2018-2019学年必修四第一章训练卷
三角函数（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则角x的终边位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
4．已知，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．±5 D．不确定
5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于（ ）
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
7．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是（ ）
A． B．－ C． D．－
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是（ ）
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
12．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（ ）
A．a
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos＝________．
14．设定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
15．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．
16．给出下列命题：
（1）函数y＝sin|x|不是周期函数；
（2）函数y＝tanx在定义域内为增函数；
（3）函数y＝|cos2x＋|的最小正周期为；
（4）函数y＝4sin，x∈R的一个对称中心为．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知α是第三象限角，．
（1）化简f(α)；
（2）若，求f(α)的值．
18．（12分）已知＝，求下列各式的值．
（1）；
（2）1－4sinθcosθ＋2cos2θ．
19．（12分）已知sinα＋cosα＝．
求：（1）sinα－cosα；（2）sin3α＋cos3α．
20．（12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
21．（12分）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3．
（1）求出此函数的解析式；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin(＋φ)>Asin(＋φ)？若存在，求出m的范围（或值），若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b．
（1）根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
2018-2019学年必修四第一章训练卷
三角函数（二）答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】．故选D．
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
【解析】由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2．故选B．
6．【答案】D
【解析】若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，
∴φ＝kπ＋，(k∈Z)．故选D．
7．【答案】B
【解析】∵，∴tanθ＝3．
∴sinθcosθ＝＝＝．故选B．
8．【答案】C
【解析】函数y＝sinx向右平移个单位长度，y＝sin横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y＝sin．故选C．
9．【答案】A
【解析】将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin＝sin．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)
∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝．故选A．
10．【答案】D
【解析】图A中函数的最大值小于2，故011．【答案】C
【解析】函数y＝cos＝sin，x∈[0,2π]，图象如图所示，直线y＝与该图象有两个交点．故选C．
12．【答案】D
【解析】∵a＝sin＝sin＝sin．－＝－>0．
∴<<．又α∈时，sinα>cosα．∴a＝sin>cos＝b．
又α∈时，sinαsin＝a．∴c>a．∴c>a>b．故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】∵α是第四象限的角且cosα＝．∴sinα＝－＝－，
∴cos＝－sinα＝．
14．【答案】
【解析】由消去y得6cosx＝5tanx．
整理得6cos2x＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0，(3sinx－2)(2sinx＋3)＝0，
所以sinx＝或sinx＝－(舍去)．点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝．
15．【答案】3
【解析】由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝(－)－(－π)＝，∴T＝π．
∵T＝＝π，∴ω＝3．
16．【答案】（1）（4）
【解析】本题考查三角函数的图象与性质．（1）由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；（2）错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；（3）由周期函数的定义，∴不是函数的周期；（4）由于，故根据对称中心的意义可知是函数的一个对称中心，故只有（1）（4）是正确的．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）
．
（2）∵＝＝－sinα＝．∴sinα＝－．
∵α是第三象限角，∴cosα＝－．∴f(α)＝－cosα＝．
18．【答案】（1）1；（2）－．
【解析】由已知＝，∴＝．解得：tanθ＝2．
（1）原式＝＝＝1．
（2）原式
＝－．
19．【答案】（1）±；（2）．
【解析】（1）由sinα＋cosα＝，得2sinαcosα＝－，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，∴sinα－cosα＝±．
（2）sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)
＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，
由（1）知sinαcosα＝－且sinα＋cosα＝，∴sin3α＋cos3α＝×＝．
20．【答案】（1）f(x)＝2sin；（2）见解析．
【解析】（1）由图象知A＝2．f(x)的最小正周期T＝4×＝π，
故ω＝＝2．将点代入f(x)的解析式得sin＝1，又|φ|<，
∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin．
（2）变换过程如下：
y＝2sinx图象向左平移个单位得y＝2sin，又所有点的横坐标缩短为原来的且纵坐标不变得y＝2sin．
21．【答案】（1）y＝3sin；（2）；
（3）存在，见解析．
【解析】（1）由题意得A＝3，T＝5π?T＝10π，∴ω＝＝．∴y＝3sin，
由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin＝3，
∵0≤φ≤，∴φ＝－＝．∴y＝3sin．
（2）当2kπ－≤x＋≤2kπ＋时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，
原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为．
（3）m满足，解得－1≤m≤2．
∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，∴0≤≤2，
同理0≤≤2．由（2）知函数在[－4π，π]上递增，
若有：Asin(＋φ)>Asin(＋φ)，
只需要：>，即m>成立即可，
所以存在m∈(，2]，使Asin(＋φ)>Asin(＋φ)成立．
22．【答案】（1）12，，；（2）上午9∶00至下午3∶00．
【解析】（1）由表中数据知周期T＝12，∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5．
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0．
∴A＝0.5，b＝1，∴．
（2）由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴>1，
∴>0，∴2kπ－∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，
即上午9∶00至下午3∶00．
2018-2019学年必修四第一章训练卷
三角函数（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．故选D．
2．若，则角x的终边位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
【答案】B
4．已知，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．±5 D．不确定
【答案】A
5．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2．故选B．
6．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于（ ）
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【答案】D
【解析】若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，
∴φ＝kπ＋，(k∈Z)．故选D．
7．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴tanθ＝3．
∴sinθcosθ＝＝＝．故选B．
8．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】C
【解析】函数y＝sinx向右平移个单位长度，y＝sin横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y＝sin．故选C．
9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】A
【解析】将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin＝sin．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)
∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝．故选A．
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是（ ）
【答案】D
【解析】图A中函数的最大值小于2，故011．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】函数y＝cos＝sin，x∈[0,2π]，图象如图所示，直线y＝与该图象有两个交点．故选C．
12．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（ ）
A．a【答案】D
【解析】∵a＝sin＝sin＝sin．－＝－>0．
∴<<．又α∈时，sinα>cosα．∴a＝sin>cos＝b．
又α∈时，sinαsin＝a．∴c>a．∴c>a>b．故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos＝________．
【答案】
【解析】∵α是第四象限的角且cosα＝．∴sinα＝－＝－，
∴cos＝－sinα＝．
14．设定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
【答案】
【解析】由消去y得6cosx＝5tanx．
整理得6cos2x＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0，(3sinx－2)(2sinx＋3)＝0，
所以sinx＝或sinx＝－(舍去)．点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝．
15．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．
【答案】3
【解析】由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝(－)－(－π)＝，∴T＝π．
∵T＝＝π，∴ω＝3．
16．给出下列命题：
（1）函数y＝sin|x|不是周期函数；
（2）函数y＝tanx在定义域内为增函数；
（3）函数y＝|cos2x＋|的最小正周期为；
（4）函数y＝4sin，x∈R的一个对称中心为．
其中正确命题的序号是________．
【答案】（1）（4）
【解析】本题考查三角函数的图象与性质．（1）由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；（2）错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；（3）由周期函数的定义，∴不是函数的周期；（4）由于，故根据对称中心的意义可知是函数的一个对称中心，故只有（1）（4）是正确的．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知α是第三象限角，．
（1）化简f(α)；
（2）若，求f(α)的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）
．
（2）∵＝＝－sinα＝．∴sinα＝－．
∵α是第三象限角，∴cosα＝－．∴f(α)＝－cosα＝．
18．（12分）已知＝，求下列各式的值．
（1）；
（2）1－4sinθcosθ＋2cos2θ．
【答案】（1）1；（2）－．
【解析】由已知＝，∴＝．解得：tanθ＝2．
（1）原式＝＝＝1．
（2）原式
＝－．
19．（12分）已知sinα＋cosα＝．
求：（1）sinα－cosα；（2）sin3α＋cos3α．
【答案】（1）±；（2）．
【解析】（1）由sinα＋cosα＝，得2sinαcosα＝－，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，∴sinα－cosα＝±．
（2）sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)
＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，
由（1）知sinαcosα＝－且sinα＋cosα＝，∴sin3α＋cos3α＝×＝．
20．（12分）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
【答案】（1）f(x)＝2sin；（2）见解析．
【解析】（1）由图象知A＝2．f(x)的最小正周期T＝4×＝π，
故ω＝＝2．将点代入f(x)的解析式得sin＝1，又|φ|<，
∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin．
（2）变换过程如下：
y＝2sinx图象向左平移个单位得y＝2sin，又所有点的横坐标缩短为原来的且纵坐标不变得y＝2sin．
21．（12分）函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3．
（1）求出此函数的解析式；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m，满足不等式Asin(＋φ)>Asin(＋φ)？若存在，求出m的范围（或值），若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝3sin；（2）；
（3）存在，见解析．
【解析】（1）由题意得A＝3，T＝5π?T＝10π，∴ω＝＝．∴y＝3sin，
由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin＝3，
∵0≤φ≤，∴φ＝－＝．∴y＝3sin．
（2）当2kπ－≤x＋≤2kπ＋时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，
原函数单调递增．∴原函数的单调递增区间为．
（3）m满足，解得－1≤m≤2．
∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，∴0≤≤2，
同理0≤≤2．由（2）知函数在[－4π，π]上递增，
若有：Asin(＋φ)>Asin(＋φ)，
只需要：>，即m>成立即可，
所以存在m∈(，2]，使Asin(＋φ)>Asin(＋φ)成立．
22．（12分）已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b．
（1）根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【答案】（1）12，，；（2）上午9∶00至下午3∶00．
【解析】（1）由表中数据知周期T＝12，∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5．
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0．
∴A＝0.5，b＝1，∴．
（2）由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴>1，
∴>0，∴2kπ－∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，
即上午9∶00至下午3∶00．
