开普勒三大定律
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
开普勒三定律
理解开普勒三定律的基础地位
会用开普勒三定律分析行星运动问题
选择题
6分
二、重难点提示
用开普勒第三定律计算行星公转周期或轨道半径。
一、开普勒行星运动三大定律?
1. 开普勒第一定律（轨道定律）
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2. 开普勒第二定律（面积定律）
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，即SAB=SCD=SEK。
3. 开普勒第三定律（周期定律）
《所有行星》的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
对于处于不同轨道的行星，有
二、对开普勒行星运动定律的理解
1. 开普勒行星运动定律是对行星运动的观察结果总结归纳出来的。每一条都是经验定律。开普勒定律只涉及运动学、几何学等方面的内容，但开普勒关于行星运动的描述为万有引力定律的发现奠定了基础。
2. 行星绕太阳的运动不是匀速圆周运动，所以行星的速度方向并不总是垂直于行星和太阳的连线，但行星绕太阳运动的一周的时间仍为一个周期，此周期可以根据开普勒定律，对不同的运动应用其相应的运动规律去判断和求解。做椭圆运动的卫星也可以用此规律求解。
三、开普勒定律的解题技巧
在同一中心天体系统中，如果已知某一行星的公转周期而求其轨道半径时，可通过另一已知轨道半径和周期的“行星”，利用开普勒第三定律解答。在这类题目中，地球的自转，公转周期，月球的公转周期，均可视为已知量直接用于解题。
例题1 某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的速率大，则太阳是位于________点。如果远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为______。
思路分析：开普勒第二定律的内容，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，如果时间间隔相等，即t2－t1=t4－t3，那么，由此可知行星在远日点B的速率最小，在近日点A的速率最大。故太阳处于F2处。
令t2－t1=t4－t3=t0，当t0趋近于0时，可用vat0、vbt0分别近似表示扫过的弧长，故可近似求出AB两点的瞬时速率，有
，所以 （面积定律）
答案：F2；
例题2 太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。图中坐标系的横轴是，纵轴是；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（ ）
思路分析：根据开普勒周期定律：＝k，则，两式取对数，得：，整理得，可知图中图线为直线，过原点且斜率为，选项B正确。答案：B
例题3 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天。应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？（R地＝6400km）
思路分析：月球和人造地球卫星都环绕地球运动，故可用开普勒第三定律求解。当人造地球卫星相对地球不动时，则人造地球卫星的周期同地球自转周期相等。
设人造地球卫星轨道半径为R、周期为T。
根据题意知，月球轨道半径为60R地，周期为T0＝27天，则有：。整理得：
R＝×60R地＝×60R地≈6.67R地。
卫星离地高度H＝R－R地＝5.67R地＝5.67×6400km＝3.63×104km。
答案：3.63×104km
【方法提炼】天体运动的研究思路和规律
1. k是仅与中心天体质量有关的常量
开普勒第三定律中，k的值对于太阳和其他天体是不同的，即对于绕太阳运动的卫星和绕行星（如地球）或其他恒星运动的卫星，k的值是不同的。
在太阳系中，所有行星椭圆轨道（或圆轨道）的半长轴（或圆轨道的半径）的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，设这个比值为k1；在地月系中，所有卫星（包括月球）椭圆轨道（或圆轨道）的半长轴（或圆轨道的半径）的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，设这个比值为k2，k1和k2是不相等的。k值仅与系统的中心天体质量有关而与绕行天体无关，也就是说，在中心天体不同的系统中，k值是不同的；在中心天体相同的系统中，k值是相同的。
2. 天体运动的简化处理
虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即近似为圆的半径。中学阶段我们可以将行星运动问题看做圆周运动处理，这样，开普勒三定律就可以说成：
①大多数行星绕太阳运动的轨迹十分接近圆，太阳处在圆心。
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度的大小）不变，即行星做匀速圆周运动。
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即。
3. 天体运动与其他运动的结合
天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如、、等。
开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转，
【满分训练】（重庆高考）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆，每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其运行周期比地球的运行周期长，每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N－1圈，从而再次在日地连线的延长线上。所以行星的周期是年，根据开普勒第三定律有：，即：，选项B正确。答案：B
破解神秘的万有引力定律
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力定律
理解万有引力定律
会用万有引力定律计算
选择题
解答题
6~10分
一、万有引力定律
1. 内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2. 公式：，其中，称为引力常量。
3. 适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离。对于均匀的球体，r是两球心间的距离。
二、对万有引力公式的几点说明
1. 式中的质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G是比例系数，叫做引力常量，，G在数字上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时相互作用力的大小。
2. 自然界中一般的物体间的万有引力很小（远小于地球与物体间的万有引力和物体间的其他力），因而可以忽略不计，但考虑天体运动和人造卫星运动的问题时，必须考虑万有引力，这种情况下万有引力非常大，且正是这个万有引力提供了天体和卫星做匀速圆周运动所需的向心力。
3. 不能将公式中r做纯数学处理而违背物理事实。如认为r趋于0时，引力F无穷大，这是错误的，因为当物体间的距离r趋于0时，物体不可以看成质点，所以公式就不能直接应用计算。
三、对万有引力定律的几点理解
1. 万有引力的普遍性：万有引力定律是普遍存在与宇宙中任何有质量的物体（大到天体、小到微观粒子）间相互吸引力。
2. 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律，大小相等，方向相反。
3. 万有引力的宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。
4. 万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体无关。
四、万有引力定律与圆周运动结合
因为天体运动近似看做圆周运动，故万有引力可视为天体做圆周运动时的向心力，故有，其中M为中心天体的质量。m为环绕天体质量。
例题1 对于万有引力定律的数学表达式，下列说法正确的是（ ）
A. 公式中G为引力常数，是人为规定的
B. r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C. m1、m2之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关
D. m1、m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
思路分析：公式中G为引力常量，由卡文迪许通过实验测得，故A错误；公式中从数学角度讲，当R趋近于零时其值是趋于无穷大，然而这是物理公式，所以r不可能为零。万有引力公式只适合于两个可以看作质点的物体，即，物体（原子）的自身半径相对两者的间距可以忽略时适用。而当距离无穷小时，相邻的两个原子的半径远大于这个距离，它们不再适用万有引力公式，故B错误；m1、m2之间的万有引力是属于相互作用力，所以总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关，却与它们的质量乘积有关，故C正确。m1、m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，不是一对平衡力，故D错误。答案：C
例题2 （广东高考）如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙的大
D. 甲的线速度比乙的大
思路分析：根据卫星运动的向心力由万有引力提供
由，可知甲的向心加速度小于乙的向心加速度，故A正确；
由，甲的中心天体质量小于乙的中心天体质量，故甲的周期大于乙的周期，故B错误；
由，甲的中心天体质量小于乙的中心天体质量，故甲的角速度小于乙的角速度，故C错误；
D、，由于甲的中心天体质量小于乙的中心天体质量，故甲的线速度小于乙的线速度，故D错误。答案：A
例题3 开普勒1609年一1619年发表了著名的开普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等．万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，它于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理中》．
（1）请从开普勒行星运动定律等推导万有引力定律（设行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动）；
（2）万有引力定律的正确性可以通过“月﹣地检验”来证明：
如果重力与星体间的引力是同种性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么，由于月心到地心的距离是地球半径的60倍；月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是重力加速度的1/3600．
试根据上述思路并通过计算证明：重力和星体间的引力是同一性质的力（已知地球半径为6.4×106m，月球绕地球运动的周期为28天，地球表面的重力加速度为9.8m/s2）．
思路分析：（1）设行星的质量为m，太阳质量为M，行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为R，公转周期为T，太阳对行星的引力为F。
太阳对行星的引力提供行星运动的向心力
根据开普勒第三定律得：
故
根据牛顿第三定律，行星和太阳间的引力是相互的，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，反过来，行星对太阳的引力大小也与太阳的质量成正比，所以太阳对行星的引力
F∝
写成等式有 （G为常量）。
（2）月球绕地球做圆周运动的向心加速度为
∴
月球做圆周运动的向心加速度与地球表面重力加速度的比为
所以，两种力是同一种性质的力。
例题4 （广东高考）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
思路分析：（1）在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力。
解得，则有 ①
（2）另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行
由万有引力定律和牛顿第二定律得
②
由①②解得
答案：（1）星体的线速度为，周期为；（2）星体间距离为
【高频疑点】物体在地面上所受到的万有引力与重力的区别和联系
1. 万有引力和重力
重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即，常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即，比较得。
在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有
F＝F向＋mg，所以，
因地球的自转角速度很小，，所以。
假设地球自转加快，即ω自变大，由知物体的重力将变小，当时，mg=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度，比现在地球自转角速度要大得多。
2. 黄金代换
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑（忽略）地球自转的影响下，在地球附近有，化简得，通常叫做黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的重力加速度g代换M。
【综合拓展】重力加速度的基本计算方法
1. 在地球表面附近（h<方法一：根据万有引力定律有，，式中
M=5.89×1024kg，R=6.37×106m。
方法二：利用地球平均密度的关系，得
。
方法三：利用第一宇宙速度
，式中v1=7.9 km/s ，R=6.37×106 m
2. 在地球上空离地心r=R+h处的重力加速度g1
根据万有引力定律，得，
则。
3. 质量为、半径为R的任意天体表面的重力加速度
根据万有引力定律，有，
则。
【满分训练】已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。求：
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？
思路分析：（1）设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，地球质量为M′，半径为R′，地面重力加速度为g′，在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
，
由月球表面万有引力等于重力，可得，
解得：，
同理可得：。
在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比：。
（2）设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，可知：
解得：。
在水平方向做匀速直线运动，其在月球和地球表面水平射程之比为
。
答案：（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比5.6。
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为2.37。
破解天体质量和密度的相关计算
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力的理论成就
会利用万有引力定律求解天体的质量、密度等参数
选择题
6分
一、计算天体的质量基本思路
1. 地球质量的计算
利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，则M＝，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量。
2. 太阳质量的计算
利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看作匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝mω2r，而ω＝，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M＝。
3. 其他行星质量的计算
利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径，同样可得出行星的质量。
二、计算天体的质量的具体方法（以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例）
如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力。
由万有引力定律mg＝
得M＝，其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量。
从而得到地球质量M＝5.96×1024 kg。
通过上面的过程，我们可以计算地球的质量，通过其他的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量。
（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即＝m月r，可求得地球质量M地＝。
（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
＝m月
解得地球的质量为M地＝
（3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
＝m月·v·
＝m月
以上两式消去r，解得
【规律总结】由以上论述可知，求天体质量的方法主要有两种：
一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即mg＝，g＝G，则M＝，题目中常见的如利用在天体表面的平抛或自由落体运动来计算g的值。另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：
G＝mr＝m＝mω2r来求得质量M＝＝＝
用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体）。
三、天体密度的计算
1. 利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。
由mg＝和M＝ρ·πR3，
得ρ＝
其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。
2. 利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G＝mr，M＝ρ·πR3，
得ρ＝＝＝
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：
ρ＝
技巧点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解。
在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力。
例题1 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）
A. B.
C. D.
思路分析：设卫星的质量为m′，行星半径为R，由于是近行星表面做匀速圆周运动，
由万有引力提供向心力，得G＝m′ ①
由重力提供向心力，得m′＝m′g ②
由已知条件：m的重力为N得
N＝mg ③
由③得g＝，代入②得：R＝
代入①得M＝，故B项正确。答案：B
例题2 一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A. 恒星的质量为
B. 行星的质量为
C. 行星运动的轨道半径为
D. 行星运动的加速度为
思路分析：由，得M＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对。 答案：ACD
例题3 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。
思路分析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2＋h2＝L2 ①
同理，对于第二次平抛过程有（2x）2＋h2＝（L）2 ②
由①②解得h＝。
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得h＝gt2 ③
由万有引力定律与牛顿第二定律，得G＝mg ④
由以上各式可解得M＝答案：
例题4 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地。
思路分析：（1）在地球表面t＝ ①
在某星球表面5t＝ ②
由①②联立可解得g′＝g＝×10m/s2＝2m/s2；
（2）设m为物体质量，则对星球表面的物体＝mg′ ③
对地球表面的物体＝mg ④
由③④联立可解得
＝1:80。答案：（1）2m/s2 （2）1:80
【方法提炼】 求中心天体质量的途径
依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径
（1）若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，可得M＝；
（2）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，可得M＝；
（3）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，可得M＝；
（4）若已知卫星运行的线速度v和周期T，可得M＝。
天体近似可看作正球体，其体积可表示为，故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。
【满分训练】有一宇宙飞船到了某行星上空（不考虑该行星自转运动）表面附近以v做匀速圆周运动，测出该宇宙飞船运动的周期为T，已知引力常量为G，则可以计算出（ ）
A. 该行星的半径
B. 该行星的平均密度
C. 该宇宙飞船的质量
D. 该行星表面的重力加速度
思路分析：根据圆周运动的规律v＝R，可求得该行星的半径为R＝，选项A正确；根据G，可得M＝，可求出该行星的质量，但无法求出宇宙飞船的质量，又由ρ＝可求得该行星的密度，选项B正确，选项C错误；该行星表面的重力加速度等于宇宙飞船的向心加速度，g＝vω＝，选项D正确。
答案：ABD
万有引力定律的拓展应用
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力
万有引力定律的拓展，并会证明
会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题
选择题
6分
二、重难点提示
重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。
难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为0。
应用万有引力定律求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体可视为质点时，才能认为R为两物体间的距离。对于球壳类则不能视为质点，则必须采取其他的解决办法。
这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。
如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为m的质点，某时刻质点在P位置（任意位置）处，以质点（m）所在位置P为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，还可以视为质点。
设空腔内质点m到两圆锥底面中心的距离分别为，两圆锥底面的半径为，底面面密度为。根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：
，
，根据相似三角形对应边成比例，有，
则两个万有引力之比，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力。依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即
例题1 证明：在匀质实心球体内部距离球心r处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力，即，其中表示同样材质、半径为r的匀质球体的质量。
思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M，半径为R；其内部半径为r的匀质球体的质量为，与球心相距r处的质点m受到的万有引力，可以视为厚度为（R－r）的匀质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为r的匀质球体的引力，即。
若已知匀质球体的总质量为M，则，，
故
当r=0时，有，；当r=R时，有。
答案：见思路分析。
点拨：本题得到的结论为万有引力定律拓展的推论，可作为结论使用。
例题2 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，
有
由于地球的质量为：M=ρ?，所以重力加速度的表达式可写成：
g==πGρR。
根据题意，有质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=πGρ(R－d)。
所以有答案：A
【高频疑点】 割补法在万有引力中的应用
对某些物理题，当待求的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B变得易于求解，而且补上去的B也容易求解。那么，待求的A可以从两者的差值获得，问题就迎刃而解了。
【满分训练】
如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方。求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
（1）从球的正中心挖去。
（2）从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
思路分析：根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，。
（1）如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
（2）如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算。为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为。
由于填补空心球而增加的引力为
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当d远大于R时，M′可以视为质点。这时，引力变为
。
即这时两种计算结果相同。答案：见思路分析。
深入探究宇宙速度
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力和航天
三个宇宙速度的物理意义
会计算第一宇宙速度
选择题
计算题
6~8分
二、重难点提示
重点：第一宇宙速度的计算。
难点：未知天体第一宇宙速度的估算。
一、环绕速度
第一宇宙速度又叫环绕速度。它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度，也是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
推导过程为：由mg＝＝
得：v1＝＝＝7.9 km/s。
【易错警示】物理符号易混淆
两种周期
自转周期和公转周期的不同
两种速度
环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
两个半径
天体半径R和卫星轨道半径r的不同
二、第二宇宙速度和第三宇宙速度
1. 第二宇宙速度（脱离速度）：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
推导过程（涉及后面章节内容）
取无穷远为引力势能零点，物体距地心的距离为r时的引力势能为。不计空气阻力，物体和地球组成的系统机械能守恒，可得
解得。
由此可知第二宇宙速度为第一宇宙速度的倍。
2. 第三宇宙速度（逃逸速度）：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
推导过程（涉及后面章节内容）
太阳的质量为M0＝2.0×1030 kg，太阳中心到地球中心的距离为R0＝1.5×1011 m，类似第二宇宙速度的推导可得
将数据带入可得v＝42.2 km/s
由于地球绕太阳公转的速度为
所以相对地球只要保证＝42.2 km/s－29.8 km/s ＝12.4 km/s的速度发射即可。但考虑到地球引力的存在，必须克服地球引力做功，所以有，而，v2表示第二宇宙速度，故解得。
例题1 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：设在月球表面处的重力加速度为g，
则h＝gt2，所以g＝。
飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有
mg＝m，
所以v＝＝ ＝，选项B正确。答案：B
例题2 “神舟九号”宇宙飞船搭载3名航天员飞天，与“天宫一号”成功对接。在发射时，“神舟九号”宇宙飞船首先要发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨后，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的“天宫一号”完成对接，之后，整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运行。已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g。求：
（1）地球的第一宇宙速度；
（2）“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比。
思路分析：（1）设地球的第一宇宙速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
G
在地面附近G
联立解得v＝；
（2）根据题意可知，设“神舟九号”宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度为v1
v1＝v＝
对接后，整体的运行速度为v2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m
解得v2＝，所以v1∶v2＝ 。答案：（1） （2）
例题3 资料：理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即。由此可知，天体的质量M越大，半径R越小，逃逸速度也就越大，也就是说，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。有些恒星，在它一生的最后阶段，强大的引力把其中的物质紧紧地压在一起，密度极大，每立方米的质量可达数千吨，它们的质量非常大，半径又非常小，其逃逸速度非常大。于是，我们自然要想，会不会有这样的天体，它的质量更大，半径更小，逃逸速度更大，以3.00×108m/s的速度传播的光都不能逃逸？如果宇宙中真的存在这样的天体，即使它确实在发光，光也不能进入太空，我们根本看不到它，这种天体称为黑洞。1970年，科学家发现了第一个很可能是黑洞的目标。已知，G＝6.67×10?11N?m/kg?2，c＝3.00×108m/s，求：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M＝1.98×1030kg，求它的可能最大半径（科学计数法表示，小数点后保留2位）。
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为ρ，如果认为我们宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？（球的体积计算方程，结果用字母表示）
思路分析：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度，其中M、R为天体的质量和半径。对于黑洞模型来说，其逃逸速度等于真空中的光速，即，所以，故最大半径为2.93×103?m。
（2），其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为，由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2＝c，则。
答案：（1）2.93×103m （2）半径至少为
【高频疑点】宇宙速度的理解与计算
含义
计算及应用
第一宇宙速度
环绕速度
在地球上发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度
v＝＝7.9 km/s
第二宇宙速度
脱离速度
使物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去的最小发射速度
当发射速度7.9 km/s第三宇宙速度逃逸速度
使物体挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
v＝16.7 km/s
满分训练：“北斗”卫星导航定位系统由5颗静止轨道卫星（同步卫星）和30颗非静止轨道卫星组成（如图所示），30颗非静止轨道卫星中有27颗是中轨道卫星，中轨道卫星平均分布在倾角为55°的三个平面上，轨道高度约为21 500 km，静止轨道卫星的高度约为36 000 km。已知地球半径为6 400 km，≈0.53，下列说法中正确的是（ ）
A. 质量小的静止轨道卫星的高度比质量大的静止轨道卫星的高度要低
B. 静止轨道卫星的向心加速度小于中轨道卫星的向心加速度
C. 中轨道卫星的周期约为45.2 h
D. 中轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
思路分析：地球卫星的运行轨道半径与卫星的质量无关，故A错误；根据万有引力提供向心力，得，由此可知，半径越大，加速度越小，静止轨道卫星的轨道半径大于中轨道卫星的轨道半径，所以静止轨道卫星的加速度比中轨道卫星的加速度小，故B正确；根据万有引力提供向心力，得，所以中轨道卫星的周期T1与静止轨道卫星的周期T2之比为，所以 ，故C正确；中轨卫星的轨道半径r比地球半径大，故中轨道卫星的线速度一定小于第一宇宙速度7.9 km/s。答案：B
剖析人造卫星的运行和变轨
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力和航天
会计算运行中的卫星的各项参数
知道人造卫星是如何变轨的
选择题
6分
一、人造卫星的动力学规律
人造卫星的运行可看做绕地球的匀速圆周运动。由万有引力提供向心力
G＝ma向＝m＝mω2r＝m。
二、人造卫星的稳定运行与变轨运行分析
1. 卫星稳定运行
卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动。
满足的公式：G。
2. 变轨运行分析
当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
①当卫星的速度突然增加时，G，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
v＝可知其运行速度比原轨道时减小。
②当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由
v＝可知其运行速度比原轨道时增大。
卫星的发射和回收就是利用这一原理。
三、人造卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
其中r=R地+h
例题1 （天津高考）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ）
A. 线速度v＝ B. 角速度ω＝
C. 运行周期T＝2π D. 向心加速度a＝
思路分析：由＝m＝mω2R＝m＝mg＝ma得v＝，A对；ω＝，B错；T＝2π，C对；a＝，D错。答案：AC
例题2 如图所示，A、B、C是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，已知mA ＝mB> mC，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度大小的关系是vA>vB＝vC
B. 周期关系是TAC. 向心力大小的关系是FA>FB＝FC
D. 向心加速度大小的关系是aA>aB>aC
思路分析：根据公式，，，以及rAvB＝vC ，TAaB＝aC，选项A、B正确，D错误；根据万有引力提供向心力，可得，根据vA>vB，mA＝mB，可得FA>FB，根据vB＝vC，mB> mC，可得FB>FC，所以FA>FB>FC，选项C错误。答案：AB
例题3 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功。首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的，紧随其后进行的3次变轨均在近地点实施。“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施，是为了抬高卫星近地点的轨道高度。同样的道理，要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨。下图为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是（ ）
A.“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速
B.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大
C.“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大
D.“嫦娥二号”在轨道1由A点运动到B点的过程中，角速度逐渐变大
思路分析：卫星要由轨道1变轨为轨道2需在A处做离心运动，应加速使其做圆周运动所需向心力m大于地球所能提供的万有引力G，故A项正确，B项错误；由G＝ma可知，卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等，C项错误；由开普勒第二定律可知，近月点A的角速度大于远月点B的角速度，故D项错误。答案：A
【高频疑点】处理卫星变轨问题的思路和方法。
卫星的变轨问题应注意区分这两种情况：
（1）制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；重新稳定时，速率变大。
（2）加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动；重新稳定时，速率变小。
导致变轨的原因是卫星或飞船在引力之外的外力，如阻力、发动机的推力等作用下，使运行速率发生变化，从而导致向心力“供”与“需”不平衡而导致变轨。这是卫星或飞船的不稳定运行阶段，不能用公式分析速度变化和轨道变化的关系。
如这样一个例子：宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，同学们可能会采取的不恰当方法是让飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接。正确的方法应该是将飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接。为什么呢？
先开动飞船上的发动机使飞船减速，此时万有引力大于所需要的向心力，飞船做近心运动，到达较低轨道时，由得，可知此时飞船运行的周期小于空间站的周期，飞船运行得要比空间站快。当将要追上空间站时，再开动飞船上的发动机让飞船加速，使万有引力小于所需要的向心力而做离心运动，到达空间站轨道而追上空间站。如果飞船先加速，它受到的万有引力将不足以提供向心力而做离心运动，到达更高的轨道，这使它的周期变长。这样它再减速回到空间站所在的轨道时，会看到它离空间站更远了。
满分训练：如图所示，将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A. 卫星在轨道2上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过P点时的速度
B. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度
C. 卫星在轨道1上的向心加速度小于它在轨道3上的向心加速度
D. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
思路分析：本题考查人造卫星的知识。由开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道的近地点速度大，A错；卫星在同一点受到的万有引力相同，加速度也相同，B对；由a＝G，r越小，a越大，C错；由G＝mω2r，卫星在轨道3上的半径大，故角速度小，D对。
答案：BD
同步卫星、近地卫星、赤道物体的异同点分析
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力和航天
会分析同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的动力学和运行上的区别和联系
选择题
6分
一、区别和联系
1. 近地卫星和赤道物体
相同点
运行轨道半径相同。
不同点
①受力情况不同，近地卫星只受地球引力的作用，地球引力等于卫星做圆周运动所需的向心力，而赤道上随地球自转的物体受到地球引力和地面支持力的作用，其合力提供物体做圆周运动所需的向心力。
②运行情况不同，角速度、线速度、向心加速度、周期等均不同。如近地卫星的向心加速度为g，而赤道上随地球自转的物体的向心加速度为
。
2. 近地卫星和同步卫星
相同点
都是地球的卫星，地球的引力提供向心力
不同点
由于近地卫星轨道半径较小，由人造卫星的运行规律可知，近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星大。
3. 赤道物体和同步卫星
相同点
角速度都等于地球自转的角速度，周期等于地球自转周期。
不同点
①轨道半径不同：同步卫星的轨道半径比赤道物体的轨道半径大得多。
②受力情况不同：赤道上物体受万有引力和支持力的共同作用，同步卫星只受地球引力作用。
③运动情况不同：由可知，同步卫星的线速度、向心加速度均比赤道物体大。
二、求解此类题的关键
1. 在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a＝ω2r而不能运用公式a＝。
2. 在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v＝ωr而不能运用公式。
3. 在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式，而不能运用公式v＝ωr或v＝。
例题1 （广东高考）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是（ ）
A. 卫星距地面的高度为
B. 卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C. 卫星运行时受到的向心力大小为
D. 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
思路分析：天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F引＝F向＝m。当卫星在地表运行时，F引＝＝mg（此时R为地球半径），设同步卫星离地面高度为h，则F引＝＝F向＝ma向例题2 （榆林一中模拟）如图所示，a是地球赤道上的一点，t＝0时刻在a的正上空有b、c、d三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向（顺时针转动）相同，其中c是地球同步卫星。设卫星b绕地球运行的周期为T，则在t＝T时刻这些卫星相对a的位置最接近实际的是（ ）
思路分析：该题考查万有引力定律的应用，卫星c是地球同步卫星，始终在a点的正上方；卫星b转过（90°）；由T＝2π，得Tb答案：C
例题3 地球同步卫星到地心的距离r可由求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则（ ）
A. a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C. a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
思路分析：物体在万有引力作用下做匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，即引力提供向心力，有
由的公式中包含可知，解题公式应用的是
整理可得
此表达式和题目所给的表达式还有不同之处，那么我们可以用黄金代换
带入可得
结合题目所给的单位可知，b的单位是s，则b对应同步卫星的周期T，也是地球自转周期T，a的单位是m，则a对应地球半径，c的单位m/s2，则c对应地球表面重力加速度g。答案：AD
【综合拓展】极地卫星和近地卫星。
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似地认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
满分训练：可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A. 与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
思路分析：人造卫星绕地球做圆周运动所需的向心力是万有引力提供的，人造卫星受地球的引力一定指向地心，所以任何人造卫星的稳定轨道平面都是通过地心的。A选项所述的卫星不能满足这个条件，A错。B选项所述的卫星虽然满足这个条件，但是由于地球在自转，经线所决定的平面也在转动，这样的卫星又不可能有与地球自转同方向的速度，所以不可能始终在某一经线所决定的平面内，如图所示，故B项也错。无论高低如何，轨道平面与地球赤道平面重合的卫星都是存在的，C选项所述卫星就是地球同步卫星，而D项所述卫星不是同步卫星，故C、D项都对。
答案：CD
【知识脉络】同步卫星的六个“一定”
1. （四川高考）在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星m1、m2、m3，它们的轨道半径分别为r1、r2、r3，且r1>r2>r3，其中m2为同步卫星，若三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等，则（ ）
A. 相同的时间内，m1通过的路程最大
B. 三颗卫星中，m3的质量最大
C. 三颗卫星中，m3的速度最大
D. m1绕地球运动的周期小于24小时
1. C 解析：三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等，即G ，则m3的质量最小，B项错误；由v＝可知，m1的速度最小，m3的速度最大，相同时间内，m1通过的路程最小，A项错误，C项正确；由T＝2π得，m1绕地球运动的周期大于m2的周期，即大于24小时，D项错误。
2. 有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（ ）
A. a的向心加速度等于重力加速度g
B. c在4 h内转过的圆心角是π/6
C. b在相同时间内转过的弧长最长
D. d的运动周期有可能是20 h
2. C 解析：对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，＝mω2r＋mg，故a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是同步卫星可知c在4 h内转过的圆心角是，B项错；由＝m得，v＝，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星c的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，C项正确；由＝m（）2r得，T＝2π，轨道半径r越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，故D项错。
3. （湖北高考）直径约50米、质量约13万吨的小行星“2012DA14”以每小时大约2.8万公里的速度从印度洋苏门答腊岛上空掠过，与地球表面最近距离约为2.7万公里，这一距离已经低于地球同步卫星的轨道。这颗小行星围绕太阳飞行，其运行轨道与地球非常相似，据天文学家估算，它下一次接近地球大约是在2046年。假设图中的P、Q是地球与小行星最近时的位置，已知地球绕太阳圆周运动的线速度是29.8 km/s，下列说法正确的是（ ）
A. 只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率大于29.8 km/s
B. 只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率小于29.8 km/s
C. 只考虑太阳的引力，地球在P点的加速度大于小行星在Q点的加速度
D. 只考虑地球的引力，小行星在Q点的加速度大于地球同步卫星在轨道上的加速度
3. BCD 解析：只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率小于29.8 km/s，A项错误，B项正确。只考虑太阳的引力，由于地球与太阳距离较近，所以地球在P点的加速度大于小行星在Q点的加速度，C项正确。只考虑地球的引力，由于小行星距离地球较近，所以小行星在Q点的加速度大于地球同步卫星在轨道上的加速度，D项正确。
4. 假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则 （ ）
A. 同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍
B. 同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
C. 同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
D. 同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍
4. BD 解析：对卫星都有：，所以，B对，A错；因为＝ma向，所以a向＝，而mg＝，g＝，故，C错；由v＝rω知，＝＝n，故D对。
5. （江苏高考）2011年8月“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，从此我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）
A. 线速度大于地球的线速度
B. 向心加速度大于地球的向心加速度
C. 向心力仅由太阳的引力提供
D. 向心力仅由地球的引力提供
5. AB 解析：飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞>v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞>a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错。
6. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
（1）卫星在近地点A的加速度大小；
（2）远地点B距地面的高度。
6. 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，
根据牛顿第二定律有G＝ma
设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
G＝m′g
由以上两式得a＝。
（2）设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
G（R＋h2）
解得：h2＝－R.。
天体运行中的超重与失重
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力和航天
会分析人造卫星运动的各个阶段的超失重问题
选择题
4~6分
一、人造卫星上的超重与失重
1. 人造卫星在发射升空和返回地面的过程中的加速度方向均向上，因为都是超重现象。
2. 人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态。
证明：设地球和卫星的质量分别是M和m，卫星到地面的距离为r，角速度为，卫星内有一质量为的物体，假设卫星内底板的支持力为，下面我们来求的大小：
对卫星m和物体组成的整体，由万有引力提供向心力得
，可得到GM=2r3
对物体，由万有引力与支持力的合力提供向心力得
，代入求得：
这就是说，卫星中的物体与卫星底板间无相互作用，即物体处于完全失重状态。
二、地球在赤道上的失重问题
地球不停地自转，除两极外，地球上的物体由于绕地球做匀速圆周运动，都处于失重状态，且赤道上的物体失重最多。设地球为匀质球体，半径为R，表面的引力加速度为，并不随地球自转变化。
1. 物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随地球自转、做匀速圆周运动所需的向心力之差。
对地球上的物体受力分析，由牛顿第二定律得：
所以，物体在赤道上的视重
2. 物体在赤道上失去的重力等于绕地轴转动所需的向心力。
物体在赤道上失去的重力，即视重的减少量
3. 物体在赤道上完全失重的条件。
设想地球自转角速度增大为，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，即，则有，得，所以完全失重的临界条件是：
4. 地球不因自转而瓦解的最小密度。
地球以T=24h的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于物体做圆周运动所需的向心力，即，
由万有引力定律得：，
所以，地球的密度，
即最小密度。而地球平均密度的公认值为
，所以足以保证地球处于稳定状态。
例题1 为表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究，诺贝尔物理学奖授予英国的安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫。它是目前世界上已知的强度最高的材料，为“太空电梯”缆线的制造提供了可能。近日，日本大林建设公司公布了建造“太空电梯”计划，希望到了2050年，人们不需要搭乘太空船，只要搭电梯就能够圆太空梦。假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星的“太空电梯”。关于“太空电梯”缆线上各处，下列说法正确的是（ ）
A. 重力加速度相同
B. 线速度相同
C. 角速度相同
D. 各质点处于完全失重状态
思路分析：由G＝mg得g＝，可见离地面高度不同，其重力加速度大小不同，选项A错误；缆线上各处的角速度均与地球自转的角速度相同，选项C正确；由v＝（R＋h）ω知，离地面高度不同的点线速度大小不同，选项B错误；由G＝m（R＋h）ω2得ω＝，则完全失重时离地面高度不同处角速度大小不同，选项D错误。本题易错选D，想到同步卫星完全失重就误以为与其连接的“太空电梯”缆线上各质点都处于完全失重状态。答案：C
例题2 如图所示，在圆轨道上运行的国际空间站里，一宇航员A静止（相对空间舱）“站”在舱内朝向地球一侧的“地面”B上。则下列说法正确的是（ ）
A. 宇航员A不受重力作用
B. 宇航员A所受重力与他在地面上所受的万有引力相等
C. 宇航员A与“地面”B之间无弹力作用
D. 若宇航员A将手中一小球无初速度（相对空间舱）释放，该小球将落到“地面”B上
思路分析：任何物体都会受到地球的引力作用，空间站里宇航员仍然受到地球引力，地面上方不同高度处，重力加速度不同，所以宇航员在空间站里所受地球引力小于他在地面上受到的重力；由于空间站绕地球做匀速圆周运动，空间站中的物体与卫星地面间无相互作用，即物体处于完全失重状态，所以宇航员与地面B之间无弹力作用；若宇航员将手中的小球无初速度释放，由于惯性作用，小球仍具有空间站的速度，所以小球仍然沿原来的轨道做匀速圆周运动，而不会落到地面B上。答案：C
【方法归纳】卫星、行星的追及相遇问题
A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，如图所示。已知恒星质量为M，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r1（1）再经过多少时间两行星距离又最近？
（2）再经过多少时间两行星距离最远？
解：（1）设A、B的角速度分别为ω1、ω2，经过时间t，A转过的角度为ω1t，B转过的角度为ω2t，A、B距离最近的条件是：；
恒星对行星的万有引力提供向心力，则，即.
由此得出，
求得(n＝1，2，3，…)
（2）如果经过时间t′，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，即：
得，把ω1、ω2代入得：t′＝(k＝1，2，3，…)
规律总结：由得，可知卫星绕中心天体的半径越大，T越大。同一半径方向不同轨道的两卫星（设周期分贝为TA、TB，且TA＞TB）再次相遇的时间满足或者。
【综合拓展】万有引力与抛体运动等的综合问题。
对于解决万有引力定律与各类运动（如平抛、竖直上抛、自由落体）综合问题，要先由运动学公式、牛顿运动定律求出抛点附近的重力加速度，进而求出题目所要求的物理量。
满分训练：近年来，随着人类对火星的了解越来越多，美国等国家都已经开始进行移民火星的科学探索，并面向全球招募“单程火星之旅”的志愿者。若某物体在火星表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的1.5倍，已知地球半径是火星半径的2倍。
（1）求火星表面重力加速度g1与地球表面重力加速度g2的比值。
（2）如果将来成功实现了“火星移民”，求在火星表面发射载人航天器的最小速度v1与在地球上发射卫星的最小速度v2的比值。
思路分析：（1）由自由落体运动的规律h＝gt2，可得g＝ ①
设在火星表面自由落体时间为t1，在地球表面时间为t2，
因此有 ②
t1:t2=3:2
代入数据解得； ③
（2）发射载人航天器或卫星的最小速度即第一宇宙速度，因此有
G，即v2＝G ④
又G＝mg，即GM＝R2g ⑤
由④⑤解得v＝ ⑥
设火星半径为R1，地球半径为R2，
即 ⑦
已知g1:g2=4:9
R1:R2=1:2
代入数据解得。答案：（1）4∶9 （2）∶3
双星和多星系统难点破解
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
万有引力和航天
知道双星和多星的运动情况
会计算双星有关的问题
选择题
6分
双星系统
一、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
二、模型条件
（1）两颗星彼此相距较近（且认为系统不受其它星体的引力影响）。
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
三、模型特点
（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。
（2）“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。
多星系统
一、三星系统
图一 图二
图一中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动。三颗星的周期、半径均相同。
图二中，三颗质量相等的行星位于一条直线上，其中一颗星位于直线的中点O（可视为静止不动），另外两颗行星绕O点做匀速圆周运动。运行的两颗星的周期相同。
二、四星系统
图三 图四
图三中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动，第四颗星位于O点（可视为静止不动）。运行的三颗星的周期相同。
图四中，四颗质量相等的行星位于正方向的四角，绕正方形的几何中心O点做匀速圆周运动。四颗星的运行周期相同。
三、解决多星系统的关键
多星系统与双星系统相似，首先选取其中一颗星为研究对象，分析各行星之间的万有引力关系并确定向心力的大小。接着找到行星做圆周运动的圆心，确定半径。然后结合圆周运动和牛顿运动定律进行计算。
例题1 （重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的（ ）
A. 轨道半径约为卡戎的
B. 角速度大小约为卡戎的
C. 线速度大小约为卡戎的7倍
D. 向心力大小约为卡戎的7倍
思路分析：本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做匀速圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2（L为两星间的距离），因此=，故A对，C错。答案：A
例题2 如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg。和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
思路分析：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T。根据万有引力定律有：F＝G ①
由匀速圆周运动的规律得
F＝m（）2r ②
F＝M（）2R ③
由题意有L＝R＋r ④
联立①②③④式得T＝2π ； ⑤
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
G＝m′（）2L′ ⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得
T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得（）2＝1＋
代入题给数据得（）2＝1.012。
答案：（1）2π （2）1.012
【高频疑点】
1. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”
两等
两不等
双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的
双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离
它们的角速度相等
由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等
2. 分析求解双星或多星问题的两个关键点
（1）向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。
（2）圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时，轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。
