2.1 图形的轴对称
1.角的平分线上的点到这个角的两边的_________相等.
2.线段_________（填是或不是）轴对称图形，它的一条对称轴垂直并_________它，这样的直线叫做这条线段的_________，简称_________.
3.线段垂直平分线上的点到这条线段_________的距离________.
4.线段有_________条对称轴.
5.角平分线有_________条对称轴.
6.下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A.等边三角形 B.长方形
C.等腰三角形 D.直角三角形?
7.等腰三角形的对称轴是（ ）
A.顶角的平分线 B.底边上的高
C.底边上的中线 D.底边的垂直平分线所在直线?
8.下面选项对于等边三角形不成立的是（ ）
A.三边相等 B.三角相等
C.是等腰三角形 D.有一条对称轴?
9.等边三角形对称轴的条数是（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
10.一等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，求这个三角形的三个内角.
解：设底角度数为x，则顶角度数为2x.
根据三角形内角和是______________.
2x+x+x=_________
x=_________
2x=_________
∴这个三角形的三个内角分别为______________.
参考答案
1.距离 2.是 平分 垂直平分线 中垂线
3.两个端点 相等 4.两 5.一
6.D 7.D 8.D 9.C
10.180° 180° 45° 90° 45°、45°、90°
2.2.1 轴对称的基本性质
1、如图，等腰△ACB中，直线AD是它的对称轴；DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，则图中直角三角形有______个，全等三角形有________对，F点关于AD成轴对称的对应点是_____点。
2、如图，直线是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；AO=OC；AB⊥BC。其中正确的结论有__________。
3、如图1.2-10所示，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长是_______.
图1.2-10
4、如图1.2-11，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC≌△AMB；③CD＝DN，其中正确的结论是 （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．
5、如图1.2-13所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F。若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N。若AB=5，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
6、如图1.2-14，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9，你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。
参考答案
1、6，3，E
2、①②③.提示：由于直线是四边形ABCD的对称轴，所以AC⊥BD，OD=OB，由已知条件AB=CD，所以△AOB≌△COD（HL）。所以AO=OC，∠OAB=∠OCD。由∠OAB=∠OCD可得AB∥CD。故正确结论有3个。
3、8
4、①②；
∠1＝∠2.
∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠EAD=∠FAD，∠MAD=∠NAD.
∴∠EAD－∠MAD =∠FAD－∠NAD.
即：∠1＝∠2.
5、
5题图
△DEF的面积为10.
6、
2.2.2 轴对称的基本性质
1．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C＝48°，则∠B的度数为( )．
A．48° B．54° C．74° D．78°
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上点A'处，折痕为CD，则∠A'DB等于( )．
A．40° B．30°
C．20° D．10°
3．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC≌△AMB；③CD＝DN．其中正确的结论是_______．（填序号）选一个你比较喜欢的结论加以说明．
4．如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＋BC＝8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是( )．
A．8 B．16 C．4 D．10
6．如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线∠对称，则∠B＝_______．
7．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点C'、D'处，C'E交AF于点G．若∠CEF＝70°，则么GFD'＝_______°．
8.如图，在公路l的同侧，有两个居民小区A、B，现需要在公路边建一个液化气站P，要使液化气站到A、B两小区的距离和最短，这个液化气站应建在哪一处？请在图中作出来．（不写作法）
参考答案
1．B 2．D
3．①②
4．略
5．A
6．90°
7．40
8.如图
2.3 轴对称图形
1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是(??????? )
① ② ③ ④
A．①②③????B．②③④?????? C．③④①??? D．④①②
2．下列图形中，不是轴对称图形的是(??)
A．有两个角相等的三角形 B．有一个角为45o的直角三角形
C．有一个内角为30o，一个内角为120o的三角形D．有一个内角为30o的直角三角形
3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是(? )
A．过顶点的直线 B．顶角的平分线 C．底边的垂直平分线??????D．腰上的高
4．下列图形中，不是轴对称图形的是(??)
A．角????B．等边三角形?? C．线段? D．不等边三角形
5．正五角星的对称轴的条数是(??)
A．1条???B．2条???C．5条???? D．10条
6．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴．
7．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．
8.如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.D 5.C
6．2
7．30°、75°、120°
8．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；
2.4.1 线段的垂直平分线
1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C， D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是 （ ）
A.∠CAD<∠CBD B.∠CAD＝∠CBD C.∠CAD>∠CBD D.无法判断
2．如图1－75所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ）
A. AB＋DB>DE B. AB＋DB3．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是 （ ）
A．24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
4．如图1－76所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是 （ ）
A.连接BA并延长与l的交点为P
B.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P
C.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P
D.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接 A′B，则A′B与L的交点为P
5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
6．到线段AB两个端点距离相等的点，在 .
7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 cm，则BD＝ cm．
8．如图1－81所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）
参考答案
1．B[提示：△CAD≌△CBD]
2．C[提示：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]
3．D[提示：AB的垂直平分线与边AC交于D，则BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．]
4．D[提示：由D中作法知，直线l垂直平分AA′，则PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，两点之间线段最短．]
5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．]
6．线段AB的垂直平分线上
7．2[提示：AD＝CD＝BD．]
8．解：如图1－83所示．（1）方法1：设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形，∴AO＝，BO＝，∴A，B两村的距离为AB=AO＋BO＝＋2＝3 （km）．方法2：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E，易证四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝2．在Rt△AEB中，由∠A=45°，可得EF＝CA＝3，∴AB＝ （km）．
（2）作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．
2.4.2 线段的垂直平分线
1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A、7 B、14 C、17 D、20
2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A、6 B、4 C、6 D、4
3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（ ）
A、6 B、5 C、4 D、3
4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A、80° B、70° C、60° D、50°
5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确
6、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．
7、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
8、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
参考答案
C
C
B
C
D
50
6
（1）∠ECD的度数是36°；
（2）BC长是5．
2.5 角平分线的性质
1．如图1所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．
2．如图2所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有_______个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有_____个．
图1 图2 图3
3.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图4，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
图4 图5
5．如图5，Q是△OAB的角平分线OP上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，FQ⊥OQ交OA于F，则下列结论正确的是 （ ）
A．PA=PB B．PC=PD C．PC=QE D．QE=QF
6．如图6，AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为E、F，点O是AP上任一点（除A、P外）．求证：OF=OE．
证明：∵AP平分∠BAC，∴OF=OE．
以上证明过程是否正确？若不正确，请改正．
7.如图7，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，D到AB的距离为12，BD∶DC=5∶3．试求BC的长．
参考答案
1．3cm[点拨：由角平分线性质，得DE=DC=BC-DB=20-17=3（cm）]
2．无数；1
3．B（点拨：点D到AB的距离等于DC）
4．C
5．B（点拨：只有PC、PD都是角平分线上的点到角两边的距离）
6．不正确.AP平分∠BAC，PF⊥AB，PE⊥AC，∴PF=PE，接着证△APE≌△APF，得AE=AF，再证△AOF≌△AOE即可．
7．由题意，得DC=12，BC=DC=×12=32．
2.6.1 等腰三角形
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A=36度，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有等腰三角形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法中，正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
3．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是 ( )
A．等边三角形 D．等腰三角形 C. 直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )
A. 等边三角形 B．等腰三角形 C. 直角三角形 D．无法确定
5．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P'与P关于OB对称，P"与P关于OA对称，则O，P'P"三点所构成的三角形是 ( )
A. 直角三角形 B．钝角三角形 C. 等腰三角形 D．等边三角形
6．已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm．
7．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．
8．如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______．
9.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．
10．如图，点D、E在△ADC的边BC上，AD=AE，BD＝EC，求证：AB=AC．
参考答案
1．C 2．D 3．A 4．B 5．D
6．5
7．4
8.75°
9.90°
10.作AO⊥BC于O，证明△ABO≌△ACO
2.6.2 等腰三角形
1．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）.
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
2．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上，若BD=CE，CD=BF，则∠EDF（ ）.
(A) (B) (C) (D)
3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是（ ）.
(A) 0.5厘米 (B) 1厘米 (C) 1.5厘米 (D) 2厘米
4．若△ABC的三边长是a,b,c，且满足
，则△ABC是
(A) 钝角三角形 (B) 直角三角形 (C) 等腰直角三角形 (D) 等边三角形
5．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平
分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，
则∠BAC的度数是（ ）.
(A) 105° (B) 110° (C) 115° (D) 120°
6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于O点，作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC=a，AC=b，AB=c，则△GMO的周长+△ENO的周长+△FHO的周长= .
7．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF∥BC，若EF交AD于M，EF=12，则DM= .
8．一个等腰三角形的周长是12，且三长边长都是整数，则三角形的腰长是 .
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB+BD=CD，求证：∠B=2∠C
10．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC＞60°，∠ABD=60°，且.求证：AB=BD+DC.
参考答案
1．A 2. A 3. B 4. D 5. B
6. b+c-a 7. -6 8. 4或5
9．证：作DB的延长线至E，使AB=BE，连AE，则DE=DB+BA=CD,∵AD⊥CD,
∴△ACE为等腰三角形，∴∠C=∠E，∵△ABE为等腰三角形，∴∠ABD=∠E+∠BAE=2∠E，∠B=2∠C
10．延长CD至E，使DE=BD，连AE，∵，
∴∠BDC+2∠ADB=180°，∵∠BDC+∠BDA+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠BDA，
又∵AD=AD，DE=DB，∴ △BDA≌△EDA，∴∠E=∠ABD=60°
AE=AB=AC，BD=CE，∴ △AEC为等边三角形，
∴ AE=AB=CE=CD+DE=CD+DB，即
AB=CD+DB
2.6.3 等腰三角形
1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．150°
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．
7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．
8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．
9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．
10．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
参考答案
1．C 2．D 3．A 4．C 5．B
6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm
10．∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中CD=2AD，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD
