1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
知识内容
探究小车速度随时间变化的规律
考试属性
√
课时要求
1.知道实验目的，说出实验中各器材的作用，并进行实验操作.
2.会近似计算各计数点的瞬时速度及加速度.
3.会利用v－t图象处理实验数据，能据此判断小车速度随时间变化的特点.
一、实验原理
1.利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点为中间时刻取一小段位移，用这段位移的平均速度表示这点的瞬时速度.
2.用v－t图象表示小车的运动情况：以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系，用描点法画出小车的v－t图象，图线的倾斜程度表示加速度的大小，如果v－t图象是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的.
二、实验器材
打点计时器、交流电源、纸带、一端附有定滑轮的长木板、小车、细绳、钩码、刻度尺、坐标纸、复写纸.
三、实验步骤
1.如图1所示，把一端附有定滑轮的长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，打点计时器固定在长木板没有滑轮的一端，连接好电路.
图1
2.把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下面挂上适当的钩码，把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端连在小车的后面.
3.把小车停在靠近打点计时器的位置，先接通电源，后释放小车(填“接通电源”或“释放小车”)，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一行小点，随后立即关闭电源.
4.换上新纸带，重复操作两次.
四、数据处理
1.采集数据
如图2所示，一般不是直接测量相邻两个计数点间的距离，而是先测量出各个计数点到计时零点的距离x1、x2、x3、x4、x5，再计算出相邻的两个计数点的距离.Δx1＝x1，Δx2＝x2－x1，Δx3＝x3－x2，Δx4＝x4－x3，Δx5＝x5－x4.
图2
2.求解速度
(1)各计数点对应的瞬时速度用平均速度来代替，即v1＝，v2＝，…
T为相邻两个计数点间的时间间隔，若交流电源频率为50 Hz，每5个点取一个计数点(中间隔4个点)，则T＝0.1 s.
(2)设计表格并记录相关数据
位置编号
1
2
3
4
5
6
7
时刻t/s
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
v/(m·s－1)
3.作出小车运动的v－t图象
(1)定标度：坐标轴的标度选取要合理，应使图象大致布满坐标纸.
(2)描点：在坐标纸上描出各个坐标点的位置.
(3)连线：用一条平滑的曲线或直线“拟合”这些点.
4.分析数据并求出加速度
(1)如果画出的v－t图象是一条倾斜的直线，说明小车做速度均匀变化的直线运动.图象和纵轴的交点表示开始计时时小车的速度——初速度.
(2)求出小车的加速度
在v－t图象上任意取两个间隔较远的点(这两个点不一定是我们表格中已测得的点)，找出它们的坐标值，然后把它们的坐标值代入公式a＝中求出加速度，即用图线的斜率求加速度.
五、注意事项
1.开始释放小车时，应使小车靠近(填“靠近”或“远离”)打点计时器.
2.先接通电源，等打点稳定后，再释放小车(填“接通电源”或“释放小车”).
3.选取一条点迹清晰的纸带，舍掉开头点迹密集部分，选取适当的计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少.
4.在坐标纸上画v－t图象时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图象大致布满坐标纸.
一、实验器材和操作
例1 某同学按图3所示装置做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验.
图3
(1)图中仪器A叫做________计时器，使用220 V________电源(选填“交流”或“直流”)，释放小车前，小车应停在________(填“靠近”或“远离”)仪器A的位置.
(2)使用打点计时器来分析小车运动情况的实验中，有以下基本步骤：
A.松开纸带让小车带着纸带运动
B.穿好纸带
C.把计时器固定好
D.接通电源，进行打点
以上步骤的正确顺序是________.
答案 (1)电火花 交流 靠近 (2)CBDA
解析 (1)题图中仪器A叫做电火花计时器，使用220 V交流电源，实验过程中，放开小车前，小车要靠近打点计时器；
(2)使用打点计时器来分析小车运动情况的实验中，基本步骤为：先把计时器固定好，穿好纸带，再接通电源，进行打点，之后松开纸带让小车带着纸带运动，故正确的顺序是CBDA.
二、实验数据处理
例2 在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，如图4所示为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E为相邻的计数点(A点为第一个点)，相邻计数点间的时间间隔T＝0.1 s.
图4
(1)根据________计算各点的瞬时速度，则vD＝______m/s，vC＝________m/s，vB＝________m/s.
(2)在如图5所示坐标系中画出小车的v－t图线，并根据图线求出a＝________.
图5
(3)将图线延长与纵轴相交，交点的速度的物理意义：__________________________________
________________________________________________________________________.
答案 (1)某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度 3.90 2.64 1.38
(2)见解析图 12.6 m/s2
(3)表示零时刻小车经过A点的速度大小
解析 (1)若时间较短，则这段时间内的平均速度可以代替中间时刻的瞬时速度.
D点的瞬时速度
vD＝＝＝390 cm/s＝3.90 m/s
C点的瞬时速度
vC＝＝＝264 cm/s＝2.64 m/s
B点的瞬时速度
vB＝＝＝138 cm/s＝1.38 m/s
(2)由上述数据画出小车的v－t图象如图所示，由图线的斜率可求得它的加速度a＝＝＝12.6 m/s2
(3)将图线延长后，与纵轴的交点的速度表示零时刻小车经过A点的速度大小.
1.处理纸带时，一定要分清计时点和计数点，搞清计数点之间的时间间隔T.
2.利用极限思想将平均值过渡到瞬时值是物理学中常用的方法.纸带上某点的瞬时速度等于该点前、后相邻两点间的平均速度.
3.标度的选择要结合数据及其分布特点制定，以使图象在坐标系中合理分布，大小适中.
1.(实验器材和操作)在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，下列说法正确的是( )
A.小车在钩码的牵引下运动时只需打一条纸带，然后进行数据处理
B.为使测量更为严谨，应把打下的第一个点作为第一个测量点
C.为了便于测量，应舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点当作计时起点
D.两相邻计数点间的时间间隔必须是0.1 s
答案 C
解析 小车在钩码的牵引下运动时，需要采用多次测量，打出多条纸带，进行数据处理，有利于减小误差，故A错误；纸带上开始时打的点比较密集，点距过小，测量误差较大，故应舍去，找一个适当的点当作计时起点，故B错误，C正确；选取计数点，可增加测量距离，减小测量过程所产生的误差，两相邻计数点间的时间间隔不一定取0.1 s，故D错误.
2.(实验器材和操作)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，某同学进行了以下实验操作步骤，试找出其中错误和遗漏的步骤(遗漏步骤已编上序号G).
A.拉住小车，将小车移到靠近打点计时器的一端后，放开小车，再接通电源
B.将打点计时器固定在长木板无滑轮的一端，并接好电路
C.把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的钩码
D.取下纸带，再断开电源
E.将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔
F.从所打的纸带中选取理想的纸带进行测量分析
错误和遗漏：
①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________；
③G.________________________________________________________________________；
正确的步骤顺序为________________________.
答案 ①A中应先接通电源，再放开小车 ②D中应先断开电源，再取下纸带 ③换上新纸带，重复操作两次 BECADGF
3.(实验数据的处理)在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，下列说法不正确的是( )
A.纸带上可以每隔任意相同数量的点选取一个计数点
B.使用刻度尺测量长度时，要进行估读
C.作v－t图象时，所描曲线必须经过每一个点
D.在数据处理时，常用公式法和图象法
答案 C
解析 实验中可以每隔任意相同数量的点选取一个计数点，A对；使用刻度尺测量长度时，要进行估读，B对；作v－t图象时，应使尽量多的点落在线上，离线较远的点舍弃，C错；处理数据时，常选择公式法和图象法，D对.
4.(实验数据的处理)在“探究小车加速度随时间变化的规律”中，算出各计数点的瞬时速度如下表：
计数点序号
1
2
3
4
5
6
计数点对应的时刻t/s
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
小车的瞬时速度v/(cm·s－1)
44.0
62.0
81.0
100.0
110.0
168.0
为了算出小车的加速度，最好的方法是( )
A.根据任意两个计数点的速度，用公式a＝算出加速度
B.依次算出连续两个计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度
C.根据实验数据画出v－t图象，量出其倾角α，由公式a＝tan α算出加速度
D.根据实验数据画出v－t图象，由图象上任意两点所对应的速度，用公式a＝算出加速度
答案 D
解析 根据任意两个计数点的速度，用公式a＝算出加速度，偶然误差较大.依次算出连续两个计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度，实际上只用到了首尾两个计数点的速度数据，中间各点的速度数据在计算中因相互抵消而丢失了，偶然误差也较大.用图象法处理实验数据是减小偶然误差的最好方法，但不能量角度算正切值求加速度，因为纵轴与横轴的标度不统一.故正确答案为D.
5.(实验数据的处理)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点周期为0.02 s的计时器记录小车运动的纸带如图6所示，在纸带上选择0、1、2、3、4、5共6个计数点，相邻两计数点之间还有四个点未画出，纸带旁并排放着带有最小分度为毫米的刻度尺，零刻度线跟“0”计数点对齐.由图可以读出三个计数点1、3、5跟0点的距离d1、d2、d3.
图6
(1)读出距离：d1＝1.20 cm，d2＝________cm，d3＝________cm.
(2)计算小车通过计数点“2”的瞬时速度v2＝________m/s；(结果保留两位有效数字)
(3)小车的加速度大小a＝________m/s2.(结果保留两位有效数字)
答案 (1)5.40 12.00 (2)0.21 (3)0.60
解析 (1)刻度尺的读数规则——估读到最小刻度的下一位.由毫米刻度尺的刻度可知d2＝5.40 cm，d3＝12.00 cm.最后一位“0”必须有.
(2)小车通过计数点“2”的瞬时速度可用“1”、“3”间的平均速度表示，打点周期为0.02 s，相邻两计数点之间还有四个点未画出，则计数点之间的时间间隔T＝0.1 s，v2＝＝0.21 m/s.
(3)同样，可以计算小车通过计数点“4”的瞬时速度v4＝＝0.33 m/s，则小车加速度a＝＝＝0.60 m/s2.
6.(实验数据处理)(2018·浙江9＋1高中联盟联考)某同学用如图7甲所示器材探究小车速度随时间变化的规律，实验中得到如图乙所示纸带，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F共6个计数点，其中计数点F在图乙中未显示.
图7
(1)下列说法正确的是________.
A.释放小车前，小车应置于靠近滑轮处
B.图示电火花计时器所需电源为6 V交流电
C.需先接通计时器电源，再让小车运动
D.若遇停电，可改用蓄电池给计时器供电
(2)计数点B对应的刻度尺读数为________mm；
(3)计数点B对应小车速度大小为________m/s.(已知该实验中所用交流电源的频率为50 Hz)
(4)实验测得计数点C、D、E对应小车速度分别为vC＝0.350 m/s、vD＝0.398 m/s、vE＝0.443 m/s，以打A点开始计时，在图8坐标中作出小车的v－t图，并根据图线求出小车运动的加速度a＝________m/s2.
图8
答案 (1)C (2)33.0(32.5～33.2) (3)0.303(0.301～0.305) (4)如图所示 0.48(0.45～0.55)
7.(实验数据处理)某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出0、1、2、3、4、5、6共7个测量点.其中相邻点间的距离如图9所示，每两个相邻的测量点之间的时间间隔为0.1 s，则：
图9
(1)根据纸带上各个测量点间的距离，某同学已将1、2、3、5点对应的瞬时速度进行计算并填入表中，请你将4点对应的瞬时速度填入表中.(要求保留三位有效数字).
瞬时速度
v1
v2
v3
v4
v5
数值/(m·s－1)
0.165
0.214
0.263
0.363
(2)以打0点时开始计时，在图10所示直角坐标系中画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线.
图10
(3)由图象求小车的加速度a.(保留三位有效数字)
答案 (1)0.314 (2)见解析图 (3)0.495 m/s2
解析 (1)4点对应的瞬时速度
v4＝ m/s≈0.314 m/s.
(2)描点作图
(3)根据图象得：a＝ m/s2＝0.495 m/s2.
2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
知识内容
速度与时间的关系
考试要求
d
课时要求
1.理解匀变速直线运动的含义.
2.理解v－t图象的物理意义，并计算物体的加速度.
3.能推导匀变速直线运动的速度公式，并会用公式解决简单问题.
一、匀变速直线运动
1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动.
2.v－t图象：匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线.
3.分类：
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加.
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小.
二、速度与时间的关系式
1.速度公式：v＝v0＋at.
2.意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.
1.判断下列说法的正误.
(1)匀变速直线运动的加速度不变.( √ )
(2)速度逐渐增加的直线运动是匀加速直线运动.( × )
(3)公式v＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体.( × )
(4)公式v＝v0＋at既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动.( √ )
(5)匀加速直线运动的v－t图象的斜率逐渐增大.( × )
2.一质点做直线运动，速度v＝5＋0.3t (m/s)，则质点的初速度为________，加速度为________，3 s末的速度为________.
答案 5 m/s 0.3 m/s2 5.9 m/s
一、匀变速直线运动的特点及图象
四个物体运动的v－t图象如图所示.
(1)它们分别做什么运动？
(2)匀加速直线运动的v－t图象斜率一定为正值吗？匀减速直线运动的v－t图象斜率一定为负值吗？
答案 (1)甲做匀速直线运动；乙做匀加速直线运动；丙做匀减速直线运动；丁做反向匀加速直线运动
(2)不一定 不一定
1.匀变速直线运动的特点：
(1)加速度a恒定不变；
(2)v－t图象是一条倾斜直线.
2.两种理想化模型的v－t图象
(1)匀速直线运动的v－t图象是一条平行于时间轴的直线.
(2)匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜直线，直线的斜率表示加速度.
例1 A、B是做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，如图1所示.
图1
(1)A、B各做什么运动并求其加速度；
(2)两图象交点的意义；
(3)求1 s末A、B的速度；
(4)求6 s末A、B的速度.
答案 见解析
解析 (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小为a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与初速度方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，加速度为a2＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反.
(2)两图象交点表示在该时刻A、B速度相同.
(3)1 s末A物体的速度为3 m/s，和初速度方向相同；B物体的速度为6 m/s，和初速度方向相同.
(4)6 s末A物体的速度为8 m/s，和初速度方向相同；B物体的速度为－4 m/s，负号表示方向和初速度方向相反.
针对训练 一物体做直线运动的速度时间图象如图2所示，第1、2 s为第Ⅰ段，第3、4 s为第Ⅱ段，第5 s为第Ⅲ段，则下列说法中正确的是( )
图2
A.第1 s内的加速度大于第5 s内的加速度
B.第1 s内与第5 s内的加速度方向相反
C.物体在2～4 s内静止
D.第Ⅰ段和第Ⅲ段的加速度与速度的方向都相同
答案 B
解析 根据速度－时间图象的斜率等于加速度可知，第1 s内的加速度小于第5 s内的加速度，故A错误；斜率的正负表示加速度的方向，则知第1 s内物体的加速度沿正方向，而第5 s内的加速度方向沿负方向，方向相反，故B正确；物体在2～4 s内速度不随时间变化，做匀速直线运动，C错误；第Ⅰ段表示物体做匀加速直线运动，加速度与速度方向相同，而第Ⅲ段表示物体做匀减速直线运动，加速度与速度方向相反，故D错误.
二、速度与时间的关系式
设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(叫做初速度)，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度.
答案 由加速度的定义式a＝＝＝，整理得：v＝v0＋at.
速度与时间关系的理解
1.公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向.
一般以v0的方向为正方向，若为匀加速直线运动，a＞0；若为匀减速直线运动，a＜0.若v＞0，说明v与v0方向相同；若v＜0，说明v与v0方向相反.
3.两种特殊情况：
(1)当v0＝0时，v＝at.
即由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比.
(2)当a＝0时，v＝v0.
即加速度为零的运动是匀速直线运动.
例2 一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止.求：
(1)物体做匀速直线运动时的速度大小；
(2)物体做匀减速直线运动时的加速度.
答案 见解析
解析 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B为匀加速直线运动，B→C为匀速直线运动，C→D为匀减速直线运动，BC段的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度.
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s
即做匀速直线运动时的速度大小为10 m/s.
(2)由v＝v0＋a2t2得
a2＝＝＝ m/s2＝－5 m/s2.
负号表示加速度方向与vC方向相反.
1.v＝v0＋at的适用条件：只适用于匀变速直线运动.
2.v＝v0＋at的用途：初速度v0、加速度a、时间t、末速度v之间的关系，已知其中三个物理量，可求剩余的一个物理量.
三、速度公式在刹车问题中的应用
例3 一汽车在平直的公路上以20 m/s的速度匀速行驶，前面有情况需紧急刹车，刹车的加速度大小是8 m/s2，刹车后可视为匀减速直线运动，求刹车3 s后汽车的速度.
答案 0
解析 设汽车从开始刹车到速度为零所用的时间为t，取汽车运动的方向为正方向.
由v＝v0＋at，得t＝＝ s＝2.5 s，汽车在2.5 s末速度减为零而停下，之后汽车不再运动，所以3 s后汽车的速度为零.
1.刹车问题：车辆刹车时可看做匀减速直线运动直至速度变为零，所以刹车时车辆只在“刹车时间”内做匀变速运动.刹车时间取决于初速度和加速度的大小.
2.注意问题
(1)明确车辆的刹车时间(车辆末速度变为零时所用的时间).比较要研究的时长与刹车时间的大小关系.
(2)若要研究的时长小于刹车时间，则汽车在要研究的时间段内的实际运动时间等于时长；反之，实际运动时间等于刹车时间.
3.常见错误：误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用速度公式v＝v0＋at，得出的速度出现负值.
1.(对匀变速直线运动的理解)下列有关对匀变速直线运动的认识，其中正确的是( )
A.物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B.加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C.匀变速直线运动的v－t图象是一条曲线
D.匀变速直线运动的加速度是一个恒量
答案 D
解析 匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化，在相等的时间里通过的位移一定不相等，A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化，B错误，D正确；匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜直线，C错误.
2.(匀变速直线运动的v－t图象)(多选)如图3所示是一物体做匀变速直线运动的v－t图象，由图可知物体( )
图3
A.初速度为0 B.2 s末的速度大小为3 m/s
C.加速度的大小为1 m/s2 D.加速度的大小为1.5 m/s2
答案 BC
解析 由题图可知，物体的初速度v0＝5 m/s，末速度v＝0，由公式v＝v0＋at可得a＝＝－1 m/s2，A、D错误，C正确.由题图知，2 s末物体的速度大小为3 m/s，B正确.
3.(匀变速直线运动速度公式的应用)(2018·嘉兴一中期中)爬竿运动员从竖直竿上端由静止开始先匀加速下滑2t时间，然后再匀减速下滑t时间恰好到达竿底且速度为0，则前后两段匀变速运动过程中加速度大小之比为( )
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶4 D.4∶1
答案 A
解析 设两段匀变速运动的加速度大小分别为a1、a2，由速度公式得匀加速段的末速度为v＝a1·2t.匀减速时，由速度公式得v＋(－a2)t＝0.两式联立解得a2＝2a1，所以＝.
4.(速度公式在刹车中的应用)汽车的加速、减速性能是衡量汽车性能的一项重要指标，一辆汽车以54 km/h的速度匀速行驶.
(1)若汽车以1.5 m/s2的加速度加速，求8 s后汽车的速度大小.
(2)若汽车以1.5 m/s2的加速度刹车，分别求刹车8 s时和12 s时的速度大小.
答案 (1)27 m/s (2)3 m/s 0
解析 初速度v0＝54 km/h＝15 m/s.
(1)由v＝v0＋at，得v＝(15＋1.5×8) m/s＝27 m/s.
(2)刹车过程中汽车做匀减速运动，a′＝－1.5 m/s2.
减速到停止所用时间t′＝＝ s＝10 s.
所以刹车8 s时的速度v′＝v0＋a′t＝(15－1.5×8) m/s＝3 m/s.
刹车12 s时的速度为零.
一、选择题
1.对于一个做匀减速直线运动的物体，在它静止前，下列说法中正确的是( )
A.速度越来越小 B.速度越来越大
C.加速度越来越小 D.加速度越来越大
答案 A
解析 因为是匀减速直线运动，故物体运动的加速度a保持不变，由v＝v0＋at知，当a为负值时，v逐渐变小，所以B、C、D错误，A正确.
2.物体某时刻的速度v＝10 m/s，加速度a＝－2 m/s2，它表示( )
A.物体的加速度方向与速度方向相同，而且速度在减小
B.物体的加速度方向与速度方向相同，而且速度在增大
C.物体的加速度方向与速度方向相反，而且速度在减小
D.物体的加速度方向与速度方向相反，而且速度在增大
答案 C
解析 加速度a＝－2 m/s2，它表示加速度方向与速度方向相反，物体做匀减速运动，C正确.
3.一辆沿直线匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用时5 s，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆时的速度为( )
A.2 m/s B.10 m/s C.2.5 m/s D.5 m/s
答案 D
解析 根据v＝v0＋at，得v0＝v－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确.
4.奥迪车有多种车型，如30TFSI、35TFSI、50TFSI(每个车型字母前的数字称为G值)，G值用来表现车型的整体加速度感，数字越大，加速越快.G值的大小为车辆从静止开始加速到100 km/h的平均加速度数值(其单位为国际基本单位)再乘以10.如图1为某一型号的奥迪尾标，其值为50TFSI，则该型号车从静止开始加速到100 km/h的时间约为( )
图1
A.5.6 s B.6.2 s C.8.7 s D.9.5 s
答案 A
解析 由题意可知，该型号车的加速度为
a＝ m/s2＝5 m/s2，v＝100 km/h≈27.8 m/s，
故加速时间t＝＝ s≈5.6 s.
5.一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站.在如图所示的四个v－t图象中，正确描述了火车运动情况的是( )
答案 B
解析 进站速度均匀减小，出站速度均匀增大，故A、D错.进站、出站火车的运动方向相同，故C错.
6.一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比是( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.12∶22∶32 D.1∶3∶5
答案 B
解析 由v＝at得v1∶v2∶v3＝at1∶at2∶at3＝1∶2∶3，故选项B正确.
7.质点做直线运动的v－t图象如图2所示，规定向右为正方向，则关于该质点在前8 s内的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.0～1 s内的加速度最大且方向向右
B.t＝2 s和t＝4 s时加速度等大反向
C.3～5 s内质点的加速度方向向右
D.5～8 s内质点的加速度最小且方向向左
答案 A
解析 0～1 s内质点的加速度为a1＝2 m/s2，方向向右；1～5 s内质点的加速度为a2＝－1 m/s2，负号表示方向向左；5～8 s内质点的加速度为a3＝ m/s2，方向向右，A正确，B、C、D错误.
8.我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭发射了第三颗北斗导航卫星.如图3所示，发射过程中某段时间内火箭速度的变化规律为v＝(2t＋4) m/s，由此可知这段时间内( )
图3
A.火箭的初速度为2 m/s
B.火箭的加速度为4 m/s2
C.在3 s末，火箭的瞬时速度为12 m/s
D.火箭做匀加速直线运动
答案 D
解析 由速度的表达式v＝(2t＋4) m/s可知，在这段时间内火箭的初速度v0＝4 m/s，加速度a＝2 m/s2，火箭做匀加速直线运动，选项A、B错误，D对；将时间t＝3 s代入v＝(2t＋4) m/s得 v＝10 m/s，选项C错误.
9.(多选)给滑块一初速度v0，使它沿光滑固定斜面向上做匀减速运动，加速度大小为a，当滑块速度大小变为时，所用时间可能是( )
A. B.
C. D.
答案 BC
解析 以初速度方向为正方向，当末速度与初速度方向相同时，＝v0－at，得t＝；
当末速度与初速度方向相反时，－＝v0－at′.
得t′＝，B、C正确.
10.(多选)物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下面的结论正确的是( )
A.物体零时刻的速度是3 m/s
B.物体的加速度是2 m/s2
C.任何1 s内的速度变化量都是2 m/s
D.第2 s初的瞬时速度是6 m/s
答案 BCD
解析 物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2，物体在零时刻的速度v0＝v1－at1＝(6－2×1) m/s＝4 m/s，故A错误，B正确；物体在任何1 s内速度的变化量Δv＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，故C正确；第2 s初和第1 s末是同一时刻，可知第2 s初的瞬时速度是6 m/s，故D正确.
二、非选择题
11.某机车原来的速度是36 km/h，在一段下坡路上加速度为0.2 m/s2.机车行驶到下坡末端，速度增加到54 km/h，求机车通过这段下坡路所用的时间.
答案 25 s
解析 初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，末速度v＝54 km/h＝15 m/s，加速度a＝0.2 m/s2.
由v＝v0＋at得：t＝＝ s＝25 s.
故机车通过这段下坡路所用的时间为25 s.
12.摩托车从静止开始，以1.6 m/s2的加速度沿直线匀加速行驶了4 s，又以1.2 m/s2的加速度沿直线匀减速行驶了3 s，然后做匀速直线运动，摩托车做匀速直线运动的速度大小为多少？
答案 2.8 m/s
解析 匀加速行驶4 s时：v1＝v0＋at＝(0＋1.6×4) m/s＝6.4 m/s，匀减速行驶3 s时：v2＝v1＋a′t′＝(6.4－1.2×3) m/s＝2.8 m/s.
13.一辆汽车从静止开始启动，做匀加速直线运动，用了10 s的时间达到72 km/h的速度，然后以这个速度在平直公路上匀速行驶，突然司机发现前方公路上有一只小鹿，于是立即刹车，如图4，刹车过程中做匀减速直线运动，加速度大小为4 m/s2，求：
图4
(1)汽车在启动加速时的加速度；
(2)开始刹车后2 s末的速度大小和6 s末的速度大小.
答案 (1)2 m/s2，方向与汽车的运动方向相同
(2)12 m/s 0
解析 (1)选汽车的运动方向为正方向，
在启动过程，初速度v0＝0，末速度v1＝72 km/h＝20 m/s，加速时间t1＝10 s，
所以启动加速时的加速度为a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
即启动加速时的加速度大小为2 m/s2，方向与汽车的运动方向相同
(2)汽车刹车过程的加速度为a2＝－4 m/s2
设汽车刹车过程用时t0
由0＝v1＋a2t0，
得汽车从开始刹车到停止所需要的时间为t0＝5 s，
所以开始刹车后2 s末的速度为
v2＝v1＋a2t2＝(20－4×2) m/s＝12 m/s，
由于6 s＞5 s，所以开始刹车后6 s末的速度为0.
课时1 位移与时间的关系式
知识内容
位移与时间的关系
考试要求
d
课时要求
1.经历位移公式的探究过程，理解公式的意义及正负号的含义．
2.能运用位移公式解决简单问题.
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2.位移在v－t图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.图1所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的位移．
图1
二、匀变速直线运动的位移
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.
(1)把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图2所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移约等于各个小矩形的面积之和．
图2
(2)把运动过程划分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
图3
(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，如图4所示，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
图4
(4)v－t图线下面梯形的面积
S＝(OC＋AB)·OA
把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成
x＝(v0＋v)t ①
又因为v＝v0＋at ②
由①②式可得匀变速直线运动的位移公式为：
x＝v0t＋at2.
1．判断下列说法的正误．
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．( × )
(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．( × )
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．( √ )
(4)匀变速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线．( × )
2．某质点的位移随时间的变化关系是x＝(4t＋4t2) m，则质点的初速度是v0＝______ m/s，加速度a＝______ m/s2，2 s内的位移为________ m.
答案 4 8 24
一、匀变速直线运动的位移时间关系式
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．
(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比．
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2 m/s2，求：
(1)第5 s末物体的速度多大？
(2)前4 s的位移多大？
(3)第4 s内的位移多大？
答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
解析 (1)第5 s末物体的速度由v1＝v0＋at1
得v1＝0＋2×5 m/s＝10 m/s.
(2)前4 s的位移由x1＝v0t＋at2
得x1＝0＋×2×42 m＝16 m.
(3)物体第3 s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3 m/s＝6 m/s
则第4 s内的位移x2＝v2t3＋at32＝6×1 m＋×2×12 m＝7 m.
针对训练1 一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，则该质点运动过程中( )
A．初速度大小为零
B．加速度大小为4 m/s2
C．5 s内的位移为50 m
D．第4 s内的平均速度为8 m/s
答案 B
解析 第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，
代入数据得v0×3＋a×32－(v0×2＋a×22)＝12 ①
同理可得：v0×5＋a×52－(v0×4＋a×42)＝20 ②
联立①②解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2.
故A错误，B正确；5 s内的位移为x＝v0t5＋at52＝60 m，C错误；第4 s内的位移为Δx4＝x4－x3＝v0t4＋at42－(v0t3＋at32)＝16 m，
则第4 s内的平均速度＝＝ m/s＝16 m/s，D错误．
二、刹车问题分析
例2 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案 (1)30 m (2)40 m
解析 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at12＝(20×2－×5×22) m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42) m＝40 m.
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．
针对训练2 汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为( )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
答案 A
解析 根据x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入得：t1＝3 s，t2＝5 s
但因刹车时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去．故只有选项A正确．
三、逆向思维法解题
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看做逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动．
例3 物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为( )
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
答案 D
解析 物体减速时间t0＝＝ s＝10 s
该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移相等．由x＝a′t2＝×1×12 m＝0.5 m，故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝0.5 m/s，选项D正确．
对于末速度为0的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v＝at，x＝at2，计算更为简洁.
1．(位移与时间的关系)一个做匀变速直线运动物体的位移与时间的关系为x＝5t－5t2(位移以米为单位，时间以秒为单位)，下列说法中错误的是( )
A．这个物体的初速度大小是5 m/s
B．这个物体的加速度大小是10 m/s2
C．这个物体的加速度方向与初速度方向相反
D．经过1 s后，物体的速度变为零
答案 D
解析 根据x＝v0t＋at2＝5t－5t2得，物体的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝－10 m/s2，故A、B正确．物体的初速度为正值，加速度为负值，可知加速度方向与初速度方向相反，故C正确．物体速度减为零的时间t＝＝ s＝0.5 s，故D错误．
2．(位移与时间的关系)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m，则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为2 m/s2
B．物体第2秒内的位移为4 m
C．物体在第3秒内的平均速度为8 m/s
D．物体从静止开始通过32 m的位移需要4 s的时间
答案 D
解析 根据x1＝at12得，物体运动的加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A错误．物体在第2 s内的位移x2＝at22－at12＝×4×(4－1)m＝6 m，故B错误．物体在第3 s内的位移x3＝at32－at22＝×4×(9－4) m＝10 m，则第3 s内的平均速度为10 m/s，故C错误．物体从静止开始通过32 m的时间t＝ ＝ s＝4 s，故D正确．
3．(逆向思维法的应用)(多选)用相同材料做成的A、B两木块的初速度之比为2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙程度相同的水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的( )
A．时间之比为1∶1 B．时间之比为2∶3
C．距离之比为4∶9 D．距离之比为2∶3
答案 BC
解析 由匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at，得t＝＝－，因为加速度相同，因此运动时间之比就等于初速度之比，选项A错误，B正确；将其看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式x＝at2，知位移之比等于运动时间的平方之比，选项C正确，D错误．
4．(刹车问题)(2018·浙江9＋1高中联盟联考)汽车在平直公路上以v0＝10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况紧急刹车，获得的加速度大小为2 m/s2，求：
(1)汽车刹车后3 s末的速度；
(2)汽车刹车后6 s内的位移．
答案 见解析
解析 汽车刹车共经历时间t0＝＝ s＝5 s，
(1)v＝v0－at＝(10－2×3)m/s＝4 m/s，方向与v0方向相同
(2)汽车刹车后6 s内的位移x＝v0t0－at02＝25 m，方向与v0方向相同.
一、选择题
1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2和x＝t，关于做匀加速直线运动的物体在t时间内的位移，下列说法正确的是( )
A．加速度大的物体位移大
B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大
D．平均速度大的物体位移大
答案 D
解析 由x＝t知，t一定时平均速度大的物体位移大，选项D正确．
2．(多选)一质点以一定的初速度向东做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝10t－t2(m)，则( )
A．质点初速度为10 m/s
B．质点的加速度大小是1 m/s2
C．2 s末的速度为6 m/s
D．在2 s末，质点在出发点西边，距出发点24 m
答案 AC
3．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为( )
A. B. C．2t D．4t
答案 C
解析 由x＝at2和4x＝at′2，得：t′＝2t，故C对．
4．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移是1 m，物体在第3 s内的位移是( )
A．2 m B．3 m C．5 m D．8 m
答案 C
解析 根据x1＝at12得物体的加速度为：
a＝＝ m/s2＝2 m/s2，
则物体在第3 s内的位移为：
x′＝at32－at22＝×2×(9－4) m＝5 m.
5．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，将其运动时间顺次分成1∶2∶3的三段，则每段时间内的位移之比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶8∶27 D．1∶16∶81
答案 C
解析 根据x＝at2可得：
物体通过的第一段位移为：x1＝at2
又前3t时间内的位移减去前t时间内的位移就等于第二段的位移，故物体通过的第二段位移为：x2＝a(3t)2－at2＝a×8t2，又前6t时间内的位移减去前3t时间内的位移就等于第三段的位移，故物体通过的第三段位移为：x3＝a×(6t)2－a(3t)2＝a×27t2.
故每段时间内的位移之比为：1∶8∶27.
6．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是( )
A．前10 s内通过的位移为10 m
B．每秒速度变化0.2 m/s
C．前10 s内平均速度为1 m/s
D．第10 s内的位移为2 m
答案 ABC
解析 由v＝at，得a＝0.2 m/s2，故前10 s内的位移x＝at2＝×0.2×102 m＝10 m，选项A、B正确．前10 s内平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，选项C正确．第10 s内的位移x10＝at2－a(t－1)2＝1.9 m，选项D错误．
7．交通规则规定：在路口通行的汽车，当红灯亮起时，车头已越过停车线的汽车允许继续通行．在交通高峰期，某十字路口的汽车排成笔直的长队，假设相邻两车车头最前边缘之间的距离均为6 m，汽车启动时的加速度均为2.0 m/s2，当速度增加到8 m/s后都做匀速运动．现在，如果最前面一辆汽车前端刚好与停车线相齐，绿灯亮起所有司机同时启动汽车，则在绿灯亮的36 s时间内最多可以通过的汽车数为( )
A．44辆 B．45辆 C．46辆 D．47辆
答案 C
解析 汽车加速时间为：t1＝＝ s＝4 s,36 s时间，汽车能行驶的位移为：
x＝at12＋v(t－t1)＝×2.0×42 m＋8×32 m＝272 m.
所以有：n＝＝≈45.3.根据题意，能有46辆汽车通过路口，故选项C正确，选项A、B、D错误．
8．一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
答案 C
解析 设一节车厢长为L，则L＝at12，nL＝at22
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确．
9．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A．1∶1 B．3∶4 C．3∶1 D．4∶3
答案 B
解析 汽车的刹车时间t0＝ s＝4 s，故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为
x1＝v0t1＋at12＝20×2 m＋×(－5)×22 m＝30 m，
x2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m，
x1∶x2＝3∶4，B正确．
10．一辆汽车做匀速直线运动，某时刻遇到紧急情况需刹车，刹车后的第1秒内运动了8 m，第2秒内运动了4 m，关于汽车的运动和刹车过程，下列说法正确的是( )
A．汽车匀速运动时的速度是8 m/s
B．汽车刹车时的加速度大小是2 m/s2
C．汽车刹车后3秒末的加速度为0
D．汽车刹车后运动的距离是16 m
答案 C
解析 由位移时间公式可知，
v0×1＋a×12＝8 ①
v0×2＋a×22－8＝4 ②
由①②联立得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，A、B错误．
刹车减速到零所需时间t＝＝ s＝2.5 s，故刹车后3 s末的速度为零，故C正确．刹车后的运动距离为x＝v0t＋at2＝10×2.5 m－×4×2.52 m＝12.5 m，故D错误．
二、非选择题
11．一物体由静止开始做匀加速直线运动，前4 s内的位移是64 m，求：
(1)物体在前一半时间内所通过的位移大小．
(2)经过后一半位移所需的时间．
答案 (1)16 m (2)(4－2) s
解析 (1)由x＝at2，得a＝＝2× m/s2＝8 m/s2，则物体在前一半时间内的位移x1＝at12＝×8×22 m＝16 m.
(2)根据x′＝at′2，得t′＝＝＝2 s，经过后一半位移所需时间t″＝t－t′＝(4－2) s.
12．汽车以v0＝10 m/s的速度在水平路面上匀速运动，刹车后经过2 s速度变为6 m/s，若将刹车过程视为匀减速直线运动，求：
(1)从开始刹车起，汽车在6 s内发生的位移大小；
(2)汽车停止前2 s内通过的位移大小．
答案 (1)25 m (2)4 m
解析 (1)汽车刹车时的加速度：a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，则汽车速度减为零所需的时间：t0＝＝ s＝5 s＜6 s．则6 s内的位移等于5 s内的位移：x＝v0t0＋at02＝10×5 m－×2×52 m＝25 m.
(2)采用逆向思维，汽车在停止前2 s内的位移：x′＝a′t′2＝×2×22 m＝4 m.
课时2 位移—时间图象和速度—时间图象
知识内容
位移与时间的关系
考试要求
d
课时要求
1.知道v－t图象中的“面积”与位移的对应关系.
2.掌握匀变速直线运动x－t图象的特点，并会用它解决简单的问题.
一、位移—时间图象(x－t图象)
1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间的变化规律.
2.常见的x－t图象：
(1)静止：一条平行于时间轴的直线.
(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线.
3.x－t图象的斜率等于物体的速度.
二、速度—时间图象(v－t图象)
1.v－t图象：以时间t为横坐标，以速度v为纵坐标，描述速度随时间的变化规律.
2.v－t图象的斜率等于物体的加速度，v－t图象与时间轴所围面积表示位移.
1.如图1所示为某一质点沿直线运动的x－t图象，则质点在第1 s内做________运动，1～3 s内________.第1 s内速度为__________，1～3 s内速度为__________，3～5 s内速度为________，0～5 内的位移为________.
图1
答案 匀速 静止 10 m/s 0 －5 m/s 0
2.如图2所示为一质点沿直线运动的v－t图象，则它在0～12 s内的位移x＝________m，路程s＝________m.
图2
答案 －60 180
解析 v－t图线与t轴所围图形的“面积”表示位移，0～6 s内的位移x1＝v1t1＝10 m/s×6 s＝60 m,6～12 s内的位移x2＝v2t2＝－20 m/s×6 s＝－120 m,0～12 s内的位移x＝x1＋x2＝－60 m，路程s＝|x1|＋|x2|＝180 m.
一、位移—时间图象(x－t图象)
1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移x随时间t变化情况的图象叫位移—时间图象.
2.对x－t图象的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向.
(2)截距：纵截距表示物体的起始位置.
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.
3.几种常见的位移－时间图象
(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图3中的直线A.
图3
(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图中直线B和C，其斜率表示速度.其中B沿正方向运动，C沿负方向运动.
图4
(3)匀变速直线运动的x－t图象：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数.当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图4中切线斜率逐渐增大，质点的速度逐渐增大.
例1 一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图象如图5所示，则下列说法正确的是( )
图5
A.前15 s内汽车的位移为30 m
B.20 s末汽车的速度为1 m/s
C.前10 s内汽车的加速度为3 m/s2
D.前25 s内汽车做单方向直线运动
答案 A
解析 从图象上可以看出前15 s内汽车的位移为30 m，选项A正确；图象的斜率表示速度，故15～25 s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v＝ m/s＝－1 m/s，选项B错误；前10 s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10～15 s内汽车静止，15～25 s内汽车反向做匀速直线运动，选项C、D错误.
对位移－时间图象的理解
1.位移－时间图象不是物体的运动轨迹.
2.位移－时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动.
例2 如图6是在同一条直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
图6
A.t＝0时，A在B后面
B.B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面
C.在0～t1时间内B的运动速度比A大
D.A质点在0～t1时间内做加速运动，之后做匀速运动
答案 B
解析 由题图可知，t＝0时，B在A后面，故A错误；B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A的斜率，故B的运动速度比A小，C错误；A质点在0～t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故D错误.
1.x－t图象上两点坐标之差表示对应时间内的位移Δx，即Δx＝x2－x1；
2.x－t图象的斜率k＝表示质点的速度；
3.交点坐标表示两质点同一时刻到达同一位置，即相遇.
二、速度－时间图象(v－t图象)
例3 (多选)某物体运动的v－t图象如图7所示，根据图象可知，该物体( )
图7
A.在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B.4 s末质点运动方向改变
C.在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m
D.在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
答案 AD
解析 在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确；5 s末质点速度方向改变，B错误；0～5 s内物体的位移等于t轴上面梯形面积x1＝(×2×2＋2×2＋×1×2) m＝7 m.在 5～6 s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x2＝－(×1×1) m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，D正确，C错误.
例4 物体由静止开始在水平面上运动，0～6 s内的加速度随时间变化的图线如图8甲所示.
图8
(1)在图乙中画出物体在0～6 s内的v－t图线；
(2)求在这6 s内物体的位移大小.
答案 (1)见解析图 (2)18 m
解析 (1)第1 s内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4 m/s，v－t图象是过原点的倾斜直线，1～4 s加速度为0，速度不变，为匀速直线运动，4～6 s初速度为第1 s的末速度v1＝4 m/s，加速度a′＝－2 m/s2，末速度v6＝v1＋a′t′＝0，v－t图象如图所示：
(2)速度—时间图线与t轴所围成的面积代表位移，即x＝ m＝18 m.
用v－t图象求位移
v－t图线与时间轴所围成的“面积”表示位移.“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和.
三、x－t图象与v－t图象的比较
内容 种类
v－t图象
x－t图象
图象上某点的纵坐标
表示瞬时速度
表示某一时刻的位置
图线斜率
表示加速度
表示速度
图线与时间轴所围面积
表示位移
无意义
图线与纵坐标轴的交点
表示初速度
表示初始时刻的位置
两图线交点坐标
表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点
表示相遇
注意：(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹.
(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动.
例5 (2018·浙江9＋1高中联盟联考)甲物体运动的速度－时间图象如图9甲所示，乙物体运动的位移－时间图象如图乙所示，在0～4 s内，关于这两个物体的运动情况，正确的说法是( )
图9
A.甲有往复运动，它通过的路程为12 m
B.甲运动方向一直不变，通过的位移大小为6 m
C.乙有往复运动，它通过的路程为12 m
D.乙运动方向一直不变，通过的位移大小为6 m
答案 D
解析 甲的运动情况：0～2 s内向负方向做减速运动，2～4 s内向正方向做加速运动，4 s末回到出发点，位移为0，路程为s＝×3×2×2 m＝6 m，选项A、B错误.乙的运动情况：0～2 s内向正方向做匀速运动，起点在原点左侧3 m处，2 s末运动到原点，2～4 s内向正方向做匀速运动，4 s末运动到原点右侧3 m处，整个过程运动方向不变，路程为6 m，位移大小为6 m，C错误，D正确.
运动图象的应用技巧
1.确认是哪种图象，v－t图象还是x－t图象.
2.理解并熟记四个对应关系.
(1)斜率与加速度或速度对应.
(2)纵截距与初速度或初始位置对应.
(3)交点对应速度或位置相同.
(4)拐点对应运动状态发生改变.
1.某物体的位移－时间图象如图10所示，下列说法中正确的是( )
图10
A.物体先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动
B.物体运动8 s时离出发点最远
C.物体运动所能达到的最大位移为80 m
D.在t＝4 s时刻，物体的瞬时速度大小为20 m/s
答案 C
解析 由题图读出运动时间是8 s，此图象是位移－时间图象，不是运动轨迹，图线切线的斜率表示速度，则物体先减速后反向加速，A错误；8 s时回到出发点，B错误；物体运动所能达到的最大位移为80 m，C正确；t＝4 s时刻速度为零，D错误.
2.(x－t图象)(多选)甲、乙两物体同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图11所示，则( )
图11
A.甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动
B.甲、乙两物体从同一地点出发
C.出发时乙在甲前x0处
D.甲、乙两物体有两次相遇
答案 CD
解析 由于题图是x－t图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，A错；甲从原点出发，乙从x0处出发，故B错，C对；由题图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，D对.
3.(v－t图象的理解和应用)竖直升空的火箭，其v－t图象如图12所示，由图可知以下说法正确的是( )
图12
A.火箭上升的最大高度为16 000 m
B.火箭上升的最大高度为48 000 m
C.火箭经过120 s落回地面
D.火箭上升过程中的加速度始终是20 m/s2
答案 B
解析 火箭上升的最大高度即为运动过程中的最大位移，由题图可知t＝120 s时，位移最大，x＝×120×800 m＝48 000 m，故A错误，B正确；要落回地面，位移等于0，而120 s时速度为0，位移最大，到达最高点，故C错误；根据题图可知，前40 s火箭做匀加速直线运动，后80 s做匀减速直线运动，加速度是变化的，故D错误.
4.(v－t图象的理解和应用)(2018·长兴县、德清县、安吉县联考)如图13所示为一物体做直线运动的v－t图象，根据图象做出的以下判断中，正确的是( )
图13
A.物体始终沿正方向运动
B.物体先沿负方向运动，在t＝2 s后开始沿正方向运动
C.在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，在t＝2 s后位于出发点正方向上
D.在t＝2 s时，物体回到出发点
答案 B
一、选择题
1.某同学为研究物体运动情况，绘制了物体运动的x－t图象，如图1所示.图中纵坐标表示物体的位移x，横坐标表示时间t，由此可知该物体做( )
图1
A.匀速直线运动 B.变速直线运动
C.匀速曲线运动 D.变速曲线运动
答案 B
解析 x－t图象所能表示出的位移只有两个方向，即正方向与负方向，所以x－t图象所能表示的运动也只能是直线运动.x－t图线切线的斜率反映的是物体运动的速度，由题图可知，速度在变化，故B正确，A、C、D错误.
2.甲、乙两物体朝同一方向做匀速直线运动，已知甲的速度大于乙的速度，t＝0时，乙在甲前方一定距离处，则两个物体运动的位移－时间图象应是( )
答案 C
3.如图2所示是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.OA段运动速度最大
B.AB段物体做匀速运动
C.CD段的运动方向与初始运动方向相反
D.运动4 h汽车的位移大小为30 km
答案 C
解析 分析题图可知：OA段表示汽车向正方向做匀速直线运动，vOA＝＝15 km/h，AB段表示汽车静止；BC段表示汽车向正方向做匀速直线运动，vBC＝＝15 km/h；CD段表示汽车反方向做匀速直线运动，vCD＝＝－30 km/h，负号表示运动方向与初始运动方向相反.运动4 h汽车的位移大小为0.
4.(2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)物体A、B的x－t图象如图3所示，由图可知( )
图3
A.从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA>vB
B.两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动
C.在5 s内物体的位移相同，5 s末A、B相遇
D.5 s内A、B的平均速度相等
答案 A
5.如图4所示，折线是表示物体甲从A地向B地运动的x－t图象，直线表示物体乙从B地向A地运动的x－t图象，则下列说法正确的是( )
图4
A.在2～6 s内甲做匀速直线运动
B.乙做匀速直线运动，其速度大小为5 m/s
C.从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60 m
D.在t＝8 s时，甲、乙两物体的速度大小相等
答案 B
解析 位移－时间图象的斜率表示速度，故乙做匀速直线运动，速度为v乙＝ m/s＝－5 m/s，负号表示朝着负方向运动，甲在0～2 s内做匀速直线运动，2～6 s内处于静止状态，A错误，B正确；在t＝8 s时，甲、乙相遇，此时甲的斜率即速度为v甲＝ m/s＝10 m/s，乙的速度为－5 m/s，故两物体速度大小不相等，相遇时乙的位移大小为40 m，C、D错误.
6.A、B两质点从同一地点运动的x－t图象如图5所示，下列说法中正确的是( )
图5
A.A、B两质点在4 s末速度相等
B.前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点相遇
C.前4 s内A质点的位移小于B质点的位移，后4 s内A质点的位移大于B质点的位移
D.B质点先加速后减速，8 s末回到出发点
答案 B
解析 x－t图象中，切线的斜率大小表示速度大小，4 s末二者的斜率不同，所以速度不同，A错误；前4 s内A、B之间距离先增大后减小，4 s末两质点相遇，B正确；前4 s内A质点的位移等于B质点的位移，后4 s内A质点的位移等于B质点的位移，C错误；由图线切线的斜率知，B质点先减速后加速，8 s末回到出发点，D错误.
7.马路上的甲、乙两辆汽车的v－t图象如图6所示，由此可判断两车在这30分钟内的平均速度大小关系是( )
图6
A.甲车大于乙车
B.甲车小于乙车
C.甲车等于乙车
D.条件不足，无法判断
答案 A
解析 相同时间内，甲图线与时间轴所围的面积大，位移x大，因＝，所以A对.
8.(多选)如图7所示为汽车在行驶过程中通过交叉路口时的速度—时间图象，由图象可知( )
图7
A.汽车在路口等候的时间为10 s
B.汽车减速过程的加速度大小为2.5 m/s2
C.汽车减速过程的位移大小为20 m
D.汽车启动过程中做的是加速度增大的加速运动
答案 BC
解析 汽车在路口等候的时间为6 s，A项错误.汽车减速过程a＝＝－2.5 m/s2，B项正确.减速过程的位移等于0～4 s时间内v－t图线与时间轴围成的面积x＝20 m，C项正确.启动过程中，汽车做加速度越来越小的加速运动，D项错误.
9.(2018·东阳中学期中)某物体沿水平方向运动，规定向右为正方向，其v－t图象如图8所示，则( )
图8
A.在0～1 s内做曲线运动
B.在1～2 s内速度方向向左
C.在2 s末离出发点最远
D.在1～2 s和2～3 s内的加速度大小相等，方向相反
答案 C
10.如图9所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
图9
A.图线1表示物体做曲线运动
B.x－t图象中t1时刻v1＞v2
C.v－t图象中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D.两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
答案 B
解析 图线1是位移－时间图象，表示物体是做变速直线运动，选项A错误；x－t图线上某点切线斜率的大小表示速度的大小，选项B正确；v－t图象中0至t3时间内3和4的位移不同，所以平均速度不相等，选项C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4的加速度方向变化但运动方向不变，选项D错误.
二、非选择题
11.矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5 s速度达到4 m/s后，又以这个速度匀速上升20 s，然后匀减速上升，经过4 s停止在井口.
(1)画出升降机运动的v－t图象.
(2)求矿井的深度.
答案 (1)见解析图 (2)98 m
解析 (1)如图所示
(2)升降机的位移等于v－t图线与时间轴所围面积
x＝×(20＋29)×4 m＝98 m.
即矿井的深度为98 m.
12.如图10所示是某质点运动的v－t图象，请回答：
图10
(1)离出发点的最远距离；
(2)12 s内的路程.
答案 (1)70 m (2)80 m
解析 (1)v－t图象与t轴围成的面积表示位移，在时间轴上方位移为正，下方位移为负，由题图可知，质点在10 s后将反向运动，故10 s末位移最大，最大位移为x＝×(10＋4)×10 m＝70 m，所以离出发点的最远距离为70 m；
(2)路程是质点运动轨迹的长度，是标量，没有方向，所以12 s内运动的路程为图象与t轴围成的面积的绝对值之和，即s＝(70＋10) m＝80 m.
4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
知识内容
匀变速直线运动的速度与位移的关系
考试要求
d
课时要求
1.会从v＝v0＋at，x＝v0t＋at2推导出v2－v02＝2ax.
2.理解v2－v02＝2ax的意义及正、负号的含义.
3.能用v2－v02＝2ax解决简单问题.
4.根据已知条件，会选择公式或联立方程求解相关问题.
速度与位移的关系式
1.公式：v2－v02＝2ax.
2.推导：
速度公式v＝v0＋at.
位移公式x＝v0t＋at2.
由以上两式可得：v2－v02＝2ax.
3.匀变速直线运动的常用推论：
推论1：中间时刻的瞬时速度＝＝.
推论2：匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式v2－v02＝2ax适用于所有的直线运动.( × )
(2)确定公式v2－v02＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.( √ )
(3)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.( × )
(4)在公式v2－v02＝2ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值.( √ )
2.汽车以10 m/s的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s2，则它向前滑行12.5 m后的瞬时速度为________ m/s.
答案 5
一、关系式v2－v02＝2ax的理解和应用
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？
答案
解析 由v2－v02＝2ax得，跑道长度至少为x＝＝.
1.适用范围：速度与位移的关系v2－v02＝2ax仅适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：v2－v02＝2ax是矢量式，v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v0方向为正方向：
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值.
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移.
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度.
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.
3.公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量.
例1 某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )
A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s
答案 B
解析 由v2－v02＝2ax得：
v0＝＝ m/s＝10 m/s.
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v02＝2ax.
例2 猎豹是目前世界上陆地奔跑速度最快的动物，速度可达每小时110多公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命.猎豹在一次追击猎物时可认为由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为7.5 m/s2，经过4 s速度达到最大，然后匀速运动保持了4 s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，然后以大小3 m/s2的加速度做匀减速运动直到停下，设猎豹此次追捕始终沿直线运动.求：
(1)猎豹奔跑的最大速度可达多少？
(2)猎豹从开始做匀减速运动直到停下的位移是多少？
答案 (1) 30 m/s (2) 150 m
解析 (1)设猎豹奔跑的最大速度为v.对于加速过程，有：v＝a1t1＝7.5×4 m/s＝30 m/s.
(2)对于减速过程，根据速度位移公式得：
x＝＝ m＝150 m.
二、匀变速直线运动的常用结论
例3 一质点做匀变速直线运动的v－t图象如图1所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为v，求：
图1
(1)这段时间内的平均速度(用v0、v表示)．
(2)中间时刻的瞬时速度.
(3)这段位移中间位置的瞬时速度.
答案 见解析
解析 (1)因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为x＝·t①
平均速度＝ ②
由①②两式得＝.
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：＝.
(3)对前半位移有－v02＝2a·
对后半位移有v2－＝2a·
两式联立可得＝.
三个平均速度公式及适用条件
(1(＝，适用于所有运动.
(2(＝，适用于匀变速直线运动.
(3(＝，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动.
针对训练1 一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度大小；
(2)质点2 s末的速度大小．
答案 (1)8 m/s (2)5 m/s
解析 (1)利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
(2)2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
例4 物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1，紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：Δx＝aT2.
答案 见解析
解析 证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移
x1＝v0T＋aT2 ①
在第2个T时间内的位移
x2＝v0·2T＋a(2T)2－x1＝v0T＋aT2. ②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为
Δx＝x2－x1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，
即Δx＝aT2.
(1(匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝x2－x1＝aT2.
(2(应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动.
②求匀变速直线运动的加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝
针对训练2 一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，则这个物体的加速度和初速度各是多少？
答案 2.25 m/s2 1.5 m/s
解析 (方法一)由公式Δx＝aT2得：a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，由于v4＝ m/s＝10.5 m/s，而v4＝v0＋4a，得v0＝1.5 m/s.
(方法二)物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s末)的瞬时速度，则v4＝ m/s＝10.5 m/s，且v4＝v0＋4a，物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度v2＝ m/s＝6 m/s，而v2＝v0＋2a，联立解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s.
1.(速度－位移公式的应用)如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为( )
图2
A.a1＝a2 B.a1＝2a2
C.a1＝a2 D.a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2x2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.
2.(速度—位移公式的应用)如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
A.x B.x C.2x D.3x
图3
答案 B
解析 由v2－v02＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′，两式联立可得x′＝x，故B正确.
3.(平均速度公式的应用)(2018·嘉兴市第一学期期末)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图4所示，那么0～t和t～3t两段时间内( )
图4
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶3
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
答案 D
解析 两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，＝，A错.两段的位移x1＝vt，x2＝vt，＝，B错.两段的平均速度1＝2＝，C错，D对.
4.(位移差公式Δx＝aT2的应用)(多选)如图5所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )
图5
A.物体的加速度为20 m/s2
B.物体的加速度为25 m/s2
C.CD＝4 m
D.CD＝5 m
答案 BC
解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2可得： a＝＝ m/s2＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误.
一、选择题
1.关于公式x＝，下列说法正确的是( )
A.此公式只适用于匀加速直线运动
B.此公式适用于匀减速直线运动
C.此公式只适用于位移为正的情况
D.此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
答案 B
解析 公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，B正确，A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，D错误.
2.某飞机着陆时的速度是60 m/s，随后匀减速滑行，如果飞机的加速度大小是2 m/s2.为了使飞机能够安全地停下来，则滑道的长度至少为( )
A.900 m B.90 m
C.1 800 m D.180 m
答案 A
解析 根据v2＝2ax得，x＝＝＝900 m，选项A正确.
3.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )
A.7 m/s2 B.17 m/s2
C.14 m/s2 D.3.5 m/s2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由02－v02＝2ax得a＝＝－7 m/s2，A正确.
4.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( )
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶ D.2∶1
答案 B
解析 由0－v02＝2ax得＝，故＝()2＝，B正确.
5.一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，如图1所示，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
图1
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
答案 C
6.一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动.已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为( )
A.2.5 m/s B.5 m/s
C.7.5 m/s D.10 m/s
答案 B
解析 设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度1＝＝
减速阶段的平均速度2＝＝
x＝1t1＋2t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得vm＝5 m/s.
7.(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么( )
A.这3 s内的平均速度是1.2 m/s
B.第3 s末的瞬时速度是2.2 m/s
C.质点的加速度是0.6 m/s2
D.质点的加速度是0.8 m/s2
答案 AD
解析 第3 s内的平均速度即为2.5 s时的速度，即v2.5＝ m/s＝2 m/s，所以加速度a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2，所以C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度是v＝at3＝0.8×3 m/s＝2.4 m/s，B错误；这3 s内的平均速度是＝＝ m/s＝1.2 m/s，A正确.
8.(2017·浙江4月学考·6)汽车以10 m/s的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15 m处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为0.5 s.汽车运动的v－t图如图2所示，则汽车的加速度大小为( )
图2
A.20 m/s2 B.6 m/s2
C.5 m/s2 D.4 m/s2
答案 C
解析 根据速度－时间图象可知，在驾驶员反应时间内，汽车的位移为x1＝vt＝5 m，所以汽车在减速阶段的位移x2＝x－x1＝10 m，由运动学公式得出0－v2＝2ax2，a＝－5 m/s2，故加速度大小为5 m/s2，C正确.
9.一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A、B、C三点，已知＝6 m，＝10 m，小球通过AB、BC所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度分别为( )
A.2 m/s,3 m/s,4 m/s
B.2 m/s,4 m/s,6 m/s
C.3 m/s,4 m/s,5 m/s
D.3 m/s,5 m/s,7 m/s
答案 B
解析 －＝aT2，a＝ m/s2＝1 m/s2
vB＝＝ m/s＝4 m/s
由vB＝vA＋aT，得vA＝vB－aT＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，vC＝vB＋aT＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s，B正确.
10.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A.第2 s内的位移是2.5 m
B.质点的加速度是0.125 m/s2
C.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
D.第4 s末的速度为2.75 m/s
答案 CD
解析 由Δx＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，A、B错误；第3 s末的速度等于第3～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，C正确；v4＝v3＋at＝2.75 m/s，D正确.
二、非选择题
11.(2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动产生明显的滑动痕迹，即常说的刹车线.由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据.若某汽车刹车后至停止的加速度大小为7 m/s2，刹车线长为14 m，求：
(1)该汽车刹车前的初始速度v0的大小；
(2)该汽车从刹车至刚停下来所用的时间t0；
(3)在此过程中汽车的平均速度大小.
答案 (1)14 m/s (2)2 s (3)7 m/s
解析 (1)由题意根据运动学公式v2－v02＝2ax得v02＝－2ax，
解得v0＝ m/s＝14 m/s.
(2)方法一 由v＝v0＋at0得
t0＝＝ s＝2 s.
方法二 (逆过程)由x＝at02得
t0＝＝ s＝2 s.
(3)＝＝ m/s＝7 m/s.
12.(2018·温州市十五校联考)如图3所示，无人机完成航拍任务后，悬停在距离地面高度H＝80 m处，控制动力系统，让无人机以8 m/s2的加速度竖直向下运动，经过2 s后再次控制动力系统，让无人机竖直向下做匀减速直线运动，落地时速度恰好为零.试求：
图3
(1)下落过程中的最大速度；
(2)匀减速运动过程中加速度大小；
(3)整个下落过程中的平均速度大小.
答案 见解析
解析 (1)vm＝a1t1，由于a1＝8 m/s2，t1＝2 s，代入解得：vm＝16 m/s.
(2)匀加速下落的高度为h1＝＝16 m，
匀减速下落的高度为h2＝H－h1＝(80－16) m＝64 m，
设匀减速运动过程中加速度大小为a2，
a2＝＝2 m/s2.
(3)匀减速运动过程中经历时间t2＝＝8 s，
整个下落过程中的平均速度大小为＝＝8 m/s(或者＝＝8 m/s)
5 自由落体运动
6 伽利略对自由落体运动的研究
知识内容
考试要求
自由落体运动
c
伽利略对自由落体运动的研究
a
课时要求
1.知道自由落体运动的条件和运动性质，会根据频闪照片分析自由落体运动.
2.知道自由落体运动加速度的大小和方向，并能理解影响重力加速度的因素.
3.能得出并运用自由落体运动的规律解决问题.
4.了解伽利略研究落体运动的思想和方法及其在力学上的主要贡献.
一、自由落体运动
1.定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动.
2.物体做自由落体运动的条件
(1)只受重力；(2)初速度v0＝0.
3.自由落体运动的实质：自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动.
二、自由落体加速度
1.定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示.
2.方向：竖直向下.
3.大小
(1)在地球上不同的地方，g的大小一般是不同的(填“不同”或“相同”)；
(2)一般取值：g＝9.8 m/s2或g＝10 m/s2.
三、自由落体运动的规律
1.速度公式：v＝gt.
2.位移公式：h＝gt2.
3.速度位移公式：v2＝2gh.
四、伽利略对自由落体运动的研究
1.亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的.
2.伽利略的研究：
(1)逻辑归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了“重物比轻物落得快”的论断.
(2)猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的.
(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为0的匀变速运动的位移与时间的二次方成正比，即x∝t2.
(4)间接验证：让小球从斜面上的不同位置滚下，测出小球滚下的位移x和所用时间t.实验表明：小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动；斜面倾角一定时，小球的加速度相同；小球的加速度随斜面倾角的增大而增大.
(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀加速直线运动.
1.判断下列说法的正误.
(1)在空气中自由释放的物体都做自由落体运动.( × )
(2)物体在真空中一定做自由落体运动.( × )
(3)自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动.( √ )
(4)质量越大的物体自由落体加速度越大.( × )
(5)自由落体加速度的方向垂直地面向下.( × )
(6)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到自由落体运动的规律.( × )
(7)伽利略根据斜面实验结论进行合理的外推，得到自由落体运动的规律.( √ )
2.对于自由落体运动，在1 s末、2 s末、3 s末的速度之比是 ；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比是 .
答案 1∶2∶3 1∶3∶5
一、自由落体运动和自由落体加速度
1.分析以下两种物理情景，并回答相关问题.
(1)在空气中，将一张纸片和一石块从同一高度同时释放，哪个下落得快？若把这张纸片团紧成一团，再与石块从同一高度释放，情况会怎样？
(2)牛顿管实验：玻璃管中有羽毛、小软木片、小铁片……玻璃管中抽成了真空，将物体聚于一端，再将玻璃管倒立，让所有物体同时下落.看到什么现象？说明什么问题？
答案 (1)石块下落得快；纸团和石块几乎同时着地.
(2)下落快慢相同.在没有空气阻力影响的情况下，所有物体下落快慢是相同的，与质量无关.
2.利用如图所示的实验装置测定重力加速度.用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，并使重物停在靠近打点计时器处.先接通电源，再松开纸带让重物自由下落，打点计时器在纸带上打下一系列的点.
如何根据打上点的纸带求出重物的重力加速度？
答案 可用下列两种方法求出重力加速度：
(1)由vn＝求出各点的瞬时速度，作出v－t图象，v－t图象是一条过原点的倾斜直线，直线斜率表示加速度.
(2)由Δx＝aT2计算加速度.
1.自由落体运动：
(1)自由落体运动实质上是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例.
(2)自由落体运动是一种理想化的运动模型.只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可以当作自由落体运动来处理.
(3)运动图象：自由落体运动的v－t图象是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g，如图1所示.
图1
2.自由落体加速度(重力加速度)
(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；
(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同.②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近于9.8 m/s2，因此一般计算中g取9.8 m/s2或10 m/s2.
例1 关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是( )
A.竖直向下的运动一定是自由落体运动
B.熟透的苹果从树枝开始自由下落的运动可被视为自由落体运动
C.同一地点，轻重物体的g值可能不一样大
D.g值在两极处小于在赤道处
答案 B
解析 物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，B对；同一地点，重力加速度都相同，与质量无关，C错；赤道处g值小于两极处，D错.
二、自由落体运动的规律
1.自由落体运动的基本公式：
匀变速直线运动规律自由落体运动规律
2.匀变速直线运动的三个导出公式，如速度—位移的关系式、平均速度公式、位移差公式都适用于自由落体运动.
例2 如图2所示，物体从O点开始做自由落体运动，先后经过O点正下方A、B两点，此过程中，从O运动到B所用时间t1＝3 s，从A到B所用时间t2＝1 s，g＝10 m/s2，求：
图2
(1)物体到A点时的速度大小；
(2)A、B间的距离.
答案 (1)20 m/s (2)25 m
解析 (1)O到B用时t1＝3 s，A到B用时t2＝1 s，故O到A用时t3＝2 s，
根据速度时间关系公式，
有vA＝gt3＝10×2 m/s＝20 m/s.
(2)AB间距离等于O到B间距离减去O到A间距离，根据位移时间关系公式，有hAB＝gt12－gt32＝25 m.
针对训练 一物体做自由落体运动，落地时速度是30 m/s(g取10 m/s2).问：
(1)它下落到地面所需时间？
(2)它开始下落时的高度？
(3)它在最后1 s内下落的高度？
答案 (1)3 s (2)45 m (3)25 m
解析 (1)由v＝gt得：t＝＝ s＝3 s
(2)方法一 根据v2＝2gh，则下落的高度为：h＝＝ m＝45 m.
方法二 h＝·t＝×3 m＝45 m.
方法三 h＝gt2＝×10×32 m＝45 m.
方法四 v－t图象.
h＝×3×30 m＝45 m.
(3)物体在前2 s内的位移为：x＝gt22＝×10×4 m＝20 m，
所以最后1 s内的位移：x′＝h－x＝45 m－20 m＝25 m.
三、伽利略对自由落体运动的研究
伽利略研究自由落体运动时采用了什么科学方法？
答案 采用了研究自然规律的常用方法：抽象思维、数学推理和科学实验相结合.
例3 在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要.伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义.请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程( )
A.猜想—问题—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
B.问题—猜想—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
C.问题—猜想—数学推理—实验验证—合理外推—得出结论
D.猜想—问题—实验验证—数学推理—合理外推—得出结论
答案 C
1.(伽利略对自由落体运动的研究)(多选)(2018·温州市十五校联考)在对自由落体运动的研究过程中，关于伽利略所提出的假设、采用的推理过程和科学方法等，下列叙述正确的是( )
A.通过观察与思考，伽利略提出自由落体运动应该是一种速度随位移均匀变化的加速直线运动
B.为了解决无法测量瞬时速度的困难，伽利略改测位移与时间的关系(从静止开始做匀加速直线运动的物体x∝t2)
C.为了解决没有准确的计时工具的困难，伽利略利用“冲淡重力”的斜面实验
D.伽利略认为自由落体运动可以认为是由斜面的倾角外推增大为90°时的特例
答案 BCD
2.(自由落体运动的规律)质量为m的物体从高为h处自由下落，开始的用时为t，则( )
A.物体落地所用的时间为t
B.物体落地所用的时间为3t
C.物体落地时的速度为6gt
D.物体落地时的速度为3gt
答案 A
3.(自由落体运动的规律)(2018·杭州市第一学期期末)如图3所示，某物理兴趣小组做“研究小球自由落体运动”的实验，用数码相机的频闪照相功能对下落的小球进行拍摄，第一次闪光时小球刚开始下落，频闪的时间间隔为0.1 s，则在照片中测得第一个0.1 s内、第二个0.1 s内、第三个0.1 s内的位移之比最接近( )
图3
A.1∶2∶3 B.1∶4∶9
C.1∶∶ D.1∶3∶5
答案 D
4. (2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)小芳是一个善于思考的乡村女孩，她在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小芳同学在自己的作业本上画出了如图4所示的雨滴下落同自家房子尺寸的关系图，其中2点和3点之间的小矩形表示小芳正对的窗子，请问：(g取10 m/s2)
图4
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
解析 设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T，
由h＝gt2得
第2滴水的位移为h2＝ ①
第3滴水的位移为h3＝ ②
且h2－h3＝1 m ③
由①②③得T＝0.2 s
则屋檐高h′＝＝3.2 m.
一、选择题
1.小明发现从核桃树上同一高度一颗核桃和一片树叶同时从静止落下，下列说法正确的是( )
A.核桃和树叶的运动都是自由落体运动
B.核桃先落地是由于核桃受到的重力较大
C.核桃和树叶的运动都不能看成自由落体运动
D.假如地球上没有空气，核桃和树叶会同时落地
答案 D
解析 从树上落下的核桃所受阻力相对重力来说很小，可看成自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力来说较大，不能看成自由落体运动，A、B、C错误.假如地球上没有空气，则核桃和树叶不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，D正确.
2.(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A.初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B.只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C.自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
答案 CD
解析 选项A中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动，选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B错误；选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等，故选项C正确；选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的.
3.(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是( )
A.重力加速度g是标量，只有大小，没有方向
B.在地球上不同地方，g的大小是不同的，但差别不大
C.在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的
D.纬度越低的地方，重力加速度g值越小
答案 BCD
解析 重力加速度是矢量，方向总是竖直向下.地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度是相同的，地球上不同地方g的大小是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小.故正确答案为B、C、D.
4.一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落时，离地的高度为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据h＝gt2，下落高度与时间的平方成正比，所以下落时，下落高度为，离地高度为.
5.在物理学的发展历程中，下面的哪位科学家首先建立了用来描述物体的运动的概念，并首先采用了实验检验猜想和假设的科学方法，把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而有力地推进了人类科学的发展( )
A.亚里士多德 B.伽利略
C.牛顿 D.爱因斯坦
答案 B
解析 在物理学发展史上，是伽利略建立了物理学的正确的研究方法，推进了人类科学的发展.
6.一小球从空中由静止释放，不计空气阻力(g取10 m/s2).下列说法正确的是( )
A.第2 s末小球的速度为10 m/s
B.前2 s内小球的平均速度为20 m/s
C.第2 s内小球的位移为10 m
D.前2 s内小球的位移为20 m
答案 D
解析 小球做自由落体运动，第2 s末小球的速度为v＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，故A错误；前2 s内小球的位移为h2＝gt2＝×10×22 m＝20 m；前2 s内小球的平均速度为＝＝ m/s＝10 m/s，故B错误，D正确；第1 s内小球的位移为h1＝gt12＝×10×12 m＝5 m，故第2 s内小球的位移为Δh＝h2－h1＝20 m－5 m＝15 m，故C错误.
7.从某建筑物顶部自由下落的物体，在落地前的1 s内下落的高度为建筑物高的，则物体落到地面的瞬时速度为(g取10 m/s2)( )
A.10 m/s B.15 m/s C.20 m/s D.25 m/s
答案 C
解析 假设总时间是t，则：全程：h＝gt2，前过程有：h＝g(t－1)2，联立解得t＝2 s，故落地速度为：v＝gt＝20 m/s.
8.(2017·浙江11月学考·9)杂技运动员在训练时的照片如图1所示，有一小球自由落下，碰到水平桌面后反弹，如此数次落下和反弹.若规定竖直向下为正方向，碰撞时间不计，空气阻力不计，则下列v－t图象中正确的是( )
图1
答案 B
9.长为5 m的竖直杆下端距离一个竖直隧道口为5 m，若这个隧道长也为5 m，让这根杆自由下落，它通过隧道的时间为(取g＝10 m/s2)( )
A. s B.(－1) s
C.(＋1) s D.(＋1) s
答案 B
解析 根据h＝gt2，直杆自由下落到下端运动到隧道上沿的时间t1＝＝＝1 s.直杆自由下落到直杆的上端离开隧道下沿的时间t2＝＝＝ s.则直杆通过隧道的时间t＝t2－t1＝(－1) s，选项B正确，A、C、D错误.
10.用如图2所示的方法可以测出一个人的反应时间，设直尺从开始自由下落，到直尺被受测者抓住，直尺下落的距离为h，受测者的反应时间为t，则下列说法正确的是( )
图2
A.t∝h B.t∝ C.t∝ D.t∝h2
答案 C
解析 由h＝gt2得，t＝，因为自由落体加速度g为常数，故t与h的平方根成正比，即t∝，C对.
二、非选择题
11.从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求：
(1)小球落到地面所用的时间；
(2)自小球开始下落计时，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小.
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m
解析 (1)由x＝gt2，得落地所用时间：
t＝＝ s＝10 s.
(2)第1 s内的位移：
x1＝gt12＝×10×12 m＝5 m
因为从开始运动起前9 s内的位移为
x9＝gt92＝×10×92 m＝405 m
所以最后1 s内的位移为Δx＝x－x9＝500 m－405 m＝95 m.
12.某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一只鸡蛋从高楼上静止释放，让其自由下落，经过4 s鸡蛋刚好着地.(忽略空气阻力的作用，g取10 m/s2)求：
(1)开始下落第1 s末鸡蛋的速度大小；
(2)鸡蛋释放时距离地面的高度；
(3)鸡蛋在下落过程中的平均速度大小.
答案 (1)10 m/s (2)80 m (3)20 m/s
解析 (1)由v＝gt可得第1 s末的速度为：
v＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s.
(2)由h＝gt2可得：h＝×10×16 m＝80 m.
(3)下落过程的平均速度为：
＝＝ m/s＝20 m/s.
13.跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2.问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，则此时速度为v1，有v12＝2gh1 ①
打开降落伞做匀减速运动时满足：v22－v12＝2ah2 ②
式中v2＝5 m/s，a＝－14.3 m/s2，h2＝125 m
联立①②解得h1＝180 m
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝gt12
第二过程经过的时间是t2＝
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s.
微型专题 匀变速直线运动规律的应用
[学习目标] 1.进一步熟练掌握匀变速直线运动的两个基本公式和三个导出公式.2.会选择公式或联立方程求解相关问题.3.进一步理解v－t图象和x－t图象及其应用．
一、匀变速直线运动基本公式的应用
1．两个基本公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，涉及5个量，原则上已知三个量可求另外两个量，两个公式联立可以解决所有的匀变速直线运动问题．
2．逆向思维法的应用：
把末速度为0的匀减速直线运动，可以倒过来看成是初速度为0的匀加速直线运动．
3．解决运动学问题的基本思路为：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向(或选取坐标轴)→选用公式列方程→求解方程，必要时对结果进行讨论．
例1 一个物体以v0＝8 m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动．则( )
A．1 s末的速度大小为10 m/s
B．3 s末的速度为零
C．2 s内的位移大小是20 m
D．5 s内的位移大小是15 m
答案 D
解析 由t＝得，物体冲上最高点的时间是4 s，又根据v＝v0＋at得，物体1 s末的速度大小为6 m/s，A错.3 s末的速度为2 m/s，B错．根据x＝v0t＋at2得，物体2 s内的位移是12 m，4 s内的位移是16 m，第5 s内的位移是沿斜面向下滑动1 m，所以5 s内的位移是15 m，C错，D对．
二、匀变速直线运动推论公式的应用
例2 某人从静止开始，沿直线匀加速前进了4 s，达到最大速度6 m/s后，又以1.2 m/s2的加速度沿直线匀减速前进了3 s，然后做匀速直线运动．求：
(1)匀加速运动时的加速度大小；
(2)匀速运动时的速度大小；
(3)前7 s过程中人的总位移大小．
答案 (1)1.5 m/s2 (2)2.4 m/s (3)24.6 m
解析 (1)由题意得：a1＝＝ m/s2＝1.5 m/s2
(2)由v2＝v1－a2t2得，v2＝2.4 m/s
(3)x1＝t1＝12 m，x2＝t2＝12.6 m，
故x＝x1＋x2＝24.6 m.
1．平均速度公式的适用条件：
＝普遍适用于各种运动．
＝＝只适用于匀变速直线运动．
2．平均速度公式的特点：不涉及加速度a，且利用＝和＝可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
针对训练 物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度的大小为( )
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．无法求解
答案 B
解析 设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：
1＝＝，匀减速直线运动过程：2＝＝，所以整个运动过程的平均速度为＝＝，
解得vm＝30 m/s.
例3 一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10 s内，火车从他身边分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
(1)火车加速度的大小；
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度大小；
(3)人刚开始观察时火车速度的大小．
答案 (1)0.16 m/s2 (2)5.6 m/s (3)7.2 m/s
解析 (1)由题知，火车做匀减速直线运动，设火车加速度大小为a，车厢长L＝8 m
由Δx＝aT2，得8L－6L＝a×102，
解得a＝ m/s2＝0.16 m/s2.
(2)＝＝＝ m/s＝5.6 m/s.
(3)设人开始观察时火车速度大小为v0，
由－v02＝2·(－a)·8L得，
v0＝＝7.2 m/s
[还可以由＝v0－aT得：v0＝＋aT＝(5.6＋0.16×10) m/s＝7.2 m/s]．
1．速度与位移的关系v2－v02＝2ax，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单．
2．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内的位移差为常数，即Δx＝aT2，如果问题的已知量和未知量都不涉及速度，利用此式往往会使问题变得简洁．
例4 (2018·温州市十五校联考)冰壶比赛是在水平冰面上进行的一种投掷性竞赛项目．如图1所示为冰壶比赛场地示意图．比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运动前方的冰面，从而减小冰壶在冰面滑动的加速度大小．设未用毛刷擦冰面时，冰壶在冰面上滑动的加速度大小为0.08 m/s2，用毛刷擦冰面后，冰壶在冰面上滑动的加速度大小为0.04 m/s2，已知AB到O点的距离x＝30 m．在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以v＝2 m/s的速度沿虚线滑出．求：
图1
(1)未用毛刷擦冰面时，运动员放手后，冰壶C停在距离O点多远处？
(2)用毛刷擦冰面后，若冰壶恰好能停在O点，运动员要一直刷擦到圆心O点，刷擦的时间是多少？
答案 (1)5 m (2)10 s
解析 (1)x1＝＝25 m，所以，冰壶停在距离O点前Δx＝x－x1＝5 m.
(2)方法一 开始刷擦时冰壶的速度v1＝a2t；
x＝a2t2＋，
联立解得t＝10 s.
方法二 开始刷擦时冰壶的速度v1＝a2t；
x＝＋，
解得t＝10 s.
1．(匀变速直线运动规律的应用)由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s通过的位移为0.4 m，以下说法正确的是( )
A．第1 s末的速度为0.4 m/s
B．加速度为0.4 m/s2
C．第2 s内通过的位移为1.2 m
D．前2 s内通过的位移为1.2 m
答案 C
解析 设加速度为a，由x＝at2得，
a＝＝0.8 m/s2,
所以第1 s末的速度v1＝0.8 m/s，
第2 s内通过的位移为x2＝×0.8×22 m－×0.8×12 m＝1.2 m，故选项C正确．
2．(平均速度公式的应用)沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s内的平均速度比它在第一个1.5 s内的平均速度大2.45 m/s，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为( )
A．2.45 m/s2 B．－2.45 m/s2
C．4.90 m/s2 D．－4.90 m/s2
答案 D
解析 质点在第一个0.5 s内的平均速度为v1，即在t1＝0.25 s时的速度为v1；在第一个1.5 s内的平均速度为v2，即在t2＝0.75 s时速度为v2.由题意得：v1－v2＝2.45 m/s，故a＝＝ m/s2＝－4.90 m/s2，D正确．
3．(推论式v2－v02＝2ax的应用)(2018·浙江9＋1高中联盟联考)如图2所示，水平地面上有A、B、C三点，且AB＝3BC，有一物块由A点以初速度v0沿水平地面向右做匀减速运动，恰好运动到C点停止，已知物块由A点运动到C点经历的总时间为t，则( )
图2
A．物块在B点时的速度为
B．物块在B点时的速度为
C．物块从B到C的时间为
D．物块从B到C的时间为
答案 B
解析 由v2－v02＝2ax得xAB＝，
xBC＝，
又因为xAB＝3xBC，
所以vB＝，故B正确，A错误．
t＝＝，
tBC＝＝，
＝＝.故C、D错误．
4．(推论式Δx＝aT2的应用)一小球从静止开始做匀加速直线运动，在第15 s内的位移比前1 s内的位移多0.2 m，则下列说法正确的是( )
A．小球加速度为0.4 m/s2
B．小球前15 s内的平均速度为1.5 m/s
C．小球第14 s的初速度为2.8 m/s
D．第15 s内的平均速度为0.2 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：
a＝ m/s2＝0.2 m/s2，故A错误；小球15 s末的速度v15＝at15＝0.2×15 m/s＝3 m/s，则小球前15 s内的平均速度15＝＝ m/s＝1.5 m/s，故B正确；小球第14 s的初速度等于13 s末的速度，则v13＝at13＝0.2×13 m/s＝2.6 m/s，故C错误；小球第14 s末的速度v14＝at14＝0.2×14 m/s＝2.8 m/s，则第15 s内的平均速度为15′＝＝ m/s＝2.9 m/s，故D错误．
一、选择题
1．质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．第1 s内的位移是5 m
B．前2 s内的平均速度是6 m/s
C．任意1 s内的速度增量都是1 m/s
D．任意相邻的1 s内位移差都是2 m
答案 D
解析 第1 s内的位移x1＝6 m，故A错误；前2 s内的位移x2＝14 m，则前2 s内的平均速度＝＝ m/s＝7 m/s，故B错误；根据x＝v0t＋at2＝5t＋t2得，a＝2 m/s2，则任意1 s内速度的增量Δv＝at′＝2×1 m/s＝2 m/s，故C错误；任意相邻1 s内的位移差Δx＝aT2＝2×12 m＝2 m，故D正确．
2．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m．汽车开始减速时的速度是( )
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
答案 C
解析 由位移公式x＝v0t＋at2得汽车的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确．
3．物体由静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则下列说法不正确的是( )
A．第3 s内平均速度是3 m/s
B．物体的加速度是1.2 m/s2
C．前3 s内的位移是6 m
D．3 s末的速度是3.6 m/s
答案 C
解析 第3 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，A正确；前3 s内的位移x3＝at32，前2 s内的位移x2＝at22，故Δx＝x3－x2＝at32－at22＝3 m，即a·32－a·22＝3 m，解得a＝1.2 m/s2，B正确；将a代入x3＝at32得x3＝5.4 m，C错误；v3＝at3＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，D正确．
4．物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是( )
A．加速度a的大小为1 m/s2
B．初速度v0的大小为2.5 m/s
C．位移x3的大小为 m
D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s
答案 B
解析 根据Δx＝aT2得，
a＝＝ m/s2＝－1 m/s2，A项正确．
根据x1＝v0t1＋at12，得v0＝3.5 m/s，B项错误；第2 s末的速度v2＝v0＋at2＝(3.5－1×2) m/s＝1.5 m/s，
则x3＝＝ m＝ m，位移x3内的平均速度大小＝＝0.75 m/s，C、D正确．
5．(2018·4月选考·10)如图1所示，竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面．某一竖井的深度为104 m，升降机运行的最大速度为8 m/s，加速度大小不超过1 m/s2.假定升降机到井口的速度为0，则将矿石从井底提升到井口的最短时间是( )
图1
A．13 s B．16 s C．21 s D．26 s
答案 C
解析 运动分成三段，开始匀加速启动，接下来以8 m/s的速度匀速运动，最后匀减速运动到井口．
加速阶段，t1＝＝8 s，位移x1＝at2＝32 m.
减速阶段与加速阶段对称，t3＝8 s，x3＝32 m
匀速阶段：x2＝(104－32－32) m＝40 m，所以t2＝＝5 s
所以t总＝t1＋t2＋t3＝21 s，所以选C.
6．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2.则物体运动的加速度为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 通过第一段位移中间时刻的瞬时速度为v1＝，通过第二段位移中间时刻的瞬时速度为v2＝，由于v2－v1＝a·，所以a＝，选项A正确．
7．如图2所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动．则子弹穿出A时的速度为( )
图2
A. B.
C. D.v1
答案 C
解析 设子弹的加速度为a，则：
v22－v12＝2a·3L ①
vA2－v12＝2a·L ②
由①②两式得子弹穿出A时的速度
vA＝，C正确．
8．(2018·嘉兴一中期中)冬季我国多地都出现了雾霾天气，严重影响了人们的健康和交通．设有一辆汽车在能见度较低的雾霾天气里以54 km/h的速度匀速行驶，司机突然看到正前方有一辆静止的故障车，该司机刹车的反应时间为0.6 s，刹车后汽车匀减速前进，刹车过程中加速度大小为5 m/s2，最后停在故障车前1.5 m处，避免了一场事故．以下说法正确的是( )
A．司机发现故障后，汽车经过3 s停下
B．从司机发现故障车到停下来的过程，汽车的平均速度为7.5 m/s
C．司机发现故障车时，汽车与故障车的距离为33 m
D．从司机发现故障车到停下来的过程，汽车的平均速度为11 m/s
答案 C
9．(多选)物体沿一直线做匀加速直线运动，已知它在第2 s内的位移为4.0 m，第3 s内的位移为6.0 m，则下列说法中正确的是( )
A．它在第2 s初到第3 s末的平均速度的大小是5.0 m/s
B．它在第1 s内的位移是2.0 m
C．它的初速度为零
D．它的加速度大小是2.0 m/s2
答案 ABD
解析 第2 s初到第3 s末的总位移为10 m，时间为2 s，根据平均速度定义可知：
v＝＝5 m/s，即平均速度为5 m/s，故A正确；根据匀变速直线运动规律的推论Δx＝aT2可知，x2－x1＝x3－x2，可得第1 s内的位移为2.0 m，故B正确；根据Δx＝aT2可得加速度a＝ m/s2＝2.0 m/s2，故D正确；由B知第1 s内的位移为2.0 m，根据x＝v0t＋at2，可知物体的初速度v0＝1 m/s，不为零，故C错误．
10．(多选)汽车甲、乙从A沿直线运动到B，甲以速度v0做匀速直线运动从A到B，乙从A点由静止开始，以大小为a1的加速度做匀加速直线运动，接着又以大小为a2的加速度做匀减速直线运动，到B时刚好停止，且甲、乙两车从A到B的时间相同，均为t，则( )
A．乙车在运动过程中的最大速度与a1、a2有关
B．A、B两点的长度为v0t
C．不论a1、a2为何值，都有＝
D．不论a1、a2为何值，都有＝
答案 BC
解析 设乙车的最大速度为vm，根据平均速度推论知：t1＋t2＝(t1＋t2)＝t＝s，又s＝v0t，解得：vm＝2v0，与a1、a2无关，故A错误．
甲车做匀速直线运动，可知A、B两点的长度s＝v0t，故B正确．
对乙车，有：＋＝t，又vm＝2v0，解得：＝，故C正确，D错误．
二、非选择题
11．(2018·宁波市第一学期期末)如图3甲为一航拍飞机，操作员启动上升按钮，航拍飞机从地面上的O点由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，经过8 s到达离O点高为48 m处的A点时，操作员调节螺旋桨转速，改变升力大小，使得航拍飞机继续匀速上升，经4 s运动到B点，如图乙所示，求：
(1)航拍飞机匀加速运动阶段的加速度大小a和A点的瞬时速度大小vA；
(2)航拍飞机从O点到B点的平均速度大小.
图3
答案 (1)1.5 m/s2 12 m/s (2)8 m/s
解析 (1)航拍飞机做匀加速直线运动x1＝at12，
解得a＝1.5 m/s2，则vA＝at1＝12 m/s.
(2)匀速运动：xAB＝vAt＝48 m，
总位移：x＝x1＋xAB＝96 m，
飞机在OB段的平均速度＝＝ m/s＝8 m/s.
12．一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27 m的A、B两点所用时间为2 s，汽车经过B点时的速度为15 m/s.求：
(1)汽车经过A点时的速度大小和加速度大小；
(2)汽车从出发点到A点经过的距离；
(3)汽车经过B点后再经过2 s到达C点，则BC间距离为多少？
答案 (1)12 m/s 1.5 m/s2 (2)48 m (3)33 m
解析 (1)设汽车运动方向为正方向，过A点时速度为vA，
则AB段平均速度为AB＝
故xAB＝ABt＝t，解得vA＝12 m/s.
对AB段：a＝＝1.5 m/s2.
(2)设出发点为O，对OA段(v0＝0)：由v2－v02＝2ax
得xOA＝＝48 m.
(3)汽车经过BC段的时间等于经过AB段的时间，
由位移差公式有：xBC－xAB＝aT2，
得xBC＝xAB＋aT2＝27 m＋1.5×22 m＝33 m.
13．某款小轿车对紧急制动性能的设计要求是：以20 m/s的速度行驶时，急刹车距离不得超过25 m．在一次实验紧急制动性能测试中，该款小轿车以某一速度匀速行驶时实行紧急制动，测得制动时间为1.5 s，小轿车在制动的最初1 s内的位移为8.2 m．则：
(1)求小轿车安全制动的加速度．
(2)试根据测试结果进行计算来判断这辆轿车的紧急制动性能是否符合设计要求．
答案 (1)－8 m/s2 (2)符合设计要求
解析 (1)根据设计要求的加速度为：
a＝＝ m/s2＝－8 m/s2.
(2)测试出来的加速度设为a′，则有：
x′＝v0′t1＋a′t12，0＝v0′＋a′t2
代入得：8.2＝v0′×1＋a′×12
0＝v0′＋a′×1.5，解得：a′＝－8.2 m/s2
可知|a′|>|a|，故这辆轿车的紧急制动性能符合设计要求．
微型专题 实验：研究匀变速直线运动的规律
[学习目标] 1.进一步练习使用打点计时器.2.会利用平均速度求瞬时速度.3.会利用v－t图象处理实验数据，并据此判断物体的运动性质.4.能根据实验数据求加速度并会测量自由落体加速度.5.了解误差和有效数字.
一、实验原理
1.利用纸带判断物体是否做匀变速直线运动的方法
如图1所示，沿直线运动的物体在连续相等时间间隔T内的位移分别为x1、x2、x3、x4…xn，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2.
图1
2.测定匀变速直线运动加速度的方法
(1)图象法
①先根据“平均速度”法求出各计数点的速度vn＝.
②作v－t图象，求出图象的斜率即物体的加速度.
(2)利用位移差公式
①xn＋1－xn＝aT2得a＝，其中T为两计数点之间的时间间隔.
②逐差法
若纸带上选出多个计数点，可用逐差法求加速度a＝.
二、实验器材(以小车的匀变速直线运动为例)
打点计时器、交流电源、纸带、一端附有定滑轮的长木板、小车、细绳、钩码、复写纸、坐标纸、刻度尺.
三、注意事项
1.开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器.
2.先接通电源，打点计时器正常工作后，再释放小车，当小车停止运动时要及时断开电源.
3.要区别计时器打出的点与人为选取的计数点，一般在纸带上每隔四个点取一个计数点，即交流电源频率为50 Hz时，时间间隔为T＝0.02×5 s＝0.1 s.
4.描点时最好用坐标纸，在纵、横坐标轴上选取合适的单位，用细铅笔认真描点.
四、误差和有效数字
1.误差：测量值跟被测物理量的真实值之间的差异叫做误差.误差按产生原因可分为偶然误差和系统误差.
(1)偶然误差
①产生原因：由偶然因素造成的.
②特点：多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近.
③减小偶然误差的方法：取平均值.
(2)系统误差
①产生原因：由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的.
②特点：多次重复测量的结果总是大于(或小于)被测量的真实值.
③减小系统误差的方法：校准测量仪器，改进实验方法，完善实验原理.
2.绝对误差和相对误差
(1)绝对误差：测量值和真实值之差.
(2)相对误差：绝对误差与测量值之比.
3.有效数字
(1)定义：带有一位不可靠数字的近似数字叫做有效数字.
(2)运算结果一般取两位或三位有效数字表示.
一、研究匀变速直线运动
例1 (2018·温州市十五校联考)同学们利用如图2所示装置做“研究匀变速直线运动”实验.请你完成下列有关问题：
图2
(1)实验室提供如图3甲、乙两种打点计时器，某实验小组决定使用电火花计时器，则应选用图中的 (填“甲”或“乙”)计时器.
图3
(2)另一实验小组使用的是电磁打点计时器，图4中，接线正确的是 (填“甲”或“乙”)
图4
(3)小宇同学选取一条清晰纸带进行研究，在纸带上确定出九个计数点，如图5所示，相邻两个计数点之间的时间间隔为0.1 s，根据纸带提供的信息，纸带上3、5两点间距离为 mm.
图5
(4)纸带上计数点6的瞬时速度为 m/s，小车运动的加速度为 m/s2(瞬时速度保留3位有效数字，加速度保留2位有效数字).
(5)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，下列说法中对于减小实验误差有益的是 .
A.垫高长木板的一端，使小车在不挂钩码时能在木板上做匀速运动
B.使小车运动的加速度尽量小些
C.舍去纸带上密集的点，利用点迹清晰、点间间隔适当的那一部分进行测量
D.选用各处平整程度、光滑程度相同的长木板做实验
答案 (1)乙 (2)乙 (3)35.0 (4)0.255 0.40 (5)CD
解析 (1)题图甲为电磁打点计时器，题图乙为电火花计时器，故选乙；
(2)电磁打点计时器使用的是6 V以下交流电源，故题图乙的连接是正确的；
(3)由题图可得点3对应的刻度值为2.50 cm，点5对应的刻度值为6.00 cm，所以3、5两点间的距离为6.00 cm－2.50 cm＝3.50 cm＝35.0 mm.
(4)纸带上计数点6的瞬时速度等于5到7的平均速度，v6＝57＝＝ cm/s＝25.5 cm/s＝0.255 m/s.
逐差法计算加速度
a1＝，a2＝，a3＝，
则a＝＝≈0.40 m/s2.
(5)实验过程中，应使小车做匀加速直线运动，故选用平整程度、光滑程度相同的长木板做实验.处理纸带时，应舍去纸带上密集的点，利用点迹清晰，点间间隔适当的那一部分进行测量，以减少读数误差，故选C、D.
例2 如图6所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，从若干纸带中选中的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果.打点计时器所接电源是频率为50 Hz的交流电.
图6
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行下列计算，并填入下表内.(单位：cm)
x2－x1
x3－x2
x4－x3
x5－x4
x6－x5
由此可以得多出结论：小车的运动是 .
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝ s.
(3)小车的加速度的计算式a＝ ，加速度a＝ m/s2.
(4)计算打计数点B时小车的速度vB＝ m/s.
答案 见解析
解析 (1)数据如表所示.(单位：cm)
x2－x1
x3－x2
x4－x3
x5－x4
x6－x5
1.60
1.55
1.62
1.53
1.61
由数据表分析，可知各位移差与平均值最多相差0.05 cm，在误差允许范围内相邻相等时间内的位移差近似相等，因此可以得出结论：小车的运动是匀变速直线运动.
(2)该打点计时器所接的电源是频率为50 Hz的交流电，纸带上每隔4个点取一个计数点，即两个相邻计数点间有5段相等时间间隔，所以两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝5× s＝0.1 s.
(3)用逐差法来计算加速度.a1＝，a2＝，a3＝，取平均值，有a＝＝，将数据代入得加速度的值a＝×10－2 m/s2≈1.58 m/s2.
(4)由于小车做匀变速直线运动，因此，打计数点B时小车的速度等于AC段的平均速度，即vB＝＝×10－2 m/s≈0.518 m/s，也可以用OD间距离来计算vB＝＝0.518 m/s.
二、自由落体加速度的测量
例3 如图7所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物拖着纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度.
图7
(1)所需器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需 (填字母序号)中的器材.
A.直流电源、天平及砝码
B.直流电源、毫米刻度尺
C.交流电源、天平及砝码
D.交流电源、毫米刻度尺
(2)通过作图的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度.为使所作图线的斜率等于重力加速度，除作v－t图象，还可作 图象，其纵轴表示的是 ，横轴表示的是 .
答案 (1)D (2)－h 速度平方的二分之一 重物下落的高度
解析 (1)打点计时器需接交流电源；重力加速度与物体的质量无关，所以不需要天平和砝码；计算速度时需要用刻度尺测量相邻计数点间的距离，故选项D正确.
(2)由自由落体运动的规律v2＝2gh可得＝gh，当纵轴表示，横轴表示重物下落的高度h时，图线的斜率即可表示重力加速度.
测重力加速度的方法
1.打点计时器法
2.频闪照相法(如图8所示)
图8
(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置.
(2)根据匀变速直线运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝.也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝求出重力加速度g.
例4 如图9甲、乙是某研究性学习小组自己组装的用DIS实验装置来测定当地重力加速度g的两套实验方案(与数据采集器和计算机的连接均未画出).
图9
(1)补齐甲方案操作步骤：
①如图安装好器材，启动DIS，进入“用DIS测加速度的界面”.
②开启发射器电源，由静止释放发射器，获得发射器自由下落的v－t图象.
③在图象上选取两点A、B，记录vA、vB和两点之间时间间隔Δt，求出该次实验g值，
④ .
(2)为了减小该实验的误差，选取A、B两点时应注意的是： .
(3)乙方案中已测量的物理量有：球直径d、球通过光电门1和2的时间Δt1、Δt2，还需测出的一个物理量是 ，并写出g值的表达式 .
(4)为了减小实验误差，安装乙方案中两光电门时应注意：
.
答案 (1)④多次测量得出g的平均值 (2)A、B两点应在v－t图线的同一直线上，且相距较远 (3)两光电门之间的高度差h(或球从光电门1到光电门2的时间t) g＝
(4)两光电门水平且中心应在同一竖直线上，且相距较远
解析 (1)④为了减小实验误差，需要多次测量求得g的平均值；(2)这两点的选取应注意相隔较远一点，并且取在直线上的点，因为分布在直线两侧的点的实验误差较大；(3)在乙方案中，根据位移速度公式2－2＝2gh，即还需要测量两光电门之间的高度差h，表达式为g＝；(4)为了减小实验误差，实验时间应尽量长一点，即两光电门之间的距离大一些，因为是竖直方向上的运动，所以还需要保证两光电门水平且中心在同一竖直线上.
1.(仪器选择与数据处理)(2018·宁波市第一学期期末)在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中
(1)用到电磁打点计时器，应采用的电源是( )
A.学生电源交流输出
B.3节干电池
C.蓄电池
(2)下列说法正确的是( )
A.应先接通打点计时器的电源，在打点计时器开始打点后再释放小车
B.应先释放小车，再接通打点计时器的电源
(3)某学生实验时得到一条点迹清晰的纸带如图10所示，图中O、A、B、C、D、E是打点计时器连续打下的6个点，若打点计时器的打点周期为T，则利用此纸带得到小车的加速度的表达式为 (用x2、x5、T来表示)
图10
答案 (1)A (2)A (3)a＝
解析 (1)电磁打点计时器接4～6 V的交流电源，应采用的电源是学生电源交流输出，故A正确，B、C错误；
(2)实验时，应先接通打点计时器的电源，在打点计时器开始打点后再释放小车，故A正确，B错误；
(3)根据Δx＝aT2得x3－x2＝aT2，x4－x3＝aT2，x5－x4＝aT2，
联立解得a＝.
2.(实验数据处理)(2018·嘉兴市第一学期期末)某同学用如图11所示装置研究小车在不同接触面上的运动情况，该同学将小车以适当的初速度释放后，用打点计时器记录小车的运动情况，通过反复实验得到一系列打上点的纸带，并最终选择了如图12所示的一条纸带(附有刻度尺)进行测量(结果均保留小数点后两位).(打点计时器接频率为50 Hz的交流电)
图11
图12
(1)请将A、B、C……J各点对应的刻度值，按照正确的读数方法填写在下表内(单位cm).
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
13.20
11.38
9.60
7.80
4.40
3.00
1.80
0.80
0.00
(2)根据以上数据，纸带上C点小车的速度大小vC＝ m/s；
(3)对应纸带E、J两点间，小车在做 运动，它的加速度大小为 m/s2.
答案 (1)6.00 (2)0.90 (3)匀减速直线 5.00
3.某同学用频闪照相法研究小球的自由落体运动，选择一张清晰的频闪照片，剪掉前面小球重叠部分进行研究.已知小球在释放位置时，球心与刻度尺的零刻度线对齐.
(1)根据图13相片中刻度尺的数据，请你读出小球运动到照片中第五个相点时，下落的高度为 m；
图13
(2)若所用照相机的曝光频率为f，照片上1、3相点距离和1、5相点距离分别为x1、x2，则相点2所对应小球的速度v＝ ，小球自由下落的加速度a＝ .
答案 (1)0.211 8(0.211 6～0.212 0) (2)
解析 (1)由题图可知，下落的高度h＝21.18 cm＝0.211 8 m.
(2)根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，相点2的瞬时速度v＝＝.
根据x2－2x1＝a(2T)2得，a＝.
1.某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了几条较为理想的纸带.他已在每条纸带上按每5个点取一个计数点，即两计数点之间的时间间隔为0.1 s，依打点先后编为0、1、2、3、4、5.由于不小心，几条纸带都被撕断了，如图1所示.请根据给出的A、B、C、D四段纸带回答：(填字母)
图1
(1)在B、C、D三段纸带中选出从纸带A上撕下的那段应该是 .
(2)打A纸带时，物体的加速度大小是 m/s2.
答案 (1)C (2)0.6
解析 (1)因为Δx＝x12－x01＝6.0 mm，故x45－x12＝3×6.0 mm，故x45＝54.0 mm，故C是从A上撕下的那段纸带.
(2)根据Δx＝aT2，解得：a＝＝ m/s2＝0.6 m/s2.
2.(2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)研究小车匀变速直线运动的实验装置如图2(a)所示，其中斜面倾角θ可调，打点计时器工作频率为50 Hz，纸带上计数点的间距如图(b)所示，其中每相邻两点之间还有4个记录点未画出.
图2
(1)部分实验步骤如下：
A.测量完毕，关闭电源，取出纸带
B.接通电源，待打点计时器工作稳定后放开小车
C.将小车停靠在打点计时器附近，小车尾部与纸带相连
D.把打点计时器固定在平板上，让纸带穿过限位孔
上述实验步骤的正确顺序是： (用字母填写).
(2)图(b)中标出的相邻两计数点的时间间隔T＝ s.
(3)计数点5对应的瞬时速度大小计算式为v5＝ .
(4)为了充分利用记录数据，减小误差，小车加速度大小的计算式应为a＝ .
答案 (1)DCBA (2)0.1 (3)
(4)
3.某校研究性学习小组的同学用如图3甲所示的滴水法测量一小车在斜面上运动时的加速度.实验过程如下：在斜面上铺上白纸，用图钉固定；把滴水计时器固定在小车的末端，在小车上固定一平衡物；调节滴水计时器的滴水速度，使其每0.2 s滴一滴(以滴水计时器内盛满水为准)；在斜面顶端放置一浅盘，把小车放在斜面顶端，把调好的滴水计时器盛满水，使水滴能滴入浅盘内；随即在撤去浅盘的同时放开小车，于是水滴在白纸上留下标志小车运动规律的点迹；小车到达斜面底端时立即将小车移开.图乙为实验得到的一条纸带，用刻度尺量出相邻点之间的距离是x01＝1.40 cm，x12＝2.15 cm，x23＝2.91 cm，x34＝3.65 cm，x45＝4.41 cm，x56＝5.15 cm.试问：
图3
(1)滴水计时器的原理与课本上介绍的 原理类似.
(2)由纸带数据计算可得点4所代表时刻的瞬时速度v4＝ m/s，小车的加速度a＝
m/s2.(结果均保留两位有效数字)
答案 (1)打点计时器 (2)0.20 0.19
解析 (1)由题知滴水计时器的原理与打点计时器原理类似.
(2)可把小车的运动看做是匀变速直线运动，则
v4＝＝＝ m/s≈0.20 m/s；求加速度利用逐差法：(x56＋x45＋x34)－(x23＋x12＋x01)＝9aT2，即(5.15＋4.41＋3.65)×10－2 m－(2.91＋2.15＋1.40)×10－2 m＝9a×(0.2 s)2，解得a≈0.19 m/s2.
4.一同学利用气垫导轨测定滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板，如图4所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt1＝0.30 s，通过第二个光电门的时间为Δt2＝0.10 s，则滑块经过第一个光电门的速度v1＝0.1 m/s，滑块经过第二个光电门时的速度v2＝0.3 m/s.
图4
(1)若已知遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt＝4.0 s，则滑块的加速度大小a＝ m/s2.
(2)若已知两光电门间距为L＝80.00 cm，则滑块的加速度大小a′＝ m/s2.
(3)为了减小误差，可采取的办法是 .
A.增大遮光板的宽度
B.减小遮光板的宽度
C.增大两光电门的间距
D.减小两光电门的间距
答案 (1)5×10－2 (2)5×10－2 (3)BC
解析 (1)据v2＝v1＋aΔt得a＝5×10－2 m/s2.(2)据v22－v12＝2a′L得a′＝5×10－2 m/s2.(3)遮光板的宽度越小，瞬时速度的测量误差越小；两光电门的间距越大，测量L的相对误差越小，故选B、C.
5.在暗室中用图5所示装置做“测定重力加速度”的实验.
图5
实验器材有：支架、漏斗、橡皮管、尖嘴玻璃管、螺丝夹子、接水铝盒、一根带荧光刻度的米尺、频闪仪.
具体实验步骤如下：
①在漏斗内盛满清水，旋松螺丝夹子，水滴会以一定的频率一滴滴的落下.
②用频闪仪发出的白闪光将水滴流照亮，由大到小逐渐调节频闪仪的频率直到第一次看到一串仿佛固定不动的水滴.
③用竖直放置的米尺测得各个水滴所对应的刻度.
④采集数据进行处理.
(1)实验中看到空间有一串仿佛固定不动的水滴时，频闪仪的闪光频率满足的条件是：频闪仪闪光频率 (填“等于”或“不等于”)水滴滴落的频率.
(2)若实验中观察到水滴“固定不动”时的闪光频率为30 Hz，某同学读出其中比较远的水滴到第一个水滴的距离如图6所示，根据数据测得小水滴下落的加速度也即当地重力加速度g＝ m/s2；第7个水滴此时的速度v7＝ m/s.(结果都保留三位有效数字)
图6
答案 (1)等于 (2)9.72 1.94
解析 (1)频闪仪频率等于水滴滴落的频率时，则每滴下来的一滴水，频闪仪都在相同的位置记录，故可看到一串仿佛固定不动的水滴.
(2)根据题意可知x67＝19.30 cm－13.43 cm＝5.87 cm，
x78＝26.39 cm－19.30 cm＝7.09 cm
x89＝34.48 cm－26.39 cm＝8.09 cm
x90＝43.67 cm－34.48 cm＝9.19 cm
由逐差法可得
g＝×10－2 m/s2＝9.72 m/s2
第7个水滴的速度为：
v7＝＝×10－2 m/s≈1.94 m/s.
第二章 匀变速直线运动的研究
章末总结
