第一节 曲线运动
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第1节 曲线运动
【知识要点】
1、曲线运动是更普遍的运动形式
所有物体的运动根据轨迹的不同可以分为两大类，即直线运动和曲线运动。
运动轨迹是直线的运动叫做直线运动，运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。多数物体的运动都是曲线运动，如宇宙空间中天体的运动；地面上水平抛出或斜向抛出的石块；原子内电子的运动等等。有一些物体在某段时间内的运动可看成直线，但长时间观察就会发现它在做曲线运动，如火车的运动、汽车的运动等。
由此可知，自然界中更为普遍的运动是曲线运动，研究曲线运动的规律将更有价值。
2、曲线运动的速度方向
砂轮打磨下来的炽热微粒飞出的分向与飞出时的位置有关，但都与砂轮圆周相切。如图1－1所示，A、B、C各处飞出的微粒方向各不相同，但均与该处圆周曲线相切。
链球在运动员的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出，链球总是沿着圆周的切线方向飞出的。
生活中物体做曲线运动的图景有很多，我们可以去观察和体验。例如，你可以抬起自行车的后轮，用力旋转脚踏板使后轮转动，观察轮上的泥点脱离车轮时的速度方向，你会看到泥点是沿着车轮边缘的切线方向飞出的。
3、曲线运动速度方向的实验验证
通过如图1－2所示的实验来加以验证的。蘸有墨水的钢球从出口A离开轨道后在白纸上留下的一条运动痕迹与轨道曲线在A处的切线一致，而从出口B离开轨道后在白纸上留下的一条运动痕迹则与轨道曲线在B处的切线一致。
由此可以知道，做曲线运动的质点脱离曲线后，在曲线的切线方向上做直线运动。根据牛顿第一定律可以做出这样的分析：质点脱离曲线后不受力的作用时，质点由于惯性会保持脱离曲线时的速度做匀速直线运动。所以质点从该点脱离曲线后自由运动的方向，就是曲线运动中质点在某点的瞬时速度方向。
结论：质点做曲线运动时，速度的方向是时刻改变的，任一时刻（或任一位置）的瞬时速度方向与这一时刻质点所在位置处的曲线的切线方向一致。
4、曲线运动是变速运动
速度是矢量，速度发生变化可能包括速度大小发生变化、速度方向发生变化或速度的大小与方向同时发生变化，也就是说速度的变化不仅指速度大小的变化，也包括速度方向的变化。由前面的分析可知，至少做曲线运动物体的速度方向（即轨迹上各点的切线方向）时刻在发生变化，物体也就一定具有加速度，所以曲线运动是一种变速运动。
5、物体做曲线运动的条件
利用磁铁从旁吸引运动中的钢球，来研究物体做曲线运动的条件的。如图1－3所示，观察这一实验可得：给钢球一个初速度，如没有磁铁等物从旁施加作用力，钢球将沿直线运动，正是由于磁铁对它的作用力使它的运动方向发生了变化，而此作用力的方向与钢球的运动方向显然不在一条直线上。
石子水平抛出后，其运动轨迹及在途中各点的运动情况、受力情况如图6－4所示，显然，石子抛出后在各处所受合外力方向与运动方向也都不在一条直线上。
如图1－5所示，分析人造地球卫星的曲线运动也可得到相同结论。
可见，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
6、物体做曲线运动的合外力方向
由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。
7、力在改变物体运动状态上的作用
把加速度和合外力F都分解到沿曲线切线和沿法线（与曲线切线垂直）方向上，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1－6所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角；当a1和v反向时，速度减小，如图1－7所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，它使质点改变了速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。
可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小；产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向，这正是物体做曲线运动的原因。若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。
【例题讲解】
【例1】关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线运动一定是变速运动 B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动可能是匀变速运动 D．变加速运动一定是曲线运动
【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。正确选项为A、C。
【例2】如图1－8所示，小钢球以初速度v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿图示的曲线运动到D点，由此可知（ ）
A．磁铁在A处，靠近小钢球的一定是N极
B．磁铁在B处，靠近小钢球的一定是S极
C．磁铁在C处，靠近小钢球的一定是N极
D．磁铁在B处，靠近小钢球的磁极极性无法确定
【解析】小钢球受磁铁的吸引而做曲线运动，运动方向只会向所受吸引力的方向偏转，因而磁铁位置只可能能在B处，不可能在A处或C处。又磁铁的N极或S极对小钢球都有吸引力，故靠近小钢球的磁极极性无法确定。正确选项为D。
【例3】质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（ ）
A．一定做匀变速运动 B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动 D．一定做曲线运动
【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。正确选项为A。
【例4】如图1－9所示为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与空间一固定坐标系的y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定速度v0向＋x方向平移。
（1）单独分别开动P1、P2、P3、P4，探测器将分别做什么运动？开动P2与开动P4，探测器的运动有何不同？
（2）同时开动P2和P3，探测器将做什么运动？
（3）若四个发动机能产生相同大小的推力，同时开动时探测器将做什么运动？
【解析】（1）单独开动P1时，力沿－x方向，故探测器沿＋x方向做匀减速直线运动，单独开动P3时，力沿＋x方向，探测器沿＋x方向做匀加速直线运动；单独开动P2或P4时，力沿＋y方向或－y方向，探测器做匀变速曲线运动。但开动P2时，探测器在坐标系中第一象限做匀变速曲线运动，而单独开动P4时，探测器是在第四象限做匀变速曲线运动。
（2）同时开动P2和P3，探测器受到沿＋y方向和＋x方向的力的作用，一边加速同时向＋y方向偏转，在第一象限内做匀变速曲线运动。
（3）同时开动四个发动机，合外力为0，探测器仍沿＋x方向以速度v0做匀速直线运动。
【例5】如图1－10所示，物体在恒力F作用下沿曲线从点A运动到点B，这时突然使它所受的力反向，但大小不变，即由F变为－F。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动D．物体不可能沿原曲线BA返回
【解析】物体沿曲线从点A运动到点B（点B除外）的过程中，其所受恒力F的方向必定指向曲线的内侧。当运动到B点时，因恒力反向，由曲线运动的特点，物体运动的曲线轨迹必定向合力方向弯曲，可知物体以后只可能沿Bc运动。正确选项为A、B、D。
【例6】电动自行车绕图1－11所示的400m标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36km/h处不动。则下列说法中正确的是（ ）
A．电动车的速度一直保持不变
B．电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度
C．电动车绕跑道一周需40s，此40s内电动车的平均速度等于0
D．电动车在弯道上运动时，合外力方向不可能沿切线方向
【解析】速度是矢量，不仅有大小，还有方向。电动车运动过程中车速表指针一直指在36km/h处不动，只能说明其速度大小保持不变，而运动过程中速度的方向在发生变化。而经过弯道时，速度方向始终沿弯道的切线方向，在不断发生变化，也就具有加速度，方向指向弯道的内侧。此加速度由电动车所受合外力提供，由牛顿第二定律可以推断，此合外力方向也必指向弯道内侧，而不可能沿切线方向。电动车绕跑道一周过程中位移为零，由平均速度概念可知，此过程中平均速度为零。正确选项为B、C、D。
vB
A
B
C
vC
vA
图1－1
INCLUDEPICTURE "E:\\My Documents\\讲透教材－曲线运动（资料和正文）\\教材\\第六章\\032.jpg" \* MERGEFORMATINET
图1－2
图1－3
图1－4
G
G
G
A
B
C
vA
vB
vC
地球
人造地球卫星
v
F
图1－5
图1－7
v
F
a1
F1
F2
a2
图1－6
v
F
a1
F1
F2
a2
D
A
B
C
图1－8
v0
O
x
y
P4
P1
P2
P3
图1－9
b
B
A
a
c
图1－10
图1－11
B
C
D
【知识要点】
1、曲线运动是更普遍的运动形式
所有物体的运动根据轨迹的不同可以分为两大类，即直线运动和曲线运动。
运动轨迹是直线的运动叫做直线运动，运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。多数物体的运动都是曲线运动，如宇宙空间中天体的运动；地面上水平抛出或斜向抛出的石块；原子内电子的运动等等。有一些物体在某段时间内的运动可看成直线，但长时间观察就会发现它在做曲线运动，如火车的运动、汽车的运动等。
由此可知，自然界中更为普遍的运动是曲线运动，研究曲线运动的规律将更有价值。
2、曲线运动的速度方向
砂轮打磨下来的炽热微粒飞出的分向与飞出时的位置有关，但都与砂轮圆周相切。如图1－1所示，A、B、C各处飞出的微粒方向各不相同，但均与该处圆周曲线相切。
链球在运动员的牵引下做曲线运动，一旦运动员放手，链球即刻飞出，链球总是沿着圆周的切线方向飞出的。
生活中物体做曲线运动的图景有很多，我们可以去观察和体验。例如，你可以抬起自行车的后轮，用力旋转脚踏板使后轮转动，观察轮上的泥点脱离车轮时的速度方向，你会看到泥点是沿着车轮边缘的切线方向飞出的。
3、曲线运动速度方向的实验验证
通过如图1－2所示的实验来加以验证的。蘸有墨水的钢球从出口A离开轨道后在白纸上留下的一条运动痕迹与轨道曲线在A处的切线一致，而从出口B离开轨道后在白纸上留下的一条运动痕迹则与轨道曲线在B处的切线一致。
由此可以知道，做曲线运动的质点脱离曲线后，在曲线的切线方向上做直线运动。根据牛顿第一定律可以做出这样的分析：质点脱离曲线后不受力的作用时，质点由于惯性会保持脱离曲线时的速度做匀速直线运动。所以质点从该点脱离曲线后自由运动的方向，就是曲线运动中质点在某点的瞬时速度方向。
结论：质点做曲线运动时，速度的方向是时刻改变的，任一时刻（或任一位置）的瞬时速度方向与这一时刻质点所在位置处的曲线的切线方向一致。
4、曲线运动是变速运动
速度是矢量，速度发生变化可能包括速度大小发生变化、速度方向发生变化或速度的大小与方向同时发生变化，也就是说速度的变化不仅指速度大小的变化，也包括速度方向的变化。由前面的分析可知，至少做曲线运动物体的速度方向（即轨迹上各点的切线方向）时刻在发生变化，物体也就一定具有加速度，所以曲线运动是一种变速运动。
5、物体做曲线运动的条件
利用磁铁从旁吸引运动中的钢球，来研究物体做曲线运动的条件的。如图1－3所示，观察这一实验可得：给钢球一个初速度，如没有磁铁等物从旁施加作用力，钢球将沿直线运动，正是由于磁铁对它的作用力使它的运动方向发生了变化，而此作用力的方向与钢球的运动方向显然不在一条直线上。
石子水平抛出后，其运动轨迹及在途中各点的运动情况、受力情况如图6－4所示，显然，石子抛出后在各处所受合外力方向与运动方向也都不在一条直线上。
如图1－5所示，分析人造地球卫星的曲线运动也可得到相同结论。
可见，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
6、物体做曲线运动的合外力方向
由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。
7、力在改变物体运动状态上的作用
把加速度和合外力F都分解到沿曲线切线和沿法线（与曲线切线垂直）方向上，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1－6所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角；当a1和v反向时，速度减小，如图1－7所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，它使质点改变了速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。
可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小；产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向，这正是物体做曲线运动的原因。若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。
【例题讲解】
【例1】关于曲线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．曲线运动一定是变速运动 B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动可能是匀变速运动 D．变加速运动一定是曲线运动
【解析】曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动。变速运动可能是速度的方向不变而大小变化，则可能是直线运动。当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动。做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动。正确选项为A、C。
【例2】如图1－8所示，小钢球以初速度v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿图示的曲线运动到D点，由此可知（ ）
A．磁铁在A处，靠近小钢球的一定是N极
B．磁铁在B处，靠近小钢球的一定是S极
C．磁铁在C处，靠近小钢球的一定是N极
D．磁铁在B处，靠近小钢球的磁极极性无法确定
【解析】小钢球受磁铁的吸引而做曲线运动，运动方向只会向所受吸引力的方向偏转，因而磁铁位置只可能能在B处，不可能在A处或C处。又磁铁的N极或S极对小钢球都有吸引力，故靠近小钢球的磁极极性无法确定。正确选项为D。
【例3】质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，而保持F2、F3不变，则质点（ ）
A．一定做匀变速运动 B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动 D．一定做曲线运动
【解析】质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动。由题意可知，当突然撤去F1而保持F2、F3不变时，质点受到的合力大小为F1，方向与F1相反，故一定做匀变速运动。在撤去F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，它一定做匀变速直线运动；其二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动（条件是F1的方向和速度方向在一条直线上），也可能做曲线运动（条件是F1的方向和速度方向不在一条直线上）。正确选项为A。
【例4】如图1－9所示为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与空间一固定坐标系的y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定速度v0向＋x方向平移。
（1）单独分别开动P1、P2、P3、P4，探测器将分别做什么运动？开动P2与开动P4，探测器的运动有何不同？
（2）同时开动P2和P3，探测器将做什么运动？
（3）若四个发动机能产生相同大小的推力，同时开动时探测器将做什么运动？
【解析】（1）单独开动P1时，力沿－x方向，故探测器沿＋x方向做匀减速直线运动，单独开动P3时，力沿＋x方向，探测器沿＋x方向做匀加速直线运动；单独开动P2或P4时，力沿＋y方向或－y方向，探测器做匀变速曲线运动。但开动P2时，探测器在坐标系中第一象限做匀变速曲线运动，而单独开动P4时，探测器是在第四象限做匀变速曲线运动。
（2）同时开动P2和P3，探测器受到沿＋y方向和＋x方向的力的作用，一边加速同时向＋y方向偏转，在第一象限内做匀变速曲线运动。
（3）同时开动四个发动机，合外力为0，探测器仍沿＋x方向以速度v0做匀速直线运动。
【例5】如图1－10所示，物体在恒力F作用下沿曲线从点A运动到点B，这时突然使它所受的力反向，但大小不变，即由F变为－F。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动
C．物体不可能沿曲线Bc运动D．物体不可能沿原曲线BA返回
【解析】物体沿曲线从点A运动到点B（点B除外）的过程中，其所受恒力F的方向必定指向曲线的内侧。当运动到B点时，因恒力反向，由曲线运动的特点，物体运动的曲线轨迹必定向合力方向弯曲，可知物体以后只可能沿Bc运动。正确选项为A、B、D。
【例6】电动自行车绕图1－11所示的400m标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36km/h处不动。则下列说法中正确的是（ ）
A．电动车的速度一直保持不变
B．电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度
C．电动车绕跑道一周需40s，此40s内电动车的平均速度等于0
D．电动车在弯道上运动时，合外力方向不可能沿切线方向
【解析】速度是矢量，不仅有大小，还有方向。电动车运动过程中车速表指针一直指在36km/h处不动，只能说明其速度大小保持不变，而运动过程中速度的方向在发生变化。而经过弯道时，速度方向始终沿弯道的切线方向，在不断发生变化，也就具有加速度，方向指向弯道的内侧。此加速度由电动车所受合外力提供，由牛顿第二定律可以推断，此合外力方向也必指向弯道内侧，而不可能沿切线方向。电动车绕跑道一周过程中位移为零，由平均速度概念可知，此过程中平均速度为零。正确选项为B、C、D。
vB
A
B
C
vC
vA
图1－1
INCLUDEPICTURE "E:\\My Documents\\讲透教材－曲线运动（资料和正文）\\教材\\第六章\\032.jpg" \* MERGEFORMATINET
图1－2
图1－3
图1－4
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vA
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地球
人造地球卫星
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图1－5
图1－7
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F2
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图1－6
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F
a1
F1
F2
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图1－8
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O
x
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P4
P1
P2
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图1－9
b
B
A
a
c
图1－10
图1－11
B
C
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