开普勒三大定律
（答题时间：15分钟）
1. （重庆模拟）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A.
火星与木星公转周期相等
B.
火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.
太阳位于木星运行椭圆轨道的某焦点上
D.
相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2. （浙江二模）假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（ ）
A.
4次
B.
6次
C.
7次
D.
8次
3. （浙江高考）长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1=19600km，公转周期T1=6.39天。2006年3月，天文学家发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转半径r2=48000km，则它的公转周期T2，最接近于（ ）
A.
15天
B.
25天
C.
35天
D.
45天
4. （朝阳区一模）1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台发现了一颗绕太阳运行的小行星，2001年12月21日，经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，将这颗小行星命名为“钱学森星”，以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和“钱学森星”绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星”绕太阳运行一周的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. （辽宁模拟）月球绕地球运转的周期为T1，半径为R1；地球绕太阳运转的周期为T2，半径为R2，则它们运动轨道半径的三次方和周期的二次方的比，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
无法确定它们的关系
6. 16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个论点目前看存在缺陷的是（ ）
A. 宇宙的中心是太阳，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动
B. 地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时，还跟地球一起绕太阳运动
C. 天空不转动，因为地球每天自西向东转一周，造成太阳每天东升西落的现象
D. 与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多
7. 太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为（ ）
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期（年）
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米
C. 4.6亿千米 D. 6.9亿千米
8. 地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半径长轴约等于地球轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律（即＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴）估算。它下次飞近地球是哪一年？
9. 地球绕太阳公转的轨迹为椭圆，地球由近日点向远日点运动过程中（ ）
A. 地球运动的速度逐渐增大 B. 地球运动的速度逐渐减小
C. 地球运动的加速度逐渐增大 D. 地球运动的加速度逐渐减小
1. C 解析：A. 根据开普勒第三定律， =k，k为常数，火星与木星公转的半长轴不等，所以火星与木星公转周期不相等，故A错误；B. 根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故B错误；C. 开普勒第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，故C正确；D. 开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，是对同一个行星而言，故D错误。
2. C 解析：据开普勒第三定律得
R1=4200km+6400km R2=36000km+6400km
可知载人宇宙飞船的运行周期T1与地球同步卫星的运行周期T2之比为，又已知地球同步卫星的运行周期为一天即24h，因而载人宇宙飞船的运行周期T1=h=3h，
由于匀速圆周运动的角速度ω=，所以宇宙飞船的角速度为，同步卫星的角速度为，因为两者运行的方向相同，因而可以视作追击问题。又因为是由两者相距最远的时刻开始，而两者处于同一直线且非位于地球同一侧时，二者相距最远，此时追击距离为π，即一个半圆，追击时间为。
此后，追击距离变为2π即一个圆周，同理，追击时间为，
可以得到24h内共用时，完成追击7次，即七次距离最近，因而发射了七次信号。
3. B 解析：据开普勒第二定律 解得：T2==24.6天，故ACD错误，B正确。
4. C 解析：解：根据开普勒第三定律，有，
解得R钱=R。
5. B 解析：由万有引力提供向心力的周期表达式：，解得：，由于中心天体地球质量小于太阳质量，故，故B正确。
6. ABC 解析：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴满足＝恒量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动。整个宇宙是在不停运动的，故天空也是转动的。只有D的论点正确。
7. B 解析：由题意可知，行星绕太阳运转时，满足＝常数，设地球的公转周期和公转半径分别为T1、r1，火星绕太阳的公转周期和轨道半径分别为T2、r2，则，代入数值得：r2＝2.3亿千米。
8. 2062年
解析：由＝k，其中T为行星绕太阳公转的周期，r为轨道的半长轴，k是对太阳系中的任何行星都适用的常量。可以根据已知条件列方程求解。
将地球的公转轨道近似成圆形轨道，其周期为T1，半径为r1；哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为r2，则根据开普勒第三定律有：
因为r2＝18r1，地球公转周期为1年，所以可知哈雷彗星的周期为T2＝×T1＝76.4年。所以它下次飞近地球是在2062年。
9. BD 解析：根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以近日点速度大于远日点速度，即地球由近日点向远日点运动过程中地球运动的速度逐渐减小，故A错误，B正确；当行星从近日点向远日点运动时，根据万有引力定律，行星质量不变，行星与太阳的距离增大，万有引力减小，根据牛顿第二定律，加速度减小。故C错误，D正确。
破解神秘的万有引力定律
1. （南京模拟）宇宙空间中任何两个有质量的物体之间都存在引力，在实际生活中，为什么相距较近的两个人没有吸在一起？其原因是（ ）
A. 他们两人除万有引力外，还有一个排斥力
B. 万有引力太小，只在这一个力的作用下，还不能把他们相吸到一起
C. 由于万有引力很小，地面对他们的作用力总能与之平衡
D. 人与人之间没有万有引力
2. （济南模拟）第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一—万有引力定律。下列有关万有引力定律的说法中正确的是（ ）
A. 开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆
B. 太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星
C. 库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值
D. 牛顿在发现万有引力定律的过程中，应用了牛顿第三定律的知识
3. 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量G，G在国际单位制中的单位是（ ）
A. N?m2/kg2 B. N?m/kg2 C. N?m2/kg D. N?m/kg
4. 为了验证地面上的物体受到的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做过著名的“月－地”检验，基本想法是：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，那么它们都与距离的二次方成反比关系。由于月心到地心的距离是地球半径的60倍，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度应该是地面重力加速度的（ ）
A. B. 3600倍 C. D. 60倍
5. 要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是（ ）
A. 使两物体的质量各减少一半，距离不变
B. 使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C. 使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D. 使两物体间的距离和质量都减为原来的
6. 一颗运行中的人造地球卫星，到地心的距离为r时，所受万有引力为F；到地心的距离为2r时，所受万有引力为（ ）
A.
F
B.
3F
C.
F
D.
F
7. 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的（ ）
A. 轨道半径之比约为
B. 轨道半径之比约为
C. 向心加速度之比为
D. 向心加速度之比为
8.（1）关于万有引力恒量G的较为准确的测量实验，最早是由英国物理学家 _________ 所做扭秤实验得到的。
（2）（多选题）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是 _________
A. 利用平面镜对光线的反射 B. 增大T型架横梁的长度
C. 减少石英丝的直径 D. 增大刻度尺与平面镜的距离
（3）已知T型架水平横梁长度为L，质量分别为m、m′的球，位于同一水平面，当横梁处于力矩平衡状态，测得m、m′连线长度r，且与水平横梁垂直，同时测得石英丝的扭转角度为θ，由此得到扭转力矩kθ（k为扭转系数且已知），则引力常量的表达式G= _______。
9. （1）（单选题）如图（A）（B）（C）为力学中的三个实验装置，可知这三个实验共同的物理思想方法是 _________
A. 极限的思想方法 B. 放大的思想方法
C. 控制变量的方法 D. 猜想的思想方法
（2）（多选题）上问（C）图是测定万有引力常量的实验装置图，万有引力常量由卡文迪许在万有引力定律发现102年后利用扭秤装置测出的，在这个实验中利用到的物理规律有 _________
A. 牛顿运动定律 B. 开普勒行星运动定律
C. 有固定转轴力矩的平衡条件 D. 光的反射定律
1. B 解析：根据万有引力定律的内容知，自然界中任意两个物体间的引力大小与两物体的质量m1和m2的乘积成正比，与两物体距离r的平方成反比，公式为F=G。他们两人除万有引力外，地面对他们的作用力，因万有引力太小，远小于受到的地面的作用力，则不可能把他们相吸到一起，故AD错误，B正确；万有引力与地面对他们的作用力之间没有因果关系，故C错误。
2. AD 解析：根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，故A正确；太阳与行星间的引力就是万有引力，万有引力适用于一切天体之间，故B错误；万有引力常量G是由卡文迪许在实验室中首次准确测量出来的，故C错误；在发现万有引力定律的过程中，牛顿应用了牛顿第三定律的知识，故D正确。
3. A 解析：万有引力定律F=G，公式中，质量m的单位为kg，距离r的单位为m，引力F的单位为N，由公式推导得出，G的单位为，故A正确，BCD错误。
4. A 解析：设地球半径为R，月球的向心加速度为a，由题意知，月球向心力与月球在地面上的重力之比：。
5. D 解析：A. 使两物体的质量各减小一半，距离不变，根据万有引力定律F=G，可知，万有引力变为原来的，符合题意；
B. 使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，根据万有引力定律F= G可知，万有引力变为原来的，符合题意；
C. 使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变，根据万有引力定律F=G，可知，万有引力变为原来的，符合题意；
D. 使两物体间的距离和质量都减为原来的，根据万有引力定律F=G，可知，万有引力与原来相等，不符合题意。
6. C 解析：根据万有引力定律，有：
F=G
F′=G
故F′=F
7. BD 解析：根据牛顿第二定律和万有引力定律可得：
解得
故轨道半径之比，故A错误，B正确；
根据万有引力提供向心力，可得，解得
所以向心加速度之比，故C错误，D正确。
8. （1）卡文迪许；（2）AD；（3）
解析：牛顿发现了万有引力定律F=G ，英国科学家卡文迪许利用扭秤装置，第一次测出了引力常量G。
（2）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”．利用平面镜对光线的反射来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，因此选项AD正确。
当增大T型架横梁的长度时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角仍没有作用，故B不正确；
当减小石英丝的直径时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故C不正确；
（3）质量分别为m和m’的球，位于同一水平面内，当横梁处于静止时，力矩达平衡状态．则有：
由 得
9.（1）B；（2）CD
解析：（1）解：桌面的受力微小形变借助于光的反射来放大；玻璃瓶的受力微小形变借助于液体体积变化；引力大小仍是借助于光的反射来放大，三个实验均体现出放大的思想方法，故选B。
（2）卡文迪许测万有引力常量的实验中，引力大小借助光的反射来放大，实验中应用力矩平衡测出了力的大小，实验并未涉及牛顿定律及开普勒定律，故AB错误，CD正确。
破解天体质量和密度的相关计算
（答题时间：20分钟）
1. 已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M（引力常量G为已知）（ ）
A. 月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B. 地球绕太阳运行周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C. 人造卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D. 地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
2. 甲、乙两星球的平均密度相等，半径之比是R甲︰R乙＝4︰1，则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是（ ）
A. 1︰1 B. 4︰1
C. 1︰16 D. 1︰64
3. 一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行。要测定该行星的密度，只需测定（ ）
A.飞船的运行周期 B. 飞船的环绕半径
C. 行星的体积 D. 飞船的运动速度
4. 甲是在地球表面附近运行的近地卫星，乙是地球的同步卫星，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球自转周期为T，乙运行高度为h，甲、乙的轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是（ ）
A. 甲的线速度为，乙的线速度为
B. 甲、乙的向心加速度均为零
C. 甲、乙均处于完全失重状态
D. 甲、乙的运动周期均为T
5. 如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（ ）
A. M＝，ρ＝
B. M＝，ρ＝
C. M＝，ρ＝
D. M＝，ρ＝
6. 大陆天文爱好者金彰伟、陈韬将他们发现的小行星命名为“周杰伦”星，并获小行星中心公布永久编号为257248。经过他们的合作，顺利确认小行星轨道，其绕太阳运行的轨道半径为R，运行周期为T。已知万有引力常量为G，则由以上数据可估算的物理量有
（ ）
A. 行星的质量 B. 行星的密度
C. 太阳的质量 D. 太阳的密度
7. （福建理综）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的 （ ）
A. 密度 B. 质量 C. 半径 D. 自转周期
8. 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r。已知万有引力常量为G，由此可求出S2的质量为 （ ）
A. B.
C. D.
9. 1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”，若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出（ ）
A. 地球的质量m地＝ B. 太阳的质量m太＝
C. 月球的质量m月＝ D. 月球、地球及太阳的密度
10. 如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆。已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0，周期为T0。
（1）求中央恒星O的质量；
（2）经长期观测发现，A行星的实际运行轨道与理论轨道有少许偏差，并且每隔t0时间发生一次最大偏离，天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的圆轨道与A的轨道在同一平面内，且绕行方向与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A行星轨道的偏离。根据上述现象和假设，试估算未知行星B绕中央恒星O运动的周期和轨道半径。
11. 地球半径R＝6 400 km，地面的重力加速度g＝9.8m/s2，试估算地球的平均密度。
12. 已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面重力加速度大致相等，试估算海王星的质量。（已知地球质量M地＝6.0×1024 kg）
13. 太阳光经过500 s到达地球，地球的半径为6.4×106m，试估算太阳质量与地球质量的比值。（取一位有效数字）
1. AC 解析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星（卫星）的运动的某些量便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由G＝mrω2＝m＝mvω＝mv等分析。如果知道中心天体表面的重力加速度，则可由M＝分析。
2. B 解析：由黄金代换式g＝可得g甲∶g乙＝M甲·R∶M乙·R，而M＝ρ·πR3。可以推得mg甲∶mg乙＝g甲∶g乙＝R甲∶R乙＝4∶1。故B选项正确。
3. A 解析：设星球半径为R，飞船在其表面飞行，轨道半径也为R，设该星球密度为ρ，则该星球的质量M＝πR3ρ。由万有引力提供向心力得＝mR，R，得ρ＝，故A选项正确。
4. C 解析：卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供的，即，在地球表面运行的近地卫星r＝R，地球表面的重力加速度g＝，由以上各式得近地卫星的线速度v＝，地球同步卫星的运行轨道半径r＝h＋R，同步轨道处的重力加速度，所以乙的线速度为 ，选项A错误；甲、乙均做匀速圆周运动，重力加速度为向心加速度，甲、乙均处于完全失重状态，选项B错误，选项C正确；地球同步卫星的周期为T，地球近地卫星的周期小于T，故选项D错误。
5. D 解析：设“卡西尼”号的质量为m，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝，又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝。
6. C 解析：由于小行星的轨道半径和运行周期已知，则由，可估算太阳的质量，由于太阳的半径未知，因此不能估算太阳的密度，有关行星的物理量无法估算，正确选项为C。
7. A 解析：对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：，故月球的质量M＝，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R，但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质量未知，则月球的半径R也无法求出，故B、C项均错；月球的密度ρ＝，故A正确。
8. D 解析：设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得对S1有G
解得m2＝
9. AB 解析：在地球表面，物体的重力近似等于其所受万有引力，所以有mg＝G，可求得m地＝，所以选项A正确；太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳公转的向心力，所以有G，可求得m太＝，选项B正确；已知地球半径，还可以求出地球的密度，但根据题中条件，无法求出月球的质量及其密度和太阳的密度，所以选项C、D错误。
10. （1） （2）TB＝ RB＝R0·
解析：（1）设中央恒星O的质量为M，A行星的质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得G
解得M＝。
（2）由题意可知，A、B相距最近时，B对A的影响最大，A的偏离最大，因每隔t0时间A行星发生一次最大偏离，故每隔t0时间A、B两行星相距最近，设B行星的周期为TB，则有
解得。
设B行星的运行轨道半径为RB，根据开普勒第三定律有
解得RB＝R0·。
11 5.5×103 kg/m3
解析：不计地球自转的影响，地球对物体的引力即为物体的重力，即mg＝G，
所以，地球的质量为M＝
地球的平均密度为
kg/m3≈5.5×103 kg/m3。
12. 9.6×1025 kg
解析：设海王星的质量为M海，半径为R海，地球的质量为M地，半径为R地，对海王星而言，处于海王星表面的物体受到海王星作用的重力就是海王星与物体之间的万有引力。
即mg海＝G
g海＝
同理，地球表面的重力加速度g地＝
因为g海≈g地，则有G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg。
13. 3×105
解析：太阳到地球的距离为r＝ct＝3.0×108×500m＝1.5×1011m。地球绕太阳的运动可看成是匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳的公转周期约为T＝365×24×3 600 s＝3.2×107s，则G，
太阳的质量为M＝。
地球表面的重力加速度为g＝9.8m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即m′g＝G，则地球的质量为m＝。太阳质量和地球质量的比值为＝3×105
万有引力定律的拓展应用
（答题时间：20分钟）
1. 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在距离为d=3R的地方。下列两种情况下，两球之间的万有引力分别为F1，F2，则以下说法正确的是（ ）
（1）从球的正中心挖去（如图甲所示）
（2）从与球相切处挖去（如图乙所示）
A. F1=F2 B. F1＞F2 C. F1：F2=175：164 D. F1：F2=49：4
2. 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，其密度为ρ，一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部的重力加速度大小为（万有引力常量G已知）（ ）
A. ρπG(R－d) B. ρπG(R－d)2 C. ρπG(R－d)3 D.
3. 假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d＜R表面积很小，矿井方向沿着半径方向，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则下列有关物理过程正确的有（ ）
A. 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为
B. 从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线下落
C. 如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将物体拉碎
D. 从井口释放一个小球，小球做加速度减小的加速运动
4. “洞穴”考察正日益成为野外科考的热点项目，已知某科考队在一较深垂直洞穴的底部测得重力加速度为地表重力加速度的k倍，假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则洞穴的深度为（ ）
A. (1－k)R B. (k－1)R C. (1－)R D.
5. 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则距地心R和R两处的重力加速度大小之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方，那么挖去部分与剩余部分的万有引力为____________。
1. C 解析：根据万有引力定律和力的合成法则可得
F1=
F2=
所以，故C正确，ABD错误。
2. A 解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=，由于地球的质量为：M=，所以重力加速度的表达式可写成：
g=。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=
故A正确、BCD错误。
3. D 解析：A. 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：
g=G，由于地球的质量为：M=ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：
g==πGρR。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=πGρ（R－d），矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为，A错误；
B. 由A分析知，靠近地心时，重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；
C. 万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误。
4. A 解析：深度为d的洞穴底部的引力，由半径为R－d的球形部分产生。设地球的密度为ρ，在井底，在地球表面，g=
则=k
则洞穴的深度d=（1－k）R，故A正确，B、C、D错误。
5. A 解析：距地心R和R两处和地面处的角速度相等，
根据a=ω2r得距离地心R和R两处和地面处的重力加速度大小之比为4︰3。
6. 解：根据m=知，挖去部分的小球是整个实心球质量的。
挖去部分的质量m=，设没挖去前，对小球的引力，
挖去部分对小球的引力，
则挖去部分与剩余部分的万有引力大小为。
深入探究宇宙速度
（答题时间：15分钟）
1. 太阳系中有一颗行星，今已测得半径大约为地球半径的2.4倍，密度和地球的密度相当，则由以上信息估算该行星的第一宇宙速度大约为（ ）
A. 1.2×104 m/s B. 3.3×103 m/s
C. 1.9×104 m/s D. 7.9×103 m/s
2. 一物体在某行星的赤道上，随该行星自转时受到的该行星对它的万有引力是它重力的1.04倍，已知该行星自转的周期为T，行星的半径为R。把该行星看成一个球体，则该行星的第一宇宙速度为（ ）
A. B.
C. D.
3. “嫦娥三号”探月卫星计划于2013年下半年在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段。“嫦娥三号”探月卫星到了月球附近，以速度v接近月球表面匀速飞行，测出它的运行周期为T，已知引力常量为G，不计周围其他天体的影响，则下列说法正确的是（ ）
A. “嫦娥三号”探月卫星的半径约为
B. 月球的平均密度约为
C. “嫦娥三号”探月卫星的质量约为
D. 月球表面的重力加速度约为
4. 假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则（ ）
A. 同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍
B. 同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
C. 同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
D. 同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍
5. 2011年9月29日，“天宫一号”顺利升空，在离地面高度343 km的轨道上做匀速圆周运动。2012年2月25日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将第十一颗北斗导航卫星送入太空预定轨道。这是一颗地球静止轨道卫星，是我国当年发射的首颗北斗导航系统组网卫星。下列关于这两颗卫星的说法，正确的是（ ）
A. “天宫一号”的运行周期大于北斗导航卫星的运行周期
B. “天宫一号”和北斗导航卫星上携带的物体都处于完全失重状态
C. “天宫一号”的环绕速度大于第一宇宙速度
D. 北斗导航卫星的向心加速度比地球赤道表面的重力加速度小
6. 随着“神舟十号”与“天宫一号”成功“牵手”及“嫦娥”系列月球卫星技术的成熟，我国将于2020年前发射月球登陆器，采集月球表面的一些样本后返回地球，为中国人登陆月球积累实验数据。月球登陆器返回时，先由月球表面发射后绕月球在近月圆轨道上飞行，经轨道调整后与停留在较高轨道的轨道舱对接，对接完成后再经加速脱离月球飞回地球，下列关于此过程的描述中，正确的是（ ）
A. 登陆器在近月圆轨道上运行的速度必须大于月球第一宇宙速度
B. 登陆器与轨道舱对接后的运行周期小于对接前登陆器的运行周期
C. 登陆器与轨道舱对接后必须加速到等于或大于地球第一宇宙速度才可以返回地球
D. 登陆器与轨道舱对接时，登陆器的速度小于其在近月轨道上的运行速度
1. C 解析：设地球的密度为ρ，半径为R，第一宇宙速度为v1，未知行星的第一宇宙速度为v2，则由万有引力定律和牛顿第二定律可得：
G，则v2＝2.4v1＝1.9×104 m/s，故C正确。
2. C 解析：赤道上物体随行星自转时，1.04 mg－mg＝mR，设第一宇宙速度为v，则mg＝m，求得v＝，C项正确。
3. BD 解析：由T＝可得，月球的半径约R＝，A项错误；由可得，月球的质量M＝，C项错误；由M＝πR3·ρ得，月球的平均密度约为ρ＝，B项正确；由＝mg得，g＝，D项正确。
4. BD 解析：对卫星都有：，所以，B对，A错；因为＝ma向，所以a向＝，而mg＝，g＝，故，C错；由v＝rω知，＝n，故D对。
5. BD 解析：“天宫一号”的轨道半径要小于同步卫星的轨道半径，因此T天6. D 解析：由万有引力定律和牛顿第二定律可得卫星的运行速度v＝，当r＝R（R为月球半径）时，其值等于月球的第一宇宙速度，近月轨道半径稍大于月球半径R，因此登陆器的速度稍小于月球的第一宇宙速度，A错；登陆器与轨道舱对接后仍在较高轨道上运行，由T＝2π可知周期大于对接前登陆器的周期，B错；对登陆器来说，月球是它的中心天体，因此登陆器脱离月球与地球的第一宇宙速度无关，C错误；对接时登陆器上升到较高轨道，速度小于在近月轨道上的速度，D对。
剖析人造卫星的运行和变轨
（答题时间：20分钟）
1. （泰安模拟）人造卫星在受到地球外层空间大气阻力的作用后，卫星绕地球运行的半径、角速度、速率将（ ）
A. 半径变大，角速度变大，速率变大
B. 半径变小，角速度变大，速率变大
C. 半径变大，角速度变小，速率变小
D. 半径变小，角速度变大，速率变小
2. 假设有两颗人造地球卫星围绕地球做圆周运动，其轨道半径分别为r1、r2，向心加速度分别为a1、a2，角速度分别为ω1、ω2，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 在航天员聂海胜的精准操控和张晓光、王亚平的密切配合下，“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船成功实现手控交会对接，形成组合体绕地球做圆周运动，速率为v0，轨道高度（距地）为340 km.“神舟十号”飞船连同三位宇航员的总质量为m，测控通信由两颗在地球同步轨道运行的“天链一号”中继卫星、陆基测控站、测量船，以及北京飞控中心完成。下列描述错误的是（ ）
A. 组合体圆周运动的周期约1.5 h
B. 组合体圆周运动的线速度约7.8 km/s
C. 组合体圆周运动的角速度比“天链一号”中继卫星的角速度大
D. 发射“神舟十号”飞船所需能量是mv2
4.（浙江六校联考）搭载着“嫦娥二号”卫星的“长征三号丙”运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射。卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测（ ）
A. 卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B. 卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点时的大
C. 卫星在轨道Ⅲ上的运动周期比在轨道Ⅰ上的长
D. 卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大
5. （四川高考）今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m。它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×107 m）相比（ ）
A. 向心力较小
B. 动能较大
C. 发射速度都是第一宇宙速度
D. 角速度较小
6. （天津理综）一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速率减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的（ ）
A. 向心加速度大小之比为4∶1
B. 角速度大小之比为2∶1
C. 周期之比为1∶8
D. 轨道半径之比为1∶2
7. （北京理综）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面的压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）
A. B.
C. D.
8. 我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R。下列判断正确的是（ ）
A. 航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速
B. 图中的航天飞机正在加速飞向B处
C. 月球的质量M＝
D. 月球的第一宇宙速度v＝
9. 如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，如图所示。若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可求得（ ）
A. 水星和金星绕太阳运动的周期之比
B. 水星和金星的密度之比
C. 水星和金星到太阳的距离之比
D. 水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比
1. B 解析：人造卫星在受到地球外层空间大气阻力时，卫星的速度减小，万有引力提供的向心力大于卫星所需向心力，卫星做近心运动，卫星再次绕地球运行时，半径变小，由G＝mω2r＝m得，ω＝，由于半径变小，故角速度变大，线速度变大，选项B正确。
2. AD 解析：根据万有引力提供向心力有G＝mω2r＝ma，整理得ω＝，a＝。所以，A、D正确。
3. D 解析：根据万有引力提供向心力得，G＝mr＝mrω2，解得，T＝，v＝，ω＝，又GM＝gR2，r＝R＋340 km＝6740 km，则T＝1.5 h，v＝7.8 km/s，A、B两项正确；根据组合体的运动半径小于同步卫星的运动半径可知，组合体圆周运动的角速度比“天链一号”中继卫星的角速度大，C项正确；发射“神舟十号”飞船所需能量等于飞船的势能与动能之和，D项错误。
4. AD 解析：月球的第一宇宙速度对应的轨道半径等于月球的半径，半径越大，环绕速度越小，选项A正确；卫星在P点，受到的万有引力是一样的，因此在P点的加速度是相同的，选项B错误；在轨道Ⅲ上运行的速率比在轨道Ⅰ上运行的速率要大，因此，卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上短，选项C错误；由于卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，发动机对卫星做负功，因此卫星的机械能减小，故卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大，选项D正确。
5. B 解析：由题知，中圆轨道卫星的轨道半径r1小于同步卫星的轨道半径r2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F向＝G知，两卫星的向心力F1>F2，选项A错误；根据G＝＝mω2r，得环绕速度v1>v2，角速度ω1>ω2，两卫星质量相等，则动能，故选项B正确，选项D错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射所需速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v016. C 解析：根据G＝m，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为，选项D错误；根据G＝ma，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为，选项A错误；根据G＝mω2r，得卫星变轨前、后的角速度大小之比为，选项B错误；根据T＝，得卫星变轨前、后的周期之比为，选项C正确。
7. D 解析：物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力时，物体对天体的压力恰好为零，则G＝m，又ρ＝，所以T＝，D正确。
8. ABC 解析：航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向B处，故B正确；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则G＝m，整理得M＝，故C正确；速度v＝是空间站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误。
9. ACD 解析：由ω＝知，，又因为ω＝，所以，A对；由＝mr知r3＝，既然周期之比能求，则r之比同样可求，C对；由a＝rω2知，向心加速度之比同样可求，D对；由于水星和金星的质量未知，故密度不可求，B错。
同步卫星、近地卫星、赤道物体的异同点分析
（答题时间：20分钟）
1. （四川高考）在赤道平面内绕地球做匀速圆周运动的三颗卫星m1、m2、m3，它们的轨道半径分别为r1、r2、r3，且r1>r2>r3，其中m2为同步卫星，若三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等，则（ ）
A. 相同的时间内，m1通过的路程最大
B. 三颗卫星中，m3的质量最大
C. 三颗卫星中，m3的速度最大
D. m1绕地球运动的周期小于24小时
2. 有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（ ）
A. a的向心加速度等于重力加速度g
B. c在4 h内转过的圆心角是π/6
C. b在相同时间内转过的弧长最长
D. d的运动周期有可能是20 h
3. （湖北高考）直径约50米、质量约13万吨的小行星“2012DA14”以每小时大约2.8万公里的速度从印度洋苏门答腊岛上空掠过，与地球表面最近距离约为2.7万公里，这一距离已经低于地球同步卫星的轨道。这颗小行星围绕太阳飞行，其运行轨道与地球非常相似，据天文学家估算，它下一次接近地球大约是在2046年。假设图中的P、Q是地球与小行星最近时的位置，已知地球绕太阳圆周运动的线速度是29.8 km/s，下列说法正确的是（ ）
A. 只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率大于29.8 km/s
B. 只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率小于29.8 km/s
C. 只考虑太阳的引力，地球在P点的加速度大于小行星在Q点的加速度
D. 只考虑地球的引力，小行星在Q点的加速度大于地球同步卫星在轨道上的加速度
4. 假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则 （ ）
A. 同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍
B. 同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
C. 同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
D. 同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍
5. （江苏高考）2011年8月“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，从此我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）
A. 线速度大于地球的线速度
B. 向心加速度大于地球的向心加速度
C. 向心力仅由太阳的引力提供
D. 向心力仅由地球的引力提供
6. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
（1）卫星在近地点A的加速度大小；
（2）远地点B距地面的高度。
1. C 解析：三颗卫星在运动过程中受到的向心力大小相等，即G ，则m3的质量最小，B项错误；由v＝可知，m1的速度最小，m3的速度最大，相同时间内，m1通过的路程最小，A项错误，C项正确；由T＝2π得，m1绕地球运动的周期大于m2的周期，即大于24小时，D项错误。
2. C 解析：对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，＝mω2r＋mg，故a的向心加速度小于重力加速度g，A项错；由c是同步卫星可知c在4 h内转过的圆心角是，B项错；由＝m得，v＝，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星c的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，C项正确；由＝m（）2r得，T＝2π，轨道半径r越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，故D项错。
3. BCD 解析：只考虑太阳的引力，小行星在Q点的速率小于29.8 km/s，A项错误，B项正确。只考虑太阳的引力，由于地球与太阳距离较近，所以地球在P点的加速度大于小行星在Q点的加速度，C项正确。只考虑地球的引力，由于小行星距离地球较近，所以小行星在Q点的加速度大于地球同步卫星在轨道上的加速度，D项正确。
4. BD 解析：对卫星都有：，所以，B对，A错；因为＝ma向，所以a向＝，而mg＝，g＝，故，C错；由v＝rω知，＝＝n，故D对。
5. AB 解析：飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞＝ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v＝rω得v飞>v地，选项A正确；由公式a＝rω2知，a飞>a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错。
6. 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，
根据牛顿第二定律有G＝ma
设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
G＝m′g
由以上两式得a＝。
（2）设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
G（R＋h2）
解得：h2＝－R.。
天体运行中的超重与失重
（答题时间：25分钟）
1. “天宫一号”顺利升空，在离地面高度343 km的轨道上做匀速圆周运动。次年，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将第十一颗北斗导航卫星送入太空预定轨道。这是一颗地球静止轨道卫星，是我国当年发射的首颗北斗导航系统组网卫星。下列关于这两颗卫星的说法，正确的是（ ）
A. “天宫一号”的运行周期大于北斗导航卫星的运行周期
B. “天宫一号”和北斗导航卫星上携带的物体都处于完全失重状态
C. “天宫一号”的环绕速度大于第一宇宙速度
D. 北斗导航卫星的向心加速度比地球赤道表面的重力加速度小
2. （浙江高考）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则（ ）
A. X星球的质量为M＝
B. X星球表面的重力加速度为gX＝
C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为
D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
3. 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；
（3）由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出平均密度表达式。
4. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示。已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求：
（1）卫星在近地点A的加速度大小；
（2）远地点B距地面的高度。
5. 我国已启动“嫦娥工程”，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”已成功发射，“嫦娥三号”已决定在2013年下半年发射，将进行落月探测，并已给落月点起了一个富有诗意的名字——“广寒宫”。
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点。已知月球半径为r月，引力常量为G，请求出月球的质量M月。
6. 如图所示，设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端，利用同步卫星将一电磁波信号由A点传到B点，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对电磁波的折射。设电磁波在空气中的传播速度为c。求：
（1）至少要用几颗同步卫星？
（2）这几颗卫星间的最近距离是多少？
（3）用这几颗卫星把电磁波信号由A点传到B点需要经历多长时间？
7. 宇航员驾驶宇宙飞船到达月球表面，关闭动力飞船在近月圆轨道绕月球运行的周期为T；接着，宇航员调整飞船动力，安全着陆，宇航员在月球表面离地某一高度处将一小球以初速度v0水平抛出，其水平射程为x。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）小球开始抛出时离地的高度。
1. BD 解析：“天宫一号”的轨道半径要小于同步卫星的轨道半径，因此T天2. AD 解析：飞船绕X星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G，则X星球质量M＝，选项A正确。由G＝ma1，知r1轨道处的向心加速度a1＝，而对绕X星球表面飞行的飞船有G＝mgX（R为X星球的半径），则gX＝G>a1=，选项B错误。由G知v＝，故，选项C错误。根据G得T＝，故，即T2＝T1，选项D正确。
3. 解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M。
卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动满足
G＝mg ①
第一宇宙速度是指卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
G＝m ②
①式代入②式，得v1＝；
（2）卫星受到的万有引力为G＝mr（）2 ③
由①③式解得r＝ ；
（3）设质量为m0的小物体在地球表面附近所受重力为m0g，则G＝m0g
将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V＝πR3
地球的平均密度为ρ＝。
4. 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a。
根据牛顿第二定律有G＝ma
设质量为m′的物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，有
G＝m′g
由以上两式得a＝；
（2）设远地点B距地面的高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有：
G＝m （R＋h2）
应用黄金代换解得：h2＝ －R。
5. 解：（1）根据万有引力定律和向心力公式，对月球有：
G＝M月（）2r
质量为m的物体在地球表面时：mg＝G
解得：r＝ ；
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：v0＝，g月＝，解得：M月＝。
6. 解：
（1）至少要用两颗同步卫星，这两颗卫星分别位于图中所示的P1和P2两点。
（2）由示意图可知，这两颗卫星间的最近距离是d＝2R。
（3）设同步卫星的轨道半径为r＝OP1，由万有引力定律和牛顿第二定律：
G＝mr
对地面上的物体有：m0g＝G
解得r＝
用这两颗卫星把电磁波信号由A点传到B点需要经历的时间为t＝，又P1B＝，解得：t＝。
7. 解：（1）飞船绕月近地运行，月球对飞船的万有引力提供向心力，有
G＝mR
解得月球的质量M＝；
（2）小球做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，有x＝v0t
竖直方向上做自由落体运动，有h＝t2
在月球表面，小球受到月球的万有引力近似等于重力，
有G＝m＝mR
月球表面的重力加速度g月＝R
小球开始抛出时离地的高度h＝R·。
双星和多星系统难点破解
（答题时间：25分钟）
1. 据报道，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中 （ ）
A. 它们做圆周运动的万有引力保持不变
B. 它们做圆周运动的角速度不断变小
C. 体积较大星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大
D. 体积较大星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变小
2. 银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）
A. B.
C. D.
3. 宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（ ）
A. 双星相互间的万有引力减小
B. 双星做圆周运动的角速度增大
C. 双星做圆周运动的周期增大
D. 双星做圆周运动的半径增大
4. 宇宙空间有一双星系统，其中甲质量为M，乙质量为m。在某一阶段内持续将星球甲的组成物质搬往星球乙，在搬运过程中保持两者总质量不变且两者中心间距离不变，若两者均可视为均匀球体，且不考虑其他影响，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的周期变大 B. 甲的周期变小
C. 甲的线速度变大 D. 甲的线速度变小
5. 如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G。求（其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期）。
6. 现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：
（1）双星旋转的中心O到m1的距离；
（2）双星的转动角速度。
7. 如图所示，在宇宙中有一种三星系统，由三颗质量相等的恒星组成等边三角形，它们绕三角形的中心匀速转动，已知某三星系统远离其他星体，可以认为它们与其他星体的作用力为0，它们之间的距离均为r，绕中心转动周期为T，每颗星均可看作质点。试求这三颗星的总质量。
8. 经过观测，科学家在宇宙中发现了许多双星系统。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。若双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距为L（远大于星体半径），它们正绕着两者连线的中点做圆周运动。（已知引力常量为G）
（1）试计算该双星系统的运动周期T计算。
（2）若实际观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T计算＝1∶ （N>0）。为了解释T观测与T计算的不同，目前有理论认为，宇宙中可能存在观测不到的暗物质，假定有一部分暗物质对双星运动产生影响，该部分暗物质的作用等效于暗物质集中在双星连线的中点，试证明暗物质的质量M′与星体的质量M之比。
1. C 解析：因为两星间的距离在一段时间内不变，两星的质量总和不变，则两星质量的乘积发生变化，故万有引力一定变化，A项错误；双星系统中万有引力充当向心力，即G，故，因L及M1＋M2的总和不变，所以T不变，即角速度不变，B项错误；又因为M1R1＝M2R2，所以双星运行半径与质量成反比，体积较大星体质量逐渐减小，故其轨道半径增大，线速度也变大，体积较小星体的质量逐渐增大，故其轨道半径减小，线速度变小，C项正确，D项错误。
2. D 解析：设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿第二定律得对S1有G
解得m2＝。
所以正确选项是D。
3. B 解析：由m1r1ω2＝m2r2ω2及r1＋r2＝r得，r1＝，可知D正确；F＝G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，r增大，F减小，A正确；r1增大，ω减小，B错误；由T＝知T增大，C正确。
4. C 解析：A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，周期相同。
设双星间的距离为L，周期为T，甲、乙的轨道半径分别为r1、r2。
根据万有引力等于向心力，得：
对甲有：Gr1 ①
对乙有：Gr2 ②
由①得：Gr1 ③
由②得：Gr2 ④
又r1+r2=L ⑤
由③④⑤得：T=2πL ⑥
由题意知L、（M+m）不变，则甲的周期不变。故A、B错误。
由③知，m增大，甲的轨道半径r1变大，甲的线速度为 v=ωr1=r1，则得v变大。故C正确，D错误。
5. 解：两个星球均做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
其中：
L=LA+LB
联立解得：
。
6. 解：（1）设m1到中心O的距离为x，双星的周期相同，由万有引力充当向心力，向心力大小相等得：F引=F向。
知： ①
②
联立①②求解得：x=； ③
（2）由①③解得：ω=。
7. 解：设这三颗星分别为A、B、C，其质量分别为MA、MB、MC，且MA=MB=MC=M，A的受力如下图所示，因为A 做匀速圆周运动，
对A 有：
而
由万有引力定律知：则
由几何知识得：
所以：。
解得：，所以三颗星的总质量为。
8. 解：（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，根据牛顿第二定律得
G ①
解得T计算＝πL； ②
（2）证明：因为T观测 ③
由题意T观测∶T计算＝1∶ ④
将④代入③得：
G＝（N＋1）·M ⑤
联立①⑤得 ⑥
联立①⑥，得。
开普勒三定律
（答题时间：30分钟）
1. 某行星围绕太阳做椭圆运动，如果不知太阳的位置，但经观测行星在由A到B的过程中，运行速度在变小，图中F1、F2是椭圆的两个焦点，则太阳位于（ ）
A. F2 B. A C. F1 D. B
2. 某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球轨道半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是（d为“天”）（ ）
A. 1 d～4 d之间
B. 4 d～8 d之间
C. 8 d～16 d之间
D. 16 d～20 d之间
3. 在天文学上，以春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、夏、秋、冬四个季节。如图所示，从地球绕太阳的运动规律入手，下列判断正确的是（ ）
A. 在冬至日前后，地球绕太阳的运行速率较大
B. 在夏至日前后，地球绕太阳的运行速率较大
C. 春夏两季与秋冬两季时间相等
D. 春夏两季比秋冬两季时间长
4. 如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是（ ）
A. 在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变化的
B. 在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C. 某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D. 某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
5. 长期以来，“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于 （ ）
A. 15天
B. 25天
C. 35天
D. 45天
6. 第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。下列有关说法中正确的是（ ）
A. 开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆
B. 太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星
C. 库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值
D. 牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识
7. 太阳系八大行星的公转轨道均可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为（ ）
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周期（年）
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A. 1.2亿千米 B. 2.3亿千米
C. 4.6亿千米 D. 6.9亿千米
8. 太阳系中的八大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象。下图中坐标系的横轴是lg，纵轴是lg；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（ ）
9. 地球绕太阳运行的轨道半长轴为1.50×1011 m，周期为365天，月球绕地球运行的轨道半长轴为3.8×108 m，周期为27.3天。求：
（1）对于绕太阳运行的行星的值；
（2）对于绕地球运行的卫星的值。
10. 太阳系中八大行星与太阳的距离见下表：
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径（天文单位）
0.39
0.72
1
1.524
5.2
9.54
19.2
30.1
与地球的质量比
0.05
0.89
1.00
0.11
318
95
17
17
据此求解下列问题：
（1）水星与金星的公转周期之比；
（2）若地球围绕太阳公转的周期按365天计算，试计算火星、海王星的公转周期。
1. A 解析：由于vA>vB，经过一段足够短的时间，行星与太阳的连线扫过的面积在A点和B点相等，故rA2. B 解析：设人造卫星的轨道半径为R1，周期为T1，月球绕地球转动的轨道半径为R2，周期为T2，由开普勒第三定律可知
T1＝T2
T2≈30（天）
故T1＝≈5（天），故B选项正确。
3. AD 解析：冬至日前后，地球位于近日点附近，夏至日前后地球位于远日点附近，由开普勒第二定律可知近日点速率最大，故A对、B错；春夏两季平均速率比秋冬两季平均速率小，又因所走路程基本相等，故春夏两季时间长，一般在186天左右，而秋冬两季只有179天左右，故C错、D对。
4. BC 解析：根据开普勒第一定律（轨道定律）的内容可以判定：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以它离太阳的距离是变化的，选项A错误，B正确；行星围绕着太阳运动，由于受到太阳的引力作用而被约束在一定的轨道上，选项C正确，D错误。
5. B 解析：由开普勒第三定律T2∝r3有，代入数据解得T2最接近于25天，故只有选项B正确。
6. AD 解析：太阳与行星之间引力的规律也适用于其他星体之间，因此B选项错误；卡文迪许利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值，故C选项错误。
7. B 解析：由开普勒第三定律知，故r火＝r地 ＝2.3亿千米，选项B正确。
8. B 解析：由开普勒第三定律有：，即3lg，整理得lg，故选择B项。
9. 解：（1）根据开普勒第三定律，则对于绕太阳运行的行星＝3.4×1018 m3/s2
（2）对于绕地球运行的卫星
＝1.0×1013 m3/s2
10. 解：（1）由开普勒第三定律可知
解得＝1∶2.5
（2） ，从题表中找出对应的数据，代入算式，可解得T火＝686.7天，T海＝60 275.7天。
