2018-2019学年必修四第二章训练卷
平面向量（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1．
3．设向量，，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则等于（ ）
A．8 B．6 C． D．
5．已知，，，则向量a与向量b的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且，则向量a在向量b上的投影等于（ ）
A． B．4 C． D．
8．设O，A，M，B为平面上四点，，且，则（ ）
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
9．P是△ABC内的一点，，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
10．在△ABC中，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于（ ）
A． B． C．0 D．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面说法错误的是（ ）
A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量共线，则λ＝________．
14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
15．已知向量a＝(6,2)，，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
16．已知向量，，，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则的最小值为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，以向量，为边作，又，，用a，b表示、、．
18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：（1）(a－2b)·(a＋b)；
（2）|a＋b|；
（3）|3a－4b|．
19．(12分)已知，，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
20．(12分)设，，．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设，，，．
求证：．
2018-2019学年必修四第二章训练卷
平面向量（二）答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】，，，．故选D．
2．【答案】C
【解析】∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，．
∴．故选C．
3．【答案】A
【解析】∵a与b的夹角大于90°，∴，∴，即，∴．故选A．
4．【答案】A
【解析】∵，
∴，∴．
故选A．
5．【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
∴．故选C．
6．【答案】B
【解析】由向量共线定理知①正确；
若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；
在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，
所以③错误；
若，则，所以，所以④正确，
即正确命题序号是①④，所以B选项正确．
7．【答案】A
【解析】向量a在向量b上的投影为．
故选A．
8．【答案】B
【解析】∵，∴，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B．
9．【答案】C
【解析】设△ABC边BC的中点为D，则．
∵，∴，∴．∴．
故选C．
10．【答案】B
【解析】，
故有．故选B．
11．【答案】B
【解析】由已知得，将等式两边平方得，化简得．同理由两边平方得a·b＝0，∴．
故选B．
12．【答案】B
【解析】若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．
由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．
对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．【答案】2
【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴．
∵向量λa＋b与向量共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2．
14．【答案】7
【解析】
∵．
∴|5a－b|＝7．
15．【答案】
【解析】设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，
有，整理化简得．
16．【答案】
【解析】设，
故有，
故当t＝2时，取得最小值．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．【答案】，，．
【解析】．
∴．
又．，
∴．
18．【答案】（1）12；（2）；（3）．
【解析】（1）．
(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．
（2）∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12．
∴．
（3）|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴．
19．【答案】．
【解析】由题意有，．
∵，∴．
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0．化简得．
∴．即时，有最小值为．
20．【答案】存在，M点的坐标为(2,1)或．
【解析】设，t∈[0,1]，则，
即M(6t,3t)．，
．若MA⊥MB，
则．即45t2－48t＋11＝0，或．∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或．
21．【答案】．
【解析】由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0．
整理得：．(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1，
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0．解得：．
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
对比系数得，∴，
∴所求实数t的取值范围是．
22．【答案】见解析．
【解析】
证明 如右图所示，
∵，∴．
∴．．
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得．∴，
∴．
∵a与b不共线，∴，由①②消去λ得：．
2018-2019学年必修四第二章训练卷
平面向量（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，．故选D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0
D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1．
【答案】C
【解析】∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，．
∴．故选C．
3．设向量，，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵a与b的夹角大于90°，∴，∴，即，∴．故选A．
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则等于（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，∴．
故选A．
5．已知，，，则向量a与向量b的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
∴．故选C．
6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：
①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；
②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】由向量共线定理知①正确；
若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；
在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，
所以③错误；
若，则，所以，所以④正确，
即正确命题序号是①④，所以B选项正确．
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且，则向量a在向量b上的投影等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】向量a在向量b上的投影为．
故选A．
8．设O，A，M，B为平面上四点，，且，则（ ）
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
【答案】B
【解析】∵，∴，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B．
9．P是△ABC内的一点，，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】C
【解析】设△ABC边BC的中点为D，则．
∵，∴，∴．∴．
故选C．
10．在△ABC中，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】，
故有．故选B．
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由已知得，将等式两边平方得，化简得．同理由两边平方得a·b＝0，∴．
故选B．
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面说法错误的是（ ）
A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
【答案】B
【解析】若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．
由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．
对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．
对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量共线，则λ＝________．
【答案】2
【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴．
∵向量λa＋b与向量共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2．
14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．
【答案】7
【解析】
∵．
∴|5a－b|＝7．
15．已知向量a＝(6,2)，，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，
有，整理化简得．
16．已知向量，，，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则的最小值为________．
【答案】
【解析】设，
故有，
故当t＝2时，取得最小值．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，以向量，为边作，又，，用a，b表示、、．
【答案】，，．
【解析】．
∴．
又．，
∴．
18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：（1）(a－2b)·(a＋b)；
（2）|a＋b|；
（3）|3a－4b|．
【答案】（1）12；（2）；（3）．
【解析】（1）．
(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．
（2）∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12．
∴．
（3）|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴．
19．(12分)已知，，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
【答案】．
【解析】由题意有，．
∵，∴．
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0．化简得．
∴．即时，有最小值为．
20．(12分)设，，．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，M点的坐标为(2,1)或．
【解析】设，t∈[0,1]，则，
即M(6t,3t)．，
．若MA⊥MB，
则．即45t2－48t＋11＝0，或．∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或．
21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】．
【解析】由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0．
整理得：．(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1，
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0．解得：．
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
对比系数得，∴，
∴所求实数t的取值范围是．
22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设，，，．
求证：．
【答案】见解析．
【解析】
证明 如右图所示，
∵，∴．
∴．．
又P、G、Q三点共线，
所以存在一个实数λ，使得．∴，
∴．
∵a与b不共线，∴，由①②消去λ得：．
