生活中的圆周运动
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第8节 生活中的圆周运动
【知识要点】
1、火车转弯
设车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯处的半径为r，行驶的火车质量为m，两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ，如图8－1所示。
当火车转弯时所需的向心力F完全由重力G和支持力FN的合力提供时，对火车受力分析可得F＝mgtanθ
又据向心力公式F＝m
由以上两式可得v＝。
显然，在g、h、r、θ一定的条件下，火车转弯时的速率应该是一个确定的值，因此这个速度通常就叫做转弯处的规定速度。
我国铁路转弯速率一般规定为v＝54km/h，即15m/s，铁轨轨距L＝1435mm。由v＝可知，rtanθ为一定值，因为铁路弯曲的曲率半径r是根据地形条件决定的，所以铁路某一弯道处内外轨的倾斜角度θ、内外轨的高度差h也是一个确定的值。
因sinθ＝，如弯道倾斜角θ较小，可得
h＝Lsinθ≈Ltanθ＝。
由于v一定，不难看出h与R成反比，或者说h与R的乘积为一常数：hR＝m2＝33.0m2。如弯道半径R＝330m时，内外轨高度差h约为100mm。
如果火车行驶的速度大于规定速度（v＞），这时仅由重力和支持力的合力提供向心力是不够的，还需要外轨对外侧车轮产生一个指向内侧的弹力以补充向心力的不足。
如果火车行驶的速度小于规定速度（v＜），重力和支持力的合力大于火车所需要的向心力，这时需要内轨向外轨方向挤压内侧车轮，以抵消多余部分使其合力等于向心力。
2、汽车过桥
为研究汽车过桥时对桥的压力，我们可以汽车为研究对象，分析其受力情况和运动情况，根据牛顿运动定律建立运动学方程是解决问题的核心。由此求得桥面对汽车的支持力后，根据牛顿第三定律即可求得桥面对汽车的支持力。
（1）汽车过拱形桥
选汽车为研究对象，汽车通过拱形桥最高点时，在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力，就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为 F＝G－FN。
以a表示汽车沿拱形桥桥面运动的向心加速度，根据牛顿第二定律
F＝ma＝
所以 G－FN＝
由此可得桥面对车的支持力 FN＝G－。
汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对相互作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为 FN′＝G－。
由上式可知，汽车对桥的压力FN′一定小于汽车重量G，两者的差值为。显然，在桥面圆弧半径R一定的情况下，这个差值与汽车过桥速度v的二次方成正比关系。当汽车的速度不断增大时，汽车对桥面的压力不断减小，FN′＝G－＝0，即v＝时，汽车对桥的压力减小为零。这时，汽车以速度v＝开始做平抛运动，而不再沿桥面做圆周运动，如图8－2所示。
（2）汽车过凹形桥
选汽车为研究对象，汽车通过凹形桥最低点时，在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力，就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为 F＝FN－G。
以a表示汽车沿拱形桥桥面运动的向心加速度，根据牛顿第二定律
F＝ma＝
所以 FN－G＝
由此可得桥面对车的支持力 FN＝G＋
汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对相互作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为 FN′＝G＋。
由此可以看出，汽车对桥的压力FN′大于汽车的重量G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大。
3、航天器中的失重现象
让我们展开幻想的翅膀，把拱形桥的物理图景推广开去，为讨论航天器中的失重现象做准备。
如地球可看作一巨大的拱形桥，汽车沿南北方向行驶（因地球沿东西方向自转，故汽车沿东西方向运动的讨论较为复杂），不断加速时，根据以上分析可知，地面对它的支持力为
FN＝G－。
对地球表面而言，汽车在任一位置所受重力，均可认为是指向球心，即圆周运动的圆心。显然，当v增大到一定程度时，地面对车的支持力为零，此时v＝，代入数据可得v≈7.9km/s。
这时如设驾驶员与座椅之间的压力为FN1，驾驶员的质量为m1，重力为m1g，因为驾驶员与汽车一起做圆周运动，所以同样有
FN1＝m1g－
因v＝，所以FN1＝0。这说明这时驾驶员与座椅之间的压力为零。
而对驾驶员躯体某一部分，如设其质量为Δm，此时当然有
Δmg＝Δ，
所以躯体各部分之间的压力均为零。
驾驶员处于完全失重状态，就会感到血液冲向头部，出现不同程度的头胀、头晕、头痛和鼻堵等感觉，这是由于失重时，人体内的血液和其他物体一样失去了重量，结果使人体内的流体静压作用消失，它的消失会引起血液和体液头向分布。
此时的“汽车”也就成了现代科技中的航天器在做航天飞行了。近8km/s的速度也不是普通汽车能实现的，替而代之的是火箭、航天飞机等。
而对任何关闭了发动机、又不受阻力的近地飞行器而言，它们都只受重力（万有引力）作用，其加速度均为a＝＝g，对其内部任何一个物体，随飞行器一起运动，其加速度均为g。如设某一物体质量均为m，其它物体对它的作用力为FN，由牛顿第二定律可得
mg－FN＝ma
因a＝g，即得FN＝0。
所以这样的飞行器中都是一个完全失重的环境，其内任何物体除受重力外，均不受任何其它力的作用，即处于完全失重状态。
4、离心现象及其应用
当物体所受外力的合力（或合力沿半径方向的分力）正好提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体做圆周运动。原先做圆周运动的物体，在合力突然消失或不足以提供所需的向心力时，会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
汽车、火车转弯处，为防止离心运动所造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大路面可能提供的向心力。
如在水平公路路面上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，设汽车质量为m，车轮与地面间静摩擦因数为μ（比动摩擦因数略大，一般情况下可认为相等），转弯半径为R，安全转弯速率为v，由牛顿第二定律可得
μmg＝
故 v＝。
显然，汽车转弯速度受到转弯半径R及车轮与地面间的静摩擦因数μ的制约，如雨雪天气，路面较滑，μ较小，则汽车的安全转弯速度与平时相比需更小些。
再如，砂轮、飞轮转速过高时，内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。因此，高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。
离心运动并非只是带来危害，相反，离心现象在生活、生产和科技中应用很广泛。利用离心运动可制成离心机械，例如离心干燥机、洗衣机的脱水筒、离心转速机、离心制管机及离心沉淀、离心分离机等。在制作水泥涵管时，工人们将制作水泥涵管的钢模固定在离心机上，当钢模随离心机高速旋转时，将搅拌好的水泥送入旋转钢模的空腔中，水泥由于离心现象而贴附在钢模上，凝固后便形成了涵管。无缝钢管也是采用这种离心制管技术生产出来的。
5、圆周运动实例分析方法
（1）选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径，这是解题的基础；
（2）正确分析研究对象的受力情况（切记：向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出），明确向心力来源，这是解题的关键；
（3）根据牛顿运动定律，沿向心加速度方向建立动力学方程。
6、讨论：
（1）自行车转弯
自行车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜程度都受到自行车与地面的静摩擦因数μ的限制，如图8-3所示，为了在转弯处不翻倒，不仅要求有足够的静摩擦力提供质心（质量中心）O做圆周运动所需的向心力，而且要求对质心的合力矩为零。
① 自行车转弯时的最大速度v0
自行车转弯时所需的向心力由地面的静摩擦力提供，且必须满足F向≤Fmax，即
μmg≥
所以最大转弯速度为 v0＝
② 自行车转弯时的临界内倾角θ0
自行车转弯时，在竖直平面内受到重力mg、地面支持力FN和静摩擦力Ff的作用，且相对质心O的合力矩为零。因此，自行车不翻倒的临界条件是FN和Ff的合力作用线通过质心，所以自行车必须内倾，且与竖直方向的临界内倾角为
θ0＝arctan＝arctanμ＝arctan
（2）高速公路上汽车的转弯
通常在水平路面上做圆周运动的汽车，是靠路面对汽车的摩擦来提供向心力的。但是，高速公路上行驶的汽车，速度很大，在转弯时（可视为做圆周运动）不能采取无限增大摩擦力的方式（如使路面粗糙程度增大等）提供向心力，于是，人们想到了“力的分解”――利用汽车所受重力的一个分力，提供一定程度的向心力，从而使车辆顺利转弯，且有效地保护高速路面（过大的摩擦会缩短路面和汽车轮胎的适用寿命）。
为了使汽车自身重力的一个分力充当一定量的向心力（一般地说，并非向心力的全部），常把弯道路面筑成外侧高、内侧低，呈单向横坡的形状。你能作出这种情况下汽车的受力分析图并导出向心力的表达式吗？
（3）为什么“离心沉淀”比“重力沉淀”快？
在试验室、医院里，常用离心分离机将不同密度的物质分离开来。
① 关于“重力沉淀”
设试管中液体的密度为ρ0，内有密度为ρ（ρ＞ρ0）、体积为ΔV的某种物质的微小颗粒，则微小颗粒的重力为G＝ρΔVg，所受液体对其的浮力F＝ρ0ΔVg，不计液体对微粒的粘滞阻力，微粒下沉的加速度为
a＝＝＝（1－）g。
② 关于“离心沉淀”
离心分离机装置如图8－4所示。
当离心分离机带着试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎处于水平位置。如果试管中装有同一种液体，其密度为ρ0，这时试管中与转轴相距为r、体积为ΔV的小液滴绕轴做圆周运动所需的向心力为 F＝ρ0ΔVω2r。
这个向心力肯定是周围的其它液体对该液滴作用的合力。若该处是体积为ΔV、密度为ρ（ρ＞ρ0）的某种物质的微粒，它随离心分离机绕竖直轴高速旋转时，所需的向心力为
F ′＝ρ0ΔVω2r
然而，周围液体对这个小微粒的作用力（指向转动中心）为F＝ρ0ΔVω2r。
由于ρ＞ρ0，所以F ′＞F，即周围液体对微粒指向圆心的作用力小于它所需要的向心力，微粒便做离心运动，向管底“下沉”，沉淀加速度为
a′＝＝（1－）ω2r
③ 重力沉淀加速度与离心沉淀加速度大小的比较
由a＝（1－）g和a′＝（1－）ω2r可知，只要ω2r＞g，即ω＞，离心沉淀就比重力沉淀快。
假设液体中的物质微粒与转动轴r＝0.2m，离心分离机的转速为3000r/min，则ω＝314rad/s，取g＝9.8m/s2，则a′/a＝ω2r/g＝3142×0.2/9.8倍＝2000倍。可见，离心沉淀比重力沉淀快得多。
高速旋转的离心分离机，能将混在一块的密度不相同的固体物质颗粒分开，也是这个道理。
（4）离心运动与向心运动
① 离心运动
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞离的倾向，它之所以没有飞出去，是因为有向心力在持续地拉着它，把它保持在圆周上。在所受的向心力突然消失，或所受指向圆心的合外力小于所需向心力的情况下，物体将沿圆周的切线方向或沿某一曲线飞离圆周，这样就发生了离心现象。所以，发生离心运动的根本原因是“惯性”的存在。
如图8－5所示，当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动；当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心。
注意：物体做离心运动，并非受到“离心力”的作用，事实上，“离心力”根本就不存在，因为无论如何也找不到所谓“离心力”的施力物体。
② 向心运动
如果做匀速圆周运动的物体所受指向圆心的力突然增大，此力大于做圆周运动所需的向心力，则物体就会做靠近圆心的曲线运动，即做“向心运动”。
值得注意的是：物体是做圆周运动还是做离心运动或是向心运动，关键取决于物体沿半径方向的合力和它所需向心力的大小关系。做离心运动或向心运动的物体，其受力情况可能发生变化，其运动情况（如速度大小等）也可能不断发生变化，当某时刻起，物体沿半径方向的合力与其所需的向心力大小相等，则物体改做圆周运动。
【例1】有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400m。
（1）试计算铁轨受到的侧压力？
（2）若要使火车以此速率通过的弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大小。
【解析】（1）外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力，所以有
FN＝m＝N＝105N，
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105N。
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，即
mgtanθ＝m，
由此可得θ＝arctan＝arctan＝5.71°。
【例2】一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力F1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F2，求F1与F2之比。
【解析】汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的大小压力相等，所以由牛顿第二定律可得
G－F1＝
同样，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有
F2－G＝
由题意可知， F1＝G
由以上各式可解得 F1＝G
所以 F1∶F2＝1∶3。
【例3】一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图8－6所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm。
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力。
【解析】（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有 mg＝m
则所求的最小速率为 v0＝＝m/s＝2.24m/s。
（2）在最高点，水所受重力mg的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。
由向心力公式F＝m可知，当v增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v＝3m/s＞v0＝2. 24m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有
FN＋mg＝m
故 FN＝m－mg＝4N。
根据牛顿第三定律，可得水对桶底的压力为4N。
【例4】在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行驶，突然发现前方有一条很宽很长的河，试分析说明他是紧急刹车好还是转弯好？（设汽车转弯时做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。）
【解析】设汽车的质量为m，车轮与地面的动摩擦因数为μ，刹车时汽车的速度为v，刹车距离为s。
若汽车刹车，则有 μmg＝ma，0－v2＝－2as
所以 s＝
若汽车转弯，则有 μmg＝
所以 R＝。
可见R＝2s，司机还是采取刹车较好。
【例5】已知质量为m的飞机以速率v沿半径为r的水平轨道转弯，求机翼的倾角θ和飞机的升力F的大小。
【解析】由飞机重力mg和机翼所受升力F的合力提供转弯的向心力，由图8－7可得mgtanθ=FN=m，解得θ＝arctan。
由F2=(mg)2+FN2，可得飞机的升力
F。
【例6】宇宙飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练，其中图8－8是离心试验器的原理图。可以用此试验研究过荷对人体的影响，测量人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动。现观测到图中的直线AB（线AB与舱底垂直）与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
【解析】人体受力分析如图8－9所示。
在竖直方向 FNsin30°＝mg，
在水平方向 FNcos30°＝mrω2，
由以上两式可得 FN＝2mg。
由牛顿第三定律可知，人对座位的压力是其重力的2倍。
G
F
FN
θ
θ
图8－1
图8-2
v
图8－3
FN
Ff
G
O
O′
R
θ0
图8－4
ω
图8－5
F＝0
F＝mrω2
F＜mrω2
图8－6
F
图8－7
θ
θ
mg
FN
图8－8
A
B
ω
x
mg
y
FN
O
图8－9
【知识要点】
1、火车转弯
设车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯处的半径为r，行驶的火车质量为m，两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ，如图8－1所示。
当火车转弯时所需的向心力F完全由重力G和支持力FN的合力提供时，对火车受力分析可得F＝mgtanθ
又据向心力公式F＝m
由以上两式可得v＝。
显然，在g、h、r、θ一定的条件下，火车转弯时的速率应该是一个确定的值，因此这个速度通常就叫做转弯处的规定速度。
我国铁路转弯速率一般规定为v＝54km/h，即15m/s，铁轨轨距L＝1435mm。由v＝可知，rtanθ为一定值，因为铁路弯曲的曲率半径r是根据地形条件决定的，所以铁路某一弯道处内外轨的倾斜角度θ、内外轨的高度差h也是一个确定的值。
因sinθ＝，如弯道倾斜角θ较小，可得
h＝Lsinθ≈Ltanθ＝。
由于v一定，不难看出h与R成反比，或者说h与R的乘积为一常数：hR＝m2＝33.0m2。如弯道半径R＝330m时，内外轨高度差h约为100mm。
如果火车行驶的速度大于规定速度（v＞），这时仅由重力和支持力的合力提供向心力是不够的，还需要外轨对外侧车轮产生一个指向内侧的弹力以补充向心力的不足。
如果火车行驶的速度小于规定速度（v＜），重力和支持力的合力大于火车所需要的向心力，这时需要内轨向外轨方向挤压内侧车轮，以抵消多余部分使其合力等于向心力。
2、汽车过桥
为研究汽车过桥时对桥的压力，我们可以汽车为研究对象，分析其受力情况和运动情况，根据牛顿运动定律建立运动学方程是解决问题的核心。由此求得桥面对汽车的支持力后，根据牛顿第三定律即可求得桥面对汽车的支持力。
（1）汽车过拱形桥
选汽车为研究对象，汽车通过拱形桥最高点时，在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力，就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为 F＝G－FN。
以a表示汽车沿拱形桥桥面运动的向心加速度，根据牛顿第二定律
F＝ma＝
所以 G－FN＝
由此可得桥面对车的支持力 FN＝G－。
汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对相互作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为 FN′＝G－。
由上式可知，汽车对桥的压力FN′一定小于汽车重量G，两者的差值为。显然，在桥面圆弧半径R一定的情况下，这个差值与汽车过桥速度v的二次方成正比关系。当汽车的速度不断增大时，汽车对桥面的压力不断减小，FN′＝G－＝0，即v＝时，汽车对桥的压力减小为零。这时，汽车以速度v＝开始做平抛运动，而不再沿桥面做圆周运动，如图8－2所示。
（2）汽车过凹形桥
选汽车为研究对象，汽车通过凹形桥最低点时，在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力，就是使汽车做圆周运动的向心力F。鉴于向心加速度的方向是竖直向下的，故合力为 F＝FN－G。
以a表示汽车沿拱形桥桥面运动的向心加速度，根据牛顿第二定律
F＝ma＝
所以 FN－G＝
由此可得桥面对车的支持力 FN＝G＋
汽车对桥的压力FN′与桥对汽车的支持力FN是一对相互作用力和反作用力，大小相等。所以压力的大小为 FN′＝G＋。
由此可以看出，汽车对桥的压力FN′大于汽车的重量G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大。
3、航天器中的失重现象
让我们展开幻想的翅膀，把拱形桥的物理图景推广开去，为讨论航天器中的失重现象做准备。
如地球可看作一巨大的拱形桥，汽车沿南北方向行驶（因地球沿东西方向自转，故汽车沿东西方向运动的讨论较为复杂），不断加速时，根据以上分析可知，地面对它的支持力为
FN＝G－。
对地球表面而言，汽车在任一位置所受重力，均可认为是指向球心，即圆周运动的圆心。显然，当v增大到一定程度时，地面对车的支持力为零，此时v＝，代入数据可得v≈7.9km/s。
这时如设驾驶员与座椅之间的压力为FN1，驾驶员的质量为m1，重力为m1g，因为驾驶员与汽车一起做圆周运动，所以同样有
FN1＝m1g－
因v＝，所以FN1＝0。这说明这时驾驶员与座椅之间的压力为零。
而对驾驶员躯体某一部分，如设其质量为Δm，此时当然有
Δmg＝Δ，
所以躯体各部分之间的压力均为零。
驾驶员处于完全失重状态，就会感到血液冲向头部，出现不同程度的头胀、头晕、头痛和鼻堵等感觉，这是由于失重时，人体内的血液和其他物体一样失去了重量，结果使人体内的流体静压作用消失，它的消失会引起血液和体液头向分布。
此时的“汽车”也就成了现代科技中的航天器在做航天飞行了。近8km/s的速度也不是普通汽车能实现的，替而代之的是火箭、航天飞机等。
而对任何关闭了发动机、又不受阻力的近地飞行器而言，它们都只受重力（万有引力）作用，其加速度均为a＝＝g，对其内部任何一个物体，随飞行器一起运动，其加速度均为g。如设某一物体质量均为m，其它物体对它的作用力为FN，由牛顿第二定律可得
mg－FN＝ma
因a＝g，即得FN＝0。
所以这样的飞行器中都是一个完全失重的环境，其内任何物体除受重力外，均不受任何其它力的作用，即处于完全失重状态。
4、离心现象及其应用
当物体所受外力的合力（或合力沿半径方向的分力）正好提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体做圆周运动。原先做圆周运动的物体，在合力突然消失或不足以提供所需的向心力时，会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
汽车、火车转弯处，为防止离心运动所造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大路面可能提供的向心力。
如在水平公路路面上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，设汽车质量为m，车轮与地面间静摩擦因数为μ（比动摩擦因数略大，一般情况下可认为相等），转弯半径为R，安全转弯速率为v，由牛顿第二定律可得
μmg＝
故 v＝。
显然，汽车转弯速度受到转弯半径R及车轮与地面间的静摩擦因数μ的制约，如雨雪天气，路面较滑，μ较小，则汽车的安全转弯速度与平时相比需更小些。
再如，砂轮、飞轮转速过高时，内部分子间的相互作用力不足以提供所需的向心力，离心运动会使它们破裂，酿成事故。因此，高速转动的砂轮、飞轮等，都不得超过允许的最大转速。
离心运动并非只是带来危害，相反，离心现象在生活、生产和科技中应用很广泛。利用离心运动可制成离心机械，例如离心干燥机、洗衣机的脱水筒、离心转速机、离心制管机及离心沉淀、离心分离机等。在制作水泥涵管时，工人们将制作水泥涵管的钢模固定在离心机上，当钢模随离心机高速旋转时，将搅拌好的水泥送入旋转钢模的空腔中，水泥由于离心现象而贴附在钢模上，凝固后便形成了涵管。无缝钢管也是采用这种离心制管技术生产出来的。
5、圆周运动实例分析方法
（1）选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径，这是解题的基础；
（2）正确分析研究对象的受力情况（切记：向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出），明确向心力来源，这是解题的关键；
（3）根据牛顿运动定律，沿向心加速度方向建立动力学方程。
6、讨论：
（1）自行车转弯
自行车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜程度都受到自行车与地面的静摩擦因数μ的限制，如图8-3所示，为了在转弯处不翻倒，不仅要求有足够的静摩擦力提供质心（质量中心）O做圆周运动所需的向心力，而且要求对质心的合力矩为零。
① 自行车转弯时的最大速度v0
自行车转弯时所需的向心力由地面的静摩擦力提供，且必须满足F向≤Fmax，即
μmg≥
所以最大转弯速度为 v0＝
② 自行车转弯时的临界内倾角θ0
自行车转弯时，在竖直平面内受到重力mg、地面支持力FN和静摩擦力Ff的作用，且相对质心O的合力矩为零。因此，自行车不翻倒的临界条件是FN和Ff的合力作用线通过质心，所以自行车必须内倾，且与竖直方向的临界内倾角为
θ0＝arctan＝arctanμ＝arctan
（2）高速公路上汽车的转弯
通常在水平路面上做圆周运动的汽车，是靠路面对汽车的摩擦来提供向心力的。但是，高速公路上行驶的汽车，速度很大，在转弯时（可视为做圆周运动）不能采取无限增大摩擦力的方式（如使路面粗糙程度增大等）提供向心力，于是，人们想到了“力的分解”――利用汽车所受重力的一个分力，提供一定程度的向心力，从而使车辆顺利转弯，且有效地保护高速路面（过大的摩擦会缩短路面和汽车轮胎的适用寿命）。
为了使汽车自身重力的一个分力充当一定量的向心力（一般地说，并非向心力的全部），常把弯道路面筑成外侧高、内侧低，呈单向横坡的形状。你能作出这种情况下汽车的受力分析图并导出向心力的表达式吗？
（3）为什么“离心沉淀”比“重力沉淀”快？
在试验室、医院里，常用离心分离机将不同密度的物质分离开来。
① 关于“重力沉淀”
设试管中液体的密度为ρ0，内有密度为ρ（ρ＞ρ0）、体积为ΔV的某种物质的微小颗粒，则微小颗粒的重力为G＝ρΔVg，所受液体对其的浮力F＝ρ0ΔVg，不计液体对微粒的粘滞阻力，微粒下沉的加速度为
a＝＝＝（1－）g。
② 关于“离心沉淀”
离心分离机装置如图8－4所示。
当离心分离机带着试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎处于水平位置。如果试管中装有同一种液体，其密度为ρ0，这时试管中与转轴相距为r、体积为ΔV的小液滴绕轴做圆周运动所需的向心力为 F＝ρ0ΔVω2r。
这个向心力肯定是周围的其它液体对该液滴作用的合力。若该处是体积为ΔV、密度为ρ（ρ＞ρ0）的某种物质的微粒，它随离心分离机绕竖直轴高速旋转时，所需的向心力为
F ′＝ρ0ΔVω2r
然而，周围液体对这个小微粒的作用力（指向转动中心）为F＝ρ0ΔVω2r。
由于ρ＞ρ0，所以F ′＞F，即周围液体对微粒指向圆心的作用力小于它所需要的向心力，微粒便做离心运动，向管底“下沉”，沉淀加速度为
a′＝＝（1－）ω2r
③ 重力沉淀加速度与离心沉淀加速度大小的比较
由a＝（1－）g和a′＝（1－）ω2r可知，只要ω2r＞g，即ω＞，离心沉淀就比重力沉淀快。
假设液体中的物质微粒与转动轴r＝0.2m，离心分离机的转速为3000r/min，则ω＝314rad/s，取g＝9.8m/s2，则a′/a＝ω2r/g＝3142×0.2/9.8倍＝2000倍。可见，离心沉淀比重力沉淀快得多。
高速旋转的离心分离机，能将混在一块的密度不相同的固体物质颗粒分开，也是这个道理。
（4）离心运动与向心运动
① 离心运动
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞离的倾向，它之所以没有飞出去，是因为有向心力在持续地拉着它，把它保持在圆周上。在所受的向心力突然消失，或所受指向圆心的合外力小于所需向心力的情况下，物体将沿圆周的切线方向或沿某一曲线飞离圆周，这样就发生了离心现象。所以，发生离心运动的根本原因是“惯性”的存在。
如图8－5所示，当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动；当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心。
注意：物体做离心运动，并非受到“离心力”的作用，事实上，“离心力”根本就不存在，因为无论如何也找不到所谓“离心力”的施力物体。
② 向心运动
如果做匀速圆周运动的物体所受指向圆心的力突然增大，此力大于做圆周运动所需的向心力，则物体就会做靠近圆心的曲线运动，即做“向心运动”。
值得注意的是：物体是做圆周运动还是做离心运动或是向心运动，关键取决于物体沿半径方向的合力和它所需向心力的大小关系。做离心运动或向心运动的物体，其受力情况可能发生变化，其运动情况（如速度大小等）也可能不断发生变化，当某时刻起，物体沿半径方向的合力与其所需的向心力大小相等，则物体改做圆周运动。
【例1】有一列重为100t的火车，以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径400m。
（1）试计算铁轨受到的侧压力？
（2）若要使火车以此速率通过的弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的大小。
【解析】（1）外轨对车轮的侧压力提供火车转弯所需向心力，所以有
FN＝m＝N＝105N，
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105N。
（2）火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，即
mgtanθ＝m，
由此可得θ＝arctan＝arctan＝5.71°。
【例2】一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱桥桥顶时，对桥面的压力F1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F2，求F1与F2之比。
【解析】汽车过圆弧形拱桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的大小压力相等，所以由牛顿第二定律可得
G－F1＝
同样，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有
F2－G＝
由题意可知， F1＝G
由以上各式可解得 F1＝G
所以 F1∶F2＝1∶3。
【例3】一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图8－6所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm。
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
（2）若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力。
【解析】（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。此时有 mg＝m
则所求的最小速率为 v0＝＝m/s＝2.24m/s。
（2）在最高点，水所受重力mg的方向竖直向下，此时水具有向下的向心加速度，处于失重状态，其向心加速度的大小由桶底对水的压力和水的重力决定。
由向心力公式F＝m可知，当v增大时，物体做圆周运动所需的向心力也随之增大，由于v＝3m/s＞v0＝2. 24m/s，因此，当水桶在最高点时，水所受重力已不足以提供水做圆周运动所需的向心力，此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有
FN＋mg＝m
故 FN＝m－mg＝4N。
根据牛顿第三定律，可得水对桶底的压力为4N。
【例4】在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行驶，突然发现前方有一条很宽很长的河，试分析说明他是紧急刹车好还是转弯好？（设汽车转弯时做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。）
【解析】设汽车的质量为m，车轮与地面的动摩擦因数为μ，刹车时汽车的速度为v，刹车距离为s。
若汽车刹车，则有 μmg＝ma，0－v2＝－2as
所以 s＝
若汽车转弯，则有 μmg＝
所以 R＝。
可见R＝2s，司机还是采取刹车较好。
【例5】已知质量为m的飞机以速率v沿半径为r的水平轨道转弯，求机翼的倾角θ和飞机的升力F的大小。
【解析】由飞机重力mg和机翼所受升力F的合力提供转弯的向心力，由图8－7可得mgtanθ=FN=m，解得θ＝arctan。
由F2=(mg)2+FN2，可得飞机的升力
F。
【例6】宇宙飞船中的宇航员需要在航天之前进行多种训练，其中图8－8是离心试验器的原理图。可以用此试验研究过荷对人体的影响，测量人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动。现观测到图中的直线AB（线AB与舱底垂直）与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
【解析】人体受力分析如图8－9所示。
在竖直方向 FNsin30°＝mg，
在水平方向 FNcos30°＝mrω2，
由以上两式可得 FN＝2mg。
由牛顿第三定律可知，人对座位的压力是其重力的2倍。
G
F
FN
θ
θ
图8－1
图8-2
v
图8－3
FN
Ff
G
O
O′
R
θ0
图8－4
ω
图8－5
F＝0
F＝mrω2
F＜mrω2
图8－6
F
图8－7
θ
θ
mg
FN
图8－8
A
B
ω
x
mg
y
FN
O
图8－9