第1章 立体几何初步
滚动训练一(5.1～5.2)
一、选择题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．不能确定
考点 空间中直线与平面之间的位置关系
题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定
答案 B
解析 设α∩β＝l，a∥α，a∥β，
则过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c.又b?β，c(β，∴b∥β.
又b(α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.
2．下列说法正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③ B．②④
C．②③④ D．③④
考点 空间中直线与平面之间的位置关系
题点 空间中直线与平面之间的位置关系的判定
答案 D
解析 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确．
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3
B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面
D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
考点 空间中直线与直线的位置关系
题点 空间中直线与直线的位置关系判定的应用
答案 B
解析 A中，l1⊥l2，l2⊥l3，
则l1与l3可以平行，也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；
B中，l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；
C中，l1∥l2∥l3，则三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；
D中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．
4．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．梯形
C．正方形 D．空间四边形
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
答案 C
解析 由题意得EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又EF＝AC，AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
又∵AC与BD所成角的大小为90°，
∴EF⊥EH，即四边形EFGH为正方形．
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 A中，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B中，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ(平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ；
C中，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ(平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ；
D中，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ(平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
6．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 B
解析 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.
7.如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
考点 直线与平面平行的性质
题点 利用性质证明平行问题
答案 B
解析 ∵MN∥平面PAD，MN(平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.
8．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.
C．3 D．2
考点 直线与平面平行的性质
题点 与线面平行性质有关的计算
答案 C
解析 设AO交BE于点G，连接FG.
∵O，E分别是BD，AD的中点，
∴＝，＝.
∵PC∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF＝GF，
PC(平面PAC，
∴GF∥PC，∴＝＝，则AP＝3AF，∴λ＝3.
二、填空题
9．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列说法：
①若l与m为异面直线，l(α，m(β，则α∥β；
②若α∥β，l(α，m(β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中说法正确的为________．
考点 线、面关系的综合问题
题点 线、面关系的其他综合问题
答案 ③
解析 ①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.
10．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝______.
考点 空间中直线与平面之间的位置关系
题点 空间中直线与平面之间的位置关系的应用
答案 8
解析 直线CE在下底面内，且与上底面平行，与其他四个平面相交，直线EF与左、右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m＝4，n＝4，故m＋n＝8.
11.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；
其中正确结论的序号是________．
考点 平行的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 ①②③④
解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可．
12．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．
考点 线、面关系的综合问题
题点 线、面关系的其他综合问题
答案 4＋6
解析 由EF∥平面BCC1B1，知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
三、解答题
13.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
考点 平面与平面平行的性质
题点 与面面平行性质有关的计算
解 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，
所以D1C1＝A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，
所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝1.
四、探究与拓展
14．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB＝90°，AB＝AD＝AA1＝2DC，Q为棱CC1上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB1，DD1交于点P，R，则下列结论错误的是( )
A．对于任意的点Q，都有AP∥QR
B．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形
C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形
D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR
考点 平行的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 C
解析 ∵AB∥CD，AA1∥DD1，AB∩AA1＝A，CD∩DD1＝D，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.
又∵平面APQR∩平面ABB1A1＝AP，
平面APQR∩平面CDD1C1＝QR，∴AP∥QR.
故A正确；
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，
∴平面BCC1B1与平面ADD1A1不平行．
由AP∥QR可知，AP≠QR，
即四边形APQR不可能为平行四边形，故B正确；
延长CD至M，使得DM＝CD，
则四边形ABCM是矩形，
∴BC∥AM.
当R，Q，M三点共线时，AM(平面APQR，
∴BC∥平面APQR，故D正确；易得C不正确．
15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D?
考点 平行的综合应用
题点 平行中的探索性问题
解 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.
因为M是AB的中点，
所以ME∥AA1∥FG，
且ME＝AA1＝FG，
所以四边形MEFG是平行四边形．
因为ME∥BB1，BB1(平面BB1D1D，ME?平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.
在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1(平面BB1D1D，EF?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
又因为ME∩EF＝E，且ME(平面MEFG，EF(平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.
在FG上任取一点N，连接MN，
所以MN(平面MEFG.
所以MN与平面BB1D1D无公共点．
所以MN∥平面BB1D1D.
总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥平面BB1D1D，
即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.
第1章 立体几何初步
滚动训练二(6.1～6.2)
一、选择题
1．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
考点 直线与平面垂直的性质
题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 A
2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n(α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 B
解析 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m(β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
4.如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
考点 直线与平面垂直的性质
题点 根据线面垂直的性质判定线线垂直
答案 A
解析 ∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
又∵PA⊥平面ABC，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
又BC(平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC(平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又PC(平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A.
5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1，可得AA1⊥C1M.由A1C1＝B1C1及M为A1B1的中点可得C1M⊥A1B1，
∵AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1(平面A1ABB1，
∴C1M⊥平面A1ABB1，∴①正确；
由C1M⊥平面A1ABB1，
可得C1M⊥A1B，
又已知AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，
∴A1B⊥平面AMC1，从而可得A1B⊥AM，
又易证得AM∥NB1，
∴A1B⊥NB1，∴②正确；
易证得AM∥NB1，MC1∥CN，从而根据面面平行的判定定理可证得平面AMC1∥平面CNB1，∴③正确，故选D.
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
考点 平面与平面垂直的判定
题点 判定两平面垂直
答案 D
解析 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB(平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC.
7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是( )
A．BD1∥B1C
B．A1D1∥平面AB1C
C．BD1⊥AC
D．BD1⊥平面AB1C
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 C
解析 连接BD.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC，
∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1?平面BDD1，
∴AC⊥BD1.故选C.
8．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是( )
A．4 B．2＋
C．3＋ D．2＋
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 D
解析 如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.
∵BC⊥平面ABB1A1，NB(平面ABB1A1，
∴NB⊥MG.
∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，
∴△ABM≌△BB1N，
∴∠MAB＝∠NBB1，∴∠MBE＋∠BME＝90°，
∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，
又MG∩AM＝M，MG，AM(平面ADGM，
∴NB⊥平面ADGM，
∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，
∴矩形ADGM的周长等于2＋.故选D.
二、填空题
9．下列四个命题中，真命题的个数为________．
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
考点 平面的基本性质
题点 确定平面问题
答案 1
解析 只有③正确．
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，
BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 60°
解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.
11.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．
考点 二面角
题点 知题作角
答案
解析 在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连接AG，过点B作BH垂直AG于点H，连接EH.
∵BE⊥平面ABCD，AG(平面ABCD，
∴BE⊥AG.
∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，
BH，EB(平面BEH，
∴AG⊥平面BEH，
∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．
设正方体的棱长为a，
则BE＝，CF＝a，
∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2，
∴BG＝a，∴BH＝a，
故tan∠BHE＝＝＝.
三、解答题
12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行、垂直综合问题的证明
证明 (1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴＝，
在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC.
∵DE?平面BCF，BC(平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.
∵在△BFC中，BC＝，BF＝CF＝，
∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.
又AF∩BF＝F，AF，BF(平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
13.如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
证明 (1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
又因为EF?平面ABC，AB(平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC(平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD(平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB(平面ABC，
BC(平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC(平面ABC，
所以AD⊥AC.
四、探究与拓展
14．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 垂直的计算与探索性问题
答案 C
解析 如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2，BP＝，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝＝≥2，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值．故选C.
15．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M为A1B的中点．
(1)证明：A1M⊥平面MAC；
(2)在棱B1C1上是否存在点N，使MN∥平面A1ACC1？若存在，试确定点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 垂直的计算与探索性问题
(1)证明 在Rt△BAC中，BC＝＝＝2.在Rt△A1AC中，
A1C＝＝＝2.
∴BC＝A1C，即△A1CB为等腰三角形．
又点M为A1B的中点，∴A1M⊥MC.
又∵四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，
∴A1M⊥MA.
又MC∩MA＝M，MC(平面MAC，MA(平面MAC，
∴A1M⊥平面MAC.
(2)解 当N为B1C1的中点时，满足MN∥平面A1ACC1，
证明如下：
取A1B1的中点P，连接MP，NP.
∵M，P分别为A1B与A1B1的中点，
∴MP∥BB1∥AA1.
又MP?平面A1ACC1，AA1(平面A1ACC1，
∴MP∥平面A1ACC1，同理可证NP∥平面A1ACC1.
又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面A1ACC1.
∵MN(平面MNP，∴MN∥平面A1ACC1.
第1章 立体几何初步
滚动训练三(§5～§6)
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 C
解析 对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选C.
2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是( )
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．
A．①② B．①③
C．③④ D．②③
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱；
对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；
对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；
对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．故选D.
3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若m(α，α⊥β，则m⊥β
B．若m(α，n(α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
D．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面知，在A中，若m(α，α⊥β，则m与β相交、平行或m(β，故A错误；
在B中，若m(α，n(α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故B错；在C中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m(α，故C错误；
在D中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
4．正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )
A．30° B．60° C．45° D．90°
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 B
解析 过顶点作垂线，交底面于正方形对角线的交点O，连接OE，
∵正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，
∴PO＝，AB＝，AC＝，PA＝，OB＝，
∵OE与PA在同一平面且是△PAC的中位线，
∴OE∥PA且OE＝PA，
∴∠OEB即为PA与BE所成的角，OE＝，
在Rt△OEB中，tan∠OEB＝＝，
∴∠OEB＝60°.
故选B.
5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论：
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 A
解析 在①中，由正方体的性质，得BD∥B1D1，
又BD?平面CB1D1，B1D1(平面CB1D1，
∴BD∥平面CB1D1，故①正确；
在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，
又AC∩CC1＝C，AC，CC1(平面ACC1，
∴BD⊥平面ACC1，
∴AC1⊥BD，故②正确；
在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，
由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，
同理可证AC1⊥CB1，
∴AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，
∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；
在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，
故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，
故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．
故选A.
6．如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.
7．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为( )
A. B. C．3 D．4
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的计算与探索性问题
答案 C
解析 ∵PD⊥底面ABCD，AE(底面ABCD，
∴PD⊥AE，
当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，
则＝，
∵AB＝2BC，
∴DE＝AB＝DC，
∴＝3.
故选C.
8．边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至△A′DE的位置，使A′M＝.设MC的中点为Q，A′B的中点为P，给出下列四个结论：
①A′N⊥平面BCED；②NQ∥平面A′EC；③DE⊥平面A′MN；④平面PMN∥平面A′EC.
以上结论正确的是( )
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①③④
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 C
解析 由题意可知MN与CE在同一平面内且不平行，所以MN与CE一定有交点，即平面PMN与平面A′EC有交线，④错误，故选C.
二、填空题
9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________．
考点 空间角
题点 空间角的综合应用
答案 60°
解析 过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.
10．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面，其中正确结论的序号是________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 ①②③
解析 ∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，
设M，N分别是BD和AE的中点，
取AD的中点G，连接MG，NG，
易得AD⊥平面MNG，
进而得到AD⊥MN，故①正确；
连接AC，CE，根据三角形中位线定理，
可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，
可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误．
11．我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．
考点 空间中的垂直问题
题点 空间中的垂直问题
答案 4
解析 ∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，
∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，
∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，
∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，
∴四面体ABCD的直度为4.
三、解答题
12．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：
(1)FD∥平面ABC；
(2)AF⊥平面EDB.
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行、垂直综合问题的证明
证明 取AB的中点M，连接FM，MC.
(1)∵F，M分别是BE，BA的中点，
∴FM∥EA，FM＝EA＝a.
∵EA，CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，
∴CD∥FM.
又∵DC＝a，∴FM＝DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，
∴FD∥MC.
∵FD?平面ABC，MC(平面ABC，
∴FD∥平面ABC.
(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB.
又∵AE⊥平面ABC，CM(平面ABC，∴CM⊥AE，
又∵AB∩AE＝A，AB，AE(平面EAB，
∴CM⊥平面EAB，
又AF(平面EAB，
∴CM⊥AF.
又∵CM∥FD，
∴FD⊥AF.
∵F是BE的中点，EA＝AB，
∴AF⊥BE.
又∵FD∩BE＝F，FD，BE(平面EDB，
∴AF⊥平面EDB.
13．如图所示，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，
则PM∥QN，∴＝，＝.
∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.
∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.
∵PQ?平面CBE，MN(平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
四、探究与拓展
14．已知m，n是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两个不重合的平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥a，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；③若m∥a，n⊥b且α∥β，则m⊥n；④若m⊥a，n⊥b，且α∥β，则m∥n.其中真命题的序号是________．
考点 线、面平行、垂直的综合应用
题点 平行与垂直的判定
答案 ②③
解析 ①中m，n不一定平行，还可能相交或异面；④中m，n不一定平行，还可能异面或相交．
15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，EN，
则有EN∥CD，EN＝CD，
又AM∥CD，AM＝CD，
∴EN∥AM，且EN＝AM.
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE.
∵AE(平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD(平面PAD，
∴AB⊥平面PAD.
又∵AE(平面PAD，
∴AB⊥AE，又AE∥MN，
∴AB⊥MN，又CD∥AB，
∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，E是PD的中点，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.
又MN⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD(平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
