人教版八年级上册《12.2直角三角形全等的判定》同步测试含答案

直角三角形全等的判定
(45分钟小测验)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，中，，于D，于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有　　
A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对
如图，若要用“HL”证明≌，则还需补充条件　　
A. B. 或C. 且D. 以上都不正确
下列说法中，正确的个数是　　斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
下列说法：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．角的对称轴是角平分线两边对应相等的两直角三角形全等成轴对称的两图形一定全等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确的有　　个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
下列说法不正确的是　　
A. 有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B. 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D. 有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
如图，，，于E，于D，，，则DE的长是　　
A. 8 B. 5 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定≌，则需要添加的一个条件是______ ．
如图，三角形ABC中，，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件______，使≌．
如图，已知于点P，，请增加一个条件，使≌不能添加辅助线，你增加的条件是______．
如图，在中，已知：，，，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______．
如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若，，则 ______ cm．
如图，若要用“HL”证明≌，则需要添加的一个条件是______．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
如图，，，E是AB上的一点，且，．求证：≌；若，，请求出CD的长．
如图，点E，C在BF上，，，．求证：；若AC交DE于M，且，，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角的度数．
如图所示，已知AB是的直径，直线L与相切于点C，，CD交AB于E，直线L，垂足为F，BF交于C．图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；若，，求AB的值．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，已知AC平分，于E，于F，且，求证：≌；若，，，求AC的长．

如图1，，，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰．求C点的坐标；如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值．

答案和解析
【答案】
1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C
7. ??
8. 或或正确即可??
9. 或或或??
10. ??
11. 7??
12. 或??
13. 解：，，，，．，≌分 由≌得，．．分 又，，，分 ，分 分利用其它方法，参照上述标准给分??
14. 证明：，，又，，≌，． 解：，，，，，在中，，，在中，，，．??
15. 解：，理由如下：连接CG、AC、BD；，，，即；直线L切于C，，，，；；和中，、，，≌，则． 切于C，，即；在中，，；；在中，，由射影定理得：，即．??
16. 证明：平分，于E，于F，，垂线的意义 角平分线的性质 已知 ≌ 解：由得，≌ ，设 ，，， ≌ 即： ，， 解得， 在中，， 中， 答：AC的长为17．??
17. 解：如图1，过C作轴于M点，，，则，在和中 ≌，，，，点C的坐标为． 如图2，过D作于Q点，则 ，，，，在和中，，≌．．即．??
【解析】
1. 解：，，，，，≌；，，，，≌；，，，≌；，≌；，，，，≌，≌．共6对，故选D．≌，≌，≌，≌，≌，≌．利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、做题时要由易到难，不重不漏．
2. 解：从图中可知AB为和的斜边，也是公共边．很据“HL”定理，证明≌，还需补充一对直角边相等，即或，故选B．根据“HL”证明≌，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
3. 解：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选C．根据HL可得正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形全等；由AAS或ASA可得正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等．本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．
4. 解：两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误；角的对称轴是角平分线所在直线，故错误；两边对应相等的两直角三角形可以用SAS，故正确；根据轴对称的性质可得，成轴对称的两图形一定全等，故正确；根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，故正确；综上所述，正确的说法有3个．故选：B．不存在SSA这种判定全等三角形的方法；根据角的轴对称性进行判断；斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，据此判断即可；根据轴对称的性质进行判断；根据线段垂直平分线的性质进行判断．本题主要考查了轴对称的性质、直角三角形的判定、线段和角的轴对称性的综合应用，解题时注意：对称轴是一条直线；直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
5. 解：A、有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，说法正确；B、有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；D、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确；故选：C 根据三角形全等的判定定理进行分析即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6. 解：，，于E，于D，，，又，，≌．，，．故选C．根据已知条件，观察图形得，，然后证≌后求解．本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．
7. 解：，理由是：，，在和中，，≌．故答案为：．先求出，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
8. 解：， ，当或或时，≌．和中，已知了，，因此只需添加一组对应角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等．本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查全等三角形判定方法的开放性试题，答案不唯一熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键．
9. 解：于点P，，又，≌．增加的条件是或或或．故填或或或．要使≌，已知于点P，，即一角一边，则我们增加直角边、斜边或另一组角，利用SAS、HL、AAS判定其全等．本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，注意要选择简单的，明显的添加．
10. 解：在直角中，，，，，，，，，≌，，在直角中，，，，，，．根据已知及勾股定理求得DP的长，再根据全等三角形的判定得到≌，从而根据直角三角形的性质求得GH，BG的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积．此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用．
11. 解：在中，， ， ≌ ， ．故填7．用AAS证明≌，得，，所以．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12. 解：添加或；理由如下：，在和中，，≌，故答案为：或．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是．本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
13. 根据已知可得到，，从而利用HL判定两三角形全等；由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出，由已知我们可求得BE、AE的长，再利用勾股定理求得ED、DC的长．此题考查学生对全等三角形的判定方法及勾股定理的运用能力．
14. 通过证明≌即可得出．要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用．
15. 观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证≌；连接BD，由于弧弧AD，那么，根据垂径定理知；由弦切角定理知，那么它们的余角也相等，即，那么弧弧AC，即，再由角平分线的性质得，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．由弦切角定理知，它们的正弦值也相等，即可在中，求得CG的长，也就得到了AC的长，在中，，由射影定理即可得到AB的长．此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得是解决此题的关键．
16. 要证明≌，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；结合中的结论进行分析，发现：，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．
17. 如图1，过C作轴于M点，则可以求出≌，可得，，故点C的坐标为．如图2，过D作于Q点，则 利用三角形全等的判定定理可得≌ 进一步可得，即．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大．