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB?平面ABD，MN?平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB?平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABC.命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.解答解 存在.证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线.跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；证明 ∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，BC1∥AD1，
∴BC1∥平面AB1D1.证明(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明 ∵点F为BD的中点，
∴F为AC的中点，
又∵点E为D1C的中点，
∴EF∥AD1，
∵EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，
∴EF∥平面ADD1A1.证明类型二 平面与平面平行的判定例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；证明 因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面.证明(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明证明 因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法.
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3 如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心.
求证：平面MNG∥平面ACD.证明证明 如图，设BM，BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F，H，连接PF，PH.
∴MG∥PH，又PH?平面ACD，MG?平面ACD，
∴MG∥平面ACD.
同理可证MN∥平面ACD，
又MN∩MG＝M，MN?平面MNG，MG平面MNG，
∴平面MNG∥平面ACD.达标检测答案1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个12345√解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.解析2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面
A.有且只有一个 B.有无数多个
C.至多一个 D.不存在12345答案√解析 在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面.解析233.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是
A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G45√答案解析12345解析 如图，
∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，
E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1.123454.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个1答案√解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.解析5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.证明2345123451证明 连接BD，在△ABD中，
∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD?平面FEB，BE?平面FEB，∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.课件51张PPT。5.2 平行关系的性质第一章 §5 平行关系学习目标
1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.
2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a?平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案 不一定，因为还可能是异面直线.思考2 如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
答案 无数个，a∥b.梳理 性质定理平行交线平行a?β，α∩β＝b知识点二 平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的.
思考2 若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面.
思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
答案 平行.梳理 性质定理平行a∥b知识点三 平行关系的相互转化[思考辨析 判断正误]
1.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.
( )
2.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.( )
3.夹在两平行平面的平行线段相等.( )××√题型探究例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.类型一 线面平行的性质定理的应用证明证明 连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.引申探究
如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.
求证：AB∥GH.证明证明 因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.
所以EF∥DC.
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又EF?平面EFQ，
平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度为____.答案解析解析 ∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，
∴EF∥AC，
∵E是AD的中点，类型二 面面平行的性质定理的应用例2 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长.解 设AB，CD都在平面γ上，
因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以SC＝272.解答引申探究
若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.解 设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，
所以AC与BD无公共点，
所以AC∥BD，
所以x＝16，
即CS＝16.解答反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，求证：证明证明 如图，连接DC，
设DC与平面β相交于点G，
则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，
平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.
因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.类型三 平行关系的综合应用命题角度1 由面面平行证明线面平行
例3 设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：MP∥平面β.证明证明 如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.
∵AE∥CD，
∴AE，CD确定一个平面，设为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
又α∥β，
∴AC∥DE，
取AE的中点N，连接NP，MN，
∵M，P分别为AB，CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.又NP?β，DE?β，MN?β，BE?β，
∴NP∥β，MN∥β，
∵NP∩MN＝N，
∴平面MNP∥β.
∵MP?平面MNP，MP?β，
∴MP∥β.反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN. 求证：MN∥平面AA1B1B.证明证明 如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.
∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B，
又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.命题角度2 探索性问题
例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解答解 能，
如图，取AB，C1D1的中点M，N，
连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1C1∥平面AC，
平面A1C∩平面A1C1＝A1N，
平面AC∩平面A1C＝MC，
∴A1N∥MC.
同理，A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形.∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.
同理，A1M∥BP且A1M＝BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是?A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.跟踪训练4 如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC；证明 因为BC∥AD，BC?平面PAD，
AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.证明(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.解答解 平行.证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.
又AE?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.达标检测答案1.如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能12345√解析 ∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面ABC＝BC，
EF?平面SBC，
∴EF∥BC.解析2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条12345答案√解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.解析233.给出四种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α；
④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.
其中正确说法的序号是________.45答案解析1①②③2345解析 ①正确，因为平面α与γ没有公共点；
②正确，若直线a与平面β平行或直线a?β，则由平面α∥平面β，
知a?α或a与α无公共点，
这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交.
③正确，如图所示，
过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，
由α∥β得a∥b，
因为PQ∥β，PQ?γ.所以PQ∥b，12345因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合，因为a?α，所以PQ?α；
④错误，若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能.14.如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于
点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝____.答案解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个
平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a?平面β，所以EF∥a.解析234515.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.解答2345123451解 直线l∥平面PAC.
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，
所以l∥平面PAC.1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.课件49张PPT。6.1 垂直关系的判定第一章 §6 垂直关系学习目标
1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.
2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.
3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 直线与平面垂直的定义思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案 不变，90°.梳理 线面垂直的概念任何一条l⊥α垂面垂线垂足知识点二 直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定.
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.梳理 判定定理两条相交直线知识点三 二面角思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案 二面角.思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角.梳理 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的 .②两个半平面叫作二面角的 .
(3)二面角的记法
以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.
(4)二面角的平面角：若有①O l；②OA____α，OB____β；③OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .两个半平面棱面∈??⊥⊥∠AOB知识点四 平面与平面垂直思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案 都是垂直.梳理 (1)平面与平面垂直的概念
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
②画法：
③记法： .直二面角α⊥β(2)判定定理垂线l?β[思考辨析 判断正误]
1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( )
2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( )
3.若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直.( )
4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( )××√√题型探究例1 下列命题中，正确的序号是_______.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解答案④⑤解析解析 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC答案√解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，
OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.解析(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)答案解析 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.解析①③④类型二 线面垂直的判定例2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.证明 ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.证明引申探究
若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明 由例2知BC⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，
∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.证明反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.跟踪训练2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明证明 由引申探究知AE⊥平面PBC.
∵PB?平面PBC，
∴AE⊥PB，又AF⊥PB，
且AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，
∴PB⊥平面AEF.类型三 面面垂直的判定例3 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD
是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明 连接AC，与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.证明反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线.
(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝ AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明证明 由题设知BC⊥CC1，
BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC?平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，
即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，DC，BC?平面BDC，
所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，
故平面BDC1⊥平面BDC.类型四 与二面角有关的计算例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.解答解 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.反思与感悟 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.
(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.跟踪训练4 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解答解 由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，
∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.达标检测答案1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面
A.有且只有一个
B.至多一个
C.有一个或无数个
D.不存在12345√解析 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.解析2.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是
A.α∥β，且m?α B.m∥n，且n⊥β
C.m⊥n，且n?β D.m⊥n，且n∥β12345答案√解析 A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；
B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；
C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.解析233.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是
A.异面
B.平行
C.垂直
D.不确定45解析1答案√2345解析 ∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，
∴BA⊥l.同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，
∴l⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，
∴l⊥AC.14.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝ ，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为_____.答案解析2345160°解析 由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.
由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.
又∵PA＝PC，
∴PQ⊥AC，
∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角.
23451∴PQ＝8.
∴∠PQO＝60°，即二面角P－AC－B的大小为60°.234515.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点.
求证：平面EFC⊥平面BCD.证明2345123451证明 ∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD，
又∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，EF，CF?平面EFC，
∴BD⊥平面EFC.
又∵BD?平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2.证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.课件49张PPT。6.2 垂直关系的性质第一章 §6 垂直关系学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.
2.能运用性质定理解决一些简单问题.
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 直线与平面垂直的性质定理思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案 平行.梳理 性质定理平行知识点二 平面与平面垂直的性质思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.梳理 性质定理垂直一个平面内交线a?αa⊥l[思考辨析 判断正误]
1.若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.( )
2.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( )××题型探究例1 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.类型一 线面垂直的性质及应用证明证明 如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，
∴EF∥BD1.反思与感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，
a?α，a⊥AB.求证：a∥l.证明证明 ∵PA⊥α，l?α，
∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，
∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.类型二 面面垂直的性质及应用例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.证明证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD?平面PAB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.反思感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点.
求证：(1)BG⊥平面PAD；证明证明 ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.证明证明 由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，
又PB?平面PBG，
∴AD⊥PB.类型三 垂直关系的综合应用命题角度1 线线、线面、面面垂直的转化
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；证明证明 ∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
∩平面ABCD＝AD，
由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明 ∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，
故四边形ABED为平行四边形，
故有BE∥AD.
又AD?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD.证明(3)平面BEF⊥平面PCD.证明证明 在平行四边形ABED中，
∵AB⊥AD，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
又E，F分别为CD和PC的中点，
∴EF∥PD，
∴CD⊥EF.
∵EF∩BE＝E，EF，BE?平面BEF，
∴CD⊥平面BEF.
又∵CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.证明证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，
如图，则AE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，
∴AE⊥CD.
又BC⊥CD，AE∩BC＝E，
AE，BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴AB⊥CD.
又AB⊥AC，AC∩CD＝C，
AC，CD?平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.命题角度2 垂直中的探索性问题
例4 已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 ＝λ(0＜λ＜1).
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；证明证明 ∵∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
∵ ，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC.
故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解答解 由(1)得EF⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.
∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，
又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.跟踪训练4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；证明证明 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，
∵DC＝DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形，
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，
∴AD⊥D1C.
∵AD，DC1?平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
∴D1C⊥平面ADC1.
∵AC1?平面ADC1，
∴D1C⊥AC1.(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.解答解 连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，需使MN∥D1E.
又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，
∴AB＝DE，即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.达标检测答案1.给出下列说法：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直.
其中正确说法的个数是
A.0 B.1
C.2 D.312345√2.平面α⊥平面β，直线a∥α，则
A.a⊥β B.a∥β
C.a与β相交 D.以上都有可能12345答案√解析 因为a∥平面α，平面α⊥平面β，
所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.解析233.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个说法：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个说法是
A.①② B.③④ C.①③ D.②④451答案√解析 ∵l⊥α，α∥β，m?β，
∴l⊥m，故①正确；
∵l∥m，l⊥α，
∴m⊥α，又∵m?β，
∴α⊥β，故③正确.解析4.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____.答案23451解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，
∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，解析5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.证明23451证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC?平面SBC，
所以平面SCD⊥平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：课件44张PPT。7.1 简单几何体的侧面积第一章 §7 简单几何体的面积和体积学习目标
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
3.培养空间想象能力和思维能力.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).思考2 圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).思考3 圆台OO′及其侧面展开图如右，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝ (x＋l)×2πR－ x·2πr
＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l，
所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).梳理 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式2πrl2πr22πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)πr2πr′2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1 类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？
答案 利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积.展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.思考2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？
答案 正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝ ch′.思考3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？
答案 S正棱台侧＝ n(a＋a′)h′＝ (c＋c′)h′.梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式[思考辨析 判断正误]
1.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.
( )
2.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )
3.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )×√×题型探究例1 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为多少.类型一 旋转体的侧面积(表面积)解答解 如图所示，设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为
A.6π(4π＋3)
B.8π(3π＋1)
C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析答案√解析 由题意，圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，
即r＝2，所以S底＝4π，
所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1).
②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，
即r＝3，所以S底＝9π，
所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3).(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4解析答案√解析 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，
所以PA＝AB，O2B＝2O1A.
又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，
S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，类型二 多面体的侧面积(表面积)及应用例2 如图所示，已知六棱锥P--ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P--ABCDEF的表面积.解答解 反思感悟 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形. 跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积.解答解 方法一 如图，作B1F⊥BC，
垂足为F，设棱台的斜高为h′.
在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
B1B＝8 cm，方法二 延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x cm，
得x＝8 cm.
∴PB1＝B1B＝8 cm，
∴E1为PE的中点.
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧类型三 组合体的侧面积(表面积)例3 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.解答解 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
又DD′＝DC＝2a，
则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响.
(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.跟踪训练3 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解答解 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为点D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC2＋BC2＝AB2，
则AC⊥BC.
所以BC·AC＝AB·CD，
那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径
r＝ ，母线长分别是AC＝3，BC＝4，达标检测1.一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，12345答案解析√12345答案解析√解析 如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝ cm，
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E.
在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm，12345233.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________.451答案解析 设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.解析100π∴r＝2.
故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.23451解析 设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，
∵r∶R＝3∶8，
∴r＝3，R＝8.
S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，
则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.216π答案解析5.正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积.解答2345123451解 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，
如图所示，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，
则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
因为SO⊥OE，
所以SO2＋OE2＝SE2.234511.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).课件38张PPT。7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积第一章 §7 简单几何体的面积和体积学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.
2.掌握求几何体体积的基本技巧.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 柱、锥、台体的体积公式Sh(S上＋S下＋ )hSh知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系[思考辨析 判断正误]
1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )×√题型探究例1 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；类型一 多面体的体积证明证明 由题知四边形PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
则PQ⊥QD.
又DC∩QD＝D，DC，QD?平面DCQ，
所以PQ⊥平面DCQ.(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值.解答解 设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法
(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解.
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.跟踪训练1 如图，在三棱柱 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 将三棱柱分成体积为 的两部分，
那么 ＝________.解析答案7∶5解析 设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，
则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E，F分别为AB，AC的中点，类型二 旋转体的体积例2 体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积.解答解 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.
截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，
∴小圆锥的体积为2 cm3，
故原来圆锥的体积为54 cm3.反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答.
(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解.
(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为____.21π答案解析解析 设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°，＝21π.
∴圆台的体积为21π.类型三 几何体体积的求法命题角度1 等体积法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解答解 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理.
(2)利用等体积法可求点到面的距离.跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.解答解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，命题角度2 割补法
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积.解答解 如图，连接EB，EC，AC.
四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝ ×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，
所以S△EAB＝2S△BEF.
所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择.跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积.解答解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.达标检测1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为12345答案解析√12345答案解析√解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
解得r＝4.12345233.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是
A.18＋6 B.6＋2
C.24 D.18451答案√解析4.已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.
∴l＝2，答案解析234515.如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降____cm.234510.6答案解析23451解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积.
设水面下降的高度为x cm，则
得x＝0.6 cm.1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
2.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝ .这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换
顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.
3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.课件36张PPT。7.3 球的表面积和体积第一章 §7 简单几何体的面积和体积学习目标
1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.
2.会求解组合体的体积与表面积.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 球的截面思考 什么叫作球的大圆与小圆？
答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆.
平面不过球心与球面形成的截线是小圆.梳理 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是 ，有以下性质：
(1)若平面α过球心O，则截线是以 为圆心的球的大圆.
(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝ ，即此时截线是以 为圆心，以r＝ 为半径的球的小圆.O圆O′知识点二 球的切线(1)定义：与球只有 公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点.
(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；
②过球外一点的所有切线的长度都 .相等唯一知识点三 球的表面积与体积公式 πR34πR2[思考辨析 判断正误]
1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( )
2.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )×√×题型探究例1 已知球的表面积为64π，求它的体积.类型一 球的表面积与体积解答解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.跟踪训练1 (1)已知球的体积为 π，则其表面积为______.解析答案100π解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.类型二 球的截面例2 在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解答解 依题意知，△ABC是正三角形，
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为解析√答案解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，
设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5，解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，
所以球的表面积S＝4πR2＝14π.类型三 与球有关的组合体命题角度1 球的内接或外切柱体问题
例3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_____.14π解析答案解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，
故可得球的直径为2，故半径为1，(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为____.解析答案反思与感悟 (1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝ .
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝ .√答案解析解 如图所示，将正四面体补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a.
又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，命题角度2 球的内接锥体问题
例4 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积.解答解 把正四面体放在正方体中，跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.解析答案解析 设球的半径为R，
①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，达标检测解析 设圆柱的高为h，
得h＝4R.1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为
A.R B.2R
C.3R D.4R√12345答案解析答案解析解析 如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，12345√233.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R＋r)2451答案√解析23451解析 方法一 如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，
DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.
由勾股定理得23451方法二 如图，设球心为O，球的半径为r1，
连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.
由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，
故球的表面积为S球＝4πRr.4.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为
A.1 B.2 C.3 D.4解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，
所以R1－R2＝2.解析23451答案√表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，
表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.5.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的___倍，表面积变为原来的___倍.234514答案8解析1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.
2.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.课件65张PPT。章末复习第一章 立体几何初步学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.
3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积互相平行四边形互相平行多边形公共顶点有一个锥底面平行于棱矩形的一边一条直角边平行于圆锥底面底面和截面半圆的直径半圆面2.空间几何体的直观图
(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：
①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.
②等积变换，如三棱锥转移顶点等.
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等. 3.四个公理
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：过 的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 .
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行4.直线与直线的位置关系
_____
共面直线
______
异面直线：不同在______一个平面内，没有公共点平行任何相交5.平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质a∩α＝?a?α，b?α，
a∥ba∥α，a?β，
α∩β＝ba∥α(2)面面平行的判定与性质α∩β＝?a?β，b?β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥αα∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b(3)空间中的平行关系的内在联系6.垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直任意m∩n＝Oa⊥αb?αa∥b(2)平面与平面垂直的判定与性质定理垂线(3)空间中的垂直关系的内在联系7.空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角).
②范围：设两异面直线所成角为θ，则 .
(2)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作
的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.锐角(或直角)0°<θ≤90°两个半平面垂直于棱1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n.( )
2.已知a，b是两异面直线，a⊥b，点P?a且P?b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.( )
3.平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直.( )
4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.( )
5.若m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n?α或n∥α.( )[思考辨析 判断正误]√×√√√题型探究类型一 平行问题例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解答解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点.∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD?平面PMD，
∴PF∥MA，PF＝MA.
∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.
又AF?平面PMD，PM?平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.反思与感悟 (1)证明线线平行的依据
①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理.
(2)证明线面平行的依据
①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质.
(3)证明面面平行的依据
①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的传递性.跟踪训练1 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；证明证明 因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，
因此GH∥EF.(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.解答解 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，
所以PO平行于这条垂线，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.又因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，
所以PO∥GK，
所以GK⊥平面ABCD.
又EF?平面ABCD，
所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，所以GK＝3，类型二 垂直问题例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
证明：(1)CD⊥AE；证明 在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.证明(2)PD⊥平面ABE.证明证明 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，
且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，
∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.反思与感悟 (1)两条异面直线相互垂直的证明方法
①定义；
②线面垂直的性质.
(2)直线和平面垂直的证明方法
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理.
(3)平面和平面相互垂直的证明方法
①定义；
②面面垂直的判定定理.证明跟踪训练2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；证明 设BC的中点为M，
∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，
∴B1M⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，
∴B1M⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC?平面B1C1CB，
∴AC⊥平面B1C1CB.
又∵AC?平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.证明(2)求证：BC1⊥AB1.证明 连接B1C.
∵AC⊥平面B1C1CB，
∴AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵BC＝CC1.
∴四边形B1C1CB是菱形，
∴B1C⊥BC1.
又∵B1C∩AC＝C，
∴BC1⊥平面ACB1，
∴BC1⊥AB1.类型三 空间角问题例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；证明证明 连接MN，
∵N，F均为所在棱的中点，
∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN?平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形.
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE，又NE∩NF＝N，
∴MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF，
∴平面MNF⊥平面ENF.(2)求二面角M－EF－N的正切值.解答解 在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF，
又EF?平面NEF，
∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，
∴EF⊥平面MNG，
∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角.
设该正方体的棱长为2，反思与感悟 (1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；
(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线.证明跟踪训练3 如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝ ，⊙O的直径AB＝2，C是 的中点，D为AC的中点.
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；证明 连接OC.
∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
∴AC⊥PO.
∵OA＝OC，D是AC的中点，
∴AC⊥OD.
又∵OD∩PO＝O，
∴AC⊥平面POD.
又∵AC?平面PAC，
∴平面POD⊥平面PAC.解答(2)求二面角B－PA－C的余弦值.解 在平面POD内，过点O作OH⊥PD于点H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
又平面POD∩平面PAC＝PD，
∴OH⊥平面PAC.
又∵PA?平面PAC，
∴PA⊥OH.
在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，
则有PA⊥平面OGH，
∴PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角.∵C是 的中点，AB是直径，
∴OC⊥AB.
在Rt△POD中，
在Rt△POA中，达标检测1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是
A.①是棱台 B.②是圆台
C.③是棱锥 D.④不是棱柱答案12345解析√1234解析 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥，图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故选C.5解析 ②如果m?γ，则m不平行于γ；
③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面，
④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行.1234解析答案52.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确说法的序号是
A.① B.②③ C.③④ D.①④√3.正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为答案解析解析 设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，12345√1234解析答案54.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝ ，那么原△ABC是一个
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形√12345解析 由图形，知在原△ABC中，AO⊥BC.∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形.故选A.1234证明55.如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点.
(1)求证：VB∥平面MOC；
证明 因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.
又因为VB?平面MOC，OM?平面MOC，
所以VB∥平面MOC.1234证明5(2)求证：平面MOC⊥平面VAB.
证明 因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，
平面VAB∩平面ABC＝AB，
且OC?平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.
又因为OC?平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB.1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为2.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.
