2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面
B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
C．底面是矩形的四棱柱是长方体
D．棱台的侧面都是等腰梯形
4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．0 B．9 C．快 D．乐
5．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）
A．6 B． C． D．12
6．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
7．如图所示，在正方体中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面上的正投影为（ ）
8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．6
9．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（ ）
A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD∥GH D．
10．若圆台两底面周长的比是，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ）
A． B． C．1 D．
11．如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知A、B、C、D四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，
若AB＝6，，AD＝8，则B、C两点间的球面距离是________．
14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
15．下列有关棱柱的说法：
①棱柱的所有的面都是平的；
②棱柱的所有的棱长都相等；
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；
⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．
其中正确的有________．(填序号)
16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)
18．(12分)已知四棱锥，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
19．(12分)如图，在正三棱柱中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC和NC的长．
20．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
（1）该几何体的体积V；
（2）该几何体的侧面积S．
21．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的，即，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．
22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：（1）AD应取多长？（2）容器的容积．
2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（二）答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】D
2．【答案】A
【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作，
其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．
∠DAB＝90°，∴，故选A．
3．【答案】A
【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B不正确；
底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C不正确；
正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D不正确，故选A．
4．【答案】B
5．【答案】D
【解析】为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．故选D．
6．【答案】D
【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．故选D．
7．【答案】A
8．【答案】B
【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为，所以正三角形边长为6，所以，故选B．
9．【答案】C
【解析】
原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．故选C．
10．【答案】D
【解析】设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r2＝4r1，，∴，故选D．
11．【答案】C
【解析】根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又，∴∠ASC＝90°，即．故选C．
12．【答案】A
【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】
如图所示，由条件可知AB⊥BD，AC⊥CD．由此可知AD为该球的直径，设AD的中点为O，则O为球心，连接OB、OC，由AB＝6，AD＝8，，得球的半径OB＝OC＝OA＝OD＝4，，所以球心角∠BOC＝60°，所以B、C两点间的球面距离为．
14．【答案】27π
【解析】若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴．∴S＝4πR2＝27π．
15．【答案】①④⑤
16．【答案】①与④，②与⑥，③与⑤
【解析】将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】见解析．
【解析】直观图如下图所示．
（1）画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
（2）确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．
（3）顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．
18．【答案】．
【解析】由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4．
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，
则体积．
19．【答案】（1）；（2）PC＝2，．
【解析】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为．
（2）
如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，则P1C＝x．在Rt△MAP1中，
在勾股定理得，求得x＝2．∴PC＝P1C＝2．
∵，∴．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．
由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．∴，．
．
（2）．
21．【答案】．
【解析】当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：．
当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，则．
又，此时，
∴，∴，即所求的值为．
22．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则，
由题意得，∴．即AD应取．
（2）∵，∴，
圆台的高．
∴．
2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
【答案】D
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作，
其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．
∠DAB＝90°，∴，故选A．
3．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．存在两条异面直线同时平行于同一个平面
B．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
C．底面是矩形的四棱柱是长方体
D．棱台的侧面都是等腰梯形
【答案】A
【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B不正确；
底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C不正确；
正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D不正确，故选A．
4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）
A．0 B．9 C．快 D．乐
【答案】B
5．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）
A．6 B． C． D．12
【答案】D
【解析】为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．故选D．
6．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．四边形
【答案】D
【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．故选D．
7．如图所示，在正方体中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面上的正投影为（ ）
【答案】A
8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为，所以正三角形边长为6，所以，故选B．
9．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（ ）
A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD∥GH D．
【答案】C
【解析】
原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．故选C．
10．若圆台两底面周长的比是，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r2＝4r1，，∴，故选D．
11．如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴．在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又，∴∠ASC＝90°，即．故选C．
12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知A、B、C、D四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，
若AB＝6，，AD＝8，则B、C两点间的球面距离是________．
【答案】
【解析】
如图所示，由条件可知AB⊥BD，AC⊥CD．由此可知AD为该球的直径，设AD的中点为O，则O为球心，连接OB、OC，由AB＝6，AD＝8，，得球的半径OB＝OC＝OA＝OD＝4，，所以球心角∠BOC＝60°，所以B、C两点间的球面距离为．
14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
【答案】27π
【解析】若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴．∴S＝4πR2＝27π．
15．下列有关棱柱的说法：
①棱柱的所有的面都是平的；
②棱柱的所有的棱长都相等；
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；
⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．
其中正确的有________．(填序号)
【答案】①④⑤
16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．
【答案】①与④，②与⑥，③与⑤
【解析】将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)
【答案】见解析．
【解析】直观图如下图所示．
（1）画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
（2）确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′轴的平行线，过(0,2)，两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．
（3）顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC的直观图O′A′B′C′．
18．(12分)已知四棱锥，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
【答案】．
【解析】由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4．
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，
则体积．
19．(12分)如图，在正三棱柱中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
（2）PC和NC的长．
【答案】（1）；（2）PC＝2，．
【解析】（1）正三棱柱的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为．
（2）
如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，则P1C＝x．在Rt△MAP1中，
在勾股定理得，求得x＝2．∴PC＝P1C＝2．
∵，∴．
20．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
（1）该几何体的体积V；
（2）该几何体的侧面积S．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．
由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC．∴，．
．
（2）．
21．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的，即，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．
【答案】．
【解析】当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：．
当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，则．
又，此时，
∴，∴，即所求h2的值为．
22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：（1）AD应取多长？（2）容器的容积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则，
由题意得，∴．即AD应取．
（2）∵，∴，
圆台的高．
∴．
