§1 简单几何体
学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．
知识点一 旋转体与多面体
旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体
多面体
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体
知识点二 常见的旋转体及概念
思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？
答案 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．
思考2 能否由圆锥得到圆台？
答案 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．
梳理
名称
图形及表示
定义
相关概念
球
记作：球O
球面：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的圆心．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：连接球面上两点并且过球心的线段
圆柱
记作：圆柱OO′
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱
高：在旋转轴上这条边的长度．底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面．
侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面．
母线：不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
圆锥
记作：圆锥OO′
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥
圆台
记作：圆台OO′
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台
特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．
(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．
知识点三 常见的多面体及相关概念
思考 观察下列多面体，试指明其类别．
答案 (1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．
梳理 (1)棱柱
①定义要点：
(ⅰ)两个面互相平行；
(ⅱ)其余各面都是四边形；
(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
②相关概念：
底面：两个互相平行的面．
侧面：除底面外的其余各面．
侧棱：相邻两个侧面的公共边．
顶点：底面多边形与侧面的公共顶点．
③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.
④分类及特殊棱柱：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、…….
(ⅱ)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
(ⅲ)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
(2)棱锥
①定义要点：
(ⅰ)有一个面是多边形；
(ⅱ)其余各面是三角形；
(ⅲ)这些三角形有一个公共顶点．
②相关概念：
底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形．
侧面：除底面外的其余三角形面．
侧棱：相邻两个侧面的公共边．
顶点：侧面的公共顶点．
③记法：如三棱锥S－ABC.
④分类及特殊棱锥：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥、……，
(ⅱ)正棱锥：底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥．
(3)棱台
①定义要点：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．
②相关概念：
上底面：原棱锥的截面．
下底面：原棱锥的底面．
侧棱：相邻的侧面的公共边．
顶点：侧面与底面的公共顶点．
③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.
④分类及特殊棱台：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱台、四棱台、五棱台、……，
(ⅱ)正棱台：由正棱锥截得的棱台．
1．棱柱的侧面都是平行四边形．( √ )
2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．( × )
3．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．( × )
4．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( × )
类型一 旋转体的概念
例1 下列说法正确的是________．(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
考点 简单几何体的结构特征
题点 简单旋转体的结构特征
答案 ③④
解析 ①以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确．
反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
跟踪训练1 下列说法：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 简单几何体的结构特征
题点 简单旋转体的结构特征
答案 C
解析 ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.
类型二 多面体及其简单应用
例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．
①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；
④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；
⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．
考点 简单几何体的结构特征
题点 多面体的结构特征
答案 3
解析 ①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；
②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；
根据棱锥的概念知，③正确；
根据棱台的概念知，④正确；
棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．
正确的个数为3.
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构判断
解 ①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.
引申探究
若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？
解 如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．
反思与感悟 (1)棱柱的识别方法
①两个面互相平行．
②其余各面都是四边形．
③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
(2)棱锥的识别方法
①有一个面是多边形．
②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．
④对几类特殊棱锥的认识
(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．
(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．
(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．
(3)棱台的识别方法
①上、下底面互相平行．
②各侧棱延长交于一点．
跟踪训练2 下列说法正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱
C．棱锥的侧面可以是四边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构应用
答案 B
解析 A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．
1．下列几何体中棱柱有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构判断
答案 D
解析 由棱柱的定义知，①③为棱柱．
2．关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构判断
答案 D
解析 由旋转体的结构特征知，D正确．
3．下面有关棱台说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
考点 棱台的结构特征
题点 棱台的结构特征的应用
答案 B
解析 由棱台的结构特征知，B正确．
4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( )
A．圆台 B．圆锥
C．圆柱 D．球
考点 简单旋转体的结构特征
题点 旋转体的结构特征
答案 B
解析 中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．
5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
考点 圆锥的结构特征
题点 与圆锥有关的运算
答案 2
解析 如图所示，
设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.
故圆锥的母线长为2.
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．
一、选择题
1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构判断
答案 D
解析 四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．
2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台
考点 棱锥的结构特征
题点 棱锥的概念
答案 B
解析 由题图知，剩余的部分是四棱锥A′－BCC′B′.
3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个
C．无数个 D．以上均不正确
考点 简单几何体的结构特征
题点 简单转体的结构特征
答案 B
解析 当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
4．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
考点 简单几何体的结构特征
题点 简单转体的结构特征
答案 D
解析 圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等，故A错；圆柱的母线与轴平行，故B错；圆台的母线与轴不平行，故C错；球的直径必过球心，故选D.
5．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
考点 棱台的结构特征
题点 与棱台有关的运算
答案 B
解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.
6．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15 C．12 D．10
考点 棱柱的结构特征
题点 与棱柱有关的运算
答案 D
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．
7．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都为a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为( )
A.a2 B．a2 C.a2 D.a2
考点 棱锥的结构特征
题点 与棱锥有关的运算
答案 C
解析 根据正棱锥的性质知，底面ABCD是正方形，故AC＝a.在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又∵AC＝a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝a2.
8．如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转180°所形成的几何体为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
考点
题点
答案 B
解析 外面圆旋转形成球体，中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.
二、填空题
9．下列说法正确的是________．(填序号)
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；
②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；
④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥．
考点 棱锥的结构特征
题点 棱锥概念的应用
答案 ⑤
解析 由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确．
10．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
考点 棱台的结构特征
题点 棱台概念的应用
答案 3
解析 如图，分割为A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3个棱锥．
11．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
考点 球的结构特征
题点 与球有关的运算
答案 12
解析 由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
三、解答题
12．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，正方体的一个面在圆锥的底面上，与这个面相对的面的四个顶点在圆锥的侧面上，求此正方体的棱长．
考点 圆锥的结构特征
题点 与圆锥有关的运算
解 作出圆锥的一个纵截面如图所示，
其中AB，AC为母线，BC为底面圆直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为x，
则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x，依题意，得
△ABC∽△ADE，
∴＝，∴x＝.
13．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干连接后构成以下简单几何体，并用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
考点 棱锥的结构特征
题点 棱锥的结构特征的应用
解 (1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
四、探究与拓展
14．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．(填序号)
考点 简单几何体
题点 简单几何体结构应用
答案 (1)(2)
解析 (1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的任意两条母线延长一定相交于一点；
(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
15．如图所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长为1，∠ASB＝40°，点M和点N分别是棱SB和SC上的点，求△AMN的周长的最小值．
考点 圆锥的结构特征
题点 与圆锥有关的运算
解 沿侧棱SA将正三棱锥S－ABC的侧面展开，得到三棱锥S－ABC的侧面展开图，如图所示．
连接AA′，当M，N分别为AA′与SB，SC的交点时，△AMN的周长最小，即AA′的长度．
∵SA＝SA′，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA′＝40°，
∴∠ASA′＝120°.∴∠SAA′＝∠SA′A＝30°.
作SF⊥AA′于点F，∵SA＝1，
∴AF＝A′F＝SA＝，
∴AA′＝，
即△AMN的周长的最小值为.
§2 直观图
学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
知识点 斜二测画法
思考1 边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？
答案 A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，
A′D′＝AD.
思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
答案 没有都画成正方形．
梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法
斜二测画法规则：
①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
(2)立体图形直观图的画法
1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( × )
2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( × )
3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．( × )
类型一 水平放置的平面图形的直观图
例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
解 画法：
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示；
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)；
(3)去掉辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．
引申探究
若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图．
解 画法：
(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x′轴和y′轴，
使∠x′O′y′＝45°；
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD；
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
解 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
类型二 直观图的还原与计算
例2 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
考点 平面图形的直观图
题点 由直观图还原平面图形
解 如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
所以面积为S＝×2＝5.
反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
跟踪训练2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )
A. B. C. D．2
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 C
解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.
(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．(填四边形的形状)
考点 平面图形的直观图
题点 由直观图还原平面图形
答案 菱形
解析 如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形．
类型三 简单几何体的直观图
例3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
考点 简单几何体的直观图
题点 简单几何体的直观图
解 画法：
(1)画轴．画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
反思与感悟 简单几何体直观图的画法
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图．
跟踪训练3 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
考点 简单几何体的直观图
题点 简单几何体的直观图
解 画法：
(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是( )
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
答案 C
解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
2．下列关于直观图的说法不正确的是( )
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
答案 A
解析 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.
3．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 5
解析 该矩形直观图的面积为×5×4＝5(cm2)．
4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 10
解析 在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10.
5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)
考点 简单几何体的直观图
题点 柱、锥、台的直观图
解 画法：
(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.
(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．
2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.
一、选择题
1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
答案 B
解析 由直观图的性质知，B正确．
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且长度为10 cm
B．平行于z′轴且长度为5 cm
C．与z′轴成45°且长度为10 cm
D．与z′轴成45°且长度为5 cm
考点 简单几何体的直观图
题点 柱、锥、台的直观图
答案 A
解析 由直观图的性质知，与z轴平行的线段长度不变，高与原长相等．
3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
考点 平面图形的直观图
题点 由直观图还原平面图形
答案 C
解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
答案 C
解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．
5．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A．16 B．64
C．16或64 D．无法确定
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 C
解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
6．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
考点 平面图形的直观图
题点 由直观图还原平面图形
答案 C
解析 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，
故△ABC是钝角三角形．
7.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为( )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 C
解析 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm
考点 简单几何体的直观图
题点 柱、锥、台的直观图
答案 D
解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
二、填空题
9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________．
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案
解析 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.
10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案 矩形 8
解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．
11．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________．
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案
解析 作CD，BE⊥OA于点D，E，
则OD＝EA＝＝2，
又∠COD＝45°，
∴OD＝CD＝2，
∴在直观图中梯形的高为2××sin 45°＝.
三、解答题
12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图．
考点 平面图形的直观图
题点 平面图形的直观图
解 画法：
(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示．画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示；
(2)如图(2)所示，在x′轴正半轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE.在y′正半轴上取一点D′，使得O′D′＝OD.过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC；
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所得直观图．
13．一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图．
考点 简单几何体的直观图
题点 简单几何体的直观图
解 画法：
(1)如图①.画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点．在z轴上取一点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
四、探究与拓展
14.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
答案
解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.
15．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
考点 平面图形的直观图
题点 与直观图有关的计算
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
4．1 空间图形基本关系的认识 4．2 空间图形的公理(一)
学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．
知识点一 空间图形的基本位置关系
对于长方体有12条棱和6个面．
思考1 12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
答案 相交，平行，既不平行也不相交．
思考2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？
答案 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
思考3 六个面之间有哪几种位置关系．
答案 平行和相交．
梳理
位置关系
图形表示
符号表示
空间点与直线的位置关系
点A在直线a外
A?a
点B在直线a上
B∈a
空间点与平面的位置关系
点A在平面α内
A∈α
点B在平面α外
B?α
空间两条直线的位置关系
平行
a∥b
相交
a∩b＝O
异面
a与b异面
空间直线与平面的位置关系
线在面内
a(α
线面相交
a∩α＝A
线面平行
a∥α
空间平面与平面的位置关系
面面平行
α∥β
面面相交
α∩β＝a
异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线
知识点二 空间图形的公理
思考1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？
答案 不在同一直线上的三点确定一个平面．
思考2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
答案 直尺在桌面上．
思考3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
答案 这些公共点在同一直线上．
梳理 (1)空间图形的公理
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l(α
用来证明直线在平面内
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α
用来确定一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l
用来证明空间的点共线和线共点
(2)公理2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．
1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( × )
2．空间不同三点确定一个平面．( × )
3．一条直线和一个点确定一个平面．( × )
类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
解 (1)点P∈直线AB.
(2)点C?直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1?平面AC.
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB(平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1 用符号语言表示下列语句，并画成图形．
(1)直线l经过平面α内两点A，B；
(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；
(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．
(2)l?α，P∈l，P∈α.如图
(3)l(α，l(β.如图．
(4)α∩β＝l，m(α，m∥l.如图．
类型二 平面的基本性质的应用
命题角度1 点线共面问题
例2 如图，已知：a(α，b(α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ(α.
考点 平面的基本性质
题点 线共面问题
证明 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a(β，点P∈β.因为P∈b，b(α，所以P∈α.又因为a(α，P?a，所以α与β重合，所以PQ(α.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．
解 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l(α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l(β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．
反思与感悟 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练2 如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
考点 平面的基本性质
题点 线共面问题
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2(α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3(α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二 (重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2(α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2(β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
命题角度2 点共线、线共点问题
例3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．
求证：FE，HG，DC三线共点．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知
HC1∥EB，且HC1＝EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，
∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交．设交点为K，
∴K∈HG，HG(平面D1C1CD，
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF(平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∴K∈(平面D1C1CD∩平面ABCD)＝DC，
∴EF，HG，DC三线共点．
反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB(平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC(平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α
C．A(l，l?α D．A(l，l?α
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 B
解析 ∵点A在直线l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l?α.故选B.
2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a(α，直线b(β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 D
3．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l(α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 C
解析 当l?α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．
4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析 因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，所以γ与β的交线必通过点C和点M.
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 P∈直线DE
解析 因为P∈AB，AB(平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.
一、选择题
1．下列有关平面的说法正确的是( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
考点 平面的概念、画法及表示
题点 平面概念的应用
答案 D
解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确．
2.如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，n(α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n(α，A(m，A(n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 A
解析 α与β交于m，n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A.
3．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
4．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
考点 平面的基本性质
题点 确定平面问题
答案 D
解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．
5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析 当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
6．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．可能有三点共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析 如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确．
7．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 B
解析 由题意知GH(平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是( )
A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 D
解析 如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确．
二、填空题
9．已知点A，直线a，平面α.
①A∈a，a∈α?A∈α；②A?a，a(α?A?α；③A∈a，a(α?A(α.
其中说法正确的个数是________．
考点 平面的概念、画法及表示
题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化
答案 0
解析 ①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可在α外，故不正确；③中“A(α”符号错．
10．若直线l上有两个点在平面α内，则下列说法中正确的序号为________．
①直线l上至少有一个点在平面α外；
②直线l上有无穷多个点在平面α外；
③直线l上所有点都在平面α内；
④直线l上至多有两个点在平面α内
考点 平面的基本性质
题点 线共面问题
答案 ③
11．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．
考点 平面的基本性质
题点 确定平面问题
答案 1或3
解析 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面．
12．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
答案 三点共线
解析 ∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，
记作平面β，则α∩β＝CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α，
又∵O∈AB，AB(β，
∴O∈β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
三、解答题
13．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面．
考点 平面的基本性质
题点 线共面问题
证明 (1)无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S，
∵a∩d＝M，∴a，d可以确定一个平面α，
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，
∴NQ(α，即b(α，同理c(α，∴a，b，c，d共面．
(2)有三线共点的情况，如图所示，
设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且K?a，
∵K?a，∴K和a确定一个平面，
设为β.
∵N∈a，a(β，∴N∈β，∴NK(β，
即b(β，同理c(β，d(β，∴a，b，c，d共面，
由(1)(2)可知a，b，c，d共面．
四、探究与拓展
14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
考点 平面的基本性质
题点 平面基本性质的其他简单应用
答案 36
解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．
15．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线．
考点 平面的基本性质
题点 点共线、线共点、点在线上问题
证明 如图．
(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，
在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，
设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α，又Q∈EF，所以Q∈β，
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，
故R∈PQ.所以P，Q，R三点共线．
4.2 空间图形的公理(二)
学习目标 1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号表示：?a∥c.
知识点二 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点三 等角定理
思考 观察图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等．
梳理 异面直线所成角的定义
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作：a⊥b.
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．( × )
2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( √ )
3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.( × )
类型一 公理4及等角定理的应用
例1 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练1 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
考点 空间等角定理
题点 判断、证明角的关系
证明 (1)如图 ，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型二 异面直线
命题角度1 异面直线的判定
例2 (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交或平行
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示．
(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练2 (1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 8
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 还原的正方体如图所示．
异面直线有三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
命题角度2 求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤：
①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的大小是________．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 45°
解析 连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 B
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
考点 空间等角定理
题点 利用等角定理求角
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
3．下列四个结论中错误的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点
题点
答案 B
解析 ①④均为错误结论．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．
④如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．
4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 ②④
解析 ①中，∵G，M是中点，
∴AG∥BM，AG＝BM，
∴GM∥AB，GM＝AB，HN∥AB，HN＝AB，
∴四边形GHNM是平行四边形．
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，
∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；
③中，∵G，M是中点，∴GM∥CD，GM＝CD，
∴GM∥HN，GM＝HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
一、选择题
1．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是其所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 C
解析 选项A，B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ相交，故选C.
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
考点 空间等角定理
题点 判断、证明角的关系
答案 D
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系的判定
答案 C
解析 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
答案 B
解析 如图，易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又∵FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．
5.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l(平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不正确的是( )
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成角为30°
D．l与BD垂直
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 A
6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 C
解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 C
解析 如图，连接BC1，A1C1.
∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
8．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．平行、相交或异面都有可能
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定
答案 D
解析 当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
二、填空题
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(填序号)
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
10．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定
答案 平行
解析 如图，连接BD，在△ABD中，＝，
则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
11．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 24
解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC与DD1所成的角为________；
(2)AC与D1C1所成的角为________．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 (1)90° (2)45°
解析 (1)DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.
(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.
三、解答题
13.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，
∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE∥AF，BE＝AF，G为FA的中点知，BE∥GF，BE＝GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
四、探究与拓展
14.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 B
解析 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝AC，EG＝BD.
又∵AC＝BD，∴FG＝EG，
∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角．
∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，
∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，
连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，
则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，
且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，
∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，
∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
5．1 平行关系的判定
学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
思考 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行．
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定．
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行．
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( × )
2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( × )
3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × )
4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )
类型一 直线与平面平行的判定问题
命题角度1 以锥体为背景证明线面平行
例1 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP(平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC(平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
答案 平面ABD与平面ABC
解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE，MN.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB(平面ABD，MN?平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB(平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
解 存在．证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点．
由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO(平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．
跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 (1)∵BC1?平面AB1D1，AD1(平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF?平面ADD1A1，AD1(平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
类型二 平面与平面平行的判定
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC(平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB(平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练3 如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心．
求证：平面MNG∥平面ACD.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 如图，设BM，BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F，H，连接PF，PH.
由三角形重心的性质，得＝＝＝2，
∴MG∥PH，又PH(平面ACD，MG?平面ACD，
∴MG∥平面ACD.
同理可证MN∥平面ACD，
又MN∩MG＝M，MN(平面MNG，MG(平面MNG，
∴平面MNG∥平面ACD.
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数多个
C．至多一个 D．不存在
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 A
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，
E1G1(平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG(平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1.
4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个
B．0个或1个
C．1个
D．0个
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
证明 连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD?平面FEB，BE(平面FEB，∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．
一、选择题
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b(α，a∥b
B．b(α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b(α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b(α，a∥b
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由线面平行的判定定理可知，D正确．
2．如果两直线a∥b且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b(α D．b∥α或b(α
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由a∥b且a∥α知，b与α平行或b(α.
3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．BC(α
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC?α，DE(α，所以BC∥α.
4．若六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 D
解析 由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 B
解析 易证EF∥平面BCD.
由AE∶EB＝AF∶FD知，EF∥BD，且EF＝BD.
又因为H，G分别为BC，CD的中点，
所以HG∥BD，且HG＝BD.
综上可知，EF∥HG，EF≠HG，
所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.
6．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 C
解析 在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.
7．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 C
解析 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
8．已知直线l，m，平面α，β，下列说法正确的是( )
A．l∥β，l(α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l(α，m(α?α∥β
C．l∥m，l(α，m(β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l(α，m(α，l∩m＝M?α∥β
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 D
解析 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，
则AB∥平面DC1，AB(平面AC，
但是平面AC与平面DC1不平行，
所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，可证EF∥平面AC，
B1C1∥平面AC.EF(平面BC1，B1C1(平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；AD∥B1C1，AD(平面AC，B1C1(平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．
二、填空题
9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个推断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 ①②?③(或①③?②)
解析 若m∥n，m∥α，则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.
10．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 平行
解析 ∵M，N分别是BF，BC的中点，
∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，
∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE(平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个说法中正确的是________．
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 ①②③④
解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图．
则易知四个说法都是正确的．
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意一点M与N连接，
都有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB，A1D1的中点分别为M，N，求证：MN∥平面B1D1DB.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
证明 如图，取BD的中点O，连接MO，D1O，则OM∥AD且OM＝AD，∵ND1＝A1D1，AD∥A1D1，且AD＝A1D1，
∴OM∥ND1，且OM＝ND1，
∴四边形OMND1为平行四边形，
∴MN∥OD1.又MN?平面B1D1DB，OD1(平面B1D1DB，
∴MN∥平面B1D1DB.
四、探究与拓展
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 A
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，
AD1(平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵FG∥BC1，FG?平面BC1D1，BC1(平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.
15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA，
又O为DB的中点，
∴D1B∥PO.
又PO∩PA＝P，BQ∩D1B＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
5.2 平行关系的性质
学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
知识点一 直线与平面平行的性质
思考1 如图，直线l∥平面α，直线a(平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案 不一定，因为还可能是异面直线．
思考2 如图，直线a∥平面α，直线a(平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
答案 无数个，a∥b.
梳理 性质定理
文字语言
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α，a(β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
知识点二 平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的．
思考2 若m(平面ABCD，n(平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面．
思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
答案 平行．
梳理 性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
知识点三 平行关系的相互转化
1．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．( × )
2．若平面α∥平面β，l(平面β，m(平面α，则l∥m.( × )
3．夹在两平行平面的平行线段相等．( √ )
类型一 线面平行的性质定理的应用
例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质证明平行问题
证明 连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM(平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP(平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
引申探究
如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.
求证：AB∥GH.
证明 因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.
所以EF∥DC.
又EF?平面PCD，DC(平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又EF(平面EFQ，
平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
反思与感悟 线∥面线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度为________．
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长度
答案
解析 ∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF(平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
类型二 面面平行的性质定理的应用
例2 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
考点 平面与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长
解 设AB，CD都在平面γ上，
因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以＝，
即＝，
所以SC＝272.
引申探究
若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．
解 设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，
所以△ACS∽△BDS，所以＝.
设CS＝x，则＝，所以x＝16，
即CS＝16.
反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，求证：＝.
考点 平面与平面平行的性质
题点 与面面平行性质有关的计算
证明 如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.
因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.
于是，得＝，＝，所以＝.
类型三 平行关系的综合应用
命题角度1 由面面平行证明线面平行
例3 设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
证明 如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，
连接DE，BE.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
又α∥β，∴AC∥DE，
取AE的中点N，连接NP，MN，
∵M，P分别为AB，CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.
又NP?β，DE(β，MN?β，BE(β，∴NP∥β，MN∥β，
∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.
∵MP(平面MNP，MP?β，∴MP∥β.
反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN. 求证：MN∥平面AA1B1B.
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
证明 如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴B1M＝BN.
∴＝，∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA1B1B，AB(平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1(平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B，
又∵MP(平面MNP，NP(平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN(平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
命题角度2 探索性问题
例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
考点
题点
解 能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，
∴A1N∥MC.
同理，A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形．
∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，
∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.
同理，A1M∥BP且A1M＝BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是?A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.
∴MH＝NH＝，∴A1H＝.
故＝＝2××2×＝2.
反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．
跟踪训练4 如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质证明平行问题
(1)证明 因为BC∥AD，BC?平面PAD，
AD(平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
(2)解 平行．证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.
又AE(平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质判定位置关系
答案 B
解析 ∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面ABC＝BC，
EF(平面SBC，∴EF∥BC.
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质判定位置关系
答案 C
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
3．给出四种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ(α；
④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.
其中正确说法的序号是________．
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 ①②③
解析 ①正确，因为平面α与γ没有公共点；
②正确，若直线a与平面β平行或直线a(β，则由平面α∥平面β，
知a(α或a与α无公共点，
这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
③正确，如图所示，
过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，
由α∥β得a∥b，
因为PQ∥β，PQ(γ.所以PQ∥b，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合，因为a(α，所以PQ(α；
④错误，若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．
4.如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长度
答案
解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a(平面β，所以EF∥a.
所以＝.
所以EF＝＝＝.
5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质证明平行问题
解 直线l∥平面PAC.
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC(平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF(平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF(平面PAC，
所以l∥平面PAC.
1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.
一、选择题
1.如图所示的三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
考点 平面与平面平行的性质
题点 利用性质证明平行问题
答案 B
解析 由面面平行的性质定理，可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，所以DE∥AB.
2．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
考点 平面与平面平行的性质
题点 与面面平行性质有关的计算
答案 B
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴A′B′∥AB.同理B′C′∥BC，A′C′∥AC，从而易得△A′B′C′∽△ABC，且＝＝，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝.
3．如图，在四面体A－BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的是( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
考点
题点
答案 C
解析 ∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ(平面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A，B，D正确．
4．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为( )
①?a∥b；②?a∥b；③?α∥β；④?α∥β.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 平行的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 B
解析 只有①④正确．
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
考点 平面与平面平行的性质
题点 利用性质判定位置关系
答案 D
解析 如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，
又CE?平面α，AA′(平面α，∴CE∥平面α.
又C′E∥BB′，C′E?平面β，BB′(平面β，
∴C′E∥平面β.
又∵平面α∥平面β，C′E?平面α，
∴C′E∥平面α.
∵C′E∩CE＝E，C′E，CE(平面CC′E，
∴平面CC′E∥平面α，
∴CC′∥平面α.
∴不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与平面α，β平行的平面上．
6．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m(α，n(β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β
考点 平行的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 D
解析 A选项不正确，n可能在平面α内，B选项不正确，平面α可能与平面β相交；C选项不正确，n可能在平面β内；选项D正确．
7．如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长度
答案 C
解析 ∵CD∥AB，CD?平面SAB，AB(平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，
又CD∥AB，∴AB∥EF.
∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，
∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝，
∴四边形DEFC的周长为3＋2.
8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
考点
题点
答案 D
解析 ∵l?α，∴l∥α或l与α相交．
①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，
∴a，b，c，…，这些交线都平行．
②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.
综上可知D正确．
二、填空题
9．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是________．
考点 平面与平面平行的性质
题点 与面面平行性质有关的计算
答案 1或7
解析 β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离是7；当β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离是1.
10．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长度
答案 a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
考点 直线与平面平行的性质
题点 与性质有关的其他问题
答案 m∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF＝HG＝m· ，
同理EH＝FG＝n· .
∵四边形EFGH是菱形，
∴m· ＝n· ，
∴AE∶EB＝m∶n.
12．已知平面α∥β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
考点 平面与平面平行的性质
题点 利用性质求线段长
答案 或24
解析 如图①所示，∵AC∩BD＝P，
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.
∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
∴AB∥CD.
∴＝，即＝，∴BD＝.
如图②所示，同理可证AB∥CD，∴＝，
即＝，∴BD＝24.
综上所述，BD的长为或24.
三、解答题
13．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F.
求证：四边形BCFE是梯形．
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
证明 因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，因为AD(平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC(平面BCFE，
所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，
所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
四、探究与拓展
14．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
考点 直线与平面平行的性质
题点 与性质有关的其他问题
答案 D
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
15．如图所示，四边形EFGH为四面体A－BCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形．
考点 直线与平面平行的性质
题点 与性质有关的其他问题
证明 (1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG(平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF(平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
又EF(平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)由(1)同理可证CD∥EH，
∴∠FEH即是AB与CD所成的角．
∵AB⊥CD，∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形．
6．1 垂直关系的判定
学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．
知识点一 直线与平面垂直的定义
思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案 不变，90°.
梳理 线面垂直的概念
定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直
知识点二 直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．
思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定．
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
梳理 判定定理
文字语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a(α，b(α，a∩b＝A?l⊥α
图形语言
知识点三 二面角
思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案 二面角．
思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角．
梳理 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的棱．②两个半平面叫作二面角的面．
(3)二面角的记法
以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.
(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA(α，OB(β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
知识点四 平面与平面垂直
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案 都是垂直．
梳理 (1)平面与平面垂直的概念
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记法：α⊥β.
(2)判定定理
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l(β?α⊥β
1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( × )
2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × )
3．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．( √ )
4．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( √ )
类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解
例1 下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 ④⑤
解析 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．
反思与感悟 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
跟踪训练1 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 (1)C (2)①③④
解析 (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．
类型二 线面垂直的判定
例2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
证明 ∵PA⊥平面ABC，BC(平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，PA，AC(平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
引申探究 若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
证明 由例2知BC⊥平面PAC，
又∵AE(平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC(平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
反思与感悟 (1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
跟踪训练2 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
证明 由引申探究知AE⊥平面PBC.
∵PB(平面PBC，
∴AE⊥PB，又AF⊥PB，
且AE∩AF＝A，AE，AF(平面AEF，
∴PB⊥平面AEF.
类型三 面面垂直的判定
例3 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
证明 连接AC，与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO(平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．
(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．
跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
证明 由题设知BC⊥CC1，
BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC(平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1(平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，
即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC(平面BDC，
所以DC1⊥平面BDC.
又DC1(平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
类型四 与二面角有关的计算
例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
考点 二面角
题点 看图索角
解 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1(平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
反思与感悟 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．
跟踪训练4 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
考点 二面角
题点 看图索角
解 由已知PA⊥平面ABC，BC(平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC(平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC(平面PAC，
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 B
解析 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m(α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n(β D．m⊥n，且n∥β
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 B
解析 A中，由α∥β，且m(α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，m(β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.
3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 C
解析 ∵BA⊥α，α∩β＝l，l(α，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.
∵AC(平面ABC，∴l⊥AC.
4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．
考点 二面角
题点 看图索角
答案 60°
解析 由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.
由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.
又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，
∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．
∵PA＝，AQ＝AC＝3，∴PQ＝8.
又∵OQ＝BC＝4，∴cos∠PQO＝＝，
∴∠PQO＝60°，即二面角P－AC－B的大小为60°.
5.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．
求证：平面EFC⊥平面BCD.
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
证明 ∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD，
又∵AD⊥BD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，EF，CF(平面EFC，
∴BD⊥平面EFC.
又∵BD(平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.
1.直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
一、选择题
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
考点 平面与平面垂直的判定
题点 判定两平面垂直
答案 C
解析 过直线l的平面都与α垂直．
2．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
考点 平面与平面垂直的判定
题点 判定两平面垂直
答案 C
解析 若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．
3．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 B
解析 ①④不正确，其他三项均正确．
4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
考点 二面角
题点 求二面角的大小
答案 C
解析 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
5．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则( )
A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBC
B．S＝S△OBC·S△ABC
C．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABC
D．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC
答案 B
解析 如图，由题设，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S＝S△OBC·S△ABC.
6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1 D．A1C1
考点 直线与平面垂直的判定
题点 判定直线与平面垂直
答案 D
解析 由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1(平面BB1D1D，
∴A1C1⊥B1O.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A. B. C. D.
考点 二面角
题点 求二面角的大小
答案 C
解析 如图，连接AC，交BD于点O，连接A1O，则O为BD中点．
因为A1D＝A1B，所以A1O⊥BD.
又因为在正方形ABCD中，
AC⊥BD，
所以∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
所以tan∠A1OA＝＝.
二、填空题
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 13
解析 如图，在Rt△ABC中，
CD＝AB.
因为AC＝6，BC＝8，
所以AB＝＝10，
所以CD＝5.
因为EC⊥平面ABC，CD(平面ABC，
所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13.
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 4
解析 如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又PD∩PA＝P，
∴CB⊥平面PAD，
∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.
10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
考点
题点
答案 ①③④?②(或②③④?①)
解析 当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n(α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④?②或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m(β，∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④?①.
11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．
考点 二面角
题点 求二面角的大小
答案 90°
解析 如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，
则AE⊥BC，DE⊥BC，
所以∠DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝，
又AD＝2，
所以∠DEA＝90°.
三、解答题
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
证明 如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，
∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF(平面BEF，
∴PC⊥平面BEF.
13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
证明 如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝AA1.
因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，
所以A1E＝CE.
因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG，
所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG＝F，A1C，FG(平面ACC1A1，
所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF(平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
四、探究与拓展
14．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
考点 平面与平面垂直的判定
题点 判定两平面垂直
答案 C
解析 如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，
∴D正确．
15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？
考点 二面角
题点 看图索角
(1)证明 连接D1A，D1B.
∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，
∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E(平面ABD1，∴A1D⊥D1E.
(2)解 过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.
∵D1D⊥平面DB，EC(平面DB，∴D1D⊥EC.
又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.
∵D1F(平面D1DF，∴EC⊥D1F，
∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，
∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.
在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.
在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝，AE＝2－.
6．2 垂直关系的性质
学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案 平行．
梳理 性质定理
文字语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
知识点二 平面与平面垂直的性质
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理 性质定理
文字语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a(α，a⊥l?a⊥β
图形语言
1．若平面α⊥平面β，任取直线l(α，则必有l⊥β.( × )
2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( × )
类型一 线面垂直的性质及应用
例1 如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
考点 直线与平面垂直的性质
题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行
证明 如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC(平面ABCD，
∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1(平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
反思与感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a(α，a⊥AB.求证：a∥l.
考点 直线与平面垂直的性质
题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行
证明 ∵PA⊥α，l(α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a(α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.
类型二 面面垂直的性质及应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直
证明 如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD(平面PAB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC(平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC(平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，PA，AD(平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又AB(平面PAB，∴BC⊥AB.
反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为边AD的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直
证明 (1)∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，又G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG(平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB(平面PBG，
∴AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
命题角度1 线线、线面、面面垂直的转化
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
考点 垂直问题的综合应用
题点 线线、线面、面面垂直的相互转化
证明 (1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.
又AD(平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中，
∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，
∴BE⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
又E，F分别为CD和PC的中点，
∴EF∥PD，∴CD⊥EF.
∵EF∩BE＝E，EF，BE(平面BEF，
∴CD⊥平面BEF.
又∵CD(平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
考点 垂直问题的综合应用
题点 线线、线面、面面垂直的相互转化
证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，
如图，则AE⊥平面BCD.
又CD(平面BCD，
∴AE⊥CD.
又BC⊥CD，AE∩BC＝E，
AE，BC(平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB(平面ABC，∴AB⊥CD.
又AB⊥AC，AC∩CD＝C，
AC，CD(平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB(平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.
命题角度2 垂直中的探索性问题
例4 已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 ∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵＝，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF(平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC.
故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解 由(1)得EF⊥平面ABC，BE(平面ABC，
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.
∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝.
又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，
∴AB＝，AC＝，
∴BE＝＝，∴AE＝，
∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．
跟踪训练4 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，
∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，
∴DC1⊥D1C.
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.
∵AD，DC1(平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
∴D1C⊥平面ADC1.
∵AC1(平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)解 连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，需使MN∥D1E.
又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE，即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
1．给出下列说法：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
考点 空间中直线与平面之间的位置关系
题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定
答案 D
解析 因为a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．
3．已知直线l⊥平面α，直线m(平面β.有下面四个说法：
①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β； ④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个说法是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 C
解析 ∵l⊥α，α∥β，m(β，∴l⊥m，故①正确；
∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m(β，∴α⊥β，故③正确．
4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 有关面面垂直性质的计算
答案
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 面面垂直性质的综合应用
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC(平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC(平面SBC，
所以平面SCD⊥平面SBC.
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
一、选择题
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
考点 直线与平面垂直的性质
题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行
答案 B
解析 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行 B．EF(平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直 D．相交且垂直
考点 平面与平面垂直的性质
题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直
答案 D
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF(平面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1.
3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD(平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
考点 平面与平面垂直的性质
题点 应用面面垂直的性质定理判定线面垂直
答案 B
解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD(平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1的位置关系为( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
考点 平面与平面垂直的性质
题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直
答案 C
解析 如图所示，在四边形ABCD中，
∵AB＝BC，AD＝CD，
∴BD⊥AC.
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，
平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD(平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C.
又CC1(平面AA1C1C，
∴BD⊥CC1，故选C.
5．下列说法中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α所有直线都垂直于平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面τ，平面β⊥平面τ，α∩β＝l，那么l⊥平面τ
考点 平面与平面垂直的性质
题点 面面垂直性质的综合应用
答案 A
解析 显然A不正确，若两个平面垂直，一个平面内只有和交线垂直的直线才和另一个平面垂直．
6．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l?α，l?β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．
7.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
考点 垂直问题的综合应用
题点 线线、线面、面面垂直的相互转化
答案 B
解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
二、填空题
8．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：
①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 1
解析 ①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错误，这时可能有l(β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错误，这时l与α的各种位置关系都可能存在．
9.如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
考点 平面与平面垂直的性质
题点 有关面面垂直性质的计算
答案
解析 如图，连接BC，
∵二面角α－l－β为直二面角，
AC(α，且AC⊥l，
∴AC⊥β.
又BC(β，
∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.
10.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 有关面面垂直性质的计算
答案 7
解析 取AB的中点D，连接PD，
∵PA＝PB，∴PD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
PD(平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，∴PD⊥CD.
连接DC，则△PDC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2，
在Rt△DBC中，DC＝＝＝，
PD＝＝＝.
在Rt△PCD中，
PC＝＝＝7.
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
考点 平面与平面垂直的判定
题点 判定两平面垂直
答案 3
解析 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD.在折起前，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对
三、解答题
12．如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：BE⊥平面PAC.
考点
题点
证明 (1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.
由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，
因此，四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．
又F为PC的中点，
因此，在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF(平面BEF，AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，
所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC(平面PAC，
所以BE⊥平面PAC.
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．
(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；
(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.
考点 垂直问题的综合应用
题点 线线、线面、面面垂直的相互转化
证明 (1)过A作AM⊥DE于点M，
则由题意可得AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.
又AD＝AE，
所以M是DE的中点．
取BC的中点N，连接MN，则MN⊥BC，又AM∩MN＝M，
所以BC⊥平面AMN，所以AN⊥BC.
又N是BC的中点，
所以△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.
(2)取BC的中点N，连接AN.
因为AB＝AC，所以AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MN⊥BC，又AN∩MN＝N，
所以BC⊥平面AMN，所以AM⊥BC.
又M是DE的中点，AD＝AE，
所以AM⊥DE.
又因为DE与BC是平面BCDE内的两条相交直线，
所以AM⊥平面BCDE.
又因为AM(平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCDE.
四、探究与拓展
14．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 B
解析 如图，连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，
可得PC⊥CM，所以PM＝，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．
在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，
此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
15．如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.
又DE?平面A1CB，BC(平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.
(2)证明 由已知得DC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥DC.又DE⊥A1D，A1D∩CD＝D，A1D，CD(平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC，
而A1F(平面A1DC，
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE(平面BCDE，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE(平面BCDE，所以A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，
则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C(平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，DE，DP(平面DEP，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C⊥平面DEQ.
7．1 简单几何体的侧面积
学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力．
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
思考2 圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S侧＝×2πrl＝πrl，
S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
思考3 圆台OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，＝，解得x＝l.
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝(x＋l)×2πR－x·2πr
＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l，
所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
梳理 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πr(r＋l)
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
思考1 类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？
答案 利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积．展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.
思考2 正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？
答案 正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝ch′.
思考3 下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？
答案 S正棱台侧＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′.
梳理 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝c·h
c—底面周长
h—高
正棱锥
S正棱锥侧＝c·h′
c—底面周长
h′—斜高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)·h′
c、c′—上、下底面周长h′—斜高
1．斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．( × )
2．多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
3．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
类型一 旋转体的侧面积(表面积)
例1 圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为多少．
考点
题点
解 如图所示，
设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
反思与感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1 (1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
考点
题点
答案 C
解析 由题意，圆柱的侧面积＝6π×4π＝24π2.
①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，
即r＝2，所以＝4π，
所以＝＋2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．
②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，所以＝9π，
所以＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
考点
题点
答案 C
解析 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，
所以＝＝＝，
所以PA＝AB，.
又因为＝π··PA，
＝π·()·AB，
则＝＝.
类型二 多面体的侧面积(表面积)及应用
例2 如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P-ABCDEF的表面积．
解
＝6××2×2×sin 60°＝6.
又＝＝6××2×
＝6＝12.
反思与感悟 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形．
跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
考点
题点
解 方法一 如图，作B1F⊥BC，
垂足为F，设棱台的斜高为h′.
在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
BF＝(8－4)＝2(cm)，
B1B＝8 cm，
∴B1F＝＝2(cm)，
∴h′＝B1F＝2 cm.
∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2)．
方法二 延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x cm，
则＝，
得x＝8 cm.
∴PB1＝B1B＝8 cm，
∴E1为PE的中点．
∴PE1＝＝2(cm)．
PE＝2PE1＝4 cm.
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48(cm2)．
类型三 组合体的侧面积(表面积)
例3 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积．
考点
题点
解 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan 60°＝a，
DC＝＝2a，
又DD′＝DC＝2a，
则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底
＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2
＝(9＋4)πa2.
反思与感悟 (1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．
(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．
跟踪训练3 已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．
考点
题点
解 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为点D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC2＋BC2＝AB2，
则AC⊥BC.
所以BC·AC＝AB·CD，
所以CD＝，记为r＝，
那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
1．一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )
A. m B. m
C. m D. m
考点
题点
答案 B
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则
解得r＝.
2．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.则三棱台的侧面积为( )
A．27 cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
考点
题点
答案 B
解析 如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝ cm，
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E.
在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm，
DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝ (cm)，
DD1＝＝＝ (cm)，
所以S正三棱台侧＝(c＋c′)·DD1＝ (cm2)．
3．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
答案 100π
解析 设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，
∴r＝2.
故圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.
4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为________．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 台体的表面积
答案 216π
解析 设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，
由勾股定理可得R－r＝＝5.
∵r∶R＝3∶8，
∴r＝3，R＝8.
S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，
则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.
5．正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积．
考点
题点
解 设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，
如图所示，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，
则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2.
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋2＝h′2.
所以h′＝2，所以a＝h′＝6.
所以S底＝a2＝×62＝9.
所以S侧＝2S底＝18.
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
一、选择题
1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
考点
题点
答案 A
解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，
＝＝.
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
考点
题点
答案 C
解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
3．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )
A．5 B.
C. D.＋1
考点
题点
答案 B
解析 设底面边长为a，则由底面周长为4，得
a＝1，SE＝ ＝，∴S侧＝4×××1＝.
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
考点
题点
答案 A
解析 设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r，
S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.
5．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 D
解析 由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶
C．1∶ D．1∶2
考点
题点
答案 C
解析 设正方体棱长为a，
由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，
其表面积为4＝4×a2＝2a2.
正方体的表面积为6a2，
∴三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2＝1∶.
7．已知正三棱锥的底面边长为a，高为a，则其侧面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案 A
解析 正三棱锥如图，
OD＝××a＝a，
∴PD＝＝a，
∴S侧＝×a×a×3＝a2，故选A.
二、填空题
8．圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的________倍．
答案 1
解析 由S侧＝π(r′＋r)l.当r，r′缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变．
9．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 锥体的表面积
答案 9
解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以S＝4××32＝9.
10．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________．
考点
题点
答案
解析 方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得×(3＋6)·h×4＝32＋62，解得h＝.
11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积
答案 96＋6π
解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.
12．已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
答案 112或72
解析 设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，
则
∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72 (cm2)．
三、解答题
13．圆柱有一个内接长方体AC1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的底面半径和高．
解 设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，
则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，
则
∴
即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.
四、探究与拓展
14．直平行六面体底面是菱形，两个对角面的面积分别为Q1和Q2，则此平行六面体的侧面积为________．
答案 2
解析 设侧棱为b，底面边长为a，
则2＋2＝a2，∴＝4a2b2，
∴S侧＝4ab＝2.
15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
考点 柱体、锥体、台体的表面积
题点 柱体的表面积
解 (1)轴截面如图，设圆柱的高为h，
BO＝1，PO＝3，
由图，得＝，即h＝3－3x.(0(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x
＝6π(x－x2)＝－6π2＋，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大，最大为.
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．
知识点一 柱、锥、台体的体积公式
几何体
体积公式
柱体
圆柱、
棱柱
V柱体＝Sh
S—柱体底面积，h—柱体的高
锥体
圆锥、
棱锥
V锥体＝Sh
S—锥体底面积，h—锥体的高
台体
圆台、
棱台
V台体＝(S上＋S下＋)h
S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高
知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × )
2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )
类型一 多面体的体积
例1 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．
(1)证明 由题知四边形PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，QA(平面PDAQ，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，
则PQ⊥QD.
又DC∩QD＝D，DC，QD(平面DCQ，
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解 设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，
所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高．
而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法
(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练1 如图，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么＝________.
答案 7∶5
解析 设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.
因为E，F分别为AB，AC的中点，所以＝S，
＝h＝Sh，
＝Sh－＝Sh，故.
类型二 旋转体的体积
例2 体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积．
解 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.
截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，
∴小圆锥的体积为2 cm3，
故原来圆锥的体积为54 cm3.
反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．
(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．
(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．
考点
题点
答案 21π
解析 设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°，
∴AD＝＝，
∴R－r＝.
BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3.∴ R＝2，r＝，而h＝3.
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.
∴圆台的体积为21π.
类型三 几何体体积的求法
命题角度1 等体积法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
解
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．
(2)利用等体积法可求点到面的距离．
跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.
考点
题点
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝.
∵××12×1＝×××××d，
∴d＝.
命题角度2 割补法
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．
考点
题点
解 如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，
所以S△EAB＝2S△BEF.
所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC
＝×VE－ABCD＝4.
所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.
反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．
跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
考点
题点
解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 D
解析 V＝Sh＝××3＝.
2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )
A. B. C．64π D．128π
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意知2r＝，即l＝r，
∴S侧＝πrl＝πr2＝16π，
解得r＝4.
∴l＝4，圆锥的高h＝＝4，
∴圆锥的体积为V＝Sh＝π×42×4＝.
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( )
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
考点
题点
答案 B
解析 V＝(2＋4＋)×3＝6＋2.
4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
考点 柱体、锥体、台体的体积?
题点 台体的体积
答案
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.
∴l＝2，∴h＝，
∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝.
5．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.
考点
题点
答案 0.6
解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积．
设水面下降的高度为x cm，则π×2x＝π×2×20，
得x＝0.6 cm.
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝Sh V台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.
2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．
3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
一、选择题
1.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B. C. D.
考点
题点
答案 C
解析 ∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′，
∴VC－AA′B′B＝VABC－A′B′C′＝.
2.如图，已知正三棱锥S－ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S－BCED与三棱锥S－ABC的体积之比为( )
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶4 D．4∶3
答案 C
解析 两锥体高相等，因此V四棱锥S－BCED∶V三棱锥S－ABC＝S四边形BCED∶S△ABC＝3∶4.
3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是( )
A．9π B．9
C．3π D．3
考点
题点
答案 C
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.
∴h＝＝，
∴V＝π·r2·h＝3π.
4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.π B.π C.π D．2π
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积
答案 A
解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，
该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.
5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为( )
A．2 B．2 C. D.
考点
题点
答案 A
解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是( )
A. B.
C. D．1
答案 A
解析 三棱锥D1－ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.
7．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A．6 cm B．6 cm
C．2 cm D．3 cm
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为r cm，由题意知
πr2×r＝π22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6 cm.
8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．1 B. C．3 D.
考点
题点
答案 A
解析 在正△ABC中，D为BC中点，
则有AD＝AB＝，＝×2×＝.
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，
AD⊥BC，AD(平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C，
即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．
∴·AD＝××＝1.
二、填空题
9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
考点
题点
答案
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2，
所以＝＝＝.
10.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．
考点
题点
答案 96
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA′＝×24×8＝96.
11.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为______．
考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积
题点 其他求体积、表面积问题
答案
解析 设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为，
∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC，
∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，
∴＝＝.
三、解答题
12．在四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
解 如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成．
∵C(2,1)，D(0,3)，
∴圆锥的底面半径r＝2，高h＝2.
∴V圆锥＝πr2h＝π×22×2
＝π.∵B(1,0)，C(2,1)，
∴圆台的两个底面半径R＝2，R′＝1，高h′＝1.
∴V圆台＝πh′(R2＋R′2＋RR′)
＝π×1×(22＋12＋2×1)＝π，
∴V＝V圆锥＋V圆台＝5π.
13.如图所示是一个边长为5＋的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积．
考点
题点
解 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则依题意有·2πl＝2πr，
∴l＝4r.
又∵AC＝OC＋OA＝r＋r＋l＝(＋5)r，且AC＝×(＋5)，
∴(＋5)r＝(＋5)×，
∴r＝，∴l＝4，
∴h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝π()2×＝π.故该圆锥的体积为π.
四、探究与拓展
14．若正三棱台A1B1C1－ABC的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V＝________.
答案 42
解析 如图，设D1，D分别为A1B1，AB的中点，O1，O为上、下两底面的中心，则O1O为棱台的高h，O1C1＝，OC＝，
作C1H⊥OC于点H，则C1H＝h，且CH＝2，故h＝C1H＝＝2.
∵＝，S△ABC＝16，
∴V＝＝42.
15.在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比是多少？
考点
题点
解 设棱台的高为h，
S△ABC＝S，则
∴＝S△ABC·h＝Sh，
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴＝V台－
＝Sh－Sh－Sh＝Sh.
∴∶∶＝1∶2∶4.
7．3 球的表面积和体积
学习目标 1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．
知识点一 球的截面
思考 什么叫作球的大圆与小圆？
答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆．
平面不过球心与球面形成的截线是小圆．
梳理 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是圆，有以下性质：
(1)若平面α过球心O，则截线是以O为圆心的球的大圆．
(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝，即此时截线是以O′为圆心，以r＝为半径的球的小圆．
知识点二 球的切线
(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．
(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；
②过球外一点的所有切线的长度都相等．
知识点三 球的表面积与体积公式
前提条件
球的半径为R
表面积公式
S＝4πR2
体积公式
V＝πR3
1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )
2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × )
3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )
类型一 球的表面积与体积
例1 已知球的表面积为64π，求它的体积．
考点
题点
解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练1 已知球的体积为π，求它的表面积．
解 设球的的半径为R，则πR3＝π，
解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
类型二 球的截面
例2 在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
考点
题点
解 依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×3＝.
由R2＝2＋()2，得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
考点
题点
答案 A
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解．
如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．
设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
∴V球＝π×53＝(cm3)．
类型三 与球有关的组合体
命题角度1 球的内接或外切柱体问题
例3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关球的体积计算问题
答案 14π
解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，
所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关球的体积计算问题
答案
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×12＝.
反思与感悟 (1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝.
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝.
跟踪训练3 表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.π B.π Cπ D.π
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关球的体积计算问题
答案 A
解析 如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.
∵正四面体的表面积为，
∴4×a2＝，解得a＝，
∴正方体的棱长是，
又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝×，∴R＝，∴球的体积为π·3＝π，故选A.
命题角度2 球的内接锥体问题
例4 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关球的体积计算问题
解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝πa2.
反思与感悟 将正四面体补成正方体．由此可得正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关球的体积计算问题
答案 或
解析 设球的半径为R，则球心到圆锥底面的距离为R.
①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，此时圆锥底面圆的半径为R，高为R，故圆锥的体积与球的体积之比为＝.
②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，同理求得二者体积比为.
1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为( )
A．R B．2R C．3R D．4R
考点 球的体积
题点 与截面有关的球的体积计算问题
答案 D
解析 设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，得h＝4R.
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π C．4π D．6π
考点 球的体积
题点 与截面有关的球的体积计算问题
答案 B
解析 如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝.
即球的半径为.
∴V＝π()3＝4π.
3．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
答案 C
解析 方法一 如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
方法二 如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.
4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点
题点
答案 B
解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2.
5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．
考点
题点
答案 8 4
解析 球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝π(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.
所以＝＝8，＝＝4，
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
一、选择题
1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
考点
题点
答案 C
解析 设三个球的半径由小到大依次为r1，r2，r3，
则r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，
∴V3＝πr＝×27πr＝36πr，V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr，
∴V3＝3(V1＋V2)．
2．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
A.π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题
答案 D
解析 由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.
3.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
考点 球的体积
题点 与外接、内切有关的球的体积计算问题
答案 C
解析 设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得
3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.
4．直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
考点
题点
答案 B
解析 球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.
5．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
考点 球的体积
题点 与截面有关的球的体积计算问题
答案 C
解析 如图，根据题意，|OO1|＝4 cm，|O1A|＝3 cm，
∴|OA|＝R＝＝5(cm)，
故球的体积V＝πR3＝(cm3)．故选C.
6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )
A．(2＋4) cm2 B．(8＋16) cm2
C．(4＋8) cm2 D．(16＋32) cm2
考点 球的表面积
题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题
答案 B
解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，∴正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4 cm，正四棱柱的底面对角线长为2 cm，∴正四棱柱的高为＝2 (cm)，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16 (cm2)，故选B.
7．若长方体的长、宽、高分别为5,4,3，则它的外接球的表面积为( )
A.π B．50π
C.π D.π
考点
题点
答案 B
解析 因为长方体的体对角线为外接球的直径，所以外接球的半径r＝×＝，所以它的外接球的表面积S＝4πr2＝50π.
二、填空题
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．
考点
题点
答案
解析 设大，小两球半径分别为R，r，
则
所以
所以体积和为πR3＋πr3＝.
9．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
考点
题点
答案
解析 设球的半径为R，正方体棱长为a，则V球＝πR3＝π，得到R＝，正方体体对角线的长为a＝2R，则a＝，所以正方体的棱长为.
10．已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
考点
题点
答案 24π
解析 V四棱锥O-ABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
11．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
考点
题点
答案 π
解析 如图所示，CD是截面圆的直径．
∴2·π＝π，即CD＝2，
设球O的半径为R，
∵AH∶HB＝1∶2，
∴AH＝×2R＝R，
∴OH＝R－R＝R，
由OD2＝OH2＋HD2，得R2＝R2＋1，
∴R2＝，
∴S球＝4πR2＝π.
三、解答题
12．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积
解 该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
13．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积
解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.
即容器中水的深度为r.
四、探究与拓展
14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为________．
考点
题点
答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线AC1的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知，
得解得
所以球的半径R＝AB＝＝，
所以S球＝4πR2＝9π.
15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．
考点 球的表面积
题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题
解 设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3，
R3＝a，所以R1∶R2∶R3＝1∶∶.
所以S1∶S2∶S3＝R∶R∶R＝1∶2∶3.
即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.
第一章 立体几何初步
章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积．
1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积
名称
定义
图形
侧面积
体积
多
面
体
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
S直棱柱侧＝Ch，C为底面的周长，h为高
V＝Sh
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
S正棱锥侧＝Ch′，C为底面的周长，h′为斜高
V＝Sh，h为高
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
S正棱台侧＝(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高
V＝(S上＋S下＋)h，h为高
旋转体
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝2πrh，
r为底面半径，h为高
V＝Sh＝πr2h
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝πrl，
r为底面半径，
h为高，l为母线
V＝Sh＝πr2h
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分
S侧＝π(r1＋r2)l，
r1，r2为底面半径，l为母线
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体
S球面＝4πR2，
R为球的半径
V＝πR3
2．空间几何体的直观图
(1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：
①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．
②等积变换，如三棱锥转移顶点等．
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．
3．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
4．直线与直线的位置关系
5．平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝?
a(α，
b?α，
a∥b
a∥α
a∥α，a(β，
α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝?
a(β，b(β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，a(β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
6．垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
图形
条件
结论
判定
a⊥b，b(α
(b为α内的任意直线)
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m，n(α，
m∩n＝O
a⊥α
a∥b，a⊥α
b⊥α
性质
a⊥α，b(α
a⊥b
a⊥α，b⊥α
a∥b
(2)平面与平面垂直的判定与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
(3)空间中的垂直关系的内在联系
7．空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.
(2)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n.( × )
2．已知a，b是两异面直线，a⊥b，点P?a且P?b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.( √ )
3．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直．( √ )
4．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径．( √ )
5．若m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n(α或n∥α.( √ )
类型一 平行问题
例1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用?
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．∴OF∥PD.
又OF?平面PMD，PD(平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA∥PB，MA＝PB，
∴PF∥MA，PF＝MA.
∴四边形AFPM是平行四边形．
∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM(平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF(平面AFC，OF(平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
反思与感悟 (1)证明线线平行的依据
①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．
(2)证明线面平行的依据
①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质．
(3)证明面面平行的依据
①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的传递性．
跟踪训练1 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
考点 线、面平行、垂直的综合应用(
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
(1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC(平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，
因此GH∥EF.
(2)解 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD(平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，
所以PO平行于这条垂线，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
又因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO(平面PBD，
所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.
又EF(平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝BD＝OB，即K是OB的中点．
再由PO∥GK得GK＝PO，
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，
所以GK＝3，
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
类型二 垂直问题
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
考点 直线与平面垂直的判定
题点 直线与平面垂直的证明
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD(平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC(平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
而AE(平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，
且PC∩CD＝C，PC，CD(平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
而PD(平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB(底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD(平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD(平面PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE(平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
反思与感悟 (1)两条异面直线相互垂直的证明方法
①定义；
②线面垂直的性质．
(2)直线和平面垂直的证明方法
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理．
(3)平面和平面相互垂直的证明方法
①定义；
②面面垂直的判定定理．
跟踪训练2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)求证：BC1⊥AB1.
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
证明 (1)设BC的中点为M，
∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.
∵AC(平面ABC，∴B1M⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC(平面B1C1CB，
∴AC⊥平面B1C1CB.
又∵AC(平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1.
∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.
又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.
类型三 空间角问题
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；
(2)求二面角M－EF－N的正切值．
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
(1)证明 连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，
∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN(平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE，又NE∩NF＝N，
∴MN⊥平面NEF.
而MN(平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.
(2)解 在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF，
又EF(平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，
∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．
设该正方体的棱长为2，
在Rt△NEF中，NG＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M－EF－N的正切值为.
反思与感悟 (1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；
(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线．
跟踪训练3 如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
考点 平面与平面垂直的判定
题点 利用判定定理证明两平面垂直
(1)证明 连接OC.
∵PO⊥底面⊙O，AC(底面⊙O，∴AC⊥PO.
∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.
又∵OD∩PO＝O，
∴AC⊥平面POD.
又∵AC(平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.
(2)解 在平面POD内，过点O作OH⊥PD于点H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
又平面POD∩平面PAC＝PD，
∴OH⊥平面PAC.
又∵PA(平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，
则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
∵C是的中点，AB是直径，
∴OC⊥AB.
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin 45°＝.
在Rt△POD中，
OH＝＝＝＝.
在Rt△POA中，
OG＝＝＝＝.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝.
∴cos∠OGH＝＝ ＝.
故二面角B－PA－C的余弦值为.
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
考点 空间几何体
题点 空间几何体结构判断
答案 C
解析 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥，图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故选C.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个说法：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确说法的序号是( )
A．① B．②③ C．③④ D．①④
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 A
解析 ②如果m(γ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，则m，n相交，平行或异面，④若α⊥γ，β⊥γ，则α，β相交或平行．
3．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶
考点
题点
答案 B
解析 设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积＝4××2a2＝2a2.∴＝＝.
4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
考点 平面图形的直观图
题点 由直观图还原平面图形
答案 A
解析 由图形，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A′O′＝，
∴AO＝.
∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形．故选A.
5.如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB.
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行、垂直综合问题的证明
证明 (1)因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.
又因为VB?平面MOC，OM(平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC(平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.
又因为OC(平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB.
1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
一、选择题
1．给出下列说法中正确的是( )
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．棱柱的底面一定是平行四边形
D．棱锥的底面一定是三角形
考点 多面体的结构特征
题点 多面体的结构特征
答案 A
解析 平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；三棱柱的底面是三角形，故C错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选A.
2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为( )
A．6 B．3
C．6 D．12
答案 D
解析 由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12.
3．下列说法正确的是( )
A．经过空间内的三个点有且只有一个平面
B．如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内
C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台
考点 线、面关系的综合问题
题点 线、面关系的其他综合问题
答案 C
解析 在A中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内，故B错误；在C中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故D错误．故选C.
4．设α－l－β是二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则( )
A．a与b可能垂直也可能平行
B．a与b可能垂直，但不可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系的判定
答案 A
解析 ∵α－l－β是二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，
∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故B与D不正确；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l与已知矛盾，若二面角不是直二面角，则a，b可以垂直，且满足条件，故C不正确；∴a与b有可能垂直，也有可能平行，故选A.
5．在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是( )
A．a(α，b(β，α∥β B．a∥α，b(α
C．a⊥α，b⊥α D．a⊥α，b(α
考点 直线与平面垂直的性质
题点 应用线面垂直的性质定理判定线线平行
答案 C
解析 对于A，若a(α，b(β，α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若a∥α，b(α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a∥b；对于D，若a⊥α，b(α，则由线面垂直的定义可得a⊥b，故选C.
6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )
A. B. C. D.
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 D
解析 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，∴r＝，∴V＝πr2h＝.令＝L2h，得π＝，故选D.
7．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．
在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
考点 二面角
题点 知题作角
答案 A
解析 如图，连接AC交BD于点O，连接OC1.
因为AB＝AD＝2，所以AC⊥BD，
又易知BD⊥平面ACC1A1，
所以BD⊥OC1，
所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．
因为在△COC1中，OC＝，CC1＝，
所以tan∠COC1＝，
所以二面角C1－BD－C的大小为30°.
二、填空题
9．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为________．
考点
题点
答案 a,2a
解析 如图，画出圆台轴截面，
由题设，得∠OPA＝30°，AB＝2a，
设O1A＝r，PA＝x，
则OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r，
∴a＝r，即两底面圆的半径分别为a,2a.
10.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．
考点 直线与平面平行的性质
题点 与性质有关的计算问题
答案
解析 在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D，在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，过点D作直线DE∥VB，交BC于E，连接EF.
∴PF∥DE，
∴P，D，E，F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，
则四边形PDEF为边长为a的正方形，
故其面积为.
11.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
考点 平面与平面垂直的性质
题点 有关面面垂直性质的计算
答案 ∶2
解析 由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，
所以cos α＝＝，
cos β＝，
所以cos α∶cos β＝∶2.
三、解答题
12．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
考点 多面体表面上绕线最短距离问题
题点 棱柱体表面上绕线最短距离问题
解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，
所以对角线的长为＝.
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．
设PC的长为x，
则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
因为MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2.
又因为NC∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝.
13．如图所示，在几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.
(1)求几何体ABCDFE的体积；
(2)证明：平面ADE∥平面BCF.
考点
题点
(1)解 取BC的中点为O，ED的中点为G，连接AO，OF，FG，AG.
∵AO⊥BC，AO(平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，
平面BCED∩平面ABC＝BC，
∴AO⊥平面BCED.
同理FG⊥平面BCED.
∵AO＝FG＝，
∴VABCDFE＝×4××2＝.
(2)证明 由(1)知AO∥FG，AO＝FG，
∴四边形AOFG为平行四边形，
∴AG∥OF.
又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE(平面ADE，AG(平面ADE，FO∩BC＝O，FO(平面BCF，BC(平面BCF，
∴平面ADE∥平面BCF.
四、探究与拓展
14．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是( )
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1.
A．②③ B．①④ C．③ D．①②④
考点 线面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 显然①④正确，②③错误．
15．如图，在△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点与图中B′点重合．
(1)求证：AO⊥平面B′OC；
(2)当三棱锥B′－AOC的体积取最大时，求二面角A－B′C－O的余弦值；
(3)在(2)的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长．
考点 空间角问题
题点 空间角的综合问题
(1)证明 ∵AB＝AC且O是BC的中点，
∴AO⊥BC，即AO⊥OB′，AO⊥OC，
又∵OB′∩OC＝O，
OB′(平面B′OC，
OC(平面B′OC，
∴AO⊥平面B′OC.
(2)解 在平面B′OC内，作B′D⊥OC于点D，
则由(1)可知B′D⊥OA，
又OC∩OA＝O，∴B′D⊥平面OAC，
即B′D是三棱锥B′－AOC的高，
又B′D≤B′O，∴当D与O重合时，三棱锥B′－AOC的体积最大，
过O作OH⊥B′C于点H，连接AH，如图．
由(1)知AO⊥平面B′OC，
又B′C(平面B′OC，∴B′C⊥AO，∵AO∩OH＝O，
∴B′C⊥平面AOH，
∴B′C⊥AH，
∴∠AHO即为二面角A－B′C－O的平面角．
在Rt△AOH中，AO＝2，OH＝，∴AH＝，
∴cos∠AHO＝＝，
故二面角A－B′C－O的余弦值为.
(3)解 如图，连接OP，在(2)的条件下，易证OC⊥平面B′OA，
∴CP与平面B′OA所成的角为∠CPO，
∴sin∠CPO＝＝，
∴CP＝.
又在△ACB′中，sin∠AB′C＝＝，
∴CP⊥AB′，
∴B′P＝＝，∴AP＝.
