《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计
教学目标：（1）知识技能目标：探究平面与平面垂直的性质定理的内容及定理的证明，掌握面面垂直的性质定理的应用。
（2）过程与方法目标：通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
（3）情感、态度、价值观目标：通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力，在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念；培养学生勇于探索，敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，实现自我价值，培养自信。
重点、难点分析：
教学重点：平面与平面垂直的性质定理。
教学难点：灵活应用面面垂直的性质定理证明线线垂直和面面垂直，达到三者的相互转化。
教法和学法分析：
1．充分利用现实情景，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼地展示图形，强调学生的动手操作实验和主动参与。通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促自主探究。
2．教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择。
课堂设计
（一）教学准备： 师： 制作上课用的三角行折叠纸张；准备学生用的表示平面的纸板；搜集世界十大高楼视频 【设计意图】：（1）为教学过程作准备（2）让学生更直观、形象地感受线面关系。激发学生学习几何的兴趣 （二）教学实施 活动一：（新课导入） 学生齐声朗读：本节课的三维目标、重点及难点
欣赏视频“世界十大高楼”
师：这巧夺天工的建筑让人叹为观止。它需要美术学、建筑学及物理学等方面的知识，几何更是不可或缺！本节课我们学习平面与平面垂直的性质。（引出课题）
【设计意图】：让学生欣赏世界十大高楼，在建筑中感受几何的美，几何的学习本就抽象，学生没有思路，这样与生活贴近，能激发起学生学习几何的兴趣。
师：生活中面面垂直的例子无处不在，你能举几个例子吗？
生：墙角、黑板和地面等
师：引导学生观察翻书的过程，开门的过程、操场中的面面垂直等
活动二：（探究新知）
师：在垂直的两个平面中，直线与直线有什么样的位置关系？直线和平面呢？
生：直线与直线可能平行、相交、异面，没有特定的关系
师：类比：面面平行→线面平行，面面垂直→线面垂直？
生：（通过观察PPT）其中一个平面内的直线垂直于交线
【设计意图】：通过问题导入，让学生思考、探索 ，实验验证得出猜想；学生的空间想象力和对几何图形的记忆是发展学生空间观念的重要基础。建立数学模型。
师：这就是我们这节课要学习的定理：平面与平面垂直的性质定理：（展示定理）
平面与平面垂直的性质定理：
简记：
符号语言：
图形：
师：公理不需要证明，定理是需要证明的，如何证明这个定理是证明的呢？
定理证明：
师：分析：在 内作 ． 要证 ，只需证 垂直于 内的两条相交直线就行，而我们已经有 ，只需寻求另一条就够了，而我们还有 这个条件没使用，由 定义，则 为直角，即有 ，也就有 ，问题也就得到解决．可由学生写出证明过程．
生：展示自己的过程
另一生问：为什么不能直接作BE垂直于AB?
又一生答：若直接作BE垂直于AB，E点不一定落在平面内，需要证明的。
师：（微笑）此处是难点，再强调一遍证法
【设计意图】：平面与平面垂直的性质的证明，是本节课的重点和难点，从学生已有的认知线面垂直的判断出发，引导学生做辅助线完成证明，在学生的课前作业中有学生直接作BE垂直于AB，引导学生理解如何作线线垂直。
课堂自测：
1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么 ( )
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
2.平面α⊥平面β,直线l?α,直线m?β,则直线l,m的位置关系是
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 ( )
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
【设计意图】：使学生进一步体会面面垂直的性质定理。
活动三：（总结提升）
1、平面与平面垂直的定理：
2、这个定理有什么用？
3、在运用面面垂直的性质定理时，应具备什么条件？
4、到现在为止，我们学了多少种证明线面垂直的方法？
【设计意图】：使学生进一步体会性质定理的条件，进一步掌握符号语言的运用，总结出证明线面垂直的4种证法，整个线面关系的归纳
活动四：（例题精讲）
例1 已知：α∩β＝ a ，α⊥γ，β⊥γ． 求证： a ⊥γ．
师：分析几何证明需要“由已知想性质，由结论想判定”，面面垂直的性质需要线线垂直，已知中没有线线垂直时，强调应作辅助线。
生：展示法一
生：又一学生展示法二
师：同学们用不同方法解决问题，很好。
【设计意图】：运用所学知识解决问题，分析几何证明需要“由已知想性质，由结论想判定”，面面垂直的性质需要线线垂直，已知中没有线线垂直时，强调应作辅助线。激发学生兴趣，使学生学会主动运用所学知识解决问题
【变式训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD.求证:AD⊥平面PCD.
例2 【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.证明:平面ADB⊥平面BDC.
变式1.(改变问法)若本例条件不变,试证明平面ADB⊥平面ADC.
变式2.(变换条件,改变问法)若将本例增加一个条件“折叠后△ABC为边长等于2的等边三角形”,求二面角A-BC-D的平面角的余弦角.
师：折叠问题是今年高考热点题型，（拿出准备好的三角形
模板，引导学生），在折叠过程中，观察哪些量变哪些量不变
生：与轴相连的边的夹角不变长度不变，BDC角大小改变，BC长度改变
师：同学们讨论5分钟，
生：然展示讲解
师：归纳总结
【设计意图】：折叠问题是今年高考热点题型，运用所学知识解决问题，激发学生兴趣，使学生学会主动运用所学知识解决问题
活动五：（课堂小结）：
知识方面：平面与平面垂直的性质定理。
方法方面：1、通过“直观感知、操作确认，推理证明”，掌握平面与平面垂直的性质定理的推理论证。2、已知中只有面面垂直，如果用面面垂直的性质定理，应作辅助线，折叠问题中的“变与不变”。
思想方面：1、品味几何来源于生活、应用于生活的学科特征，
2、体会学习几何是有用的，培养学以致用的意识；
【设计意图】：让学生通过这堂课的学习过程经历，给出相应的知识方面、方法方面、思想方面的总结。
六：巩固练习
1、 (2014·辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG.
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
附:锥体的体积公式V= Sh, 其中S为底面面积,h为高.
变式1.(改变问法)典例中条件不变,证明:平面BCG⊥平面ACD
变式2.(变换条件)典例中的条件∠ABC=∠DBC=120°改为∠ABC=∠DBC=
90°,结论有什么变化?
2. (2016年浙江)如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：BF⊥平面ACFD；
七、课后作业：课本P73习题2.3
课件31张PPT。平面与平面垂直的性质高中数学人教A版必修2点、直线、平面之间的位置关系学习三维目标知识与技能：
（1）掌握平面与平面垂直的性质定理；
（2）运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
过程与方法：
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）平面与平面垂直的性质定理的推理论证。
情态与价值：
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。1、重点：平面与平面垂直的性质定理的证明；平面与平面垂直的性质定理的应用
2、难点：平面与平面垂直的性质定理的灵活应用 重点难点 建筑之美在于其人文思想的表达和结构特质。而其结构需要材料和几何来实现。几何之美则是来自自然之美。
几何直线表现为刚直，而曲线则表达柔顺、自然之美。
这巧夺天工的建筑让人叹为观止。它需要美术学、建筑学及物理学等方面的知识，几何更是不可或缺！本节课我们学习平面与平面垂直的性质。新课导入欣赏：世界十大著名建筑新课导入 （一）、生活中面面垂直的例子无处不在 门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位置关系．新课导入 墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置关系．新课导入lll探究新知类比：面面平行→线面平行， 面面垂直→线面垂直？
在垂直的两个平面中，直线与直线有什么样的位置关系？直线和平面呢？面面垂直性质定理判定定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记：面面垂直，则线面垂直
符号语言：
图形：
探究新知证明：过B在平面β内作BE⊥CD，探究新知面面垂直性质定理的证明两个面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个面。1）这个性质定理有什么用？3）那么到现在为止，我们学了证明线面垂直的方法有多少种？2）在运用这个面面垂直的性质定理时，应具备什么条件？探究新知线线垂直面面垂直线面垂直总结提升1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么 ( )
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
【解析】选C.直线a与直线b均不一定为两面的交线.2.平面α⊥平面β,直线l?α,直线m?β,则直线l,m的位置关系是 .
【解析】根据题意,知l,m可能相交、平行或异面。答案:相交、平行或异面
课堂自测3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 ( )
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
【解析】选D.由题意知,α与γ可能平行,也可能相交.如图,α与δ平行,α与γ相交.课堂自测例1 已知：α∩β＝ a ，α⊥γ，β⊥γ． 求证： a ⊥γ．分析：“从已知想性质，从求证想判定”这是证明几何问题的基本思维方法．(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
(2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想
如何找γ的垂线；例题精讲类型一平面与平面垂直的性质的应用(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
nm证明：设例题精讲类型一 平面与平面垂直的性质的应用(2)证明直线a与γ的垂线平行，
从而进一步想如何找γ的垂线；证明：nm例题精讲类型一平面与平面垂直的性质的应用【方法技巧】
应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要作辅助线【变式训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD.求证:AD⊥平面PCD.【证明】在矩形ABCD中,AD⊥CD,因为平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD∩平面ABCD=CD,AD?平面ABCD,所以AD⊥平面PCD.变式训练类型一 平面与平面垂直的性质的应用【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
证明:平面ADB⊥平面BDC.例题精讲类型二 折叠问题【解题探究】本例中折叠前后AD与BD,DC的垂直关系是否改变?
提示:不变.AD⊥BD,AD⊥DC仍然成立.
【证明】因为折起前AD是BC边上的高,
所以当△ABD折起后AD⊥DC,AD⊥DB,
又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,
又AD?平面ADB,所以平面ADB⊥平面BDC.
例题精讲类型二 折叠问题【延伸探究】
1.(改变问法)若本例条件不变,试证明平面ADB⊥平面ADC.变式训练类型二 折叠问题2.(变换条件,改变问法)若将本例增加一个条件“折叠后△ABC为边长等于2的等边三角形”,求二面角A-BC-D的平面角的余弦角.变式训练【方法技巧】折叠问题中的“变”与“不变”类型二 折叠问题变式训练类型二 折叠问题线线垂直线面垂直面面垂直线线平行面面平行一、知识上平面与平面垂直的性质定理面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简述为：面面垂直线面垂直二、方法上1、通过“直观感知、操作确认，推理证明”，掌握平面与平面垂直的性质定理的推理论证。
2、已知中只有面面垂直，如果用面面垂直的性质定理，应作辅助线，折叠问题中的“变与不变”。课堂小结三、思想上1、品味几何来源于生活、应用于生活的学科特征，
2、体会学习几何是有用的，培养学以致用的意识；
课堂小结课后作业 在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。
—— 华罗庚 导 师 寄 语临淄中学 张小伟Thanks. 祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
位于两平行平面之间的两个几何体，若被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理评测练习
课堂自测：
1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么 ( )
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.过a的平面必垂直于过b的平面
2.平面α⊥平面β,直线l?α,直线m?β,则直线l,m的位置关系是
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 ( )
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能巩固练习：
1、 (2014·辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG.
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
附:锥体的体积公式V= Sh, 其中S为底面面积,h为高.
变式1.(改变问法)典例中条件不变,证明:平面BCG⊥平面ACD
变式2.(变换条件)典例中的条件∠ABC=∠DBC=120°改为∠ABC=∠DBC=
90°,结论有什么变化?
2. (2016年浙江)如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：BF⊥平面ACFD；
