2018-2019学年新高一开学第一周 数学 必修1 1.1.1集合的含义与表示 第二课时 集合的表示法 教案 Word版

●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法；
(2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换．
2．过程与方法
(1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养；
(2)教学过程中应努力培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养数学的特有文化——简洁精练，体会从感性到理性的思维过程．
●重点难点
重点：用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容．
难点：集合表示法的恰当选择．
(1)重点的突破：以教材中的思考为切入点，让学生感知列举法表示集合不足的同时，顺其自然的引出集合的另一种方法——描述法，然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式，必要时可通过题组训练，让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点，教师给予适当点拨，从而化难为易；
(2)难点的解决：本节课不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合．为此，可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别，并借助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律——在元素不太多的情况下，宜采用列举法；在元素较多时，宜采用描述法表示．
课标解读
1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
知识1
列举法
【问题导思】　
设集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？
【提示】　能.0,1,2,3,4.列举法的定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
知识2
描述法
【问题导思】　
1．“绝对值小于2的实数”构成的集合，能用列举法表示吗？
【提示】　不能．
2．设x为该集合的元素，x有何特征？
【提示】　|x|<2.
3．如何表示该集合？
【提示】　{x∈R||x|<2}1.定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法．
2．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
互动探究：
类型1
用列举法表示集合
例1　用列举法表示下列集合：
(1)方程x2－1＝0的解构成的集合；
(2)由单词“book”的字母构成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合；
(4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合．
【思路探究】　先分别求出满足要求的所有元素，然后用列举法表示集合．
【自主解答】　(1)方程x2－1＝0的解为－1,1，所求集合为{－1,1}；
(2)单词“book”有三个互不相同的字母，分别为“b”、“o”、“k”，所求集合为{b，o，k}；
(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}；
(4)方程组的解是
所求集合为.
规律方法
1．用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，如本例(1)是数集，本例(4)是点集．
2．使用列举法表示集合时应注意以下几点：
(1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合，如集合：{1,2,3}，{1,2,3，…，100}，{1,2,3，…}等．
(2)“{}”表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；元素无顺序，满足无序性．
变式训练
用列举法表示下列集合．
(1)我国现有直辖市的全体．
(2)绝对值小于3的整数集合．
(3)方程组的解集．
【解】　(1){北京，上海，天津，重庆}；
(2){－2，－1,0,1,2}；
(3)方程组的解是
所求集合为.
类型2
用描述法表示集合
例2　用描述法表示下列集合：
(1)不等式3x－2≥0的解构成的集合；
(2)偶数集；
(3)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合．
【思路探究】　找准集合的代表元素→
说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合
【自主解答】　(1)A＝{x|3x－2≥0}或A＝；
(2)B＝{x|x＝2k，k∈Z}；
(3){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}．
规律方法
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．
2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例(2)．
互动探究
把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解？
【解】　该集合用描述法表示为B＝{x|x＝2k,1≤k≤5且k∈Z}.
类型3
集合表示法的选择
例3　用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；
(3)所有的正方形；
(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
【思路探究】　依据集合中元素的个数，选择适当的方法表示集合．
【自主解答】　(1)解方程组得故解集为{(4，－2)}；
(2)集合的代表元素是数x，集合用描述法表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1000}；
(3)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}；
(4)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
规律方法
1．本例(1)在集合的表示时，常因不明白方程组解的含义，导致出现以下两种错误表示：{4，－2}和{x＝4，y＝－2}．
2．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示．对一些元素有规律的无限集，也可以用列举法表示，如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10，…}．
变式训练
有下面六种表示方法：
①{x＝－1，y＝2}；②；
③{－1,2}；
④(－1,2)；
⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1或y＝2}．
其中能正确表示方程组的解集的是________，(把所有正确的序号都填在横线上)
【解析】　∵方程组的解为
∴该方程组的解集应为点集，其正确形式是②⑤.
【答案】　②⑤
思想方法技巧
分类讨论思想在集合表示法中的应用
典例　(12分)集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【思路点拨】　明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k值→写出集合A
【规范解答】　(1)当k＝0时，
原方程变为－8x＋16＝0，
x＝2.2分
此时集合A＝{2}.4分
(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.6分
只需Δ＝64－64k＝0，
即k＝1.8分
此时方程的解为
x1＝x2＝4，
集合A＝{4}，
满足题意.10分
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.12分
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
3．集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
小结：
1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法．
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．