2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（ ）
A．圆台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台
2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为（ ）
A．6 B． C． D．12
3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．135
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1
6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．π
8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
10．正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为，高为的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．
15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．
16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长为．求圆锥的母线长．
18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（1）试判断该几何体是什么几何体？
（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
（3）求出该几何体的体积．
19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．
21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为，制造这个塔顶需要多少铁板？
22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′－BC′D的体积．
2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（一）答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D．
2．【答案】D
【解析】△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴．故选D．
3．【答案】A
【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，
则这个菱柱的侧面积为．故选A．
4．【答案】A
【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为，高为，所以圆锥的体积．故选A．
5．【答案】D
【解析】．故选D．
6．【答案】B
【解析】设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O的中点，
于是，因此所求球的表面积是，
故选B．
7．【答案】C
【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S表＝4πr2＝4π．故选C．
8．【答案】C
【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P－ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四边形ABCD为正方形，则，故选C．
9．【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则，∴，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B．
10．【答案】B
【解析】由题意知棱柱的高为，底面正三角形的内切圆的半径为，
∴底面正三角形的边长为，正三棱柱的底面面积为，∴此三棱柱的体积．故选B．
11．【答案】C
【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．
切削掉部分的体积V1＝π×32×6π×22×4π×32×2＝20π(cm3)，
原来毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)．故所求比值为．故选C．
12．【答案】A
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，
球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．
∴球的体积为．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】①②③⑤
【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．
四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件． 三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件． 四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．
圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．
圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件． 故答案为①②③⑤．
14．【答案】
15．【答案】11
【解析】设棱台的高为x，则有，解之，得x＝11．
16．【答案】36＋128π
【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】．
【解析】如图，设圆锥母线长为l，则，所以．
18．【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，；（3）．
【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
（2）该几何体的侧视图如图．
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即，AD是正六棱锥的高，即，所以该平面图形的面积为．
（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则，
所以．
19．【答案】不会，见解析．
【解析】因为，
，134<201，
所以V半球20．【答案】．
【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和的同心圆，故该几何体的体积为．
21．【答案】．
【解析】如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．
在Rt△SOP中，，，所以，
则△SAB的面积是．所以四棱锥的侧面积是，即制造这个塔顶需要铁板．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为．
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为．
（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝．
2018-2019学年必修二第一章训练卷
空间几何体（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为（ ）
A．圆台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．四棱台
【答案】D
【解析】由几何体的三视图可得，该几何体为四棱台．故选D．
2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为（ ）
A．6 B． C． D．12
【答案】D
【解析】△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴．故选D．
3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．135
【答案】A
【解析】由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为，
则这个菱柱的侧面积为．故选A．
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为，高为，所以圆锥的体积．故选A．
5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2＝（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【解析】．故选D．
6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是O1，O，易知球心是线段O1O的中点，
于是，因此所求球的表面积是，
故选B．
7．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）
A．8π B．6π C．4π D．π
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为a，则a3＝8，所以a＝2，而此正方体内的球直径为2，所以S表＝4πr2＝4π．故选C．
8．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P－ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四边形ABCD为正方形，则，故选C．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则，∴，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B．
10．正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知棱柱的高为，底面正三角形的内切圆的半径为，
∴底面正三角形的边长为，正三棱柱的底面面积为，∴此三棱柱的体积．故选B．
11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为，高为的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．
切削掉部分的体积V1＝π×32×6π×22×4π×32×2＝20π(cm3)，
原来毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)．故所求比值为．故选C．
12．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，
球心到截面圆的距离为R－2，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5．
∴球的体积为．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
【答案】①②③⑤
【解析】三棱锥的三视图中含有三角形，∴正视图有可能是三角形，满足条件．
四棱锥的三视图中含有三角形，满足条件． 三棱柱的三视图中含有三角形，满足条件． 四棱柱的三视图中都为四边形，不满足条件．
圆锥的三视图中含有三角形，满足条件．
圆柱的三视图中不含有三角形，不满足条件． 故答案为①②③⑤．
14．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是__________________．
【答案】
15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为__________________．
【答案】11
【解析】设棱台的高为x，则有，解之，得x＝11．
16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是__________________．
【答案】36＋128π
【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长为．求圆锥的母线长．
【答案】．
【解析】如图，设圆锥母线长为l，则，所以．
18．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（1）试判断该几何体是什么几何体？
（2）画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
（3）求出该几何体的体积．
【答案】（1）正六棱锥；（2）见解析，；（3）．
【解析】（1）由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
（2）该几何体的侧视图如图．
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即，AD是正六棱锥的高，即，所以该平面图形的面积为．
（3）设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，则，
所以．
19．(12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
【答案】不会，见解析．
【解析】因为，
，134<201，
所以V半球20．(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．
【答案】．
【解析】由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和的同心圆，故该几何体的体积为．
21．(12分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为，制造这个塔顶需要多少铁板？
【答案】．
【解析】如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．
在Rt△SOP中，，，所以，
则△SAB的面积是．所以四棱锥的侧面积是，即制造这个塔顶需要铁板．
22．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥A′－BC′D的体积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为．
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为．
（2）三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝．
