课件15张PPT。直线与圆的位置关系 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风位于轮船所在A点正西3单位处，受影响的范围是半径为2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
(1单位是10千米)北南西东332A B 情境引入A 平面中，直线与圆有三种位置关系： 相离
相切
相交
0个
1个
2个
图形表示
位置关系
公共点个数
d与 r的关系
知识再现 例1、一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风位于轮船所在A点正西3单位处，受影响的范围是半径为2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
(1单位是10千米)B 332问题探究A 解：建立如图所示的直角坐标系，得直线AB方程是x＋y－3=0，圆的方程是 ∵ 半径 r＝2，
∴ d ＞r．解法二：解法一：所以，直线与圆相离。轮船不改变航线，不会受到台风的影响。,则圆心到直线的距离为所以，直线与圆相离。轮船不改变航线，不会受到台风的影响。A B 问题探究直线与圆的位置关系的判定:已知直线l：Ax＋By＋C＝0，
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝ r 2，
试判断直线与圆的位置关系．方法总结：问题探究 消去 （或 ） 求圆心到直线的距离d
(利用点到直线的距离公式) 比较 和半径 的大小，下结论. 比较判别式 和0的大小，下结论.问题探究 确定圆的圆心和半径北南西东变式1、台风位于轮船所在A点正西4单位处，受影响的范围是半径为5/2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？如果受影响，那么它受台风影响的路线有多长？(1单位是10千米)问题探究43A B 43直线与圆相交.弦长=A B 问题探究变式2、在变式1的条件下，如果轮船航线正好和受台风影响的圆形区域边缘相切时，圆形区域的半径是多少？43A B 问题探究动画演示新知应用例2、已知过点 M(－3, －3) 的直线 l 被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程． xy① 当直线l的斜率不存在时，
直线 l 方程为 x=-3, 满足d=3 ②当直线l的斜率存在时，动画演示新知应用CB相交x=2或3x-4y+10=0课堂检测知识 方法 数学思想 直线与
圆的位
置关系 几何法代数法 数形结合
方程思想
分类讨论 课堂小结1、必做： P132 A组1. 2. 3. 5 . 6
2、选做: P133 B组3. 4
3、探究题：课后作业《直线与圆的位置关系》教学设计
教学目标：
【知识与技能】：
（1）理解直线与圆位置关系的分类；
（2）能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系；
（3）能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．
【过程与方法】
将理论与实际相联系，提升学生的数学建模能力；通过创设情境、观察思考、合作探究、总结归纳和知识运用为主线的教学模式，培养学生分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，让学生进一步体会数形结合、分类讨论和方程等数学思想方法。
【情感态度与价值观】：
培养学生合作、交流的能力和团队精神，激发学生积极主动地参与数学学习活动；培养学生勇于思考，探究问题的精神；在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
重难点：
重点：利用几何法和代数法来判断直线和圆的位置关系．
难点：直线和圆的位置关系判断方法的选择及运用．
教学方法：启发式教学法、合作探究、提问法等。
教学用具：课本、黑板、屏幕、多媒体课件、12学教学平台等。
教学过程
1.情境引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风位于轮船所在A点正西3单位处，受影响的范围是半径为2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？(1单位是10千米)
我们如何用数学的方法来解决这个实际问题？首先这个实际问题可以抽象出哪些几何图形？台风分布区域是圆，轮船返港所走的路线是直线。轮船是否会受到台风的影响就转化为研究直线与圆有无交点，也就是要判断直线和圆的位置关系，这就是本节课我们所要学习的内容。
【设计意图】通过实例，让学生从数学角度看待日常生活中的问题，体验数学与生活的密切关系，激发学生的探索热情。
2. 知识再现
在初中我们已经研究过这个问题，再来复习一下。请同学们根据以下问题填表：
问题1. 在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
问题2. 在平面几何中，怎样判断直线与圆的位置关系？有几种方法?
位置关系
图形表示
公共点个数
d与r的关系
我们知道在平面几何中，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。而且有两种判断直线与圆位置的方法：一是利用公共点的个数，二是利用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系。
在解析几何中，我们用方程表示直线和圆，那么如何根据直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
【设计意图】激发了学生学习的兴趣，快速唤醒了他们对这块知识的记忆.
3. 问题探究
例1、一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风位于轮船所在A点正西3单位处，受影响的范围是半径为2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ (1单位是10千米)
问题1.把上述问题中对应的图形放到恰当的直角坐标系中，求出对应的方程？
(要解决这个问题，首先建立平面直角坐标系，这是将一个问题转化为实际问题的第一步)
※小组讨论、合作探究
问题2.根据上述方程你能否解决这个问题？
解法一：解：建立如图所示的直角坐标系，
得直线方程是x＋y－3=0 ，圆的方程是，
则圆心到直线的距离为
∵ 半径 r＝2， ∴ d ＞r．
所以，直线与圆相离。轮船不改变航线，不会受到台风的影响。
解法二：建立如图所示的直角坐标系，
得直线方程是x＋y－3=0 ，圆的方程是，联立直线与圆的方程，
消去y，得 2x2-6x＋5＝0
∵Δ＝(-6)2－4×2×5＝－4
∴Δ＜0.
所以，直线与圆相离。轮船不改变航线，不会受到台风的影响。
【设计意图】经历理论与实际的联系，提升学生的数学建模能力。通过小组交流讨论，使学生积极参与到探索中，利用实物投影展示学生的探究成果，得出几种不同的解决问题的方法，培养了学生分析、概括问题的能力以及逻辑思维的能力，同时鼓励学生书写规范，推理严谨。
方法总结：在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，可以根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系。即已知直线，圆，则直线与圆的位置关系
判断方法有两种：
（1）几何法：
首先,利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
然后,利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d < r直线与圆相交；d = r直线与圆相切；d > r直线与圆相离
（2）代数法：
，
消去y(或x) 得,
△>0直线与圆相交；△=0直线与圆相切；△<0直线与圆相离
对比两种方法，各自特点：几何法比代数法更简单、更直观，运量更小；代数法运算量大，但也是今后学习直线与圆锥曲线位置关系的通法,也是几何问题代数化的一般方法。
【设计意图】学生在老师的指导下，有特殊到一般，从已知到未知，步步深入进行研究，归纳总结解题方法，从而体验到数学学习的快乐。因为这两种不同的判断方法各有特点，所以在PPT中设计为左右分栏，以便学生比较、甄别、遴选。
变式1、台风位于轮船所在A点正西4单位处，受影响的范围是半径为5/2单位的圆形区域.已知港口位于台风中心正北3单位的B处.如果轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？如果受影响，那么它受台风影响的路线有多长？(1单位是10千米)
解：建立如图所示的直角坐标系，则直线的AB方程为
圆的方程为
∴圆心到直线的距离为
∴直线与圆相交.
半弦长= ∴弦长=
所以轮船不改变航线会受到台风影响,它受台风影响的路线长千米.。
【设计意图】利用直线与圆的方程，计算出了直线与圆的相交弦长，从而得到弦长公式。教学中，始终围绕实际问题的解决，探究直线与圆的位置关系。
变式2、在变式1的条件下，如果轮船航线正好和受台风影响的圆形区域边缘相切时，圆形区域的半径是多少？
【设计意图】该变式增加了思维的梯度，对于含有参数的方程，引导学生用基本方法求解。为了提高学生的学习兴趣，帮助学生更加直观的理解数学知识，教师利用几何画板，演示直线与圆的三种位置关系，简洁直观的将静止图片动态化。
通过刚才的几个问题我们进一步体会了直线与圆的三种位置关系，并且会用几何法和代数法两种方法来解决。当直线与圆是相交的位置关系时，我们可以利用垂径定理，由d、r和半弦长构造直角三角形来求得弦长，反之，如果已知直线被圆所截得的弦长时，如何求得弦所在直线的方程？我们来看下面一个例题。
4. 新知应用
例2、已知过点M(-3,-3)的直线 l 被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为8，求直线 l 的方程．
解: 将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标是(0，－2)，半径r＝5
∵直线被圆截得的弦长为8，
∴圆心到直线的距离
当直线l的斜率不存在时，
直线 l 方程为 x=-3, 满足d=3
②当直线l的斜率存在时，
设过点M的直线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
由d=3，得＝3，
得k＝，此时直线方程4x＋3y＋21＝0，
,∴所求直线方程为或
利用几何画板演示例2中存在的两条直线。
课后思考：过点 M(－3, －3) 的直线 l 被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长的最大值和最小值是多少，并求此时直线l。
【设计意图】进一步对直线与圆的相交弦进行研究，引导学生利用图形的几何性质求解，这样有助于简化运算，使学生巩固了新知识。通过学生板演例2的解题过程，培养学生的作图能力和运算能力，通过师生共同分析找出思维上的漏洞，强化缜密意识。借助几何画板的动态展示，培养学生数形结合的思想，并体会数学的动感之美。课后思考题进一步研究了直线与圆的位置关系中的最值问题，培养学生的探究能力。
5.课堂检测
【设计意图】巩固并熟练运用本节课所学数学知识解决有关直线与圆的位置关系的问题。
6.课堂小结
1.知识总结：直线与圆的位置关系；
2.方法总结：几何法和代数法；
3.体现的数学思想：数形结合思想和方程思想。
【设计意图】学生总结概括本节所学知识，进一步达成三位目标。
7.课后作业
1、必做： P132 A组1. 2. 3. 5 . 6
2、选做: P133 B组3. 4
3、探究题：若直线与曲线 有两个公共点，求b的取值范围。
【设计意图】作业分层落实，使学生完成基本学习任务的同时，在知识拓展时激起学生探究的热情，让每一个不同层次的学生都可以获得成功的喜悦。
直线与圆的位置关系测评练习
1.若直线?3?x?+?4?y?+?m?=?0?与圆?x?2?+?y?2???2?x?+?4?y?+?4?=?0?没有公共点,则实数?m的取值范围是( )
A.?(???∞?,?0?)?B.?(?10?,?+?∞?)?C.?(???∞?,?0?)?∪?(?10?,?+?∞?)?D.?(0,10)
2. 设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为（ ）
A.?????B.?????C.?????D.?
3. 直线被圆截得的弦长为（ ?）。
A．1 B. 2 C. 4 D.?
4. 若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是
5.?在平面直角坐标系xOy中,已知圆,过点且斜率为k的直线l与圆C相交于不同的两点A,B. (Ⅰ)求k的取值范围; (Ⅱ)若弦长,求直线l的方程.
高考闯关
6. (2016课标全国III文)已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则?? ? ? ? ?。
7. (2016课标全国I文)设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为?????。
设计意图：考察全体学生对直线与圆的位置关系理解和初步应用情况，考察学生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的过程中探究直线与圆的位置关系的判定方法及弦长问题，全面认识本节课的知识，同时也为下节课做好铺垫。
