水平面内圆周运动实例分析
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
生活中的圆周运动
学会构建模型并进行动力学分析
离心运动
机车转弯问题
选择题
6分
二、重难点提示
正确构建模型后，用圆周运动的知识求解问题。
正确分析向心力的来源。
一、疑难模型汇总
锥摆
类锥摆
转台与转筒
（1）问题特点：
①运动轨迹是圆且在水平面内；
②向心力的方向水平，竖直方向的合力为零。
（2）解题方法：
①首先确定圆周运动的轨道所在的平面；
②其次找出轨道圆心的位置；
③最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力分析图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。
二、专题分析——机车拐弯问题
汽车（或自行车）在水平路面上转弯如图所示。路面对汽车（或自行车）的静摩擦力提供向心力。若动摩擦因数为μ，则由μmg＝m得汽车（或自行车）安全转弯的最大速度为v＝
火车拐弯类问题
内外轨无高度差
外轨高于内轨
解题时，因为θ角很小，所以常用sinθ≈tanθ，故取＝，所以向心力Fn＝Mg。又因为FN＝，所以车速v＝
当时，轮缘对轨道无侧向压力
当时，轮缘挤压外轨
当时，轮缘挤压内轨
例题1 如图所示，轻绳一端系一质量为m的小球，另一端做成一个绳圈套在图钉A和B上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，现拔掉图钉A让小球飞出，此后绳圈又被A正上方距A高为h的图钉B套住，达稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求：
（1）图钉A拔掉前，轻绳对小球的拉力大小；
（2）从拔掉图钉A到绳圈被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为多少？
（3）小球最后做匀速圆周运动的角速度。
思路分析：（1）图钉A拔掉前，轻线的拉力大小为T＝mω2a；
（2）向心力突然消失，小球沿切线方向飞出做匀速直线运动，直到线环被图钉B套住前，小球速度为v＝ωa，匀速运动的位移x＝，则时间为t＝＝；
（3）v可分解为切向速度v1和径向速度v2，
绳被拉紧后v2＝0，小球以速度v1做匀速圆周运动，半径r＝a＋h，
由v1＝，得ω′＝。
答案：（1）mω2a （2）匀速直线运动 （3）
例题2 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形设计的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h。
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨道高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
（1）根据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r＝440 m时h的值；
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力。又已知我国铁路内外轨的间距设计值L＝1435 mm，结合表中的数据，算出火车的转弯速度v；（结果保留两位有效数字）
（3）近几年，人们对交通运输的快捷性提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家不断地对铁路进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析，提速时应采取怎样的有效措施？（g取10 m/s2）
思路分析：（1）由表中数据可知，每组的h与r之积为常数，即660×50=330×100=220×150=...=33000。当r＝440 m时，代入求得：h＝75 mm。
（2）如图所示，当内、外轨道对轮没有侧向压力时，火车的受力情况如图所示，则：mgtanθ＝m。
当θ很小时，则有：tanθ≈sinθ＝
所以v＝ m/s≈15 m/s＝54 km/h
（3）由上述表达式可知，提高速度可采用适当增加内、外轨的高度差，或适当增加弯道半径等措施。
答案：（1）hr＝33 m2 75 mm （2）54 km/h （3）见解析
【综合拓展】离心运动与近心运动
1. 定义
做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即Fn>mω2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
2. 如何理解离心现象
（1）离心现象是物体惯性的表现。
（2）离心运动并非是沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。
（3）离心运动并不是受到什么离心力。同样，近心运动也不能说受到近心力的作用。
【满分训练】下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A. 当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动
C. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动
D. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动
思路分析：物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对。
曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项D正确。
答案：C
【易错指津】对离心力的理解
洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是（ ）
A. 脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
B. 水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C. 加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
D. 水是受到了离心力的作用才会脱离衣服的
错解：D
错因：认为离心现象物体受到了离心力作用，所以才出现的偏离圆心的现象，其实从力的角度分析，离心现象是指向圆心的力不够大导致的，而不能说受到离心力的作用。
思路分析：水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B项错误；脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，A项正确；角速度增大，水滴所需向心力增大，脱水效果更好，C项正确；离心现象是提供的力（附着力）不足以支持物体做圆周运动才出现的。
答案：BD
竖直平面内圆周运动实例分析
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
圆周运动
轻绳、轻杆等竖直平面内的圆周运动的动力学分析
选择题、解答题
6~10分
二、重难点提示
恰能过最高点的速度分析。
1. 水流星模型
当物体在受到绳牵拉在竖直面内做圆周运动的时候，绳对物体的作用力可以有，可以无，如果有作用力只能是拉力。如：在竖直面内运动到最低点时，绳一定有拉力；在竖直面内运动到最高点时有无绳的拉力要依据条件判定。
类似模型——“外”轨道模型
当物体是沿只有外侧轨道做圆周运动时（如过山车、台型圆筒内的飞车走壁），如果轨道有提供作用力，只能是垂直支承面向内的压力，也可以不提供作用力。
2. 轻质杆模型
当物体与杆的一端固定连接，以杆的另一端为轴在水平或竖直面内做圆周运动时，杆对物体的作用力可以为拉力，可以为压（推）力，也可以没有，要视物理问题的具体情况确定。如：在竖直面内运动到最低点时杆一定是拉力；运动到最高点时，如果物体重力提供的向心力已超过需要的向心力，这时杆就提供向外的压力（推动），如果物体重力提供的向心力不足以提供需要的向心力，杆就提供向内的拉力，如果物体重力提供的向心力恰好等于需要的向心力，杆就不提供作用力了。
3. 管道轨道模型
当物体沿管道做圆周运动时，管道提供的作用力可以是只由内侧提供（指向外），也可以是只由外侧提供（指向内），也可以内外侧均不提供，也可能内外侧都有提供（内外侧有压力差）。
【核心总结】在分析做圆周运动的物体时，关键是要根据题意，明确物体所在的位置需要的向心力，再经受力分析找出应提供的向心力，要维持这点的圆周运动，必须满足提供的向心力等于所需要的向心力。
例题1 如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T－v2图象如图乙所示，则（ ）
图甲 图乙
A. 轻质绳长为
B. 当地的重力加速度为
C. 当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
D. 当v2=2b时，小球受到的弹力与重力相等。
思路分析：令绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足T＋mg＝m，即T＝v2－mg，由题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝，R＝，A对、B错；当v2＝c时，有T＋mg＝m。将g和R的值代入得T＝－a，C错；当v2=2b时，由T＋mg＝m可得T=a=mg，故拉力与重力相等，D对。
答案：AD
例题2 如图所示，小球m可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球通过最高点的最小速度至为
B. 小球通过最高点的最小速度可以为0
C. 小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
D. 小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
思路分析：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg，故最小速度为0。故A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，内侧没有力的作用. 故C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，重力沿半径方向的分离可以提供向心力，当小球速度较小时，重力的分力足够提供向心力时，内侧管壁没有作用力，如果速度更小，则提供的向心力大于需要的向心力，则内壁产生向外的支持力。当速度较大时，重力的分力不足以提供向心力，则有内侧管壁有作用力。故D错误。CD两项也可以用极限的思维进行分析，更容易理解。
答案：B
例题3 如图所示，质量为m的小球固定在长为r的轻杆一端，绕O点在竖直面内做圆周运动，a、b分别为圆周运动最高点和最低点。
（1）在a点时，杆对小球的的作用力为重力的一半，求小球通过a点的速度；
（2）在b点时，杆对小球的的作用力为重力的2倍，求小球通过b点的速度。
思路分析：在a点，杆对小球的作用力可能是向上的推力，即，解得；杆对小球的作用力也可能是向下拉力，即，解得。
在b点，杆对小球的作用力只可能为向上的拉力，，解得。
答案：（1）或 （2）
【综合拓展】竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1. 问题特点
此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。
2. 解题关键
（1）首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够达到圆周最高点的临界条件.
（2）注意前后两过程中速度的连续性.
【满分训练】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小v；
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
思路分析：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t1，
竖直方向上：
水平方向上：d=vt1
解得
（2）设绳能承受的最大拉力为Fm
球做圆周运动的半径为
解得
答案：（1） （2）最大拉力为
圆周运动的临界与突变问题
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
圆周运动
圆周运动的临界问题
选择题
6~8分
二、重难点提示
重难点：圆周运动临界点的确定
1. 水平面内圆周运动的临界问题
绳的拉力
摩擦力
小球脱离锥体做圆周运动的临界条件
b绳上有拉力的临界条件
物块与圆盘无相对滑动的临界条件
滑块A能够在该位置随桶壁无相对运动做圆周运动的条件
此类问题的关键是分析临界条件下的受力情况及涉及的几何知识。
2. 竖直面内圆周运动的临界问题
绳模型（内轨道模型）
轻杆模型（管道约束模型）
外轨道模型（凸桥模型）
能通过最高点的临界条件为T＝0或N＝0
由mg＝m得v最高点≥
最高点的合力（即向心力）可以为零，故v最高点≥0
过最高点后沿轨道下滑的临界条件为N≥0，由mg－N＝m得0≤v最高点≤。
此类问题的关键是分析物体过最高点时受力的可能性。
3. 突变问题
对于圆周运动，从公式中我们可以看到，能够发生突变的物理量有、运动半径r、速度v（大小和方向）、角速度等。只要其中一个物理量发生变化，就会影响到整个受力状态和运动状态。
典型的运动模型：
圆周半径r发生突变，绳子是否会断裂
①向心力F供给突变，物体是做离心运动还是向心运动；
②物体线速度v发生突变，绳子是否断裂
圆周运动半径r突变与周期T的综合问题，同时也涉及绳的最大拉力问题
解决这类问题时，应仔细分析物体突变前后的物理过程，确定物体发生突变的状态、发生突变的物理量、突变前后物体的运动性质，找出突变前后各物理量的区别与联系，对突变前后的物理状态或过程正确应用物理规律和物理方法列出方程。
例题1 如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30?，小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动。
（1）当v1＝时，求线对小球的拉力；
（2）当v2＝时，求线对小球的拉力。
思路分析：如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知
F＝mgtan 30° ①
又F＝m ②
由①②两式解得v0＝
即小球以v0作圆周运动时，刚好脱离锥面。
（1）因为v1FTsin 30°－FNcos 30°＝ ③
FTcos 30°＋FNsin 30°－mg＝0 ④
由③④两式解得FT＝≈1.03mg；
（2）因为v2>v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示，则
FTsin α＝ ⑤
FTcos α－mg＝0 ⑥
由⑤⑥两式解得FT＝2mg
答案：（1）1.03mg （2）2mg
例题2 如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离. 关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1和f2与ω2的关系图线，可能正确的是（ ）
思路分析：两滑块的角速度相同，根据向心力公式F向＝mω2r，考虑到两滑块质量相同，滑块2的运动半径较大，受到的摩擦力较大，故滑块2先达到最大静摩擦力，再继续增大角速度，在增加同样的角速度的情况下，对滑块1、2分别有T＋f1＝mω2R1，T＋f2＝mω2R2，随着角速度ω的增大，绳子拉力T增大，由于R2>R1，故滑块2需要的向心力更大，故绳子拉力增大时滑块1的摩擦力反而减小，且与角速度的平方呈线性关系，f2在增大到最大静摩擦后保持不变，故A、D正确。
答案：AD
例题3 如图所示，质量为m的小球置于质量为M的正方体光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径，某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计。
（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度多大？
（2）设小球在最高点对盒子的压力为F1，在最低点对盒子的压力为F2，试作出（F2－F1）—ω2图象。
（3）盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力多大？
思路分析：解：（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝mRω2
解得ω＝
（2）ω≤时，F2－mg＝mRω2，mg－F1＝mRω2
解得F2－F1＝2mRω2，故F2-F1与ω2是线性关系。
当ω>时，F2－mg＝mRω2，F1＋mg＝mRω2
解得F2－F1＝2mg，故F2-F1与ω2无关，为定值。
因此（F2－F1）—ω2图象如图所示
（3）当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力F′提供向心力，竖直分力F″与重力平衡，即
F′＝（M＋m）Rω2，F″＝（M＋m）g
则该同学对盒子的作用力为F＝。
答案：（1）
（2）
（3）
【综合拓展】圆周运动中连接体的分析
第1节 剖析运动的合成与分解
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
运动的合成和分解
物体做曲线运动的条件
理解分运动和合运动之间的关系
会正确分解物体的实际运动
选择题、解答题
6~10分
二、重难点提示
重难点：分运动方向的选取。
一、物体做曲线运动的条件及轨迹分析
1. 条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
（1）因为速度时刻在变，所以一定存在加速度；
（2）物体受到的合外力与初速度不共线。
2. 合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧。
【核心突破】运动的分类：
（1）a=0：匀速直线运动或静止。
（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到）。
3. 速率变化情况判断
（1）当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
（2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
二、运动的合成与分解
1. 基本概念：
①运动的合成：已知分运动求合运动；
②运动的分解：已知合运动求分运动。
2. 分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3. 遵循的规律：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
4. 合运动与分运动的关系：
①等时性
合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
②独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
③等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
例题1 （江苏高考）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧向右上方45°方向匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度 （ ）
A. 大小和方向均不变
B. 大小不变，方向改变
C. 大小改变，方向不变
D. 大小和方向均改变
思路分析：橡皮同时参与两个方向的运动：一个是水平方向的匀速直线运动，另一个是竖直方向的匀速直线运动，由于这两个方向上的分运动都是匀速直线运动，因此这两个运动的合运动也是匀速直线运动，即橡皮的速度大小和方向都保持不变，所以A正确。
答案：A
例题2 质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力。则下列选项中可能正确的是（ ）
思路分析：曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项D正确。
答案：D
例题3 （山西模拟）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 相对地面的运动轨迹为直线
B. 相对地面做变加速曲线运动
C. t时刻猴子对地速度的大小为v0＋at
D. t时间内猴子对地的位移大小为
思路分析：猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，其运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定（因为加速度恒定），所以相时地面猴子做匀变速曲线运动；t时刻，猴子对地速度的大小为；t时间内，猴子对地的位移大小为，即选项D是正确的。
答案：D
例题4 （合肥模拟）如图所示，在竖直平面的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示（坐标格为正方形，取g＝10m/s2），求：
（1）小球在M点的速度v1；
（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
（3）小球到达N点的速度v2的大小。
答案：解：（1）设正方形的边长为l0，竖直方向做竖直上抛运动，则：
v0＝gt1
2l0＝t1
水平方向做匀加速直线运动，则：
3l0＝t1
解得v1＝6 m/s。
（2）由竖直方向的对称性可知，小球在经过t1回到x轴，水平方向从O点做初速度为零的匀加速直线运动，故水平方向连续两段相等时间内位移之比为1:3，所以在回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为（12,0）。
（3）到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s
水平分速度：vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s
故v2＝＝4 m/s。
【技巧点拨】运动的合成、分解及性质
1. 合运动的性质判断
2. 两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
3. 运动的分解
分解的原则是根据效果分解或正交分解。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。运动的分解与合成互为可逆过程。
【满分训练】随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐项目。如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球。由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴，则（ ）
A. 球被击出后做变加速曲线运动
B. 该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C. 球被击出时的初速度大小为L·
D. 球被击出后受到的水平风力的大小为
思路分析：球在水平方向受恒定的水平风力做减速运动，竖直方向做自由落体运动，故合加速度为定值，即做匀速曲线运动，选项A错误；球在竖直方向只受重力，做自由落体运动，h＝gt2，解得
t=，选项B错误；球水平方向做匀减速直线运动，平均速度＝，解得v0＝L·，选项C正确；设水平风力大小为F，根据牛顿第二定律有F＝ma，由运动学公式有v0＝at，解得F＝，选项D正确。
答案：CD
解密小船渡河模型
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
运动的合成和分解
会用运动的合成和分解
分析小船渡河问题
选择题
6分
二、重难点提示
最短距离过河的分析。
1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；
2. 三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）；
3. 三种情景：
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，（d为河宽）；
②过河路径最短（v2③过河路径最短（v2>v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d。
【技巧突破】小船渡河问题建模指导
1. 物体的实际运动一定是合运动。
2. 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系。
3. 在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动。
例题1 小船过河，河宽300 m，水流速度为5 m/s，船在静水中的速度为4 m/s，以下结论正确的是（ ）
A. 船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
B. 船不可能到达正对岸
C. 船以最短路程过河所需时间为75 s
D. 船渡过河的最短时间为75 s
思路分析：由于水流速度大于船的速度，船不可能到达正对岸，选项B正确；船头指向正对岸，船以最短的时间渡河，最短时间为t＝ s＝75 s，想要以最短的路程渡河，船头应该向河的上游偏，渡河时间大于75 s，选项A、C错误，选项D正确。
答案：BD
例题2 （苏北四市三调）某河宽为600 m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图象如图所示。船在静水中的速度为4 m/s，若船渡河的时间最短，下列说法中正确的是（ ）
A. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B. 船在河水中航行的轨迹是一条直线
C. 渡河最短时间为240 s
D. 船离开河岸400m时的速度大小为 m/s
思路分析：船在渡河过程中，若船渡河的时间最短，必须保持船头始终与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河最短时间为tmin＝＝150 s，选项C错误；船离开河岸400m时的水流速度大小与船离开河岸200m时水流速度大小相等，即v水＝2 m/s，则船离开河岸400m时的速度大小v＝ m/s＝ m/s，选项D正确。
答案：AD
例题3 河宽d＝60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，问：
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
思路分析：（1）要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间。
（2）渡河航程最短有两种情况：
①船速v2大于水流速度v1时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽；
②船速v2小于水流速度vl时，即v2设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则
，
最短航程，
小船的船头与上游河岸成60°角时，渡河的最短航程为120 m。
答案：（1）小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间；
（2）小船的船头与上游河岸成60°角时，渡河的最短航程为120 m。
【方法提炼】求解小船渡河问题的方法
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致；
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解；
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关；
（4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极限的方法处理。
【满分训练】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（ ）
A. t甲C. t甲>t乙 D. 无法确定
思路分析：设水速为v0，人在静水中速度为v，对甲，由O→A，所用时间t1＝，由A→O所用时间t2＝
则甲所用时t甲＝t1＋t2＝＋＝s ①
对乙，由O→B和由B→O的实际速度v′＝
故乙所用时间t乙＝＝ ②
两式相比得＝>1即t甲>t乙，故C正确。
答案：C
解密斜牵引问题
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
运动的合成和分解
会解决有绳、杆等连接体的牵引问题
选择题
4~6分
二、重难点提示
重难点：理解并把握实际运动与分运动之间的关系
斜牵引问题的主要物理情境为两个运动物体间通过不可伸长的绳子或轻杆相连。涉及的主要问题是通过绳子或轻杆牵连的物体间的速度关系。在此类问题中，要充分理解运动的合成与分解，区分合运动与分运动。
一、常见模型
二、思路与方法
沿绳或杆方向的速度分量大小相等
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
【方法点睛】斜牵引问题的解题流程
①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；
②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；
③确定该点合速度的实际运动效果，从而依据平行四边形定则确定分速度方向；
④作出速度分解的示意图，利用绳、杆不可伸缩的特点寻找速度关系。
例题1 如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A。物体A是如何运动的？当绳与水平方向成θ角时，物体A的速度大小方向如何？
思路分析：在运动过程中，我们会发现有这样的特点：
（1）绳子的总长度不变，但滑轮左侧的长度在增大，而滑轮右侧的长度在减小。
（2）绳子与水平方向的夹角在逐渐地变大。
物体的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成：①沿绳的方向被牵引，绳长缩短；②垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。
解法一（分解法）：关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图所示。由此可得：。
解法二（微元法）：要求物体A在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设物体A在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以△t得：
即收绳速率，因此物体A的速率为：
综上所述，当人匀速拉动绳子的时候，物体A的速度是变化的，即物体A做变速直线运动；当绳与水平方向成θ角时，物体A的速度为，方向水平向左。
答案：当人匀速拉动绳子的时候，物体A的速度是变化的，即物体A做变速直线运动；当绳与水平方向成θ角时，物体A的速度为，方向水平向左。
例题2 （石家庄检测）一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则（ ）
A. v2＝v1 B. v2＝2v1
C. v2＝v1 D. v2＝v1
思路分析：球A与球形容器球心等高，故速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即＝，解得v2＝v1，C项正确。
答案：C
例题3 如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为________，方向________。
思路分析：根据A、B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1（沿绳的分量）和v2（垂直绳的分量）以及（沿绳的分量）和（垂直绳的分量），如图所示
由于两物体沿绳的速度分量相等，v1＝，vcosα＝vBcosβ
则B物体的速度方向水平向右，其大小为vB＝
答案：；水平向右
点拨：在处理合速度与分速度的关系时，要养成画出矢量分解的平行四边形的良好习惯，这样可以避免弄错合速度和分速度的几何关系。
【综合拓展】无论是小船过河问题还是斜牵引问题，解决的关键都是把运动分解为两个方向上的直线运动，利用直线运动的性质、条件及规律求解曲线运动的相关问题。
通过对于曲线运动、非匀变速运动的接触，我们将领悟怎样将复杂的问题化为简单的问题，将未知问题化为已知问题。进而真正理解运动合成与分解的意义。
【满分训练】有一个质量为2 kg的质点在x－y平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 质点所受的合外力为3 N
B. 质点的初速度为3 m/s
C. 质点做匀变速直线运动
D. 质点初速度的方向与合外力方向垂直
思路分析：由图象知，在y方向上做匀速运动，vy＝＝4 m/s，在x方向上做匀加速运动，ax＝＝1.5 m/s2，所以F合＝max＝3 N，选项A正确；质点的初速度为v＝＝5 m/s，选项B错误；质点的初速度与F合不垂直，也不同向，故其运动为匀变速曲线运动，且速度方向向x方向不断偏转。选项C、D错误。
答案：A
平抛运动的规律总结
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
平抛运动
能够运用运动的合成和分解的思想来计算有关平抛运动的问题
选择题
解答题
6～10分
二、重难点提示
重点：运用平抛运动的规律进行计算。
难点：对水平方向和竖直方向上分运动之间等时性的理解。
1. 定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
2. 性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3. 基本规律：以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
（1）水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t
（2）竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2
（3）合速度：vt＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝
（4）合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝
【要点提示】 常用结论
1. 飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关；
2. 水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关；
3. 落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关；
4. 速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
5. 两个重要推论
（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如下图中A点和B点所示。
（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
例题1 关于平抛运动，下列说法不正确的是（ ）
A. 平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B. 平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C. 平抛运动的速度大小是时刻变化的
D. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
思路分析：平抛运动物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角，有tanθ＝＝，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小。故D正确，B错误。本题应选B。
答案：B
例题2 如图所示，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上，已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为 （ ）
A. 1 m/s B. 2 m/s C. 3 m/s D. 4 m/s
思路分析：由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝gt2＝0.8 m，位置可能有两处，如图所示。
第一种可能：小球落在半圆左侧，v0t＝R－＝0.4 m，v0＝1 m/s
第二种可能：小球落在半圆右侧，v0t＝R＋＝1.6 m，v0＝4 m/s，选项A、D正确。
答案：AD
例题3 在光滑的水平面上，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向向上的水平恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图所示，曲线为质点的轨迹图（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），求：
（1）如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，那么质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
（2）质点经过P点的速度大小。
思路分析：（1）质点在x轴方向无外力作用下做匀速直线运动，在y轴方向受恒力F作用做匀加速直线运动。
由牛顿第二定律得：a＝＝m/s2＝15 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为（xP，yP），则xP＝v0t，yP＝at2，
又tan α＝，联立解得：t＝1 s，xP＝10 m，yP＝7.5 m；
（2）质点经过P点时沿y轴方向的速度vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝＝5m/s。
答案：（1）1 s （10 m，7.5 m） （2）5m/s
【高频疑点】 常见平抛运动题型的运动时间的计算方法
模型
解决方法
在水平地面上空h处平抛
由h＝2gt2 知t＝，即t由高度h决定
在半圆内的平抛运动
由半径和几何关系制约时间t
h＝gt2
R＋＝v0t
联立两方程可求t
注意：存在多解情况
对着竖直墙壁平抛
水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝
斜面上的平抛
顺着斜面平抛
方法：分解位移，利用斜面已知倾角进行计算
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝
对着斜面平抛
方法：分解速度，利用斜面已知倾角进行计算
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
可求得t＝
研究平抛运动实验的深入分析
考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
平抛运动的实验
能够设计实验分别分析水平和竖直方向上的分运动性质
选择题
实验题
4～8分
二、重难点提示
重点：平抛运动在水平方向和竖直方向上的分运动性质。
难点：实验原理的分析。
一、实验目的
（1）用描迹法描出平抛物体的运动轨迹；
（2）求出平抛物体的初速度。
二、实验原理
（1）平抛运动可以看作是由两个分运动合成，一个是在水平方向上的匀速直线运动，其速度等于平抛物体运动的初速度，另一个是在竖直方向上的自由落体运动。
（2）在水平分运动中，运用x＝v·t；在竖直分运动中，运用y＝gt2或Δy＝gT2。
三、实验器材
斜槽（附挡球板和重锤线）、水准仪、小钢球、木板、竖直固定支架、刻度尺、三角板、白纸、图钉、定点用的有孔卡片、重锤线、铅笔等。
四、实验步骤
（1）描述平抛物体运动的轨迹
①将斜槽放在桌面上，让其末端伸出桌面边缘外。借助水准仪调节末端，使槽末端切线水平，随之将其固定，如图所示。
②用图钉将白纸钉在木板上，让木板左上方靠近槽口处桌面边缘，用支架将木板竖直固定，使小球滚下飞出槽口后的轨迹平面跟板面平行。
③将小球飞出斜槽末端时的球心位置水平投影到白纸上描点O，并过O沿重锤线用直尺描出竖直方向。
④选择钢球从槽上滚下的合适初位置Q，在Q点放上挡球板。
⑤将小球从斜槽上释放，用中心有孔的卡片靠在纸面上并沿纸面移动，当飞行的小球顺利地穿过卡片小孔时，在小孔靠近纸面所在处做记号；重复该步骤，描下至少5个不同位置的对应点。（也可用让小球碰撞笔尖的方法进行描点）
⑥把白纸从木板上取下来，将前面描述的一系列点用平滑的曲线连接起来，即为小球做平抛运动的轨迹。
（2）求小球平抛的初速度
①以O为坐标原点，用三角板在白纸上建立xOy坐标系。
②在轨迹上选取点M，并测出它的坐标值（x，y），代入公式计算水平初速度。
③再在曲线上选取不同点，重复步骤（2）②，测量、计算水平初速度，最后求出其平均值，即为小球平抛初速度的测量值。
例题1 在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：_____________。
a. 通过调节使斜槽的末端保持水平
b. 每次释放小球的位置必须不同
c. 每次必须由静止释放小球
d. 记录小球位置用的铅笔（或带孔卡片）每次必须严格地等距离下降
e. 小球运动时不应与木板上的白纸（或方格纸）相接触
f. 将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
思路分析：只有斜槽的末端保持水平，小球才具有水平初速度，其运动才是平抛运动。每次由静止释放小球，是为了使小球有相同的初速度，如果小球在运动过程中与木板上的白纸相接触就会改变它的运动，便不是平抛运动，故a、c、e选项正确。
b选项中，每次释放小球的位置必须相同，以保证小球有相同的水平初速度；
d选项中，因平抛运动竖直分运动是自由落体运动，是加速运动，在相同时间里，随着运动的进行，位移越来越大，因此木条下降的距离不应是等距的。
f选项应将各点用平滑的曲线连接起来。
答案：ace
例题2 在做“研究平抛物体的运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图所示的装置，先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平木板表面钉上复写纸和白纸，并将该木板竖直立于紧靠槽口处，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口方向平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；又将木板再向远离槽口方向平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C，若测得木板每次移动距离均为x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝4.78 cm，B、C间距离y2＝14.58 cm。（g取9.80 m/s2）
（1）根据以上直接测量的物理量求得小球初速度为v0＝________（用题中所给字母表示）；
（2）小球初速度的测量值为________m/s。（结果保留三位有效数字）
思路分析：（1）由题意知小球在经过A、B、C位置时所经历的时间间隔T相等，则在竖直方向上由Δs＝aT2，有y2－y1＝gT2，再由x＝v0T，可解得v0＝x
（2）将已知数据代入即可得v0＝1.00m/s。
答案：（1）x （2）1.00
【技巧点拨】 实验操作常考点
1. 实验中必须保证通过斜槽末端端点的切线水平，木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，并使小球的运动靠近木板但不接触；
2. 小球必须每次从斜槽上同一位置滚下，为此在斜槽上固定一个挡板，每次都从挡板处无初速释放小球（保证平抛运动的初速度相同）；
3. 坐标原点（小球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球心在木板上的水平投影点；
4. 要在斜槽上适当的高度释放小球，使它水平抛出后其轨迹由木板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差；
5. 要在平抛轨迹上选取距O点远些的点来计算球的初速度，这样可使结果的误差较小。
【易错分析】误以为题中给出的第一个点即为平抛运动的初始点
有些题目中，给出若干点及数据求解平抛初速度时，同学们会惯性的认为图中给出的第一个点为平抛运动的起始点，进而直接运用求出，再用计算出初速度。这样的做法是错误的。应首先判断第一个点是否是平抛运动的起始点再进行计算。
【针对训练】如图所示，在“研究平抛物体的运动”的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长l＝1.25 cm。若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为（用l和g表示）__________，其值是__________（g＝9.8 m/s2），小球在b点的速率是________。
思路分析：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动即初速度为零的匀加速直线运动，当应用公式，时，必须已知（或从图中得到）从抛出点开始算起的水平位移sx和竖直位移sy。本题通过分析图象可知，a点不是抛出点，所以不能用上式求，但a、b、c、d每相邻两点之间的时间间隔是相等的，设为T，又根据匀变速直线运动连续相等时间内位移差Δs＝at2，可得，
＝0.70 m/s，
对b点来说，其竖直分速度，
b的速率，
答案： 0.70 m/s 0.875 m/s
平抛运动规律的拓展问题
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
平抛运动规律
学会运用运动的合成与分解方法解决问题
深入理解研究平抛运动的方法
选择题
解答题
6～10分
二、重难点提示
用类比的方法获得解决问题的思路。
一、斜抛运动
1. 斜抛运动的定义
将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2. 运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3. 基本规律（以斜向上抛为例说明，如图所示）
①速度公式
水平速度；竖直速度
②位移公式
水平位移；竖直位移
由以上两式可得，这就是斜抛物体的轨迹方程。
③常用结论
射程是做斜抛运动物体的水平位移，射高是做斜抛运动物体上升的最大高度。
飞行时间：；
射高：；
射程：
由此可见，在给定的情况下，当时，射程最大，
二、类平抛问题模型的分析方法
1. 类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2. 类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3. 类平抛运动的求解方法
（1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合外力的方向）的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
【核心突破】对于类平抛、斜抛运动问题，一般采用把曲线运动分解为两个方向上的直线运动的方法处理，即先求分速度、分位移，再求合速度、合位移；分解运动中某点的末速度往往成为解题的关键。
例题1 做斜抛运动的物体，到达最高点时 （ ）
A. 速度为零，加速度向下
B. 速度为零，加速度为零
C. 具有水平方向的速度和竖直向下的加速度
D. 具有水平方向的速度和加速度
思路分析：斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动，因物体只受重力，且方向竖直向下，故达到最高点时水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C选项正确。
答案：C
例题2 如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为 （ ）
A. tan α B. cos α
C. tan α D. cos α
思路分析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2，对A球：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝；对B球：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝，解四式可得：＝tan α，C项正确。
答案：C
例题3 质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
（1）飞机受到的升力大小；
（2）上升至h高度时飞机的速度。
思路分析：（1）飞机水平方向速度不变，则有l＝v0t
竖直方向上飞机加速度恒定，则有h＝at2
解以上两式得a＝，故根据牛顿第二定律得飞机受到的升力F＝mg＋ma＝mg（1＋）；
（2）由题意将此运动分解为水平方向速度为v0的匀速直线运动，l＝v0t；竖直方向初速度为0、加速度a＝的匀加速直线运动。
上升到h高度其竖直速度vy＝，
所以上升至h高度时其速度v＝，如图所示
tan θ＝，方向与v0成θ角，θ＝arctan
答案：（1）mg（1＋） （2） ，方向与v0成θ角，θ＝arctan
【综合拓展】抛体运动问题的解题套路及技巧
我们从下面这道例题展开分析
如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v的大小范围。(g取10 m/s2)
解：对于这类问题，我们应首先画出运动的示意图，它既可以使抽象的物理情境变得直观，也可以使隐藏于问题深处的条件显露无遗．小球落在墙外的马路上，其速度最大值所对应的落点位于马路的外侧边缘，而其速度最小值所对应的落点却不是马路的内侧边缘，而是围墙的最高点P，这一隐含的条件只有在示意图中才能清楚地显露出来。
①若v太大，小球落在马路外边，因此，要使球落在马路上，v的最大值vmax为球落在马路最右侧A点时的平抛初速度，如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1
则小球的水平位移：L＋x＝vmaxt1，小球的竖直位移：H＝
解以上两式得
vmax＝(L＋x)＝13 m/s
②若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在马路上，v的最小值vmin为球恰好越过围墙的最高点P落在马路上B点时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，则此过程中小球的水平位移：L＝vmint2
小球的竖直方向位移：H－h＝
解以上两式得vmin＝L ＝5 m/s
因此v0的范围是vmin≤v≤vmax，即5 m/s≤v≤13 m/s。
这里使用的是极限分析法，v0不能太大，否则小球将落在马路外边；v0又不能太小，否则被围墙挡住而不能落在马路上．因而只要分析落在马路上的两个临界状态，即可解得所求的范围。
因此，在解决较复杂的抛体运动时，应首先做出运动示意图，避免思维定式，在运用抛体运动规律，结合极限法、割补法等方法解题。时刻注意合运动与分运动的等时性，这是解决这类问题的突破点。
描述圆周运动的物理量
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
描述圆周运动的物理量
理解匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度的物理意义
能够准确掌握各物理量之间的联系
选择题、解答题
6~10分
二、重难点提示
各物理量的物理意义和相互联系。
1. 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，比较如下表所示：
物理量
意义、方向
公式、单位
线速度
①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量（v）
②方向与半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量（ω）
②中学不研究其方向
①ω＝
②单位：rad/s
周期和转速
①周期是物体沿圆周运动一圈的时间（T）
②转速是物体在单位时间内转过的圈数（n），也叫频率（f）
①T＝；单位：s
②周期与频率的关系为T＝
③f的单位：Hz
④n的单位r/s、r/min
向心加速度
①描述速度方向变化快慢的物理量（a向）
②方向指向圆心
①a向＝＝ω2R
②单位：m/s2
向心力
①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
②方向指向圆心
F向＝mω2R＝m
2. 各物理量之间的相互关系
（1）v＝ωR＝＝2πRf
（2）a向＝＝ω2R＝ωv＝＝4π2f2R
（3）F向＝m＝mω2R＝m＝mωv＝m4π2f2R
例题1 甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则（ ）
A. ω1>ω2，v1>v2 B. ω1<ω2，v1C. ω1＝ω2，v1思路分析：由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1答案：C
例题2 电视画面每隔 s更新一帧，当屏幕上出现一辆车匀速驰骋的情景时，观众如果注视车辆车轮上的辐条，往往会产生奇怪的感觉。设车上有八根对称分布的完全相同的辐条，则下列说法正确的是（ ）
A. 若车轮转动的角速度为7.5π rad/s，则观众觉得车轮是不动的
B. 若车轮转动的角速度为60π rad/s，则观众觉得车轮是不动的
C. 若每经过 s，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的
D. 若每经过 s，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的
思路分析：若车轮转动的角速度为7.5π rad/s，则在s内，车轮转动π，对八根辐条的车轮，其辐条间的夹角为π，因此A正确；同理可知B正确；若每经过s，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是正转的，C错误；若每经过s，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的，D正确。
答案：ABD
例题3 某型石英表中的分针与时针可视为做匀速转动，分针的长度是时针长度的1.5倍，则下列说法中正确的是（ ）
A. 分针的角速度与时针的角速度相等
B. 分针的角速度是时针的角速度的60倍
C. 分针端点的线速度是时针端点的线速度的18倍
D. 分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
思路分析：分针的角速度ω1＝ rad/min
时针的角速度ω2＝ rad/min，
ω1∶ω2＝12∶1，v1∶v2＝ω1r1∶ω2r2＝18∶1，
a1∶a2＝ω1v1∶ω2v2＝216∶1，故只有C正确。
答案：C
【高频疑点】圆周运动是匀变速曲线运动吗？
匀变速曲线运动是加速度恒定，但加速度与速度不共线的情况，而圆周运动中向心加速度是始终指向圆心的，也就是其方向是不断改变的。即使在匀速圆周运动中，向心加速度大小恒定，但方向也是时刻变化的，所以圆周运动不是匀变速曲线运动。
我们分析圆周运动中任意两个时刻的线速度与加速度情况，如下图
既然知道圆周运动不是匀变速曲线运动，则不能得出a1＝a2（即向心力F1＝F2）的结论，同样的也不能得出v1＝v2。在匀速圆周运动中，任意两时刻相等的物理量是ω1＝ω2。这些等量关系的表达是我们在解题中经常容易出错的地方。
匀速圆周运动分析
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
匀速圆周运动
知道什么样的运动是匀速圆周运动
会分析向心力的来源
选择题
6分
二、重难点提示
重难点：向心力的来源分析。
传动装置中各物理量之间的关系。
一、匀速圆周运动
1. 定义：线速度大小不变的圆周运动。
2. 性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
3. 质点做匀速圆周运动的条件。
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，即物体所受合力全部用来提供向心力。
二、同轴转动、皮带传动等传动装置
1. 皮带传动（皮带上的点与转动轴链接处无滑动，线速度大小相等）
2. 同轴传动（各点角速度相等）
3. 齿轮传动（齿轮边缘线速度大小相等）
4. 摩擦传动（无滑动接触面上的点线速度大小相等）
例题1 关于匀速圆周运动的说法，正确的是（ ）
A. 匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B. 做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C. 做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D. 匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
思路分析：速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度。加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。故本题选BD。
答案：BD
例题2 如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）
A. A点与C点的角速度大小相等
B. A点与C点的线速度大小相等
C. B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D. B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
思路分析：处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等。对于本题，显然vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度大小之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式a＝ω2R，可得aB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。
答案：BD
例题3 在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动。已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为g＝10 m/s2，若已知女运动员的体重为35 kg，据此可估算该女运动员（ ）
A. 受到的拉力约为350 N B. 受到的拉力约为350 N
C. 向心加速度约为10 m/s2 D. 向心加速度约为10 m/s2
思路分析：本题考查了匀速圆周运动的动力学分析。以女运动员为研究对象，受力分析如图：
根据题意有G＝mg＝350 N；则由图易得女运动员受到的拉力约为350 N，A正确；向心加速度约为10 m/s2，C正确。
答案：AC
例题4 两个质量分别是m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为L的细线连接，水平杆随框架以角速度ω匀速转动，两球在杆上相对静止，如图所示，求两球离转动中心的距离R1和R2及细线的拉力。
思路分析：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意
R1＋R2＝L，R2＝L－R1
对m1：F＝m1ω2R1
对m2：F＝m2ω2R2＝m2ω2（L－R1）
所以m1ω2R1＝m2ω2（L－R1）
解得：R1＝
R2＝L－R1＝
F＝m1ω2·＝
答案：R1＝；R2＝；F＝
【方法提炼】圆周运动动力学分析
1. 向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2. 向心力的确定
（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
如图1所示，用细绳系一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，向心力由重力与绳的拉力的合力提供。如果小球恰好能通过最高点，则在最高点时小球做圆周运动的向心力只由重力提供。
如图2所示，一个物体在圆柱体的内壁，随着圆柱体一起做匀速圆周运动，物体与圆柱体无相对滑动，则物体做圆周运动的向心力由圆柱体内壁对物体的支持力（弹力）提供。
如图3所示，将一个物体放在转台上，物体随转台一起做匀速圆周运动，物体与转台无相对滑动，则其向心力由转台对物体的静摩擦力提供。
如图4所示，物体在绳子的作用下在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体重力的合力提供向心力。
如图5所示，物体在光滑的碗内壁做匀速圆周运动，其向心力由碗壁对物体的支持力和物体的重力的合力提供。
如图6所示，物体在轻杆的作用下在粗糙的水平面内做匀速圆周运动，其向心力由杆对物体的作用力和物体所受到的摩擦力的合力提供。
【技巧突破】解决圆周运动问题的主要步骤
（1）审清题意，确定研究对象；
（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
（3）分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；
（4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
（5）求解、讨论。
【满分训练】（福建高考）如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数μ。
思路分析：
解析：（1）应理解把握好“转台边缘”与“恰好滑离”的含义。
物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ①
在水平方向上有s＝v0t ②
由①②式解得v0＝s ③
代入数据得v0＝1 m/s。此速度即为平抛运动的初速度，也是物块滑离转台的临界速度。
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m ④
fm＝μN＝μmg ⑤
由④⑤式得μ＝
代入数据得μ＝0.2。
答案：（1）1 m/s （2）0.2
非匀速圆周运动分析
一、考点突破
知识点
考纲要求
题型
分值
圆周运动
圆周运动知识在非匀速圆周运动的应用
选择题
4~6分
二、重难点提示
重难点：运用运动的合成和分解的思想来理解非匀速圆周运动。
能够分析到生活中部分圆周运动的原理。
一、非匀速圆周运动
（1）定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。
（2）合力的作用
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的方向。
②力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的大小。
二、竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动，动力学分析时只涉及最高点和最低点的两种情形，因为在这两点上物体所受合力方向指向圆心，即重力与绳或杆的合力方向指向圆心。需要注意的是，绳连接的物体在竖直方向上的圆周运动一定是非匀速圆周运动，而杆连接的物体有可能做匀速圆周运动。
注意：竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，后面会详细讨论。
例题1 如图，光滑的水平面上固定着一个半径在逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道．一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是（ ）
A. 周期 B. 线速度 C. 角速度 D. 向心加速度
思路分析：轨道对小球的支持力与速度方向垂直，即加速度方向始终与线速度方向垂直，只改变其方向而不改变大小，故小球的线速度大小不变；故B错误；根据v=ωr，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，C错误；根据，角速度增加，故周期减小，A正确；根据，转动半径减小，故向心加速度增加，D错误。
答案：A
例题2 如图所示，绳的一端悬于O点，另一端系一小球；在O点正下方A处有一钉子。现使小球由高处摆下，当绳摆到竖直位置时与钉子相碰，则绳碰钉子前与碰钉子后瞬间相比（不计空气阻力）（ ）
A. 小球的线速度变大
B. 小球的角速度变大
C. 小球的向心加速度变小
D. 绳子的拉力变大
思路分析：绳碰钉子前后瞬间小球的线速度未变，圆周运动的半径变小，根据公式v＝ωr知，角速度变大；由a＝知加速度变大；根据F－mg＝m知绳子的拉力变大，正确选项是BD。
答案：BD
例题3 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力F1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F2，求F1与F2之比。如图所示：
思路分析：汽车通过桥顶A时，mg－F1＝ ①
在圆弧形凹地最低点时F2－mg＝ ②
由题意得2F1＝mg
由①②式得F2－mg＝mg－F1，
故F2＝2mg－F1＝4F1－F1＝3F1
解得F1：F2＝1：3
答案：1：3
【高频疑点】拱形桥与凹形桥的比较
项目
汽车过拱形桥
汽车过凹形桥
受力分析
规定向心力方向为正方向
牛顿第三定律
超失重
失重
超重
讨论
v增大，F压减小
当v增大到时，F压＝0
v增大，F压增大
常用结论
（1）汽车过拱桥时，在最高点处，车对桥的压力小于车的重力，在最低点处，车对桥的压力大于车的重力。
（2）汽车过拱桥时，当时，；当时，
；当时，汽车将脱离桥面，发生危险。
【满分训练】如图所示，汽车以一定的速度经过丘陵地带，由于轮胎太旧，途中“放了炮”。你认为可能性最大的是哪一点（ ）
A. A处 B. B处 C. C处 D. D处
思路分析：最底点超重，最高点失重，故应从B、D两处选择。因为，当r越小，则轮胎受到的压力越大，故爆胎可能性最大的地方是D处。
答案：D
