圆周运动
（答题时间：30分钟）
1. 如图，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. a、b两点的运动周期都相同
B. a、b的角速度是不同的
C. a、b两点的线速度大小相同
D. a、b两点线速度大小之比为2∶
2. 在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是（ ）
3. 如图所示，一个匀速转动的半径为r的水平圆盘上放着两个木块M和N，木块M放在圆盘的边缘处，木块N放在离圆心r的地方，它们都随圆盘一起运动。比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是（ ）
A. 两木块的线速度相等
B. 两木块的角速度相等
C. M的线速度是N的线速度的3倍
D. M的角速度是N的角速度的3倍
4. 如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是（ ）
A. 小物块运动的角速度为2 rad/s
B. 小物块做圆周运动的周期为π s
C. 小物块在t＝s内通过的位移大小为m
D. 小物块在π s内通过的路程为0
5. 如图所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的（ ）
A. 角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B. 角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C. 线速度之比vA∶vB＝∶1
D. 线速度之比vA∶vB＝1∶
6. 如图所示，一根轻质杆（质量不计）的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，当小球运动到图中位置时，轻质杆对小球作用力的方向可能（ ）
A. 沿F1的方向 B. 沿F2的方向
C. 沿F3的方向 D. 沿F4的方向
7. 如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）
A. 小球P运动的周期变大
B. 小球P运动的线速度变大
C. 小球P运动的角速度变大
D. Q受到桌面的支持力变大
1. AD 解析：如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在的纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb＝，由v＝ωr，可得va∶vb＝2∶.
2. C 解析：由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确。
3. BC 解析：由传动装置特点知，M、N两木块有相同的角速度，又由v＝ωr知，因rN＝r，rM＝r，故木块M的线速度是木块N线速度的3倍，选项B、C正确。
4. AB 解析：因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在s内转过，通过的位移为m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误。
5. AD 解析：板上A、B两点绕同一个转动轴转动，所以具有相同的角速度，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，故A正确，B错误；根据几何关系得板上A、B两点的轨道半径之比为1∶，所以线速度之比vA∶vB＝1∶，故C错误，D正确。
6. C 解析：小球做匀速圆周运动，根据小球受到的合力提供向心力，则小球受的合力方向必指向圆心，小球受到竖直向下的重力，还有轻质杆的作用力，由题图可知，轻质杆的作用力如果是F1、F2、F4，则与重力的合力不可能指向圆心，只有轻质杆的作用力为F3方向时，与重力的合力才可能指向圆心，故A、B、D错误，C正确。
7. BC 解析：如图，对小球受力分析知，小球的合力为F合＝mgtan θ，因为mgtan θ＝mω2lsin θ，所以ω＝，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大，则ω变大，又因为T＝，所以周期变小，故A错，C对；在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v＝ωr知v变大，B正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力和，D错误。
平抛运动
（答题时间：20分钟）
1. 关于斜抛运动，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（ ）
A. 斜抛运动是曲线运动
B. 斜抛运动的初速度是水平的
C. 斜抛运动在最高点速度不为零
D. 斜抛运动的加速度是恒定的
2. 如图所示，从同一条竖直线上两个不同点P、Q分别向右平抛两个小球，平抛P、Q的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处（不考虑空气阻力）。下列说法中正确的是（ ）
A. 一定是P先抛出的，并且v1＝v2
B. 一定是P先抛出的，并且v1＜v2
C. 一定是Q先抛出的，并且v1＝v2
D. 一定是Q先抛出的，并且v1＞v2
3. 有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则（ ）
A. 当v1>v2时，α1>α2
B. 当v1>v2时，α1<α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
5. 某物理实验小组利用如图所示的装置测量小球做平抛运动的初速度。在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度。下列各图表示四位同学在刻度尺旁边分别制作出的速度标尺（图中P点为重锤的投影位置），其中可能正确的是（ ）
6. 如图所示，将小球沿与水平方向成α角的方向以速度v斜向右上抛出，经时间t1击中墙上距水平面高度为h1的A点；再将此球仍从同一点以相同速度抛出，抛出速度与水平方向成β角（β＞α），经时间t2击中墙上距水平面高度为h2的B点（图中未标出），空气阻力不计。则（ ）
A. t1一定小于t2 B. t1一定大于t2
C. h1一定小于h2 D. h1一定大于h2
7. 如图所示，用底部带孔的玻璃试管和弹簧可以组装一个简易“多功能实验器”，利用该实验器，一方面能测弹簧的劲度系数，另一方面可测量小球做平抛运动的初速度。
（1）用该装置测量弹簧劲度系数k时需要读出几次操作时的________________和________________，然后由公式________________求出k的平均值。
（2）使用该装置测量小球的初速度时，需要多次将弹簧的右端压到________（选填“同一”或“不同”）位置。然后分别测出小球几次飞出后的______________和______________，再由公式________________求出初速度的平均值。
1. ACD 解析：做斜抛运动的物体只受重力作用，加速度为g，水平方向为匀速直线运动，竖直方向做加速度为重力加速度g的匀变速直线运动，在最高点有水平速度，故A、C、D正确。
2. B 解析：两小球被抛出后均做平抛运动，根据平抛运动规律可知，在竖直方向上有：h＝gt2，解得小球运动的时间为：t＝，由图可知小球P的下落高度h1大于小球Q的下落高度h2，因此两球的运动时间：t1＞t2，因两球同时落地，所以小球P被先抛出，故选项C、D错误；在水平方向上有：x＝vt，由图可知：x1＝x2，所以v1＜v2，故选项A错误，选项B正确。
3. ACD 解析：由l＝v0t得物体在空中飞行的时间为，故A正确；由h＝gt2得t＝，故B错误；由vy＝以及vy＝gt得t＝，故C正确；由于竖直方向为匀变速直线运动，故h＝，所以t＝，故D正确。
4. C 解析：小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值tan φ＝，故可得tan φ＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是φ，故速度方向与斜面的夹角就总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确。
5. A 解析：设小球做平抛运动的竖直高度为h，由h＝gt2，得t＝；在水平方向有x＝v0t，得v0＝，即平抛运动的水平位移x＝v0，可见x与v0成正比，在速度标尺上的速度值应该是均匀分布的，选项A正确。
6. A 解析：小球被抛出后，仅受重力作用，即在水平方向做匀速直线运动，无论小球是在上升阶段还是在下落阶段击中墙壁，其水平方向的位移都相等，因此有：vcos αt1＝vcos βt2，由于β＞α，因此vcosα＞vcosβ，所以有：t1＜t2，故选项A正确，选项B错误；因小球击中墙壁时可能在小球上升阶段，也可能在下落阶段，因此h1与h2的大小关系不能确定，故选项C、D错误。
7. （1）弹簧测力计的示数F 弹簧的伸长量Δx k＝
（2）同一 水平位移x 竖直高度y v0＝x
解析：（1）根据胡克定律F＝kΔx，可得k＝.弹簧的劲度系数可由弹簧的伸长量（或压缩量）和弹力计算。
（2）物体做平抛运动时，水平方向上x＝v0t；竖直方向上y＝gt2.所以v0＝x.
第10节 水平面内圆周运动实例分析
（答题时间：15分钟）
1. 如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是（ ）
A. 若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B. 若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C. 若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D. 若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
2. 如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A. 小球A的线速度必定大于小球B的线速度
B. 小球A的角速度必定小于小球B的角速度
C. 小球A的运动加速度必定小于小球B的运动加速度
D. 小球A对筒壁的压力必定大于小球B对筒壁的压力
3. 如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离。关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1和f2与ω2的关系图线，可能正确的是（ ）
4. 无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是（ ）
A. 铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B. 模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C. 若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D. 管状模型转动的角速度ω最大为
5. 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低，如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图所示，冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员体重的K倍，他在冰面上做半径为R的匀速圆周运动，其安全速度为（ ）
A. B.
C. D.
7. 有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400m。
（1）试计算铁轨受到的侧压力？
（2）若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大小。
8. 高速公路转弯处弯道圆半径，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数。若路面是水平的，问
（1）汽车转弯时不发生径向滑动（离心现象）的最大速率为多大？
（2）当超过时，将会出现什么现象？
1. A 解析：若拉力突然消失，则小球沿着P点处的切线做匀速直线运动，选项A正确；若拉力突然变小，则小球做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球做曲线运动，选项B、D错误；若拉力突然变大，则小球做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，而应该沿PC方向，选项C错误。
2. AB 解析：分析小球受力，小球受重力、支持力，合力为小球做圆周运动的向心力，即＝ma＝m＝mrω2，所以二者加速度相同，对筒壁的压力相同，选项C、D错误；因小球A的半径大，所以线速度大而角速度小，选项A、B正确。
3. AD 解析：两滑块的角速度相同，根据向心力公式F向＝mω2r，考虑到两滑块质量相同，滑块2的运动半径较大，受到的摩擦力较大，故滑块2先达到最大静摩擦力，再继续增大角速度，在增加同样的角速度的情况下，对滑块1、2分别有T＋f1＝mω2R1，T＋f2＝mω2R2，随着角速度ω的增大，绳子拉力T增大，由于R2>R1，故滑块2需要的向心力更大，故绳子拉力增大时滑块1的摩擦力反而减小，且与角速度的平方呈线性关系，f2在增大到最大静摩擦后保持不变，故A、D正确。
4. C 解析：模型最下部受到铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mω2R可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为 ，C正确，D错误。
5. B 解析：对汽车受力分析，如图所示，若车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，则由路面对汽车的支持力FN与汽车的重力mg的合力提供向心力，由图示可知，F向＝mgtanθ，即mgtanθ＝m，由几何关系知，tanθ＝，综上有v＝，选项B正确。
6. B 解析：人沿圆弧溜冰时，受三个力作用：重力、支持力、摩擦力，如题图所示．重力与支持力相平衡，摩擦力效果是提供人做匀速圆周运动的向心力，由知，当R一定时，越大，F向越大，而摩擦力提供向心力时，这个力不会无限增大，其最大值为最大摩擦力，最大向心力对应的线速度就是安全速度的临界值，所以。
7. 解：（1）外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力，所以有
FN＝m＝N＝105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，即
mgtanθ＝m
由此可得θ＝arctan＝arctan
8.（1）（2）见解析
解析：（1）在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，最大静摩擦力可近似看做与滑动摩擦力相等，则，则有，，
取，可得。
（2）当汽车的速度超过时，需要的向心力增大，大于提供的向心力，也就是说提供的向心力不足以维持汽车做圆周运动的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故。
第11节 竖直平面内圆周运动实例分析
（答题时间：30分钟）
1. 英国特技演员史蒂夫·特鲁加里亚曾飞车挑战世界最大环形车道，如图所示，环形车道竖直放置，直径达12 m，若汽车在车道上以12 m/s恒定的速率运动，演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则（ ）
A. 汽车通过最低点时，演员处于超重状态
B. 汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C. 若要挑战成功，汽车不可能以低于12 m/s的恒定速率运动
D. 汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
2. 如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速度v＝，在这点时（ ）
A. 小球对杆的拉力是
B. 小球对杆的压力是
C. 小球对杆的拉力是mg
D. 小球对杆的压力是mg
3. 如图所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，下列说法中正确的是（ ）
A. 半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B. 半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C. 半径R越大，小球通过轨道最高点时的角速度越大
D. 半径R越大，小球通过轨道最高点时的角速度越小
4. 如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m,现给小球一水平向右的瞬时速度，小球会在环内侧做圆周运动。为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环的摩擦阻力），则最高点瞬时速度v必须满足（ ）
A. 最小值 B. 最大值
C. 最小值 D. 最大值
5. 一轻杆一端固定一个质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B. 小球过最高点的最小速度是
C. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D. 小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
1. AB 解析：因为汽车通过最低点时，演员具有指向圆心向上的加速度，故处于超重状态，A正确；由ω＝可得汽车在环形车道上的角速度为2 rad/s，D错误；在最高点由mg＝m可得v0＝≈7.7 m/s，C错误；由mg＋F＝m可得汽车通过最高点时对环形车道的压力为F=1.4×104 N，B正确。
2. B 解析：设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝m，得出FN＝mg，故杆对小球的支持力为mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压力为mg，B正确。
3. AD 解析：小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝，即v0＝，选项A正确而B错误；最高点时的角速度ω＝＝，选项D正确而C错误。
4. AD 解析：要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg，满足3mg＝m，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为。
5. A 解析：因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D错。
第12节 竖直平面内圆周运动实例分析
（答题时间：30分钟）
1. 质量为m的小球由轻绳a和b系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示。当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向、绳b在水平方向。当小球运动在图示位置时，绳b被烧断的同时杆也停止转动，则（ ）
A. 小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B. 在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大
C. 若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D. 若角速度ω较大，小球可以在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
2. 如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m.，若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。（取g＝10 m/s2）
3. 如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动，现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m.，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数μ。
4. 如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ＝0.2），当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少？（g取10 m/s2）
5. 物体做圆周运动时所需的向心力F需由物体运动情况决定，合力提供的向心力F供由物体受力情况决定，若某时刻F需＝F供，则物体能做圆周运动；若F需>F供，物体将做离心运动；若F需（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度？
（2）在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？
（3）在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时所经历的时间。
6. 如图所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40 N，求：
（1）线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
（2）线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；
（3）如果小球离开桌面时，速度方向与桌边缘的夹角为60°，桌面高出地面0.8 m，求小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离。
7. 如图所示，质量为m的小球P与穿过光滑平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着使P做半径为a的匀速圆周运动，角速度为ω。求：
（1）拉力F多大？
（2）若使绳突然从原状态迅速放开后再拉紧，使P做半径为b的匀速圆周运动。则放开过程的时间是多少？
（3）P做半径为b的匀速圆周运动时角速度多大？拉力多大？
8. 如图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20 cm.用一根长1 m的细绳，一端系一个质量为0.5 kg的小球，另一端固定在钉子A上.开始时球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动。若绳子能承受的最大拉力为4 N，那么从开始到绳断所经历的时间应该如何计算?
1. BCD 解析：绳b被烧断后，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动或做圆周运动。绳b被烧断前，a绳中张力等于重力，在绳b被烧断瞬间，a绳中张力与重力的合力提供小球的向心力，而向心力竖直向上，绳b的张力将大于重力。若角速度ω较小，小球原来的速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若角速度ω较大，小球原来的速度较大，小球可能在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动。
小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳b被烧断后，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动或做圆周运动，故A错误；绳b被烧断前，小球在竖直方向没有位移，加速度为零，a绳中张力等于重力，在绳b被烧断瞬间，a绳中张力与重力的合力提供小球的向心力，而向心力竖直向上，绳b的张力将大于重力，即张力突然增大，故B正确；若角速度ω较小，小球原来的速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，故C正确；若角速度ω较大，小球原来的速度较大，小球可能在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动，故D正确。
2. 解：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度，A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O，设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2
对于B：FT＝mg
对于A：FT＋Ff＝Mrω
或FT－Ff＝Mrω
代入数据解得ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s
所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s。
3. 解析：（1）物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ①
在水平方向上有s＝v0t ②
由①②式解得v0＝s ③
代入数据得v0＝1 m/s；
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
fm＝m ④
fm＝μN＝μmg ⑤
由④⑤式得μ＝
代入数据得μ＝0.2。
4. 解：由于转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动，当木块恰不做近心运动时有
mg－μmg＝mr1ω2
解得r1＝0.5 m
当木块恰不做离心运动时有mg＋μmg＝mr2ω2
解得r2＝0.75 m
因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是：0.5 m≤r≤0.75 m.。
5. 解：（1）小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供顶点时物体做圆周运动的向心力，即mg＝m，解得v0＝＝ m/s；
（2）因为v1>v0，故绳中有张力，根据牛顿第二定律有T＋mg＝m，代入数据得绳中张力T＝3 N；
（3）因为v26. 解：（1）线的拉力提供小球做圆周运动的向心力，设开始时角速度为ω0，向心力为F0，线断开的瞬间，角速度为ω，线的拉力为FT，
F0＝mωR ①
FT＝mω2R ②
由①②得＝， ③
又因为FT＝F0＋40 N， ④
由③④得FT＝45 N ；
（2）设线断开时小球的线速度大小为v，
由FT＝得，v＝m/s＝5 m/s；
（3）设桌面高度为h，小球落地经历时间为t，落地点与飞出桌面点的距离为x，
由h＝gt2得t＝＝0.4 s x＝vt＝2 m
则小球飞出后的落地点到桌边缘的水平距离为
l＝xsin60°＝1.73 m.。
7. 解：（1）小球受重力G、支持力N、绳子拉力，平板中央小孔O光滑，故绳子对小球的拉力等于向心力；故拉力
（2）绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，如图：
由几何关系，位移，速度，故放开的时间为。
（3）小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，如图
由几何关系得到，，，
由向心力公式可得，
故P做半径为b的匀速圆周运动时，角速度为，绳子的拉力为。
8. 解：在本题中，球每转半圈，绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子，然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动，运动的半径就减少0.2 m，但速度大小不变（因为绳对球的拉力只改变球的速度方向）。根据知，绳每一次碰钉子后，绳的拉力（向心力）都要增大，当绳的拉力增大到Fmax＝4 N时，球做匀速圆周运动的半径为rmin，则有，解得m；
绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m，第三次碰钉子后半径减为0.4 m。所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断，在这之前球运动的时间为
＝3.768s
第1节 剖析运动的合成与分解
（答题时间：25分钟）
1. 跳伞运动员从直升机上由静止跳下后，开始做自由落体运动，到适当的高度打开降落伞继续下落过程中将会受到水平风力的影响，运动轨迹如图乙所示，下列说法中正确的是（ ）
A. 打开降落伞后运动员竖直方向立即做减速运动
B. 打开降落伞下落过程中，风力越大，运动员着地速度越大
C. 打开降落伞下落过程中，风力越大，运动员下落时间越长
D. 运动员着地时间和着地速度都与风力无关
2. 如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v。若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A. 直线P B. 曲线Q
C. 曲线R D. 无法确定
3. 某质点在xOy平面上运动，其在x轴方向和y轴方向上的v-t图象分别如图甲和图乙所示。则下列判断正确的有（ ）
A. 该质点做匀变速曲线运动
B. 该质点有恒定的加速度，大小为2.5 m/s2
C. 该质点的初速度为7 m/s
D. 前2 s内质点的位移为21 m
4. （保定模拟）某一物体受到几个共点力的作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做（ ）
A. 匀加速直线运动 B. 匀减速直线运动
C. 匀变速曲线运动 D. 变加速曲线运动
5. 宽9 m的成型玻璃以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速度为10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则：
（1）金刚割刀的轨道应如何控制？
（2）切割一次的时间多长？
（3）所生产的玻璃板的规格是怎样的？（计算结果保留两位小数）
6. 如图所示，质量m＝2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为，g＝10 m/s2。根据以上条件，求：
（1）t＝10 s时刻物体的位置坐标；
（2）t＝10 s时刻物体的速度和加速度的大小与方向。
1. B 解析：打开降落伞后，运动员在竖直方向是否立即做减速运动取决于受到的竖直向上的阻力与重力的大小关系，不能确定，A项错误；风力不能影响竖直方向的分运动，C项错误；风力越大，水平方向的加速度越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，B项正确，D项错误。
2. B 解析：蜡块同时参与了两个分运动，合运动的轨迹是直线还是曲线取决于合加速度与合初速度的方向关系：向上匀速运动，则向上的加速度为零，合加速度为水平向右的分运动的加速度，大小恒定且方向水平向右；水平向右初速度为零，则合初速度方向向上。由加速度恒定知蜡块做匀变速运动；由初速度方向与加速度方向垂直知蜡块做曲线运动，且轨迹向加速度的一侧弯曲。
3. B 解析：根据题图甲，沿x轴方向的加速度ax＝1.5 m/s2，根据题图乙，沿y轴方向的加速度ay＝2 m/s2，初速度方向与x轴正方向的夹角的正切，加速度方向与x轴正方向的夹角的正切，两个方向相同，该质点做匀加速直线运动，选项A错误；该质点的加速度a＝＝2.5 m/s2，选项B正确；该质点的初速度v＝＝5 m/s，选项C错误；前2 s物体沿x轴方向的位移x＝×2×（3＋6） m＝9 m，前2 s物体沿y轴方向的位移y＝×2×（4＋8） m＝12 m，合位移s＝＝15 m，选项D错误。
4. ABC 解析：由于撤去恒力F1后物体所受的合力为恒力，故一定是做匀变速运动，但初速度的方向不知，所以轨迹可能是匀变速曲线运动，也可能是匀加速直线运动，也可能是匀减速直线运动，选项A、B、C正确。
5. 解：（1）由题目条件知，割刀运动的速度是实际的速度，所以为合速度。其分速度的效果恰好相对玻璃垂直切割。
设割刀的速度v2的方向与玻璃板速度v1的方向之间的夹角为θ，如图所示。要保证割下均是矩形的玻璃板，则由v2是合速度得v1＝v2cos θ
所以cos θ＝＝，即θ＝arccos
所以，要割下矩形板，割刀速度方向与玻璃板速度成θ＝arccos。
（2）切割一次的时间 s≈0.92 s。
（3）切割出的矩形玻璃板的规格为：
长度d＝9 m，
宽度：l＝v1t＝2×0.92 m＝1.84 m。
6. 解：（1）由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为，代入时间t＝10 s，可得：
x＝3.0t m＝3.0×10 m＝30 m
y＝0.2t2 m＝0.2×102 m＝20 m
即t＝10 s时刻物体的位置坐标为（30 m,20 m）.
（2）由物体运动过程中的坐标与时间的关系式，比较物体在两个方向的运动学公式，可求得：v0＝3.0 m/s，a＝0.4 m/s2
当t＝10 s时，vy＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/s
v＝＝ m/s＝5.0 m/s
tan α＝＝，α＝53°
即速度方向与x轴正方向夹角为53°。
物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，a＝0.4 m/s2，沿y轴正方向。
第2节解密小船渡河模型
（答题时间：30分钟）
1. （黄浦模拟）如图所示，河的宽度为L，河水流速为v水，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列判断正确的是（ ）
A. 甲船正好也在A点靠岸
B. 甲船在A点左侧靠岸
C. 甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D. 甲、乙两船到达对岸的时间相等
2.（上海调研）如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游100 m处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为（ ）
A. m/s B. m/s
C. 2 m/s D. 4 m/s
3. 一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的速度方向选定后就不再改变，则（ ）
A. 快艇的运动轨迹可能是直线
B. 快艇的运动轨迹只可能是曲线
C. 最快到达浮标处通过的位移为100 m
D. 最快到达浮标处所用时间为20 s
4. 一艘小船在静水中的速度大小为4m/s，要横渡水流速度为5 m/s的河，河宽为80m。设船加速启动和减速停止的阶段时间很短，可忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A. 船无法渡过此河
B. 小船渡河的最小位移（相对岸）为80 m
C. 船渡河的最短时间为20 s
D. 船渡过河的位移越短（相对岸），船渡过河的时间也越短
5. 你驾驶一架小型飞机，需在3.0 h内飞抵正南方向距离450 km处的一座机场。已知有50.0km/h的西风吹来，为了按时抵达目的地，你应当怎样调整飞机的飞行方向和飞行速率？
6. 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
7. 如图所示，有一条渡船正在渡河，河宽为300m，渡船在静水中的速度是v1＝3m/s，水的流速是v2＝1m/s，求下列条件渡船过河的时间。
（1）以最短的时间过河；
（2）以最短的位移过河。
8. 小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的船速是4m/s，求：
（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何处到达对岸？
（2）要使小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长？
1. BD 解析：渡河时间为t＝，乙能垂直于河岸渡河，对乙船则有v水＝vcos 60°，可得甲船在该时间内沿水流方向的位移为（vcos 60°＋v水） ＝L<2L，甲船在A点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。综上所述，选项A、C错误，B、D正确。
2. C 解析：要使小船避开危险区沿直线到达对岸，只要使小船合速度方向指向对岸危险区上游即可，为使船速最小，应使合速度刚好指向对岸危险区边缘且船速v2垂直于合速度，如图所示，则v2＝v1sin θ，根据题意得θ＝30°，所以v2＝2 m/s，C正确。
3. BD 解析：由题图甲可知快艇航行的分运动加速度a≠0，且v艇和v水不可能同向，所以行驶过程中a、v有夹角，运动轨迹只能是曲线，B正确；最快到达浮标处，则需v艇垂直河岸，由垂直河岸的运动知：x＝at2，得t＝20 s，D正确；快艇的实际位移等于垂直河岸方向的分位移和平行于河岸方向的分位移的矢量和，C错误。
4. C 解析：只要垂直河岸有速度就一定能渡过此河，A错；由于水流速度大于静水中船的速度，故无法合成垂直河岸的合速度，B错；当船头垂直河岸航行时，垂直河岸的分运动，速度最大，时间就最短，tmin＝ s＝20 s，C对，D显然错误。
5. 解：如图，飞机的合速度为
v＝＝ km/h＝150 km/h
飞机的飞行速率
v2＝＝ km/h＝50 km/h。
方向西偏角θ
tan θ＝＝
故θ＝arctan。
6. （1）垂直河岸方向，用时36 s，位移为90 m
（2）向上游偏30°，用时24 s，位移为180 m
解析：（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图所示。
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s。
t＝＝ s＝36 s
v＝＝ m/s
x＝vt＝90 m。
（2）欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示。
由v2sin α＝v1，得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短。
x′＝d＝180 m
t′＝＝ s＝24 s
7.（1）100s （2）106.1s
解析：（1）当渡船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v1方向垂直于河岸时，过河时间最短，则tmin＝＝s＝100 s。
（2）因为v1＝3m/s，v2＝1m/s，则v1>v2，故当渡船合速度方向垂直河岸时，过河位移最短，此时合速度如图所示，则渡河时间为
t＝＝＝s＝75s≈106.1s
8. （1）50s后在正对岸下游100m处靠岸
（2）航向与岸上游成60°角 57.7s
解析：（1）小船渡河时间等于垂直于河岸的分运动时间：
t＝t1＝＝s＝50s
沿河流方向的位移x水＝v水t＝2×50m＝100 m
即在正对岸下游100 m处靠岸。
（2）要使小船垂直过河，即合速度应垂直于河岸，如图所示，
则cosθ＝＝＝
所以θ＝60°，即航向与岸上游成60°角
渡河时间t＝＝＝s＝s≈57.7s
第3节解密斜牵引问题
（答题时间：30分钟）
1. 如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为 （ ）
A. vsin α B.
C. vcos α D.
2. A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为（绳始终有拉力）（ ）
A. B. C. D.
3.（天津模拟）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
A. 小环刚释放时，轻绳中的张力一定大于2mg
B. 小环到达B处时，重物上升的高度约为（－1）d
C. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D. 小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
4. 如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球（ ）
A. 竖直方向速度大小为vcosθ
B. 竖直方向速度大小为vsinθ
C. 竖直方向速度大小为vtanθ
D. 相对于地面速度大小为v
5. 如图所示，轻绳通过定滑轮拉动物体，使其在水平面上运动。若拉绳的速度为v0，当绳与水平方向夹角为θ时，物体的速度v为________。若此时绳上的拉力大小为F，物体的质量为m，忽略地面的摩擦力，那么，此时物体的加速度为________。
6. 如图为一次洪灾中，德国联邦国防军的直升机在小城洛伊宝根运送沙袋。该直升机A用长度足够长的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m＝50 kg的沙袋B，直升机A和沙袋B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将沙袋放下，在5 s时间内，B在竖直方向上移动的距离以y＝t2（单位：m）的规律变化，取g＝10 m/s2。求在5 s末沙袋B的速度大小及位移大小。
7. 如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面的夹角为θ，OB段与水平面的夹角为α。不计摩擦和轮的质量，则此时小船的速度多大？
8. 如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，绳子对物体的拉力为FT，物体所受重力为G，则下列说法正确的是（ ）
A. 物体做匀速运动，且v1＝v2
B. 物体做加速运动，且v2>v1
C. 物体做加速运动，且FT>G
D. 物体做匀速运动，且FT＝G
1. C 解析：如图所示，把人的速度沿绳和垂直绳的方向分解，由几何知识有
v船＝vcos α，所以C正确，A、B、D错误。
2. D 解析：A、B两物体的速度分解如图
由图可知：v绳A＝v1cos α
v绳B＝vBcos β
由于v绳A＝v绳B
所以vB＝，故D对。
3. ABD 解析：小环释放后，v增加，而v1＝vcos θ，v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，故绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝（－1）d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1＝vcos 45°＝v，所以，小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。
4. B 解析：光盘的速度是水平向右的，将该速度沿绳和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳方向的分量v′＝vsinθ，这就是桌面以上绳子变长的速度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为vsinθ，可得铁球相对于地面速度大小为v，D错误.
5.
解析：物体的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：（1）沿绳的方向被牵引，绳长缩短，缩短的速度等于v0；（2）垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。即速度v分解为沿绳方向和垂直绳方向的分速度，如图所示，vcos θ＝v0，v＝。
拉力F产生竖直向上拉物体和水平向右拉物体的效果，其水平分量为Fcos θ，
加速度a＝。
6. 解：沙袋在水平方向上做匀速直线运动，v0＝10 m/s
在竖直方向上沙袋的位移：y＝t2，即沙袋在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2
沙袋5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10 m/s
合速度v＝m/s
竖直方向上的位移y＝t2＝25 m
水平方向上的位移x＝v0t＝50 m
合位移s＝m
7. 解析：小船的运动引起了绳子的收缩以及绳子绕定滑轮转动的效果，所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向，分解如图所示，则由图可知vA＝。
8. C 解析：把v1分解如图所示，v2＝v1cos α，α变小，v2变大，物体做加速运动，超重，FT>G，选项C正确。
第4节 平抛运动的规律总结
（答题时间：20分钟）
1. （高考全国卷）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ ）
A. a的飞行时间比b的长
B. b和c的飞行时间相同
C. a的水平初速度比b的小
D. b的水平初速度比c的大
2. （江苏高考）如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h（l、h均为定值），将A向B水平抛出的同时，B自由下落。A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则（ ）
A. A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度
B. A、B在第一次落地前若不相碰，此后就不会相碰
C. A、B不可能运动到最高处相碰
D. A、B一定能相碰
3. 如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是（ ）
A. va＝vb B. va＝vb C. ta＝tb D. ta＝tb
4. 物理实验小组利用如图所示装置测量物体平抛运动的初速度。他们经多次实验和计算后发现：在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤线的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可直观地得到小球做平抛运动的初速度。如图，四位同学在刻度尺旁边分别制作了速度标尺（图中P点为重锤所指位置），可能正确的是（ ）
5. 如图所示，高为h＝1.25 m的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为60 kg的滑雪爱好者，以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面的夹角为45°（取重力加速度g＝10 m/s2）。由此可知正确的是（ ）
A. 滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B. 滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C. 滑雪者在空中运动的时间为0.5 s
D. 滑雪者着地的速度大小为5m/s
6. 在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，其上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 三个小球落地时间差与车速有关
B. 三个小球落地点的间隔距离L1＝L2
C. 三个小球落地点的间隔距离L1D. 三个小球落地点的间隔距离L1>L2
7. 如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时其速度方向恰好沿斜面方向，然后沿斜面无摩擦滑下，下列选项中的图象描述的是物体沿x方向和y方向运动的速度－时间图象，其中正确的是 （ ）
1. BD 解析:根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，选项B正确；又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确。
2. AD 解析：由题意知A做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t1相同，且t1＝，若第一次落地前相碰，只要满足A运动时间t＝，所以选项A正确；因为A、B在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰，碰撞位置由A的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确。
3. BD 解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝，小球从a处下落的高度是b处的2倍，有ta＝，D正确；水平方向的距离由高度和初速度决定，即x＝v0，由题意得a处的水平位移是b处的2倍，可知va＝，B正确。
4. A 解析：由于高度一定，平抛运动的时间t＝一定，水平速度v＝，即v与x成正比，在刻度线上速度分布均匀，A正确。
5. ABCD 解析：滑雪者平抛运动的时间t＝＝0.5 s，落地时的竖直速度vy＝gt＝5.0 m/s，因着地速度方向与水平方向的夹角为45°，由vcos 45°＝v0，vsin 45°＝vy，可得滑雪者离开平台的水平速度v0＝5.0 m/s，着地的速度大小为v＝5m/s，平抛过程的水平距离为x＝v0t＝2.5 m，故A、B、C、D均正确。
6. C 解析：车停下后，A、B、C均以初速度v0做平抛运动，且运动时间
t1＝ ，t2＝ ＝t1，t3＝ ＝t1
水平方向上有：L1＝v0t3－v0t2＝（－）v0t1
L2＝v0t2－v0t1＝（－1）v0t1
可知L17. C 解析：O～tP段物体只受重力作用，故水平方向：vx＝v0恒定不变；竖直方向：vy＝gt；
tP～tQ段，物体可沿斜面向下的加速度，故其在水平、竖直方向均有加速度分量，，，故水平方向：v'x＝v0＋a水平t，竖直方向：v'y＝vy＋a竖直t（a竖直第5节 研究平抛运动实验的深入分析
（答题时间：20分钟）
1. 如图所示，在研究平抛运动时，小球沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时，撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球离开轨道后（ ）
A. 水平方向的分运动是匀速直线运动
B. 水平方向的分运动是匀加速直线运动
C. 竖直方向的分运动是自由落体运动
D. 竖直方向的分运动是匀速直线运动
2. 在做“研究平抛物体的运动”实验之前，必须调整实验装置，下列操作必要且正确的是（ ）
A. 将斜槽的末端切线调成水平
B. 将木板校准到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直平面平行
C. 在坐标纸上记录斜槽末端槽口的位置O，作为小球做平抛运动的起点和所建坐标系的原点
D. 测出平抛小球的质量
3. 某研究性学习小组在做“探究平抛物体运动规律”的实验时，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹，并求出平抛运动的初速度，实验装置如图所示。关于这个实验，以下说法中正确的是（ ）
A. 小球释放的初始位置越高越好
B. 每次小球要从同一高度由静止释放
C. 实验前要用重锤线检查坐标纸上的竖线是否竖直
D. 小球做平抛运动时要靠近木板但不接触
4. 如图为研究小球的平抛运动时拍摄的闪光照片的一部分，其背景是边长为5 cm的小方格，重力加速度g取10 m/s2，由图可知：小球从A点运动到B点经历的时间_____（填“小于”、“等于”或“大于”）从B点运动到C点经历的时间；照相机的闪光频率为______Hz；小球抛出时的初速度大小为______m/s。
5. 利用单摆验证小球平抛运动规律，设计方案如图所示，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L,悬点到木板的距离OO′＝h（h>L）。
（1）电热丝P必须放在悬点正下方的理由是：___________________________。
（2）将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O′C＝s，则小球做平抛运动的初速度为v0＝______。
6. 利用实验室的斜面小槽等器材装配图甲所示的装置，钢球从斜槽上滚下，经过水平槽飞出后做平抛运动，每次都使钢球在斜槽上同一位置滚下，钢球在空中做平抛运动的轨迹是一定的，设法用铅笔描出小球经过的位置，通过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。
（1）某同学在安装实验装置和进行其余的操作时都准确无误，他在分析数据时所建立的坐标系如图乙所示。他的错误之处是____________________________________。
（2）该同学根据自己所建立的坐标系，在描出的平抛运动轨迹图上任取一点（x，y），运用公式v0＝x求小球的初速度v0，这样测得的平抛初速度值与真实值相比________。（填“偏大”“偏小”或“相等”）
7. 子弹从枪口射出，在子弹飞行的途中，有两块相互平行的竖直挡板A、B（如图所示），A板距枪口的水平距离为s1，两板相距s2，子弹穿过两板先后留下弹孔C和D，C、D两点之间的高度差为h，不计挡板厚度及阻力，求子弹的初速度v0。
1. C 解析：A球平抛的同时，B球自由下落，两球在同一高度上，且两球总是同时落地，这只能说明A球在抛出后竖直方向上的分运动是自由落体运动，但不能说明A球的水平分运动是匀速直线运动，解题时千万不能凭主观想象来判断。
2. AB 解析：做“研究平抛物体的运动”实验之前，必须先调整实验装置，将斜槽末端的切线调成水平，木板校准到竖直方向，A、B正确；小球的平抛起点不在槽口的位置，而在其上方，即球心所在位置，C错误；该实验不用测出小球质量，D错误。
3. BCD 解析：在做“探究平抛物体运动规律”的实验中，初始位置的高低对选取轨迹有影响，要求小球每次都要从同一高度由静止释放，以确保小球以同样大小的初速度平抛。实验前用重锤线检查坐标纸上的竖线是否竖直，是为了保证在处理数据时纵横坐标正确表达小球的水平和竖直方向上的位移。另外小球做平抛运动时要靠近木板，但不能与木板接触，若与木板接触，会使小球与木板之间产生摩擦而影响测量精度。
4. 等于 10 2.5 解析:该实验考查的是平抛运动中闪光照片图象，从A、B、C三点之间的水平间距相等可以看出B是A、C两点之间的中点时刻，在竖直方向上由Δh＝gΔT2可以得出闪光周期为Δt＝0.1s,所以闪光频率为10Hz，抛出时候的初速度=2.5m/s。
5. （1）保证小球沿水平方向抛出（2）
解析：（1）小球到达最低点时，速度沿水平方向与圆弧轨迹相切，而此时悬线（半径）与速度垂直，沿竖直方向，在此时烧断悬线，恰能使小球沿水平方向抛出，所以要把电热丝p放在悬点O的正下方。
（2）小球平抛时下落高度H＝h－L＝gt2，在水平方向做匀速直线运动，则s＝v0t，解得；
6. （1）将斜槽末端点作为坐标原点 （2）偏大
解析：（1）小球平抛运动的起点在斜槽末端正上方小球球心所在处，该同学的错误在于他将斜槽末端点作为坐标原点。
（2）这样建坐标系后，坐标y值测量偏小，由v0＝x求出的小球的初速度v0将比真实值偏大。
7. 解：设子弹从射出至运动到A板经历时间为t1，从A板运动到B板经历时间为t2，由于子弹在水平方向做匀速直线运动，故可得
s1＝v0t1 ①
s2＝v0t2 ②
竖直方向，子弹做自由落体运动，故可得
hOC＝gt12，hOD＝g（t1＋t2）2
h＝hOD－hOC＝g（t1＋t2）2－gt12 ③
联立①②③可解得v0＝。
第6节 平抛运动的拓展问题
（答题时间：30分钟）
1. 李娜获得法网单打冠军，实现了大满贯这一梦想，如图所示为李娜将球在边界A处正上方B点水平向右击出，球恰好过网C落在D处（不计空气阻力）的示意图，已知AB＝h1，AC＝x，CD＝，网高为h2，下列说法中正确的是（ ）
A. 击球点高度h1与球网的高度h2之间的关系为h1＝1.8h2
B. 若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内
C. 任意降低击球高度（仍高于h2），只要击球初速度合适（球仍水平击出），球一定能落在对方界内
D. 任意增加击球高度，只要击球初速度合适（球仍水平击出），球一定能落在对方界内
2. （广东高考）如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视作平抛运动，下列叙述正确的是（ ）
A. 球被击出时的速度v等于L
B. 球从击出至落地所用时间为
C. 球从击球点至落地点的位移等于L
D. 球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
3. 乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，现讨论乒乓球发球问题，已知球台长L，网高h，若球在球台边缘O点正上方某高度处，以一定的垂直球网的水平速度发出，如图所示，球恰好在最高点时刚好越过球网，假设乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，则根据以上信息可以求出（设重力加速度为g）（ ）
A. 球的初速度大小
B. 发球时的高度
C. 球从发出到第一次落在球台上的时间
D. 球从发出到被对方运动员接住的时间
4. 《愤怒的小鸟》是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒，某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若h1＝0.8 m，l1＝2 m，h2＝2.4 m，l2＝1 m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明。（取重力加速度g＝10 m/s2）
5. 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
（1）物块由P运动到Q所用的时间t；
（2）物块由P点水平射入时的初速度v0；
（3）物块离开Q点时速度的大小v。
6. 如图所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点由静止下滑，当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处，已知斜面AB光滑，长度L＝2.5 m，斜面倾角为θ＝30°，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
（1）小球p从A点滑到B点的时间；
（2）小球q抛出时初速度的大小和D点离地面的高度h。
1. AD 解析：由平抛运动规律可知h1＝，1.5x＝v0t1，h1－h2＝，x＝v0t2，得h1＝1.8h2，A正确；若保持击球高度不变，球的初速度v0较小时，球可能会触网，也可能直接落在本方界内，B错误；任意降低击球高度，只要初速度合适，球可能不会触网，但球会出界，C错误；任意增加击球高度，只要击球初速度合适，使球的水平位移小于2x，一定能落在对方界内，D正确。
2. AB 解析：由平抛运动规律知，H＝gt2得，t＝，B正确；球在水平方向做匀速直线运动，由s＝vt得，v＝＝＝L，A正确；击球点到落地点的位移大于L，且与球的质量无关，C、D错误。
3. ABC 解析：根据题意分析可知，乒乓球在球台上的运动轨迹具有重复和对称性，故发球时的高度等于h；从发球到运动到P1点的水平位移等于L，所以可以求出球的初速度，也可以求出球从发出到第一次落在球台上的时间，由于对方运动员接球的位置未知，所以无法求出球从发出到被对方运动员接住的时间，故本题选A、B、C。
4. 解：（1）设小鸟以v0弹出后能直接击中堡垒，则
t＝＝s＝0.8 s
所以v0＝＝ m/s＝3.75 m/s
设在台面的草地上的水平射程为x，则
所以x＝v0 ＝1.5 m可见小鸟不能直接击中堡垒。
5. 解：（1）沿水平方向有b＝v0t
沿斜面向下的方向有
mgsin θ＝ma
l＝at2
联立解得t＝；
（2）v0＝＝b；
（3）物块离开Q点时的速度大小v＝＝ 。
6. 解：（1）设小球p从斜面上下滑的加速度为a，经受力分析得mgsin θ＝ma
设小球p从斜面上下滑的时间为t，L＝at2
解得t＝1 s；
（2）小球q的运动为平抛运动h＝gt2＝5 m
Lcos θ＝v0t
解得v0＝m/s。
第7节 描述圆周运动的物理量
（答题时间：25分钟）
1. 如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A. 小球A的线速度必定大于小球B的线速度
B. 小球A的角速度必定小于小球B的角速度
C. 小球A的运动加速度必定小于小球B的运动加速度
D. 小球A对筒壁的压力必定大于小球B对筒壁的压力
3. （大纲全国高考）如图是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料。当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来（如图所示）。
（1）若图中示波器显示屏横向的每大格（5小格）对应的时间为5.00×10－2 s，则圆盘的转速为______________转/s。（保留3位有效数字）
（2）若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为__________ cm.（保留3位有效数字）
4. 如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是 （ ）
A. a、b和c三点的线速度大小相等
B. b、c两点的线速度始终相同
C. b、c两点的角速度比a点的大
D. b、c两点的加速度比a点的大
5. 如图所示，甲，乙两人分别站在赤道和纬度为45°的地面上随地球一起绕地轴做匀速圆周运动，则甲、乙在上述过程中具有相同的物理量是（???? ）
A. 线速度????? B. 周期????? C. 向心力??????? D. 向心加速度
6. 在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验。在T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球。设小球质量为m，细绳长度为L，王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动。测得小球运动的周期为T，由此可知（ ）
A. 小球运动的角速度ω＝
B. 小球运动的线速度v＝
C. 小球运动的加速度a＝
D. 细绳中的拉力为F＝
7. 如图为一陀螺，a、b、c为在陀螺上选取的三个质点，它们的质量之比为1∶2∶3，它们到转轴的距离之比为3∶2∶1，当陀螺以角速度ω高速旋转时（ ）
A. a、b、c的线速度之比为1∶2∶3
B. a、b、c的周期之比为3∶2∶1
C. a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1
D. a、b、c的向心力之比为1∶1∶1
1. C 解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝，选项C正确。
2. AB 解析：分析小球受力，小球受重力、支持力，合力为小球做圆周运动的向心力，即＝ma＝m＝mrω2，所以二者加速度相同，对筒壁的压力相同，选项C、D错误；因小球A的半径大，所以线速度大而角速度小，选项A、B正确。
3. （1）4.55 （2）1.46
解析：（1）从图可知圆盘转一圈的时间在横坐标上显示22格，由题意知图中横坐标上每小格表示1.00×10－2 s，所以圆盘转动的周期是0.22 s，则转速约为4.55 转/s。
（2）反射光引起的电流图象在图中的横坐标上每次一小格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的，则涂层长度L＝cm＝1.46 cm。
4. D 解析：当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对。
5. B 解析：如下图所示
由图可知rA＝rB，但两点的角速度相同，即，由公式可得，线速度，，故，同理可得向心加速度，由于甲、乙两人质量未知，故无法判断向心力的大小关系。
6. B 解析：小球运动的角速度ω＝，选项A错误；线速度v＝ωL＝，选项B正确；加速度a＝ω2L＝，选项C错误；细绳中的拉力为F＝ma＝，选项D错误。
7. C 解析：在同一陀螺上各点的角速度相等，由v＝ωr和质点到转轴的距离之比为3∶2∶1，可得a、b、c的线速度之比为3∶2∶1，选项A错误；由T＝2π/ω可知a、b、c的周期之比为1∶1∶1，选项B错误；由a＝ωv可知a、b、c的向心加速度之比为3∶2∶1，选项C正确；由F＝ma可得a、b、c的向心力之比为3∶4∶3，选项D错误。
第8节 匀速圆周运动分析
（答题时间：30分钟）
1. （上海高考）图a为测量分子速率分布的装置示意图。圆筒绕其中心匀速转动，侧面开有狭缝N，内侧贴有记录薄膜，M为正对狭缝的位置。从原子炉R中射出的银原子蒸汽穿过屏上S缝后进入狭缝N，在圆筒转动半个周期的时间内相继到达并沉积在薄膜上，展开的薄膜如图b所示，NP，PQ间距相等。则（ ）
a b
A. 到达M附近的银原子速率较大
B. 到达Q附近的银原子速率较大
C. 位于PQ区间的分子百分率大于位于NP区间的分子百分率
D. 位于PQ区间的分子百分率小于位于NP区间的分子百分率
2. 如图所示，放于竖直面内的光滑金属圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用，则ω可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A. 速度的大小和方向都改变
B. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动
C. 当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动
D. 向心加速度大小不变，方向时刻改变
4. 如图所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服（ ）
A. 受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用
B. 所需的向心力由重力提供
C. 所需的向心力由弹力提供
D. 转速越快，弹力越大，摩擦力也越大
5. 小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行速度。他的设想是：通过计算脚踏板转动的角速度，推算自行车的骑行速度。经过骑行，他得到如下的数据：在时间t内脚踏板转动的圈数为N，那么脚踏板转动的角速度ω＝________；要推算自行车的骑行速度，还需要测量的物理量有____________________；自行车骑行速度的计算公式v＝________。
6. 如图所示，半径为r＝20 cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝1.6 m，棒长l＞3.2 m，重力加速度取10 m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A的正上方需多长时间？
7. （榆林一模）如图甲所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.（g取10 m/s2，结果可用根式表示）求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
8. 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50 m的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m＝50 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示。某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2（单位：m）的规律变化，取g＝10 m/s2。
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；
（2）求在5 s末被困人员B的速度大小及位移大小；
（3）直升机在t＝5 s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示。此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）
9. 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
1. AC 解析：分子在圆筒中运动的时间t＝，可见速率越大，运动的时间越短，圆筒转过的角度越小，到达位置离M越近，所以A正确，B错误；根据题图b可知位于PQ区间的分子百分率大于位于NP区间的分子百分率，即C正确，D错误。
2. AB 解析：如图所示，若绳上恰好无拉力，则有mgtan 60°＝mRω2sin 60°，ω＝，所以当ω>时，物体受重力、绳的拉力，圆环的弹力三个力的作用，A、B选项正确。
3. CD 解析：匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对。
4. C 解析：衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω2，转速越大，FN越大，但重力不变，故竖直方向上的摩擦力不变。C对，B、D错。
5. 自行车后轮半径R，牙盘半径r1，飞轮半径r2 Rω或2πR
解析：依据角速度的定义式ω＝＝；要推算自行车的骑行速度，由于v＝ω后R，还要知道自行车后轮的半径R，又因后轮的角速度ω后＝ω飞轮，而ω飞轮r2＝ω牙盘r1，ω牙盘＝ω，联立以上各式解得v＝Rω＝2πR。故还需知道后轮半径R，牙盘半径r1，飞轮半径r2。
6. 解：棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s2，时间t1＝＝1 s，t1时间内棒运动位移s1＝＝0.8 m。此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动s2＝s－s1＝0.8 m，重心到A的正上方需要的时间t2＝＝0.5 s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5 s。
7. 解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan θ＝mωlsin θ。
解得：ω02＝，即ω0＝rad/s。
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：
mgtan α＝mω′2lsin α
解得：ω′2＝，即ω′＝rad/s。
8. 解：（1）被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移
y＝H－l＝50－（50－t2）＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度
a＝2 m/s2的匀加速直线运动。
由牛顿第二定律可得F－mg＝ma
解得悬索的拉力F＝m（g＋a）＝600 N。
（2）被困人员5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10 m/s
合速度v＝＝ m/s
竖直方向的位移y＝at2＝25 m
水平方向的位移x＝v0t＝50 m
合位移s＝m。
（3）t＝5 s时悬索的长度
l′＝50－y＝25 m，旋转半径r＝l′sin 37°
由mgtan 37°＝m
解得v′＝m/s
此时被困人员B的受力情况如图所示，由图可知
FTcos 37°＝mg
解得FT＝＝625 N
9. 解：（1）物块静止时，对物块进行受力分析如图所示
设筒壁与水平面的夹角为θ，由平衡条件有
Ff＝mgsin θ
FN＝mgcos θ
由图中几何关系有
cos θ＝，sin θ＝
故有
（2）分析此时物块受力如图所示
由牛顿第二定律有mgtan θ＝mrω2
其中tan θ＝，r＝
可得ω＝。
第9节 非匀速圆周运动分析
（答题时间：15分钟）
1. 如图所示，汽车以一定的速度经过不脱离一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是（ ）
A. 在竖直方向汽车可能受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B. 在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C. 汽车对桥面的压力一定小于汽车的重力
D. 汽车对桥面的压力一定大于汽车的重力
2. 一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为（ ）
A. 15 m/s B. 20 m/s
C. 25 m/s D. 30 m/s
3. 如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v。若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（ ）
A. 受到的向心力为mg＋
B. 受到的摩擦力为
C. 受到的摩擦力为
D. 受到的合力方向斜向左上方
4. 如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（ ）
A. 线速度突然增大
B. 角速度突然增大
C. 向心加速度突然增大
D. 悬线的拉力突然增大
5. 如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度过最低点A。求在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？
6. 在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。
（1）如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？（取g＝10 m/s2）
7. 如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力。求：
（1）球的速度大小。
（2）当小球经过最低点时速度为，杆对球的作用力大小和球的向心加速度大小。
1. BC 解析：汽车经过拱形桥顶端时，当速度时，；当时，，当时，汽车将脱离桥面。根据题意可知，汽车在竖直方向上可能只受到重力作用，也可能受到重力、支持力两个力的作用，故A错误，B正确。汽车对桥面的压力大小等于桥面对汽车的支持力，其值一定小于汽车的重力，当时，压力大小等于重力。
2. B 解析：由题意得，，，
若无压力，，所以B正确。
3. CD 解析：向心力为，A错，，所以C对，B错。由平行四边形法则，D对。所以CD正确。
4. BCD 解析：悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变。当半径减小时，由ω＝知ω变大，再由F向＝m知向心加速度突然增大。而在最低点F向＝FT－mg，故悬线的拉力变大。由此可知BCD选项正确。
5. 6mg 解析：在B点，FB＋mg＝m解之得FB＝mg，在A点，FA－mg＝m解之得FA＝7mg，所以在A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。
6. 解：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax＝0.6mg＝m，由速度v＝108 km/h＝30 m/s得，弯道半径rmin＝150 m。故弯道的最小半径为150m。
（2）汽车过拱桥，可看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－FN＝m。为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN≥0，有mg≥m，则R≥90 m。
7. 解：（1）小球A在最高点时，对球做受力分析，如图所示。重力mg；拉力F=mg
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，即：
①
F=mg ②
联立①②可得
（2）小球A在最低点时，对球做受力分析，如图所示。重力mg，拉力F，设向上为正
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力
；
解得
