第一章 常用逻辑用语
1.4 全称量词与存在量词
一、选择题
1.下列命题是特称命题的是
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
【答案】D
【解析】选项D中含有存在量词“存在”,所以根据特称命题的定义知选D.
2.下列命题中,是真命题且是全称命题的是
A.对任意的,都有
B.菱形的两条对角线相等
C.
D.对数函数在定义域上是单调函数
【答案】D
3.命题“”的否定是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】“全称命题”的否定一定是“特称命题”,命题“”的否定是,故选B.
4.有四个关于三角函数的命题:
或;
;
;
.
其中真命题是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】或,为假命题;
为真命题;
为真命题,为假命题;
为真命题.故选D.
5.下列命题正确的是
A.?x0∈R,+2x0+3=0 B.?x∈N,x3>x2
C.x>1是x2>1的充分不必要条件 D.若a>b,则a2>b2
【答案】C
6.已知命题;命题,则下列判断正确的是
A.是假命题 B.是假命题
C.是真命题 D.是真命题
【答案】D
【解析】命题是假命题;命题是真命题,因此是真命题,为假命题,是假命题,是真命题,故选D.
二、填空题
7.命题“,使得”是______命题.(选填“真”或“假”)
【答案】真
【解析】由题可知:令x=0,则符合题意.故原命题是真命题.
8.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________.
【答案】过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内
【解析】原命题为全称命题,其否定为特称命题.
9.若命题“,使得”是假命题,则实数的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】由题设可知:“,都有恒成立”,所以,即,也即,所以.
【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与特称命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是特称命题”、“特称命题的否定是全称命题”这一事实,先搞清所给的命题是全称命题还是特称命题,然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答本题时,先将问题合理转化为:“,都有恒成立”是真命题,进而获解.常常会和命题四种形式中“否命题”混淆,从而造成解答上的错误.
10.下列特称命题是真命题的序号是__________________.
①有些不相似的三角形面积相等;
②存在一实数,使;
③存在实数,使函数的值随x的增大而增大;
④有一个实数的倒数是它本身.
【答案】①③④
【解析】①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意,所以不存在实数,使,故②为假命题;③中当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④.
三、解答题
11.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)三角形的内角和为180°;
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)存在一个四边形不是平行四边形.
12.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1)对任意实数x,都有x2+3>0;
(2)每一个指数函数都是增函数;
(3)存在一个实数x,使得x2+2x+2=0;
(4)棱锥的底面多边形中有正多边形.
【解析】(1)是全称命题.当x∈R时,x2≥0,则x2+3>0,故该全称命题是真命题.
(2)是全称命题.对于指数函数y=()x,它是减函数,故该全称命题是假命题.
(3)是特称命题.对于方程x2+2x+2=0,Δ=22-4×1×2=-4<0,即方程x2+2x+2=0没有实数根,因此该特称命题是假命题.
(4)命题用量词表示为:存在一些棱锥,它们的底面多边形是正多边形,是特称命题.显然能找到一类棱锥,即正棱锥,它们的底面多边形是正多边形,故该特称命题是真命题.
13.已知为真命题,为真命题,求实数m的取值范围.
【解析】由为真命题,即为假命题,由 .
又不恒成立,∴.
又对为真命题,即不等式恒成立,
∴,即,
故m的取值范围是.
14.已知,命题,,命题,.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题“”为真命题,命题“”为假命题,求实数的取值范围.
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,,
命题q为真命题时,,解得或.
因为命题“”为真命题,命题“”为假命题,所以命题p与q一真一假,
当命题p为真,命题q为假时,;
当命题p为假,命题q为真时,.
综上,实数的取值范围为或.