2018_2019学年高中数学第一章三角函数学案（打包13套）北师大版必修4

§1　周期现象 2　角的概念的推广
学习目标　1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示.
知识点一　周期现象
思考　“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？
答案　周而复始，重复出现.
梳理　(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.
知识点二　角的相关概念
思考1　将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案　有顺时针和逆时针两种旋转方向.
思考2　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
答案　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.
梳理　(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点三　象限角
思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案　 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
梳理　在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角.
知识点四　终边相同的角
思考1　假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案　它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角和1个周角.
思考2　如何表示与60°终边相同的角？
答案　60°＋k·360°(k∈Z).
梳理　终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
1.终边与始边重合的角是零角.(　×　)
提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
2.小于90°的角是锐角.(　×　)
提示　锐角是指大于0°且小于90°的角.
3.钝角是第二象限角.(　√　)
4.第二象限角是钝角.(　×　)
提示　第二象限角不一定是钝角.
类型一　周期现象的应用
例1　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
解　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈.
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).
反思与感悟　(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.
(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.
跟踪训练1　利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
解　设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝·160＝32x，为使水车盛800升的水，
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少需要25分钟.
类型二　象限角的判定
例2　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
解　(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
反思与感悟　判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练2　(1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角.
①549°；②－60°；③－503°36′.
(2)若α是第二象限角，试确定2α，是第几象限角.
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
解　(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同.
②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同.
③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.
(2)由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，①
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z).
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.
由①得45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
得45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
故是第一象限角.
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
即225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
故为第三象限角.
综上可知，为第一或第三象限角.
类型三　终边相同的角
例3　在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z).
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练3　写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　由终边相同的角的表示知，
与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
例4　写出终边在直线y＝－x上的角的集合.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
跟踪训练4　写出终边在直线y＝x上的角的集合.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
1.下列是周期现象的为(　　)
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量.
A.①②④ B.③④
C.①② D.①②③
考点　周期现象
题点　周期现象的判定
答案　C
解析　①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.
2.与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
答案　C
解析　－457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3.2 018°是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
答案　C
解析　2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角.
4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是 s.
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
答案　1.4
解析　如图，质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为M→O→B→O→M所用时间，为0.3×2＋0.8＝1.4(s).
5.已知，如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
考点　终边相同的角
题点　区域角的表示
解　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
1.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现.
2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义.
3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.
一、选择题
1.(2017·甘肃兰州一中期末)下列命题正确的是(　　)
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
考点　终边相同的角
题点　任意角的综合应用
答案　D
解析　终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.
2.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)
A.A＝B B.B＝C C.A＝C D.A＝D
考点　任意角的概念
题点　对任意角概念的理解
答案　D
3.探索如图所呈现的规律，判断2 017至2 018箭头的方向是(　　)
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
答案　B
4.若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
答案　C
解析　可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①，②，③，④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…这样交替进行下去，那么第2 017次互换座位后，小兔的位置对应的是(　　)
①猴
②兔
③猫
④鼠
开始
①猫
②鼠
③猴
④兔
第1次
①鼠
②猫
③兔
④猴
第2次
①兔
②猴
③鼠
④猫
第3次
A.编号① B.编号②
C.编号③ D.编号④
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
答案　D
6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A.α＋β＝k·360°，k∈Z
B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D.α－β＝k·360°，k∈Z
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
答案　B
解析　特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
二、填空题
7.如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔 s时y＝1会重复出现1次.
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
答案　2
8.已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是 .
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
答案　240°
解析　与α＝－3 000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3 000°＋k·360°>0°，解得k>，
故当k＝9时，θ＝240°满足条件.
9.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是 ；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .
考点　终边相同的角
题点　任意角的综合应用
答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°}　{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析　终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}.
终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°.
故终边落在OB的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}.
终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
10.若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则是第 象限角.
考点　象限角、轴线角
题点　象限角
答案　一或三
解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴为第三象限角.
综上，是第一或第三象限角.
三、解答题
11.已知角β的终边在直线x－y＝0上.
(1)写出角β的集合S；
(2)写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　(1)如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.
解得－所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
12.游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多少时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转60分钟时，你距离地面是多少？
考点　周期现象
题点　周期现象的应用
解　(1)是周期现象，周期12分钟.
(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟).
(3)第一次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟).
(4)因为60÷12＝5，所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米).
13.已知－180°<α<180°，且角α的终边与其7倍角的终边重合，求角α.
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
解　∵角α的终边与它的7倍角的终边重合.
∴7α＝k·360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k·60°(k∈Z).
又∵－180°<α<180°，
∴－3∴当k分别取－2，－1，0，1，2时，对应的α为－120°，－60°，0°，60°，120°.
四、探究与拓展
14.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(　　)
A.A∩B＝? B.A(B
C.B(A D.A＝B
考点　终边相同的角
题点　终边相同的角
答案　D
解析　对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋(2k＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故选D.
15.(2017·山西平遥一中月考)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值.
考点　终边相同的角
题点　任意角的综合应用
解　根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z，
则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角.
因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
因为2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，
所以45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
即又α<β，所以m即α＝，β＝.
§3　弧度制
学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.
知识点一　角度制与弧度制
思考1　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
答案　周角的等于1度.
思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
答案　在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，用符号rad表示.
思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案　在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.
梳理　(1)角度制和弧度制
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制
(2)角的弧度数的计算
设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝.
知识点二　角度制与弧度制的换算
思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答案　 利用1°＝ rad和1 rad＝进行弧度与角度的换算.
梳理　(1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝≈57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
答案　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则S＝lr，l＝αr.
梳理
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
1.1 rad的角和1°的角大小相等.(　×　)
提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad.
2.用弧度来表示的角都是正角.(　×　)
提示　弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.
3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(　√　)
提示　“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.
类型一　角度与弧度的互化
例1　将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
解　(1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.
跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
类型二　用弧度制表示终边相同的角
例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角.
(1)－1 500°；(2)；(3)－4.
考点　弧度制的应用
题点　弧度制的应用
解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角.
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角.
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×°＝72°，
∴终边与角的终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
类型三　扇形的弧长及面积公式的应用
例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为(　　)
A.π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)
A.2 B. C.2sin 1 D.
考点　扇形的弧长及面积
题点　扇形的弧长及面积公式的应用
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)扇形的中心角为120°＝，半径为，
所以S扇形＝|α|r2＝××()2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.
这个圆心角所对的弧长为2×＝.
反思与感悟　联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.
跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
考点　扇形的弧长及面积
题点　扇形的弧长及面积公式的应用
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
1.下列说法中，错误的是(　　)
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
考点　弧度制
题点　对弧度制概念的理解
答案　D
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.
2.时针经过一小时，转过了(　　)
A. rad B.－ rad
C. rad D.－ rad
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
答案　B
解析　时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－ rad，故选B.
3.若θ＝－5，则角θ的终边在(　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
答案　D
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是(　　)
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4
考点　扇形的弧长及面积
题点　扇形的弧长及面积公式的应用
答案　C
解析　设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得∴或
5.已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积.
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
解　(1)l＝α·R＝×6＝4π，所以弧AB的长为4π.
(2)S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×6sin 30°＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
一、选择题
1.下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
答案　C
解析　A，B中弧度与角度混用，不正确.
＝2π＋，所以与的终边相同.
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同.故选C.
2.下列转化结果错误的是(　　)
A.60°化成弧度是
B.－π化成度是－600°
C.－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
考点　弧度制
题点　角度与弧度的互化
答案　C
解析　C项中－150°＝－150×＝－π.
3.设角α＝－2弧度，则α所在的象限为(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考点　弧度制的应用
题点　角所在象限的判断
答案　C
解析　∵－π<－2<－，
∴2π－π<2π－2<2π－，
即π<2π－2<π，
∴2π－2为第三象限角，
∴α为第三象限角.
4.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A.－π B.－2π C.π D.－π
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
答案　A
解析　∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋，
∴θ＝－π.
5.若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为(　　)
A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9
考点　扇形的弧长与面积
题点　扇形的弧长与面积公式的应用
答案　B
解析　设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋＝r＋2r＝3r.
∴S内切圆＝πr2，
S扇形＝αR2＝××9r2＝πr2.
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3.
6.已知一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正方形的边长，则这段圆弧对应的圆心角的弧度数为(　　)
A. B.
C. D.
考点　弧度制
题点　弧度制的综合应用
答案　C
解析　设圆内接正方形的边长为a，则该圆的半径为a，所以圆心角α＝＝，故选C.
二、填空题
7.(2017·陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 .
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长公式
答案　2
解析　设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，
则r＝××a＝a，又弧长为a，
所以圆心角为α＝＝＝＝2.
8.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝ .
考点　弧度制的应用
题点　弧度制与集合的综合
答案　[－4，－π]∪[0，π]
解析　如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].
9.若2π<α<4π，且α与－π角的终边垂直，则α＝ .
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
答案　π或π
解析　α＝－π－＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π；
或者α＝－π＋＋2kπ＝2kπ－π，k∈Z，
∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝π.
综上，α＝π或π.
10.如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为 .
考点　扇形的弧长与面积
题点　扇形的弧长与面积公式的应用
答案　
解析　如图，作BF⊥AC.
已知AC＝2，∠ABC＝，则AF＝，∠ABF＝.
∴AB＝＝2，即扇形的半径R＝2.
∴弧长l＝|α|R＝，∴S＝lR＝.
三、解答题
11.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
考点　扇形的弧长与面积
题点　扇形的弧长与面积公式的应用
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓.
∵α＝60°＝，R＝10 cm，∴l＝αR＝ (cm).
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin ×10×cos ＝50 (cm2).
(2)∵l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－2＋.
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15(cm)，
扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2(rad).
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
12.已知角α＝1 200°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
考点　弧度制的应用
题点　用弧度制表示终边相同的角
解　(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
又<<π，
∴角α与的终边相同，且角α是第二象限的角.
(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，
∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
13.如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积.
考点　扇形的弧长与面积公式
题点　扇形的弧长与面积公式的综合应用
解　AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2).
四、探究与拓展
14.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2
考点　扇形的弧长与面积
题点　扇形的弧长与面积公式的应用
答案　B
解析　根据题设，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，
故弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2).
15.已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，－180°]内找出与它们终边相同的所有角.
考点　弧度制综合
题点　弧度制综合
解　(1)α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
故α1＝－，α2＝，
α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限.
(2)β1＝＝×180°＝108°，β2＝－＝－×180°＝－60°.
设θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)，θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)，
则由－720°≤θ1≤－180°(k∈Z)，－720°≤θ2≤－180°(k∈Z)，
即－720°≤108°＋k1·360°≤－180°(k1∈Z)，－720°≤－60°＋k2·360°≤－180°(k2∈Z)，
得k1＝－2，－1，k2＝－1.
故在[－720°，－180°]内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°.
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2　单位圆与周期性
学习目标　1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.
知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1　角α的正弦、余弦分别等于什么？
答案　sin α＝，cos α＝.
思考2　对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案　不会.
思考3　若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
答案　sin α＝y，cos α＝x.
梳理　(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos α.
(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.
知识点二　正弦、余弦函数的定义域
思考　对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？
答案　由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义.
梳理　正弦函数、余弦函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
知识点三　正弦、余弦函数值在各象限的符号
思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？
答案　由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin α＝v，cos α＝u.当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号.
梳理　正弦、余弦函数在各象限的符号
象限
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
知识点四　周期函数
思考　由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
答案　2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.
梳理　一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.
特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期，简称为周期.
1.函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数.(　×　)
提示　周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数.
2.任何周期函数都有最小正周期.(　×　)
提示　对于常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
类型一　正弦函数、余弦函数定义的应用
例1　已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值.
考点　正弦、余弦函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点坐标求三角函数值
解　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，
此时sin θ＝＝.
当x＝－1时，P(－1，3)，
此时sin θ＝＝.
综上，sin θ的值为.
反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点坐标求三角函数值
解　r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边所在直线求三角函数值
解　由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝.
跟踪训练2　已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边所在直线求三角函数值
解　因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝－＝－.
类型二　正弦、余弦函数值符号的判断
例3　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
考点　正弦、余弦函数值符号的判断
题点　正弦、余弦函数值符号的应用
答案　D
解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
(2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.
考点　正弦、余弦函数值符号的判断
题点　正弦、余弦函数值符号的判断
解　①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，
∴sin 3·cos 4<0.
反思与感悟　准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决正弦、余弦函数值符号判断问题的关键.
跟踪训练3　若三角形的两内角A，B满足sin Acos B＜0，则此三角形必为(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
考点　正弦、余弦函数值符号的判断
题点　正弦、余弦函数值符号的应用
答案　B
解析　由题意知，A，B∈(0，π)，
∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角.
故选B.
类型三　周期性
例4　(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；
(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数.
考点　函数的周期性
题点　证明函数是周期函数
证明　(1)∵f(x＋4)＝f?[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)∵f(x＋4)＝f?[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.
反思与感悟　(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对定义域内任意实数x，都有f(x＋T)＝f(x).
(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝，那么f(x)的周期也为2a(a≠0).
跟踪训练4　若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值.
考点　函数的周期性
题点　周期函数的应用
解　由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)，①
得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a).②
①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，
即f(x－a)＝－f(x＋2a)，
∴f(x)＝－f(x＋3a)，
即f(x＋3a)＝－f(x)，
∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).
∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，
∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.
1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
考点　正弦、余弦函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点坐标求三角函数值
答案　D
解析　由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－.故选D.
2.当α为第二象限角时，－的值是(　　)
A.1 B.0 C.2 D.－2
考点　正弦、余弦函数值符号的判断
题点　正弦、余弦函数值符号的应用
答案　C
解析　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，则f?的值为(　　)
A.2 B.0
C.－1 D.－3
考点　函数的周期性
题点　周期函数的应用
答案　B
解析　∵f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z且k≠0，也是f(x)的周期.
∴f(x－k)＝f(x)，故f?＝f?，
从而f?＝f?.
又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，
∴f?＝f?＝2×＋1＝0.
4.点P(sin 2 016°，cos 2 016°)位于第 象限.
考点　正弦、余弦函数值符号的判断
题点　正弦、余弦函数值符号的应用
答案　三
解析　∵2 016°＝5×360°＋216°，∴2 016°是第三象限角，
∴sin 2 016°<0，cos 2 016°＜0，∴点P位于第三象限.
5.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边所在直线求三角函数值
解　在直线y＝2x上任取一点P(x，2x)(x≠0)，
则r＝＝|x|.
①若x>0，则r＝x，
从而sin α＝＝，cos α＝＝，
∴cos α＋sin α＝.
②若x<0，则r＝－x，
从而sin α＝＝－，cos α＝＝－，
∴cos α＋sin α＝－.
1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.
2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.
3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.
一、选择题
1.已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B.±
C.－ D.－
考点　正弦、余弦函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点坐标求三角函数值
答案　D
解析　∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
2.若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f?＝1，则f?的值是(　　)
A.1 B.－1
C.±1 D.无法确定
考点　周期函数的应用
题点　应用函数的周期性求值
答案　A
解析　f?＝f?＝f?＝1，
故选A.
3.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点坐标求角α
答案　D
解析　∵sin ＝，cos ＝－，
∴角α的终边在第四象限，
且tan α＝＝－，
∴角α的最小正值为2π－＝.
4.已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t等于(　　)
A.－ B. C. D.－
考点　三角函数定义的应用
题点　已知三角函数值求终边上一点坐标
答案　A
解析　sin(2kπ＋α)＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t＜0.又sin α＝，则＝－，所以t＝－.
5.某点从点(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α求三角函数值
答案　A
解析　由三角函数定义可得Q，
∵cos ＝－，sin ＝，∴Q.
6.如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
考点　三角函数值符号的判断
题点　利用三角函数值符号判断角所在象限
答案　C
解析　由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角.
7.已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－，则实数a的值是(　　)
A.－2 B.
C.－2或 D.－1
考点　三角函数定义的应用
题点　利用定义求参数值
答案　A
解析　r＝＝，cos α＝＝－，
∴9(a2＋1)＝5(2a＋1)2且2a＋1＜0，解得a＝－2.
二、填空题
8.sin 405°－sin 450°－cos 765°＝ .
考点　周期函数的应用
题点　应用函数的周期性求值
答案　－1
解析　sin 405°－sin 450°－cos 765°＝sin(360°＋45°)－sin(360°＋90°)－cos(720°＋45°)
＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝－1－＝－1.
9.使得lg sin α有意义的角α是第 象限角.
考点　三角函数值符号的判断
题点　利用三角函数值符号判断角所在象限
答案　一或二
解析　要使原式有意义，必须sin α>0，
所以α是第一或第二象限角.
10.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝ .
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边所在直线求参数值
答案　2
解析　∵y＝3x且sin α<0，
∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2.
11.设角θ的终边经过点P(－3，4)，则sin θ＋2cos θ＝ .
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　－
解析　根据三角函数的定义，sin θ＝，cos θ＝(其中r＝)，
由角θ的终边经过点P(－3，4)，可得r＝＝5，sin θ＝，cos θ＝－，
所以sin θ＋2cos θ＝－2×＝－.
三、解答题
12.已知角α的终边落在直线y＝3x上，求sin α，cos α的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边所在直线求三角函数值
解　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，3)，由r＝|OP|＝＝，
得sin α＝＝，cos α＝＝；
当角α的终边在第三象限时，
在角α的终边上取点P′(－1，－3)，
由r＝|OP′|＝，
得sin α＝＝－，cos α＝－.
13.已知角α的终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α＋的值.
考点　三角函数定义的应用
题点　已知角α终边上一点求三角函数值
解　∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到坐标原点的距离r＝.
又cos α＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，点P的坐标为(，－)，
由三角函数的定义，得sin α＝＝－，＝＝－，
∴sin α＋＝－－＝－；
当x＝－时，同理，可求得sin α＋＝.
综上，sin α＋的值为－或.
四、探究与拓展
14.函数y＝＋－的值域是 .
考点　三角函数值符号的判断
题点　三角函数值符号的判断
答案　{－4，0，2}
解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin xcos x>0，y＝－4；
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}.
15.已知＝－，且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M?，求m的值及sin α的值.
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　(1)∵＝－，
∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，
∴cos α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限.
(2)∵点M?在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
4.3　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标　1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.
知识点　正弦、余弦函数的性质
思考1　正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？
答案　设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
思考2　能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？
答案　不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间(k∈Z)上是增加的.
梳理　正弦、余弦函数的性质
正弦函数(y＝sin x)
余弦函数(y＝cos x)
定义域
R
值域
[－1，1]
最小值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
最大值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
周期性
周期函数，最小正周期为2π
单调性
在区间，k∈Z上是增加的；
在区间，k∈Z上是减少的
在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上是减少的；
在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上是增加的
1.正弦函数在定义域上是单调函数.(　×　)
提示　正弦函数不是定义域上的单调函数.
2.正弦函数在第一象限是增函数.(　×　)
提示　正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－<，但sin＝sin ＝，sin ＝，sin>sin .
3.存在实数x，使得cos x＝.(　×　)
提示　余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.(　√　)
提示　由余弦函数的单调性可知正确.
类型一　正弦、余弦函数的定义域
例1　求下列函数的定义域.
(1)y＝；
(2)y＝lg＋.
考点　正弦函数、余弦函数的定义域
题点　正弦函数、余弦函数的定义域
解　(1)自变量x应满足2sin x－≥0，
即sin x≥.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
跟踪训练1　函数y＝的定义域为 .
考点　正弦函数、余弦函数的定义域
题点　正弦函数、余弦函数的定义域
答案　，k∈Z
解析　要使有意义，
则必须满足2sin x＋1≥0，
即sin x≥－，
结合单位圆，知x的取值范围是，k∈Z.
类型二　正弦、余弦函数的值域与最值
例2　(1)求函数y＝cos x的值域.
考点　正、余弦函数的值域
题点　正、余弦函数的值域
解　∵y＝cos x在区间上是增加的，
在区间上是减少的，
∴当x＝0时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝cos ＝－，
∴y＝cos x的值域是.
(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值.
考点　正、余弦函数的最值
题点　含参正、余弦函数的最值
解　当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2，
∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
∴它的最小值为－1.
反思与感悟　(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.
(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.
跟踪训练2　函数y＝2＋cos x，x∈的值域为 .
考点　正、余弦函数的值域
题点　正、余弦函数的值域
答案　
解析　由单位圆，可知当x∈时，cos x∈，所以2＋cos x∈，所以函数y＝2＋cos x，x∈的值域为.
类型三　正弦、余弦函数的单调性
例3　函数y＝cos x的一个递增区间为(　　)
A. B.(0，π) C. D.(π，2π)
考点　正、余弦函数的单调性
题点　求正、余弦函数的单调区间
答案　D
解析　∵y＝cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
令k＝1得[π，2π]，即为y＝cos x的一个递增区间，而(π，2π)?[π，2π]，故选D.
反思与感悟　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.
跟踪训练3　求下列函数的单调区间.
(1)y＝sin x，x∈[－π，π]；(2)y＝cos x，x∈[－π，π].
考点　正、余弦函数的单调性
题点　求正、余弦函数的单调区间
解　(1)y＝sin x在x∈[－π，π]上的递增区间为，递减区间为，.
(2)y＝cos x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π].
1.函数y＝cos x－1的最小值是(　　)
A.0 B.1 C.－2 D.－1
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　余弦函数的最大值与最小值
答案　C
解析　cos x∈[－1，1]，所以y＝cos x－1的最小值为－2.
2.不等式sin x－1≥0的解集为 .
考点　解三角不等式
题点　解三角不等式
答案　
解析　由sin x－1≥0得，sin x≥.
由单位圆可得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
3.函数f(x)＝－2sin x＋1的最大值为 .
答案　3
解析　因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)取最大值2＋1＝3.
4.求y＝－2sin x，x∈的值域.
考点　正、余弦函数的值域
题点　正、余弦函数的值域
解　由x∈，得sin x∈，
∴y∈[－2，1]，
∴y＝－2sin x，x∈的值域为[－2，1].
利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.
一、选择题
1.函数y＝＋的定义域是(　　)
A.[kπ，(k＋1(π](k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
考点　正弦函数、余弦函数的定义域
题点　正弦函数、余弦函数的定义域
答案　B
解析　由已知，得∴
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z).
2.函数y＝sin 2x的递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)
D.(k∈Z)
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案　B
解析　由2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin 2x的递减区间是(k∈Z).
3.函数y＝lg的定义域为(　　)
A. B.，k∈Z
C.，k∈Z D.R
考点　正弦函数、余弦函数的定义域
题点　正弦函数、余弦函数的定义域
答案　C　
解析　∵cos x－>0，∴cos x>，
∴2kπ－∴函数y＝lg的定义域为，k∈Z.
4.函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
考点　正、余弦函数的单调性
题点　求正、余弦函数的单调区间
答案　B
解析　y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的递增区间.
5.y＝3cos x，x∈的最大值与最小值分别为(　　)
A.3，－3 B.3，－
C.3， D.3，－
考点　正、余弦函数的最值
题点　求正、余弦函数的最值
答案　A
6.在[0，2π]内，使sin x≥成立的x的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
考点　解三角不等式
题点　解三角不等式
答案　B
7.已知f(x)＝cos，x∈Z，则f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D.
考点　余弦函数的值域
题点　余弦函数的值域
答案　A
二、填空题
8.y＝cos x，x∈的递增区间为 .
考点　正、余弦函数的单调性
题点　求正、余弦函数的单调区间
答案　，
9.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是 .
考点　解三角不等式
题点　解三角不等式
答案　
解析　由图可解.
10.y＝3sin x，x∈的值域为 .
考点　正、余弦函数的值域
题点　正、余弦函数的值域
答案　
解析　借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3.
11.下列说法正确的是 .(只填序号)
①y＝|sin x|的定义域为R；
②y＝3sin x＋1的最小值为1；
③y＝－sin x为周期函数；
④y＝sin x－1的递增区间为(k∈R).
考点　正、余弦函数的基本性质
题点　正、余弦函数的基本性质综合
答案　①③
解析　对于②，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y＝sin x－1的递增区间为，k∈Z，故②④错，填①③.
三、解答题
12.已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值.
考点　正、余弦函数的最值
题点　含参正、余弦函数的最值
解　当a>0时，解得
当a<0时，解得
∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2.
13.已知函数f(x)＝.
(1)判定函数f(x)是否为周期函数；
(2)求函数f(x)的递增区间；
(3)当x∈时，求f(x)的值域.
考点　正、余弦函数的基本性质
题点　正、余弦函数的基本性质综合
解　(1)函数f(x)的定义域是R.
因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数.
(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间(k∈Z)上，函数y＝sin x是增加的，而此时函数h(x)＝2－sin x是减函数，从而可知此时函数f(x)是增函数，
故可知函数f(x)的递增区间为(k∈Z).
(3)设t＝sin x，
则t∈，
所以1≤2－t<，则<≤1.
故f(x)的值域为.
四、探究与拓展
14.函数y＝－cos x，x∈(0，2π)，其单调性是(　　)
A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的
B.在，上是增加的，在上是减少的
C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的
D.在上是增加的，在，上是减少的
考点　正、余弦函数的单调性
题点　正、余弦函数的单调性
答案　A
15.已知f(x)＝－sin x.
(1)试写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在上是减少的，求实数a的取值范围.
考点　正弦函数的单调性
题点　正弦函数的单调性综合
解　(1)∵f(x)＝－sin x，
根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，
f(x)在(k∈Z)上是减少的，
在(k∈Z)上是增加的.
(2)∵f(x)在上是减少的，
∴?，
即－∴a的取值范围是.
4.4　单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
知识点　2kπ±α，－α，π±α的诱导公式
思考1　设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？
答案　它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对称关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
思考2　2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.
答案　它们交点间对称关系如表：
相关角
终边与单位圆的交点间对称关系
2kπ＋α与α
重合
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.
梳理　对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，　 cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8)
sin(－α)＝－sin α，　 cos(－α)＝cos α (1.9)
sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)
sin(π－α)＝sin α，　 cos(π－α)＝－cos α (1.11)
sin(π＋α)＝－sin α，　 cos(π＋α)＝－cos α (1.12)
公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.
1.sin(α－π)＝sin α.(　×　)
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
2.cos π＝－.(　√　)
提示　cos ＝cos＝－cos ＝－.
3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.(　×　)
提示　在角度制和弧度制下，公式都成立.
类型一　给角求值问题
例1　求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°).
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝.
(3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式1.9来转化.
(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1　求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；　(2)cos.
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一　cos＝cos ＝cos＝cos＝－cos ＝－.
方法二　cos＝cos＝cos＝－cos ＝－.
类型二　给值(式)求值问题
例2　(1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ .
(2)已知cos＝，则cos＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　(1)－0.3　(2)－
解析　(1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
反思与感悟　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.
跟踪训练2　(2017·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为(　　)
A.1 B.－1 C. D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　D
解析　由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.
类型三　利用诱导公式化简
例3　化简：.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　原式＝＝＝1.
引申探究
若本例改为：(n∈Z)，请化简.
解　当n＝2k时，
原式＝＝1；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝1.综上，原式＝1.
反思与感悟　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.
跟踪训练3　化简：.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　原式＝＝＝1.
1.sin 585°的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　A
解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
2.cos＋sin的值为(　　)
A.－ B.
C. D.
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　C
解析　原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝.
3.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是(　　)
A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β
C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
答案　B
4.sin 750°＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　
解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.
5.化简：.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　原式＝
＝＝＝1.
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式1.8
将角转化为0～2π之间的角求值
公式1.12
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式1.9
将负角转化为正角求值
公式1.11
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
一、选择题
1.cos 600°的值为(　　)
A. B. C.－ D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　D
解析　cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
2.sin(－390°)的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　D
解析　sin(－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
3.下列三角函数中，与sin 数值相同的是(　　)
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z).
A.①② B.①③④
C.②③⑤ D.①③⑤
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
答案　C
4.sin(π－2)－cos(4π－2)化简的结果为(　　)
A.sin 2－cos 2
B.－1
C.2sin 2
D.－2sin 2
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
答案　A
解析　原式＝sin 2－cos 2，所以选A.
5.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2 009)＝5，则f(2 015)等于(　　)
A.4 B.3 C.－5 D.5
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　D
解析　∵f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
∴f(2 015)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5.
6.已知sin＝，则sin的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　C
解析　sin＝sin＝sin＝.
二、填空题
7.＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案 　－2
解析　原式＝＝
＝＝＝＝－2.
8.已知f(x)＝则f?＋f?＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给角求值问题
答案　－2
解析　f?＝sin＝sin ＝，
f?＝f?－1＝f?－2＝sin－2＝－，
∴f?＋f?＝－＝－2.
9.已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　
解析　∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
又∵π<α<2π，∴<α<2π，
∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)
＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－＝.
10.已知sin(π＋α)＝，则cos(α－2π)的值是 .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　±
解析　由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，所以cos α＝±，
所以cos(α－2π)＝cos α＝±.
11.①sincos π＝ ；
②sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝ .
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
答案　①　②1
解析　(1)sincos π＝－sincos＝sin cos ＝.
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
三、解答题
12.已知cos＝m(|m|≤1)，求cos的值.
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
解　cos＝cos＝－cos＝－m.
13.已知角α终边上一点P(－4，3)，
求的值.
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
解　点P到原点O的距离|OP|＝＝5.
根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－，
＝＝＝＝×＝－.
四、探究与拓展
14.在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是(　　)
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
答案　B
解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C＝sin[2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C＝cos[2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.
15.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值.
考点　诱导公式与函数的综合
题点　诱导公式与函数的综合
解　(1)f(α)＝＝cos α.
(2)∵－＝－6×2π＋，
∴f?＝cos＝cos ＝cos ＝.
4.4　单位圆的对称性与诱导公式(二)
学习目标　1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
知识点一　±α的诱导公式
思考1　角α与＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？
答案　sin＝cos α，cos＝－sin α.
思考2　能否利用公式sin＝cos α，cos＝－sin α得出－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？
答案　以－α代换公式中的α得到
sin＝cos(－α)＝cos α，
cos＝－sin(－α)＝sin α.
梳理　对任意角α，有下列关系式成立：
sin＝cos α，　 cos＝－sin α (1.13)
sin＝cos α，　 cos＝sin α (1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
知识点二　诱导公式的记忆方法
α
sin α
cos α
公式
α＋2kπ(k∈Z)
sin α
cos α
公式
π＋α
－sin α
－cos α
公式
－α
－sin α
cos α
公式
π－α
sin α
－cos α
公式
－α
cos α
sin α
公式
＋α
cos α
－sin α
1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
2.±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.
诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
1.sin＝±cos α.(　×　)
提示　当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α.
2.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.(　×　)
提示　应看原三角函数值的符号.
类型一　利用诱导公式求值
例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求sin的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值.
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，
则sin＝cos α＝.
(2)cos·sin＝cos·sin＝－cos·sin
＝－sin＝－cos＝－.
反思与感悟　这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
跟踪训练1　已知cos＝，≤α≤，求sin的值.
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
解　∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
类型二　利用诱导公式化简
例2　化简：，其中k∈Z.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝＝＝＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z).
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.
反思与感悟　用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
跟踪训练2　化简：.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　原式＝＝
＝＝＝1.
类型三　诱导公式的综合应用
例3　已知f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)求f?.
考点　诱导公式的综合应用
题点　诱导公式的综合应用
解　(1)f(x)＝
＝＝.
(2)f?＝＝＝＝－.
反思与感悟　解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练3　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值.
考点　诱导公式的综合应用
题点　诱导公式的综合应用
解　(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－π)＝，所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
1.已知sin α＝，则cos等于(　　)
A. B. C.－ D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　C
解析　cos＝－sin α＝－.
2.若cos(2π－α)＝，则sin等于(　　)
A.－ B.－ C. D.±
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　A
解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，
∴sin＝－cos α＝－.
3.若cos＝，则cos＋sin(φ－π)的值为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　D
解析　cos＝－sin φ＝，sin φ＝－，
cos＋sin＝－sin φ－sin φ＝，故选D.
4.已知sin＝，则cos＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　
解析　cos＝cos＝sin＝.
5.已知sin(π＋α)＝－.计算cos.
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－sin α＝－.
1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
一、选择题
1.已知sin＝，那么cos α等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　C
解析　sin(＋α)＝cos α，故cos α＝，故选C.
2.已知cos＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于(　　)
A. B.－ C.± D.
答案　B
解析　∵cos＝sin α＝－，且α是第四象限角，
∴cos α＝，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－.
3.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A.cos(A＋B)＝cos C
B.sin(A＋B)＝－sin C
C.cos ＝sin B
D.sin ＝cos
考点　诱导公式在三角形中的应用
题点　诱导公式在三角形中的应用
答案　D
解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A，B项不正确；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos ＝cos＝sin，故C项不正确；
∵B＋C＝π－A，
∴sin ＝sin＝cos，故D项正确.
4.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A.－ B. C.－ D.
考点　利用诱导公式求值
题点　综合利用诱导公式求值
答案　C
解析　∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.
故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
5.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A. B. C.－ D.－
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　D
解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－.
6.已知cos＝，且sin θ－cos θ>1，则sin·sin(π－θ)等于(　　)
A.－ B.－ C.－ D.
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　A
解析　由sin θ－cos θ>1，可知cos θ<0.
由cos＝，得sin θ＝，∴cos θ＝－，
∴sinsin(π－θ)＝cos θsin θ＝－，故选A.
二、填空题
7.若cos α＝，则sin＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　－
解析　因为cos α＝，
所以sin＝sin＝－sin＝－cos α＝－.
8.化简＝ .
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式化简
答案　－1
解析　原式＝＝＝－1.
9.已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)＝ .
考点　诱导公式的综合应用
题点　诱导公式的综合应用
答案　－
解析　f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
10.若sin＝，则cos＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　－
解析　cos＝cos＝－sin＝－.
11.已知角α的终边经过点P(－4，3)，则＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　利用诱导公式求值
答案　－
解析　∵角α的终边经过点P(－4，3)，
∴sin α＝，cos α＝－，
∴＝＝＝－.
12.化简sin·cos，n∈Z的结果为 .
考点　诱导公式的综合应用
题点　综合运用诱导公式化简
答案　
解析　当n为偶数时，n＝2k，k∈Z.
原式＝sin·cos＝sin·cos
＝·cos＝sin ·cos ＝sin ·cos ＝×＝.
当n为奇数时，n＝2k＋1，k∈Z.
原式＝sin·cos
＝sin·cos＝sin ·cos
＝sin ·cos ＝×＝.
∴sin·cos＝，n∈Z.
三、解答题
13.化简＋.
考点　利用诱导公式化简
题点　利用诱导公式化简
解　原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
四、探究与拓展
14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝ .
考点　利用诱导公式求值
题点　给值(式)求值问题
答案　－
解析　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，
∴原式＝＝＝＝－.
15.已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值.
考点　诱导公式综合问题
题点　诱导公式与函数的综合
解　f(α)＝＝＝.
(1)∵cos＝，
∴cos＝，
∴cos＝，
∴sin α＝－，
∴f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝
＝＝＝－.
5.1　正弦函数的图像
学习目标　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.
知识点一　几何法作正弦函数的图像
思考　课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？
答案　利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份.过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，如图.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像的形状完全一致.于是只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像，如图.
梳理　正弦函数的图像叫作正弦曲线.
知识点二　“五点法”作正弦函数的图像
思考1　描点法作函数图像有哪几个步骤？
答案　列表、描点、连线.
思考2　“五点法”作正弦函数在x∈[0，2π]上的图像时是哪五个点？
答案　
画正弦函数图像的五点
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
梳理　“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图像的步骤：
(1)列表
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)；
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.
1.正弦函数y＝sin x的图像向左、右和上、下无限伸展.(　×　)
提示　正弦函数y＝sin x的图像向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
2.函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图像完全相同.(　×　)
提示　二者图像不同，而是关于x轴对称.
类型一　“五点法”作图的应用
例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　“五点法”作图的应用
解　取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示.
反思与感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图像在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.
跟踪训练1　作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　“五点法”作图的应用
解　列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图.
类型二　利用正弦函数图像求定义域
例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域.
考点　正弦函数的定义域
题点　正弦函数的定义域
解　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝sin x的图像，如图所示.
结合图像可得x∈[－4，－π)∪(0，π).
反思与感悟　一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
跟踪训练2　求函数y＝的定义域.
考点　正弦函数的定义域
题点　正弦函数的定义域
解　为使函数有意义，需满足即0由正弦函数的图像或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x|2kπ1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)
A.0，，π，，2π B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
考点　“五点法”作图的应用
题点　“五点法”作图的应用
答案　B
解析　“五点法”作图是当2x＝0，，π，，2π时的x的值，此时x＝0，，，，π，故选B.
2.下列图像中，y＝－sin x在[0，2π]上的图像是(　　)
考点　正弦函数的图像
题点　正弦函数的图像
答案　D
解析　由y＝sin x在[0，2π]上的图像作关于x轴的对称图形，应为D项.
3.不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为(　　)
A.[0，π] B.(0，π) C. D.
考点　正弦函数图像的简单应用
题点　利用图像解不等式
答案　B
解析　由y＝sin x在[0，2π]的图像可得(图略).
4.函数y＝的定义域为 .
考点　正弦函数的定义域
题点　正弦函数的定义域
答案　，k∈Z
解析　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥.由y＝sin x在[0，2π]的图像
可知，≤x≤，又由y＝sin x的周期性
可得，y＝的定义域为，k∈Z.
5.用“五点法”画出函数y＝2－sin x的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　“五点法”作图的应用
解　(1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
(2)描点、连线，如图所示.
1.对“五点法”画正弦函数图像的理解
(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图.
(2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图像的步骤：
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出.
一、选择题
1.用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，下列哪个点不是关键点(　　)
A. B.
C.(π，0) D.(2π，0)
考点　正弦函数的图像
题点　五点法作正弦函数的图像
答案　A
解析　易知不是关键点.
2.若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C.－ D.－
考点　正弦函数图像的应用
题点　正弦函数图像的应用
答案　C
解析　将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足.
3.函数y＝的图像是(　　)
答案　C
解析　由y＝＝|sin x|易知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图像，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝|sin x|的图像.
4.(2017·山东临沂一中月考)若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是(　　)
A.[1，4] B. C.[2，4] D.
考点　正弦函数的图像
题点　正弦函数图像的简单应用
答案　A
解析　由正弦函数的图像，可知－1≤sin θ≤1，
所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，
解得1≤x≤4，故选A.
5.与图中曲线对应的函数是(　　)
A.y＝|sin x| B.y＝sin|x|
C.y＝－sin|x| D.y＝－|sin x|
考点　正弦函数的图像
题点　含绝对值函数的图像
答案　C
6.已知函数y＝2sin x的图像与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)
A.4 B.8 C.4π D.2π
考点　正弦函数图像的应用
题点　正弦函数图像的应用
答案　C
解析　数形结合，如图所示：
y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
二、填空题
7.函数f(x)＝＋的定义域为 .
考点　正弦函数的定义域
题点　正弦函数的定义域
答案　(－4，－π]∪[0，π]
解析　??－4＜x≤－π或0≤x≤π.
8.利用五点法画函数y＝2－sin x，x∈[0，2π]的简图时，所取的五点的坐标分别为 .
考点　“五点法”作图
题点　“五点法”作图
答案　(0，2)，，(π，2)，，(2π，2)
9.函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是 .
考点　正弦函数图像的应用
题点　利用正函数图像解不等式
答案　
解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图像(图略)，由图可得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈N.
10.若－≤θ≤，则sin θ的取值范围为 .
考点　正弦函数的值域
题点　正弦函数的值域
答案　
解析　作出y＝sin θ的图像(图略)，由图知当－≤θ≤时，－1≤sin θ≤.
三、解答题
11.利用正弦曲线，求满足考点　正弦函数图像的应用
题点　利用正弦函数图像解不等式
解　首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图像，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和.
观察图像可知，在[0，2π]上，
当所以12.用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　“五点法”作图的应用
解　(1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
(2)描点、连线，如图所示.
13.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围.
考点　正弦函数图像的应用
题点　正弦函数图像的应用
解　f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图像如图所示，
若使f(x)的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图像可得k的取值范围是(1，3).
四、探究与拓展
14.方程sin x＝的根的个数是(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
考点　正弦函数图像的应用
题点　判断方程解的个数
答案　A
解析　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根.
15.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间.
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.
考点　正弦函数图像的综合应用
题点　正弦函数图像的综合应用
解　列表如下：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；
②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|15.2　正弦函数的性质
学习目标　1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小.
知识点　正弦函数的性质
思考1　对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？
答案　奇偶性.
思考2　正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
答案　对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
思考3　正弦函数的单调区间是什么？
答案　y＝sin x的递增区间为，k∈Z，递减区间为，k∈Z.
梳理　
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
图像
定义域
R
值域
[－1，1]
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在区间(k∈Z)上是增加的；
在区间(k∈Z)上是减少的
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
1.正弦函数在定义域上是单调函数.(　×　)
提示　正弦函数不是定义域上的单调函数.
2.已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
3.y＝sin |x|是偶函数.(　√　)
类型一　求正弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的递增区间.
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，
则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，
所以要求y＝－2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z).
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数y＝2sin的递增区间为(k∈Z).
反思与感悟　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
跟踪训练1　函数y＝sin，x∈的递减区间为 .
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
答案　，
解析　由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z).
又x∈，
所以函数y＝sin，x∈的递减区间为，.
类型二　正弦函数单调性的应用
例2　比较下列三角函数值的大小.
(1)sin与sin；
(2)sin 196°与cos 156°；
考点　正弦函数单调性的应用
题点　利用正弦函数单调性比较大小
解　(1)∵sin＝－sin ，
sin＝－sin＝－sin ，
由于<<<，
且y＝sin x在上是减少的，
∴sin >sin ，
∴－sin <－sin ，
即sin(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
反思与感悟　(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin后，再依据单调性来进行比较.
(3)当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较.
跟踪训练2　比较sin 194°与cos 110°的大小.
考点　正弦函数单调性的应用
题点　利用正弦函数单调性比较大小
解　∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 14°－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.
例3　已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增加的，求ω的取值范围.
考点　正弦函数单调性的应用
题点　已知三角函数的单调性求参数范围
解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋(k∈Z)，
∴f(x)的递增区间是，k∈Z.
根据题意，得?(k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
反思与感悟　已知三角函数单调性求参数范围问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.
跟踪训练3　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减少的，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.(0，2]
考点　正弦函数单调性的应用
题点　已知三角函数的单调性求参数范围
答案　A
解析　取ω＝，f(x)＝sin，
其递减区间为，k∈Z，
显然?，k∈Z，排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin，
其递减区间为，k∈Z，
显然?，k∈Z，排除D.
类型三　正弦函数的值域或最值
例4　(1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；
(2)求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值.
考点　正弦函数的值域或最值
题点　正弦函数的值域或最值
解　(1)当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3].
(2)令t＝sin x，则－1≤t≤1，y＝－t2＋t＋＝－2＋2.
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z).
∴当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z).
反思与感悟　求正弦函数的值域一般有以下两种方法
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值.
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
解　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1.
若a＞0，则解得
若a＜0，则解得
当a＝0时，不符合题意.
故a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，b＝19－12.
1.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)
A. B.[－π，0] C. D.
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
答案　D
2.下列不等式中成立的是(　　)
A.sin>sin
B.sin 3>sin 2
C.sin π>sin
D.sin 2>cos 1
考点　正弦函数单调性的应用
题点　利用正弦函数单调性比较大小
答案　D
解析　∵sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，
∴cos>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.
3.函数y＝sin，x∈的值域是(　　)
A. B. C. D.
考点　正弦函数的值域或最值
题点　正弦函数的值域或最值
答案　D
解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤，∴sin ≤sin≤sin ，即≤y≤1.故选D.
4.求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.
考点　正弦函数的值域或最值
题点　正弦函数的值域或最值
解　∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.
5.求函数y＝2sin，x∈(0，π)的递增区间.
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
解　∵函数y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间为y＝2sin的递减区间.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈(0，π)，
∴由k＝0，得≤x≤.
∴函数y＝2sin，x∈(0，π)的递增区间为.
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
一、选择题
1.y＝的最小值是(　　)
A.2 B.－2 C.1 D.－1
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
答案　B
解析　由y＝＝2－，
当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
2.函数f(x)＝是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
考点　正弦函数的奇偶性
题点　正弦函数的奇偶性
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.
3.下列关系式中正确的是(　　)
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°考点　正弦函数单调性的应用
题点　利用正弦函数单调性比较大小
答案　C
解析　∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，
又∵y＝sin x在(0°，90°)上是增加的，
∴sin 11°即sin 11°4.函数y＝|sin x|的一个递增区间是(　　)
A. B.(π，2π) C. D.(0，π)
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
答案　C
解析　作出函数y＝|sin x|的图像，如图，观察图像知C正确，故选C.
5.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上是增加的，在区间上是减少的，则ω的值可为(　　)
A. B. C.2 D.3
考点　正弦函数单调性的应用
题点　已知三角函数的单调性求参数值
答案　A
解析　由题意知，＝，即T＝，＝，∴ω＝.
6.设函数f(x)＝sin|x|，则f(x)(　　)
A.在区间上是减少的
B.是周期为2π的周期函数
C.在区间上是增加的
D.对称中心为(kπ，0)，k∈Z
考点　正弦函数的性质综合
题点　正弦函数的性质综合
答案　A
解析　由图可知，f(x)在上是减少的.
二、填空题
7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为 .
考点　正弦函数单调性的应用
题点　利用正弦函数单调性比较大小
答案　sin 3解析　∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上是增加的，
且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 38.函数y＝2sin的值域是 .
考点　正弦函数的值域或最值
题点　正弦函数的值域或最值
答案　[0，2]
解析　∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1，∴y∈[0，2].
9.函数y＝sin(x∈[0，π])的递增区间为 .
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
答案　
解析　y＝－sin，
∵x∈[0，π]，
∴－≤x－≤.
要求函数的递增区间，则≤x－≤，即≤x≤π.
∴y＝sin(x∈[0，π])的递增区间为.
10.若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝ .
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
答案　
解析　∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<，
∵f(x)max＝2sin ＝，
∴sin ＝，＝，即ω＝.
三、解答题
11.求下列函数的递增区间.
(1)y＝1－sin ；(2)y＝.
考点　求正弦函数的单调区间
题点　求正弦函数的单调区间
解　(1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]，k∈Z.
(2)要求函数y＝的递增区间，
即求使y＝sin>0且递减的区间.
∴2kπ＋≤－<2kπ＋π，k∈Z，
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝的递增区间为，k∈Z.
12.求下列函数的最大值和最小值.
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)f(x)＝－2sin2x＋2sin x＋3，x∈.
考点　正、余弦函数的值域或最值
题点　正、余弦函数的值域或最值
解　(1)当x∈时，2x－∈，
由函数图像知，f(x)＝sin∈＝.
所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)f(x)＝－2sin2x＋2sin x＋3＝－2(sin2x－sin x)＋3＝－22＋.
因为x∈，所以≤sin x≤1.
当sin x＝时，ymax＝，
当sin x＝1时，ymin＝3.
13.已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0).当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值.
考点　正弦函数的值域或最值
题点　正弦函数的值域或最值
解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)＝ax3＋bsin x－2，若f(－2 017)＝8，则f(2 017)＝ .
答案　－12
解析　由f(x)＝ax3＋bsin x－2，得f(x)＋2＝ax3＋bsin x是一个奇函数，则f(－x)＋2＋f(x)＋2＝0，即f(－x)＋f(x)＝－4，所以f(－2 017)＋f(2 017)＝－4.又f(－2 017)＝8，所以f(2 017)＝－12.
15.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
考点　正弦函数最值的应用
题点　正弦函数与一元二次函数综合
解　令t＝sin x，则t∈[－1，1]，
则函数可化为g(t)＝－t2＋t＋a＝－2＋a＋.
当t＝时，g(t)max＝a＋，
即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，g(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故对于一切x∈R，函数f(x)的值域为.
所以解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3，4].
§6　余弦函数的图像与性质
学习目标　1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.
知识点一　余弦函数的图像
思考1　根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？
答案　能，根据cos x＝sin，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像.
思考2　类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？
答案　能，五个关键点分别是(0，1)，，(π，－1)，，.
梳理　余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作余弦曲线.
知识点二　余弦函数的性质
思考1　余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？
答案　对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；
观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示.
思考2　余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案　观察图像可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
梳理　
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是增加的；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
1.余弦函数y＝cos x的图像与x轴有无数个交点.(　√　)
2.余弦函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状和位置都不一样.(　×　)
提示　函数y＝cos x的图像与y＝sin x的图像形状一样，只是位置不同.
3.存在实数x，使得cos x＝.(　×　)
提示　余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数.(　√　)
提示　由余弦函数的单调性可知正确.
类型一　用“五点法”作余弦函数的图像
例1　用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　用“五点法”作余弦函数的图像
解　列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.
反思与感悟　作形如y＝acos x＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.
跟踪训练1　用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.
考点　“五点法”作图的应用
题点　用“五点法”作余弦函数的图像
解　∵x∈[0，2π]，∴令x＝0，，π，，2π，列表得：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y
3
1
－1
1
3
描点，连线得：
类型二　余弦函数单调性的应用
例2　(1)函数y＝3－2cos x的递增区间为 .
考点　余弦函数的单调性
题点　求余弦函数的单调区间
答案　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
解析　y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，
由y＝3＋2cos x的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cos x的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).
(2)比较cos与cos的大小.
考点　余弦函数的单调性
题点　利用单调性比较大小
解　cos＝cos＝cos π，
cos＝cos＝cos π，
∵π<π<π<2π，
∴cos π即cos反思与感悟　单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练2　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是 .(用“>”连接)
考点　正弦函数、余弦函数的单调性
题点　正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案　cos 1>cos 2>cos 3
解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上是减少的，
所以cos 1>cos 2>cos 3.
类型三　余弦函数的定义域和值域
例3　(1)求f(x)＝的定义域.
考点　余弦函数的定义域
题点　余弦函数的定义域
解　要使函数有意义，则2cos x－1≥0，
∴cos x≥，
∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
∴定义域为
(2)求下列函数的值域.
①y＝－cos2x＋cos x；②y＝.
考点　余弦函数的值域
题点　余弦函数的值域
解　①y＝－2＋.
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
②y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
反思与感悟　求值域或最大值、最小值问题的依据
(1)sin x，cos x的有界性.
(2)sin x，cos x的单调性.
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定.
(4)通过换元转化为二次函数.
跟踪训练3　函数y＝－cos2x＋cos x＋1的值域是 .
考点　余弦函数的值域
题点　余弦函数的值域
答案　
解析　设cos x＝t，∵－≤x≤，则t∈，
∴y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，t∈，
∴当t＝，即x＝±时，ymax＝，
当t＝1，即x＝0时，ymin＝1，
∴函数的值域为.
1.(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
考点　正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点　正弦函数的最大值与最小值
答案　A
解析　∵＋＝，
∴f(x)＝sin＋cos＝sin＋cos
＝sin＋sin＝sin≤.
∴f(x)max＝.故选A.
2.下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是(　　)
A.y＝sin B.y＝cos
C.y＝sin D.y＝cos
考点　余弦函数的周期性与单调性的综合应用
题点　余弦函数的周期性与单调性的综合应用
答案　B
3.函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为 .
考点　余弦函数的定义域
题点　余弦函数的定义域
答案　∪∪
解析　由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图像，如图所示.
由图可得－5≤x<－或－∴定义域为∪∪.
4.比较大小：
(1)cos 15° cos 35°；
(2)cos cos.
考点　余弦函数单调性的应用
题点　利用单调性比较大小
答案　(1)>　(2)<
解析　(1)∵0°<15°<35°<90°，
且y＝cos x在[0°，90°]上是减少的，
∴cos 15°>cos 35°.
(2)∵－<－<－<0，
且y＝cos x在上是增加的，
∴cos5.函数y＝cos(－x)，x∈[0，2π]的递减区间是 .
考点　余弦函数单调性的应用
题点　求余弦函数的单调区间
答案　[0，π]
解析　y＝cos(－x)＝cos x，其递减区间为[0，π].
1.对于y＝acos x＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点以及图像与x轴相交的点.
2.通过观察y＝cos x，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.
3.利用余弦函数的性质可以比较余弦型三角函数值的大小及求最值.
一、选择题
1.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图像为(　　)
考点　余弦函数的图像
题点　余弦函数的图像
答案　D
解析　y＝cos x＋|cos x|＝故选D.
2.在区间上，下列函数是增函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝－
C.y＝－sin x D.y＝－cos x
考点　余弦函数的单调性
题点　余弦函数的单调性
答案　D
解析　由正、余弦函数的单调性判断可知选D.
3.函数y＝－2cos x＋3的值域为(　　)
A.[1，5] B.[－5，1] C.[－1，5] D.[－3，1]
考点　余弦函数的值域
题点　余弦函数的值域
答案　A
4.下列函数中，最小正周期为2π的是(　　)
A.y＝|cos x| B.y＝cos|x| C.y＝|sin x| D.y＝sin|x|
考点　余弦函数的周期性
题点　余弦函数的周期性
答案　B
5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A.y＝cos|2x| B.y＝|sin x|
C.y＝sin D.y＝cos
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
答案　D
解析　y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T＝π.
6.(2017·广州检测)如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　)
A.3 B.6 C.12 D.24
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
答案　B
解析　函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.
二、填空题
7.函数y＝的定义域为 .
考点　余弦函数的定义域
题点　余弦函数的定义域
答案　
解析　要使函数有意义，则－2cos x≥0，
即cos x≤，
余弦函数的图像如图所示：
∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数的定义域是.
8.已知cos x＝有实根，则m的取值范围为 .
考点　余弦函数的值域
题点　余弦函数的值域
答案　(－∞，－4]∪
解析　∵－1≤cos x≤1，∴－1≤≤1，
且2m＋3≠0，解得m≥－或m≤－4.
9.函数y＝cos2x＋3cos x＋2的最小值是 .
考点　余弦函数的最值
题点　余弦函数的最值
答案　0
解析　令t＝cos x，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋3t＋2＝2－，
当t＝－1，即cos x＝－1时，ymin＝0.
10.对于函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图像关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是 .(请将所有正确命题的序号都填上)
考点　正、余弦函数的图像与性质综合
题点　正、余弦函数的图像与性质综合
答案　③④
解析　画出f(x)在[0，2π]上的图像如图所示.
由图像知，函数f(x)的最小正周期为2π，
当x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
该函数都取得最小值－1，故①②错误.
由图像知，函数图像关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，
当2kπ三、解答题
11.求函数y＝2－cos的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合.
考点　余弦函数的最值
题点　余弦函数的最值
解　令z＝，∵－1≤cos z≤1，∴1≤2－cos z≤3，
∴y＝2－cos 的最大值为3，最小值为1.
当z＝2kπ，k∈Z时，cos z取得最大值，2－cos z取得最小值.
又z＝，故x＝6kπ，k∈Z.
∴使函数y＝2－cos 取得最小值的x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z }；
同理，使函数y＝2－cos 取得最大值的x的取值集合为{x|x＝6kπ＋3π，k∈Z }.
12.已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)求出这个函数的递增区间.
考点　余弦函数图像和性质综合
题点　余弦函数图像和性质综合
解　(1)y＝cos x＋|cos x|＝
函数图像如图所示.
(2)由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的递增区间为(k∈Z).
13.若不等式0≤－cos2x＋4cos x＋a2≤12对一切实数x均成立，求实数a的取值范围.
考点　余弦函数的最值
题点　余弦函数最值的应用
解　设f(x)＝－cos2x＋4cos x＋a2＝－(cos x－2)2＋a2＋4，
∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)max＝3＋a2≤12，①
当cos x＝－1时，f(x)min＝－5＋a2≥0.②
联立①②，得5≤a2≤9，∴－3≤a≤－或≤a≤3.
即实数a的取值范围是[－3，－]∪[，3].
四、探究与拓展
14.若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .
考点　正弦函数、余弦函数的周期性
题点　正弦函数、余弦函数的周期性
答案　6
解析　∵T＝，1＜＜4，ω>0，则＜ω＜2π.
∴正整数ω的最大值为6.
15.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增加的，且f?＝0，△ABC的内角A满足f(cos A)≤0，求角A的取值范围.
考点　余弦函数的性质综合
题点　余弦函数的性质综合
解　①当00.
由f(cos A)≤0＝f?，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
得0解得≤A<.
②当∵f(x)为R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
∴f(x)在(－∞，0)上是增加的，
f?＝－f?＝0，
∴由f(cos A)≤0＝f?，得cos A≤－，
∴≤A<π.
③当A＝时，cos A＝0，∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)＝0，
∴f(0)≤0成立.
综上所述，角A的取值范围是∪.
§7　正切函数
学习目标　1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tan x的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.
知识点一　正切函数的定义
思考1　设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？
答案　当a≠0时，有意义.
思考2　正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
答案　tan α＝.
梳理　(1)任意角的正切函数
如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系
根据定义知tan α＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
(3)正切值在各象限的符号
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负.
知识点二　正切线
思考　正切线是过单位圆上哪一点作出的？
答案　过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0).
梳理　如图所示，线段AT为角α的正切线.
知识点三　正切函数的图像与性质
思考1　正切函数的定义域是什么？
答案　.
思考2　能否说正切函数在整个定义域内是增函数？
答案　不能.
正切函数y＝tan x在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.
梳理　
解析式
y＝tan x
图像
定义域
值域
R
周期
最小正周期是π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间(k∈Z)上是增加的
知识点四　正切函数的诱导公式
思考　前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.对正切函数能适用吗？
答案　因为tan α＝，
所以口诀对正切函数依然适用.
梳理　
函数角
y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α
tan α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan α
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，符号看象限
－α
cot α
类型一　正切函数的概念
例1　若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝ .
考点　正切函数的定义
题点　已知正切值求参数
答案　－
解析　由正切函数的定义得，＝，解得m＝－.
反思与感悟　(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝.
(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.
跟踪训练1　已知点P(－2a，3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值.
考点　正切函数的定义
题点　由定义求正切值
解　由于a≠0，∴tan θ＝＝－.
类型二　正切函数的图像及性质
例2　画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.
考点　正切函数的图像及性质
题点　正切函数的图像及性质综合
解　由y＝|tan x|，得
y＝
其图像如图所示.
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
递增区间为(k∈Z)，递减区间为(k∈Z)，周期为π.
反思与感悟　(1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
跟踪训练2　将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？
考点　正切函数的图像及性质
题点　正切函数的图像及性质综合
解　由于y＝tan|x|＝
其图像如下：
由图像可知，函数y＝tan|x|是偶函数，
递增区间为，(k为正整数)，
递减区间为(k为负整数)和，不是周期函数.
类型三　正切函数诱导公式的应用
例3　求下列各式的值.
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2).
考点　正切函数的诱导公式
题点　利用诱导公式求值
解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式＝＝＝＝2＋.
反思与感悟　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
跟踪训练3　.
考点　同名诱导公式的综合应用
题点　同名诱导公式的综合应用
解　原式＝
＝＝＝.
1.函数y＝tan的最小正周期是(　　)
A.π B.2π C. D.
考点　正切函数的周期性
题点　求正切函数的周期
答案　C
解析　最小正周期为T＝＝.
2.函数f(x)＝tan的递增区间为(　　)
A.，k∈Z B.(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
考点　正切函数的单调性
题点　求正切函数的单调区间
答案　C
3.在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A.y＝tan x B.y＝cos x
C.y＝tan D.y＝－tan x
考点　正切函数的性质
题点　正切函数性质的综合
答案　C
4.函数y＝tan x＋是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
考点　正切函数的周期性、对称性
题点　正切函数的奇偶性
答案　A
解析　函数的定义域是，
且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，
所以函数y＝tan x＋是奇函数.
5.将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为 .(用“<”连接)
考点　正切函数的单调性
题点　正切函数单调性的应用
答案　tan 2解析　tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
∵－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在上是增加的，
∴tan(2－π)即tan 21.正切函数的图像
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的.
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间.
一、选择题
1.函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是(　　)
A.(0，0) B.
C. D.(π，0)
考点　正切函数的对称性
题点　求正切函数的对称中心
答案　C
2.函数f(x)＝2tan(－x)是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.奇函数，也是偶函数 D.非奇非偶函数
考点　正切函数的奇偶性
题点　正切函数的奇偶性
答案　A
解析　因为f(－x)＝2tan x＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数.
3.满足tan A>－1的三角形的内角A的取值范围是(　　)
A. B.∪ C. D.∪
考点　正切函数的单调性
题点　利用正切函数的单调性解不等式
答案　D
解析　因为A为三角形的内角，所以0又tan A>－1，结合正切曲线得A∈∪.
4.下列各点中，不是函数y＝tan的图像的对称中心的是(　　)
A. B. C. D.
考点　正切函数的对称性
题点　求正切函数的对称中心
答案　C
解析　令－2x＝，k∈Z，得x＝－(k∈Z).
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
5.函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f?的值是(　　)
A.0 B.1 C.－1 D.
考点　正切函数的图像及应用
题点　正切函数的图像及应用
答案　A
解析　由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f?＝tan π＝0.
6.下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A.在区间上是增加的
B.最小正周期是π
C.图像关于点成中心对称
D.图像关于直线x＝成轴对称
考点　正切函数的图像及应用
题点　正切函数的图像与性质的综合问题
答案　B
解析　令kπ－7.已知f(α)＝，则f?的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
考点　三角函数的诱导公式
题点　利用诱导公式求值
答案　B
解析　由于tan＝＝＝，
所以f(α)＝＝－cos α，
则f?＝－cos＝－cos＝－cos ＝－.
二、填空题
8.函数y＝3tan的对称中心的坐标是 .
考点　正切函数的对称性
题点　求正切函数的对称中心
答案　(k∈Z)
解析　由3x＋＝(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心的坐标为(k∈Z).
9.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为 .
考点　正切函数的值域
题点　正切函数的值域
答案　[－4，4]
解析　∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
10.函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝ .
考点　正切函数的周期性
题点　求正切函数的周期
答案　±2
解析　T＝＝，∴ω＝±2.
三、解答题
11.判断函数f(x)＝lg的奇偶性.
考点　正切函数的奇偶性
题点　判断正切函数的奇偶性
解　由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为∪(k∈Z)，关于原点对称.
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg ＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
12.求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心.
考点　正切函数的图像及应用
题点　正切函数的图像与性质的综合问题
解　①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②∵T＝＝2π，
∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的递增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
13.已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值.
考点　三角函数定义与诱导公式
题点　三角函数定义与诱导公式
解　(1)∵|OP|＝＝1，
∴sin α＝＝＝－.
(2)原式＝·＝＝＝.
由余弦函数的定义得cos α＝，
故所求式子的值为.
四、探究与拓展
14.函数y＝sin x与y＝tan x的图像在区间[0，2π]上交点的个数是多少？
考点　正切函数的图像
题点　正切函数的图像
解　因为当x∈时，tan x>x>sin x，
所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0，2π]内的图像如图所示，
观察图像可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0，2π]上有3个交点.
15.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为，且图像关于点M?对称，求f(x)的解析式.
考点　正切函数综合问题
题点　正切函数综合问题
解　由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，
即＝，∴ω＝2.
从而f(x)＝tan(2x＋φ).
∵函数y＝f(x)的图像关于点M?对称，
∴2×＋φ＝kπ或＋kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋或φ＝kπ＋(k∈Z).
∵0<φ<，
∴φ只能取.
故f(x)＝tan.
§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标　1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
知识点一　φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
思考1　如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？
答案　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度.
思考2　如何由y＝sin x的图像变换得到y＝sin的图像？
答案　向左平移个单位长度.
梳理　如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.
知识点二　ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
思考1　函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
答案　2π，π，4π.
思考2　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
答案　当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍.
思考3　函数y＝sin ωx的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？
答案　可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图像即可.
梳理　如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
思考　对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
答案　对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
梳理　如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点四　函数y＝sin x的图像与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程：
y＝sin x的图像 y＝sin(x＋φ)的图像y＝sin(ωx＋φ)的图像y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
1.把函数y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像.(　×　)
提示　得到y＝sin 2＝sin的图像.
2.要得到函数y＝sin的图像，可把函数y＝sin(－x)的图像向左平移个单位长度得到.(　×　)
提示　y＝sin，故要得到y＝sin的图像，可把函数y＝sin(－x)的图像向右平移个单位长度.
3.把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图像.(　×　)
提示　应得到y＝sin x的图像.
4.函数y＝cos的图像是由函数y＝cos x的图像向右平移个单位长度得到的.(　√　)
提示　由平移的规律可知其正确.
类型一　平移变换
例1　函数y＝sin的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
解　函数y＝sin的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
引申探究
1.若将本例中y＝sin改为y＝cos，其它不变，又该怎样变换？
解　y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x上所有的点向左平移个单位长度得到.
2.若将本例改为：函数y＝sin的图像可由y＝sin 2x的图像经过怎样变换得到？
解　y＝sin＝sin，可由y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到.
反思与感悟　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度.
跟踪训练1　要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　A
解析　y＝sin 2x＝cos＝cos＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos，
则f?＝cos，所以向左平移个单位长度.
类型二　伸缩变换
例2　将函数y＝sin的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为 .
考点　三角函数图像变换
题点　伸缩变换
答案　y＝sin
反思与感悟　横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.
跟踪训练2　(2017·合肥高一检测)把y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到的解析式是 .
考点　三角函数图像的伸缩变换
题点　三角函数图像的伸缩变换
答案　y＝sin 2x
类型三　图像变换的综合应用
例3　把函数y＝f(x)的图像上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式.
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
解　y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
反思与感悟　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.
跟踪训练3　将函数y＝2sin的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　)
A. B. C. D.
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
答案　B
解析　因为函数y＝2sin的图像向左平移m个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.
又m>0，所以m的最小值为，故选B.
1.函数y＝cos x图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)
A.2 B. C.4 D.
考点　三角函数图像变换
题点　伸缩变换
答案　B
2.要得到y＝sin的图像，只要将函数y＝sin 的图像(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　C
3.为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(　　)
A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度
C.向上平行移动个单位长度 D.向下平行移动个单位长度
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　A
解析　由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图像，只需记住“左加右减”的规则即可.
4.将函数y＝sin(－2x)的图像向左平移个单位长度，所得函数图像的解析式为 .
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　y＝－cos 2x
解析　y＝sin(－2x)y＝sin，
即y＝sin＝－sin＝－cos 2x.
5.将函数f(x)＝cos 2x的图像纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图像，则g＝ .
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
答案　－2
解析　将函数f(x)＝cos 2x的图像纵坐标伸长到原来的2倍，所得图像对应的解析式为y＝2cos 2x，
则g(x)＝2cos 2＝2cos，
故g＝2cos＝－2.
1.由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度.(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位长度，这是很容易出错的地方，应特别注意.
2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像也可由y＝cos x的图像变换得到.
一、选择题
1.将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　D
解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
2.若把函数y＝sin的图像向右平移m(m>0)个单位长度后，得到y＝sin x的图像，则m的最小值为(　　)
A. B. C. D.
考点　三角函数图像的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图像的平移变换
答案　C
解析　依题意，y＝sin＝sin x，
∴m－＝2kπ(k∈Z)，∴m＝＋2kπ(k∈Z)，
又m>0，∴m的最小值为.
3.把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数是(　　)
A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数 D.偶函数
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　D
解析　y＝sin的图像向右平移个单位长度得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图像，y＝－cos 2x是偶函数.
4.给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩小到原来的，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度.
则由函数y＝sin x的图像得到y＝sin的图像，可以实施的方案是(　　)
A.①→③ B.②→③
C.②→④ D.②→⑤
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
答案　D
解析　y＝sin x的图像y＝sin 2x的图像y＝sin的图像.
5.为了得到函数y＝2sin，x∈R的图像，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图像上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
答案　C
解析　先将y＝2sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图像.
6.为了得到函数y＝sin的图像，可以将函数y＝cos 2x的图像(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　B
解析　y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，
故y＝sin的图像是由y＝cos 2x的图像向右平移个单位长度得到的，故选B.
二、填空题
7.函数y＝sin的图像可以看作把函数y＝sin 2x的图像向 平移 个单位长度得到的.
考点　三角函数图像的平移变换和伸缩变换
题点　三角函数图像的平移变换
答案　右　
8.为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是 .
考点　三角函数图像变换
题点　平移变换
答案　
解析　y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位长度后得到y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是.
9.某同学给出了以下判断：
①将y＝cos x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin(－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像；
④函数y＝sin的图像是由y＝sin 2x的图像向左平移个单位长度而得到的.
其中正确的结论是 .(将所有正确结论的序号都填上)
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
答案　①③
10.函数y＝sin 2x的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图像关于直线x＝对称，则φ的最小值为 .
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
答案　
解析　平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，
图像关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z).又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
三、解答题
11.使函数y＝f(x)的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将其图像沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式.
考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
解　方法一　(正向变换)
y＝f(x)y＝f(2x)y＝f ，
即y＝f?，
∴f?＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二　(逆向变换)
根据题意，y＝sin 2xy＝sin 2
＝siny＝f(x)＝sin.
12.将函数y＝sin的图像经过怎样的变换能得到函数y＝sin x的图像？
考点　三角函数图像变换
题点　三角函数图像变换综合
解　把函数y＝sin的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位长度，就得到y＝sin x的图像.
四、探究与拓展
13.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f?＝ .
答案　
解析　把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度得到y＝sin的图像，再把函数y＝sin图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图像，所以f?＝sin ＝.
14.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上是增加的，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，区间[a，b](a，b∈R且a考点　三角函数图像变换
题点　图像变换的综合应用
解　(1)因为ω>0，根据题意有即0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
(2)f(x)＝2sin 2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
由g(x)＝0，得sin＝－，解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.
§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
学习目标　1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
知识点一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
思考1　用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
答案　依次为0，，π，，2π.
思考2　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
答案　用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
梳理　用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1.函数y＝－2sin的振幅是－2.(　×　)
提示　振幅是2.
2.函数y＝sin的初相是.(　×　)
提示　初相是－.
3.函数y＝sin的图像的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　√　)
提示　令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f(x)的图像的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.
类型一　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
例1　利用五点法作出函数y＝3sin在一个周期内的图像.
考点　用“五点法”作三角函数的简图
题点　用“五点法”作三角函数的简图
解　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示.
反思与感悟　(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点.
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像.
跟踪训练1　已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图像.
考点　用“五点法”作三角函数的简图
题点　用“五点法”作三角函数的简图
解　(1)∵x∈，
∴2x－∈.
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示.
类型二　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
考点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
解　方法一　(逐一定参法)
由图像知振幅A＝3，
又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
方法二　(待定系数法)
由图像知A＝3，又图像过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
方法三　(图像变换法)
由T＝π，点，A＝3可知，
图像是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思与感悟　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图像上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2　(2017·贵州贵阳一中期末考试)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝ .
考点　求三角函数的解析式
题点　根据三角函数的图像求解析式
答案　
解析　由图，知＝－＝，
∴T＝，又T＝＝，∴ω＝.
类型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例3　已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0).
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6，0]上的值域.
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图像过最高点(2，)，∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].
跟踪训练3　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，令＋－＝，
得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数的递增区间是(k∈Z).
同理可得函数的递减区间是(k∈Z)
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是(　　)
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
考点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
答案　A
解析　由图像可得A＝，＝－－＝，
所以T＝π，所以ω＝＝＝2，
所以y＝sin(2x＋φ).
将点的坐标代入y＝sin(2x＋φ)，
得＝sin，
则sin＝1，
所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝＋2kπ(k∈Z).
又0<φ<π，令k＝0，则φ＝.
所以解析式可以是y＝sin.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图像如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)
A.A＝3，T＝ B.A＝3，T＝
C.A＝，T＝ D.A＝，T＝
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
答案　D
解析　由题图可知A＝×(3－0)＝，
设周期为T，则T＝－＝，得T＝.
3.下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
考点　用“五点法”作三角函数的简图
题点　用“五点法”作三角函数的简图
答案　A
解析　将y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图像，依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图像.
4.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称
C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
答案　A
解析　ω＝＝2，所以f(x)＝sin.
将x＝代入f(x)＝sin，
得f?＝0，故选A.
5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间.
考点　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
题点　三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
解　(1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，∴f(x)＝sin，
将点(－2，0)代入得sin＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.
1.利用“五点”法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.
2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.
3.在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.
一、选择题
1.若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f?＝f?，则有f?等于(　　)
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
答案　D
解析　由f?＝f?知，x＝是函数的对称轴，解得f?＝3或－3，故选D.
2.如图所示，函数的解析式为(　　)
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝cos D.y＝cos
考点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
答案　D
解析　由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又当x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求.
3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图像，则只要将f(x)的图像(　　)
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
答案　B
解析　由图像知，函数f(x)的周期T＝4×＝＝，所以ω＝3.
因为函数f(x)的图像过图中最小值点，
所以A＝1且sin＝－1，
又因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
因为g(x)＝sin 3x，所以g(x)＝f?.
为了得到g(x)＝sin 3x的图像，只需将f(x)的图像向右平移个单位长度，故选B.
4.把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A.1， B.2， C.， D.，
考点　函数y＝Acos(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Acos(ωx＋φ)性质的应用
答案　B
解析　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝.
5.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
考点　函数y＝Acos(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Acos(ωx＋φ)性质的应用
答案　D
解析　由图像知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.－
考点　函数y＝Acos(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Acos(ωx＋φ)性质的应用
答案　D
解析　由函数f(x)是奇函数，且0<φ<π，可得φ＝.由图像及已知可得函数的最小正周期为4，得ω＝.由△EFG的边FG上的高为，可得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－.
二、填空题
7.把函数y＝2sin的图像向左平移m个单位长度，所得的图像关于y轴对称，则m的最小正值是 .
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
答案　
解析　把y＝2sin的图像向左平移m个单位长度，
则y＝2sin，其图像关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，则m的最小正值为.
8.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图所示，则φ＝ .
考点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
题点　由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
答案　
解析　由图像知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
即φ＝－＋2kπ(k∈Z).
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
9.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f?＝－，则f(0)＝ .
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
答案　
解析　由题图可知＝－＝，T＝，
∴f(0)＝f?，注意到＝，也即和关于对称，于是f(0)＝f?＝－f?＝.
10.关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于对称；
④y＝f(x)图像关于x＝－对称.
其中正确命题的序号为 .
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
答案　②③
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式，得
f(x)＝4cos＝4cos，∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④错.
三、解答题
11.已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像.
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
解　(1)由题意知A＝，T＝4×＝π，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ).
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.又∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
0
π
π
π
π
2x＋
π
π
2π
y
1
0
－
0
1
描点，连线，如图所示.
12.已知函数f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f?的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的递减区间.
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
解　(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z).
又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos 2x＋1，
∴f?＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f?的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f?的图像.
所以g(x)＝f?＝2cos 2＋1＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)是减函数.
∴函数g(x)的递减区间是(k∈Z).
四、探究与拓展
13.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)
A.1 B. C. D.
考点　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
题点　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
答案　D
解析　由图像可得A＝1，＝＝－＝，
解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ).
点相当于y＝sin x中的(0，0)，
令2×＋φ＝0，解得φ＝，
满足|φ|<，符合题意，
∴f(x)＝sin.
∵sin＝1，
∴图中点B的坐标为.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，
∴x1＋x2＝×2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D.
14.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的递减区间；
(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围.
考点　三角函数图像的综合应用
题点　三角函数图像的综合应用
解　(1)由题意，易知A＝3，T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又∵|φ|<π，∴φ＝，
∴f(x)＝3sin.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的递减区间为，k∈Z.
(3)由题意知，方程sin＝在区间
上有两个实根.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
又方程有两个实根，∴∈，
∴m∈[1＋3，7).
§9　三角函数的简单应用
学习目标　1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
知识点　利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.
思考　现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
答案　三角函数模型.
梳理　(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：收集、整理数据，建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：

类型一　三角函数模型在物理中的应用
例1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
考点　三角函数模型在物理中的应用
题点　三角函数模型在物理中的应用
解　(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
反思与感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
跟踪训练1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图像；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
考点　三角函数在物理中的应用
题点　三角函数在物理中的应用
解　(1)周期T＝＝1(s).
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
类型二　三角函数模型在生活中的应用
例2　如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在日常生活中的应用
解　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0).
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.
由60.5＝40.5－40cos t0，
得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).
反思与感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
跟踪训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0).
(2)由10sin t＋12≥17，得sin t≥，
则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ cm.
考点　三角函数模型在物理中的应用
题点　三角函数模型在物理中的应用
答案　
解析　∵T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.
2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　20.5
解析　由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.
3.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为 .
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在航海、气象学中的应用
答案　h＝－6sin t，t∈[0，24]
解析　根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，
则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝.
点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，
∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t，t∈[0，24].
4.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
解　(1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，
因此即10故在10时至18时实验室需要降温.
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
一、选择题
1.如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是(　　)
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为－5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
考点　三角函数模型在物理中的应用
题点　三角函数模型在物理中的应用
答案　D
解析　该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的.故选D.
2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b 的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B.f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋)
C.f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D.f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　A
解析　令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C.
或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，f(x)＝9，
∴2sin＋7＝9，即sin＝1.
∵|φ|＜，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋).
3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin?(t≥0)，则人流量是增加的时间段为(　　)
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　C
解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z知，函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C.
4.如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)
A.ω＝，A＝3 B.ω＝，A＝3
C.ω＝，A＝5 D.ω＝，A＝5
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　A
解析　由题意可知最大值为5，所以5＝A×1＋2?A＝3.
T＝15 s，则ω＝.故选A.
5.如图所示为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像，则该天8 h的温度大约为(　　)
A.16 ℃ B.15 ℃ C.14 ℃ D.13 ℃
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在航海、气象学中的应用
答案　D
解析　由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，
∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，
即sin＝－1，
由于<φ<π，可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].
当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，
即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
6.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系.设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)开始正常走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　C
解析　由题意，可得函数的初相是，排除B，D.又函数的最小正周期是60，且秒针按顺时针走动，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C.
7.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为(　　)
考点　三角函数模型在物理中的应用
题点　三角函数模型在物理中的应用
答案　C
解析　取特殊值检验，由题意及图知f(0)＝，排除A，D，又f?＝0，故选C.
二、填空题
8.设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是 .
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　80
解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分).
9.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 .
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　8
解析　由y＝3sin＋k可知，ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，即k＝5，所以ymax＝3＋k＝8.
10.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 .
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在物理学方面的应用
答案　y＝4sin
解析　不妨设y＝Asin(ωx＋φ).
由题意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.
当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，
所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，
故所求关系式可以为y＝4sin.
11.电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω≠0)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流强度是 安.
考点　三角函数在物理中的应用
题点　三角函数在物理中的应用
答案　5
三、解答题
12.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
解　(1)如图所示建立平面直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角.
OP每秒钟内所转过的角为＝，
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝20，
故点P第一次到达最高点大约需要20 s.
四、探究与拓展
13.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2 m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于(　　)
A.30sin＋30 B.30sin＋30
C.30sin＋32 D.30sin
考点　三角函数模型在生活中的应用
题点　三角函数模型在生活中的应用
答案　B
解析　过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线，作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin，当0<θ<时，上述关系式也适合.故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
14.(2017·福建龙岩一中高一月考)某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24)(h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；
(2)依据规定，当海浪高度不小于1 m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在航海、气象学中的应用
解　(1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系.
从表中数据和散点图，可知A＝＝，T＝12，
所以＝12，得ω＝.
又h＝＝1，于是y＝sin＋1.
由图，知×0＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|≤，所以φ＝，
从而y＝sin＋1，即y＝cos t＋1(0≤t≤24).
(2)由题意，可知y≥1，
所以cos t＋1≥1，即cos t≥0，
所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k－3≤t≤12k＋3(k∈Z).
又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.
故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h至15 h.