课题：选修（2-2）2.3数学归纳法
三维目标：
1、知识与技能
（1）通过实例及合作探究，了解数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原理与实质；
（2）掌握数学归纳法证明问题的两个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然数有关的简单命题；
（3）通过数学归纳法进一步反思归纳法的思想，并理解数学归纳法的核心—递推思想。
2、过程与方法
（1）通过实例，认识到不完全归纳法的不足，感受到学习数学归纳法的必要；
（2）通过合作，经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理及归纳概括的能力，体会数学思想方法的广泛性，感受数学的博大与精深；
（3）通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基础。
3、情感态度与价值观
（1）引导学生通过论证相关问题，总结数学归纳法的思想方法，体会数学推理方法的思想和本质，培养学生求真务实的科学态度和积极进取的创新精神，培养学生辩证唯物主义观点，提高学生的思维推理能力。
(2) 通过学习数学归纳法的证明方法，让学生拥有实事求是的态度和严密的逻辑性。让学生不断认识和体会数学知识的深刻内涵和应用价值，从而激发学生学习数学的兴趣；
（3）通过引领学生利用数学归纳法论证各类数学问题。不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学意识和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神，并通过学科教学逐步引导学生形成正确的人生观和价值观。
教学重点：
数学归纳法的原理及步骤
教学难点：
数学归纳法中递推思想的理解
教 具：多媒体
教学方法：合作探究、分层推进教学法
教学过程：
复习回顾，引入新课：
从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字“万百千”，写名字结果可想而知。”
让学生通过故事分析出合情推理得到的结论是不可靠的。
再回顾一下课本上推出等差数列的通项公式的过程：
……
由此可得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：
用的也是不完全归纳法，没给出证明。
二、 创设情境 合作探究 ：
【创设情景】
同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏，
（播放多米诺骨牌录像）
大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺
骨牌就都能倒下：
(1) 第 块骨牌倒下；
(2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一
定导致 倒下。
只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定
可以 倒下．
【合作探究】
你认为证明数列的通项公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米诺骨牌游戏原理
通项公式?的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。
（1）当n= 时， = ，猜想成立
（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。
（2）论证：若当n=k时猜想成立，即 ?，则当n= 时猜想 成立，即 。??
根据（1）和? （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。
由此，尝试着归纳出这种方法的原理及步骤：
【数学归纳法的原理及步骤】
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法
有了此法，以前的一些猜想就可进行证明了。比如我们前面曾经遇到的一个问题：
已知数列的第1项a1=1，且 ，
试归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明。
【分析】可先计算，，的值，猜测出通项的公式, 然后用数学归纳法证明
【证明】
证明：（1）当时，由已知知：猜想成立。
（2）假设当
那么，， 所以，当n=k+1时，猜想也成立。
综合（1）、（2），所以猜想对于成立。
【点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。由此题可看出，若知道了递推关系，用数学归纳法证明是很简洁的……
三、典例示范 加深理解：
例用数学归纳法证明（）
【分析】证明与自然数n有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字。
【证明】(1）当n=1时,左=12=1，右边=∴n=1时，等式成立
(2) 假设n=k（k∈N*） 时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左边=
=12+22+…+k2+(k+1)2
=右边
∴n=k+1时，原不等式也成立 由1、2知当n∈N*时，原不等式都成立
【点评】此类问题，有的不用数学归纳法也可证出，但不能只是第一步用数学归纳法，第二步就不用了，也就是说不用假设……
变式巩固
用数学归纳法证明： ，
【点评】再看一下证明步骤结构图：
命题对所有从n0开始的正整数n都成立。
当堂检测 巩固所学：
用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，
⑴ 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 1＋2＋3 (D) 1＋2＋3＋…＋2·1 ⑵ 当n＝k＋1时，左端应在n＝k时的左端加上___________。
五、思悟小结：
基本知识：
（1）数学归纳法的原理与实质；
（2）数学归纳法的步骤；
（3）数学归纳法中的递推的内涵。
思想方法：
（1）数学归纳法；
（2）递推的思想方法。
题目类型：
（1）利用数学归纳法证明与自然数n有关的等式问题；
（2）利用数学归纳法证明关于数列的公式（通项、前n项和）；
六、布置作业：
课本96页A组1、2.
课件19张PPT。2.3 数学归纳法从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字“万百千”，写名字结果可想而知。” "万百千"的笑话解：证明求出数列前4项,你能得到什么猜想？回顾再回顾一下课本上推导等差数列通项公式的过程：回顾如何证明？ 讨论：多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌 全部倒下的条件是什么？ （1）、第一块骨牌倒下（2）、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下
一定导致后一块倒下。只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。 多米诺骨牌 数学命题证明目标 每片骨牌倒下要求 （1）第一片要倒下
（2）若前片倒下，
则后片也倒下结论 由（1）（2）知
游戏成功 神奇的对比 每个n值都成立 （1） n =n0时要成立
（2）若n=k时成立
则n=k+1时也成立 由（1）（2）知
命题成立多米诺骨牌游戏的原理（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和 （2），
可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。已知数列一般地，证明一个与正整数n有关的命题，
可按下列步骤进行：(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立, 证明
当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都正确．
————这种证明方法叫做数学归纳法．归纳奠基归纳递推新知根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.证明：归纳奠基归纳假设凑结论注意：
两个步骤一结论，
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。数学归纳法的常见应用：（1）证明等式（2）证明不等式（3）证明整除性（4）证明几何问题典型例题实战演练上述证明过程符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？即n=k+1时，命题成立。
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立。思考：下面是某同学用数学归纳法证明:当 时第二步证明中没有用到归纳假设，这不是数学归纳法。则当n=k+1时成立的过程。数学归纳法步骤归纳奠基归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可总结提升练习巩固B(2k+1)+(2k+2)布置作业课本：P96 A组 1，2 再见!
