正多边形和圆
【经典例题】
知识点一 正多边形的概念
【例1】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于_________
【分析】直接利用正方边形的性质得出∠AOB的度数，进而结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°．
故答案为：45°
【例2】如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点。
求证：（1）BF∥EC；
（2）点M、N为BF的三等分点．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理求出正六边形各个内角的度数，根据正多边形的性质和等腰三角形的性质计算即可证明结论；
（2）证明△ABM、△ANF是等腰三角形，△AMN是等边三角形即可．
【解答】证明：（1）∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴各个内角的度数为：
∵AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝30°，又∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝90°，
同理∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BCE＝180°，
∴BF∥EC；
（2）∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠BAC＝30°，又∠ABF＝30°，
∴MB＝MA，∠AMN＝60°，
同理NA＝NF，∠ANM＝60°，
∴△AMN的等边三角形，
∴BM＝MN＝NF，
∴点M、N为BF的三等分点．
知识点二 正多边形的有关计算
【例3】已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABC求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G
∵∠AOB＝60°，OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA＝OB＝6，即R＝6
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB
∴AG＝AB＝×6＝3
∴在Rt△AOG中，
∴
【例4】如图，正方形的边长为1dm，剪去四个角后成为一个正八边形。求这个正八边形的边长和面积。
【分析】设正八边形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质表示出被剪掉的小直角三角形的直角边，然后根据正方形的边长列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角边，最后根据正八边形的面积等于正方形的面积减去四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：设正八边形的边长为x，则被剪掉小直角三角形的直角边为
由题意得，
解得
所以，小直角三角形的直角边为
所以，正八边形的面积＝
答：这个正八边形的边长为，面积为
【知识巩固】
1. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
3. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A. 1：2： B. 2：3：4 C. 1：：2 D. 1：2：3
4. 如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
5. 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A. B. C. 2 D.
【培优特训】
6. 一个正方形的边长与一个圆的半径相等，那么正方形与圆的面积比为__________
7. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______
8. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为__________度．
9. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
．
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．
【中考链接】
11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_________
12. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝_______
13. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝_________°
正多边形和圆
【经典例题】
知识点一 正多边形的概念
【例1】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于_________
【分析】直接利用正方边形的性质得出∠AOB的度数，进而结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°．
故答案为：45°
【例2】如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点。
求证：（1）BF∥EC；
（2）点M、N为BF的三等分点．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理求出正六边形各个内角的度数，根据正多边形的性质和等腰三角形的性质计算即可证明结论；
（2）证明△ABM、△ANF是等腰三角形，△AMN是等边三角形即可．
【解答】证明：（1）∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴各个内角的度数为：
∵AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝30°，又∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝90°，
同理∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BCE＝180°，
∴BF∥EC；
（2）∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠BAC＝30°，又∠ABF＝30°，
∴MB＝MA，∠AMN＝60°，
同理NA＝NF，∠ANM＝60°，
∴△AMN的等边三角形，
∴BM＝MN＝NF，
∴点M、N为BF的三等分点．
知识点二 正多边形的有关计算
【例3】已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABC求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G
∵∠AOB＝60°，OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA＝OB＝6，即R＝6
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB
∴AG＝AB＝×6＝3
∴在Rt△AOG中，
∴
【例4】如图，正方形的边长为1dm，剪去四个角后成为一个正八边形。求这个正八边形的边长和面积。
【分析】设正八边形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质表示出被剪掉的小直角三角形的直角边，然后根据正方形的边长列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角边，最后根据正八边形的面积等于正方形的面积减去四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：设正八边形的边长为x，则被剪掉小直角三角形的直角边为
由题意得，
解得
所以，小直角三角形的直角边为
所以，正八边形的面积＝
答：这个正八边形的边长为，面积为
【知识巩固】
1. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
3. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A. 1：2： B. 2：3：4 C. 1：：2 D. 1：2：3
4. 如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
5. 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A. B. C. 2 D.
【培优特训】
6. 一个正方形的边长与一个圆的半径相等，那么正方形与圆的面积比为__________
7. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______
8. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为__________度．
9. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
．
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．
【中考链接】
11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_________
12. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝_______
13. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝_________°
正多边形和圆
【经典例题】
知识点一 正多边形的概念
【例1】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于_________
【分析】直接利用正方边形的性质得出∠AOB的度数，进而结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°．
故答案为：45°
【例2】如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点。
求证：（1）BF∥EC；
（2）点M、N为BF的三等分点．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理求出正六边形各个内角的度数，根据正多边形的性质和等腰三角形的性质计算即可证明结论；
（2）证明△ABM、△ANF是等腰三角形，△AMN是等边三角形即可．
【解答】证明：（1）∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴各个内角的度数为：
∵AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝30°，又∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝90°，
同理∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BCE＝180°，
∴BF∥EC；
（2）∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠BAC＝30°，又∠ABF＝30°，
∴MB＝MA，∠AMN＝60°，
同理NA＝NF，∠ANM＝60°，
∴△AMN的等边三角形，
∴BM＝MN＝NF，
∴点M、N为BF的三等分点．
知识点二 正多边形的有关计算
【例3】已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABC求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G
∵∠AOB＝60°，OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA＝OB＝6，即R＝6
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB
∴AG＝AB＝×6＝3
∴在Rt△AOG中，
∴
【例4】如图，正方形的边长为1dm，剪去四个角后成为一个正八边形。求这个正八边形的边长和面积。
【分析】设正八边形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质表示出被剪掉的小直角三角形的直角边，然后根据正方形的边长列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角边，最后根据正八边形的面积等于正方形的面积减去四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：设正八边形的边长为x，则被剪掉小直角三角形的直角边为
由题意得，
解得
所以，小直角三角形的直角边为
所以，正八边形的面积＝
答：这个正八边形的边长为，面积为
【知识巩固】
1. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：
故这个正多边形的边数为4．
故选：B
2. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半
边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°－30°＝150°
故选：D．
3. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A. 1：2： B. 2：3：4 C. 1：：2 D. 1：2：3
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD
因而AD＝OC＋OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°
则OD：OC＝1：2
因而OD：OC：AD＝1：2：3
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3
故选D．
4. 如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：∵一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上
∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°
∴上面的小三角形是等边三角形
∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1
同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1
故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是8．
故选：B．
5. 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A. B. C. 2 D.
【解答】解：连接AC，交⊙O与点F
∵⊙O内切于正方形ABCD，MN为⊙O的切线
∴AC经过点O和点F，△FNC为等腰直角三角形
∴NC＝FN
∵CD、MN是⊙O的切线
∴EN＝NF
设FN＝a，则NC＝a，则DC＝(2＋)a，AC＝(＋4)a
∴AF＝AC－FC＝(＋3)a
∵△AMN的面积为4，
∴AF?MN＝4，即
解得：
解得：（负值已舍去）
∴
故选：C
【培优特训】
6. 一个正方形的边长与一个圆的半径相等，那么正方形与圆的面积比为__________
【解答】解：假设圆的半径是a，则：这个圆的面积是π
这个正方形的面积π
所以正方形与圆的面积比为：
7. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______
【解答】解：连接OA
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝
∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°
8. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为__________度．
【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，
∴OA⊥AE，OC⊥CD，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝108°，
∴OCB＝108°－90°＝18°
故答案为18．
9. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【解答】解：（1）连接OB，OC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BOC＝90°
∴∠P＝∠BOC＝45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E
∵OB＝OC，∠BOC＝90°
∴∠OBE＝45°
∴OE＝BE
∵OE2＋BE2＝OB2
∴
∴BC＝2BE＝2×＝
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC
又∵∠APC＝∠CPB＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：连接AO并延长其交BC于D，那么AD⊥BC，连接OB．
∵AD⊥BC，AB＝AC
∴∠BAD＝∠BAC＝30°
∴在直角三角形ABD中，AB＝4，BD＝2
根据勾股定理AD＝
直角三角形OBD中，OD＝AD－OA＝AD－OB＝－OB，BD＝2
根据勾股定理可得：OB2＝BD2＋OD2
即
解得：
因此⊙O的半径是cm
【中考链接】
11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_________
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形
∵BA＝BC
∴∠BAC＝∠BCA＝36°
同理∠ABE＝36°
∴∠AFE＝∠ABF＋∠BAF＝36°＋36°＝72°
12. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝_______
【解答】解：连接OA、OB、OC
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴∠AOB＝∠BOC＝72°
∵OA＝OB，OB＝OC
∴∠OBA＝∠OCB＝54°
在△OBP和△OCQ中
∴△OBP≌△OCQ
∴∠BOP＝∠COQ
∵∠AOB＝∠AOP＋∠BOP，∠BOC＝∠BOQ＋∠QOC
∴∠BOP＝∠QOC
∵∠POQ＝∠BOP＋∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ＋∠QOC
∴∠POQ＝∠BOC＝72°
13. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝_________°
【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°－108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE－∠EAD＝72°，
故答案是：72°．
正多边形和圆
【经典例题】
知识点一 正多边形的概念
【例1】如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于_________
【分析】直接利用正方边形的性质得出∠AOB的度数，进而结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠AOB＝90°，
∴∠APB＝45°．
故答案为：45°
【例2】如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点。
求证：（1）BF∥EC；
（2）点M、N为BF的三等分点．
【分析】（1）根据多边形的内角和定理求出正六边形各个内角的度数，根据正多边形的性质和等腰三角形的性质计算即可证明结论；
（2）证明△ABM、△ANF是等腰三角形，△AMN是等边三角形即可．
【解答】证明：（1）∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴各个内角的度数为：
∵AB＝AF，∠BAF＝120°，
∴∠ABF＝30°，又∠ABC＝120°，
∴∠CBF＝90°，
同理∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BCE＝180°，
∴BF∥EC；
（2）∵∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠BAC＝30°，又∠ABF＝30°，
∴MB＝MA，∠AMN＝60°，
同理NA＝NF，∠ANM＝60°，
∴△AMN的等边三角形，
∴BM＝MN＝NF，
∴点M、N为BF的三等分点．
知识点二 正多边形的有关计算
【例3】已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的半径R，边心距，面积
【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABC求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G
∵∠AOB＝60°，OA＝OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA＝OB＝6，即R＝6
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB
∴AG＝AB＝×6＝3
∴在Rt△AOG中，
∴
【例4】如图，正方形的边长为1dm，剪去四个角后成为一个正八边形。求这个正八边形的边长和面积。
【分析】设正八边形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质表示出被剪掉的小直角三角形的直角边，然后根据正方形的边长列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角边，最后根据正八边形的面积等于正方形的面积减去四个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：设正八边形的边长为x，则被剪掉小直角三角形的直角边为
由题意得，
解得
所以，小直角三角形的直角边为
所以，正八边形的面积＝
答：这个正八边形的边长为，面积为
【知识巩固】
1. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：
故这个正多边形的边数为4．
故选：B
2. 正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半
边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°－30°＝150°
故选：D．
3. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）
A. 1：2： B. 2：3：4 C. 1：：2 D. 1：2：3
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD
因而AD＝OC＋OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°
则OD：OC＝1：2
因而OD：OC：AD＝1：2：3
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3
故选D．
4. 如图所示，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：∵一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上
∴它的一半是60°，它的邻补角也是60°
∴上面的小三角形是等边三角形
∴上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1
同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1
故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是8．
故选：B．
5. 如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（ ）
A. B. C. 2 D.
【解答】解：连接AC，交⊙O与点F
∵⊙O内切于正方形ABCD，MN为⊙O的切线
∴AC经过点O和点F，△FNC为等腰直角三角形
∴NC＝FN
∵CD、MN是⊙O的切线
∴EN＝NF
设FN＝a，则NC＝a，则DC＝(2＋)a，AC＝(＋4)a
∴AF＝AC－FC＝(＋3)a
∵△AMN的面积为4，
∴AF?MN＝4，即
解得：
解得：（负值已舍去）
∴
故选：C
【培优特训】
6. 一个正方形的边长与一个圆的半径相等，那么正方形与圆的面积比为__________
【解答】解：假设圆的半径是a，则：这个圆的面积是π
这个正方形的面积π
所以正方形与圆的面积比为：
7. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______
【解答】解：连接OA
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝
∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°
8. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为__________度．
【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，
∴OA⊥AE，OC⊥CD，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝108°，
∴OCB＝108°－90°＝18°
故答案为18．
9. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【解答】解：（1）连接OB，OC
∵四边形ABCD为正方形
∴∠BOC＝90°
∴∠P＝∠BOC＝45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E
∵OB＝OC，∠BOC＝90°
∴∠OBE＝45°
∴OE＝BE
∵OE2＋BE2＝OB2
∴
∴BC＝2BE＝2×＝
10. 如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC
又∵∠APC＝∠CPB＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝60°
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：连接AO并延长其交BC于D，那么AD⊥BC，连接OB．
∵AD⊥BC，AB＝AC
∴∠BAD＝∠BAC＝30°
∴在直角三角形ABD中，AB＝4，BD＝2
根据勾股定理AD＝
直角三角形OBD中，OD＝AD－OA＝AD－OB＝－OB，BD＝2
根据勾股定理可得：OB2＝BD2＋OD2
即
解得：
因此⊙O的半径是cm
【中考链接】
11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_________
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形
∵BA＝BC
∴∠BAC＝∠BCA＝36°
同理∠ABE＝36°
∴∠AFE＝∠ABF＋∠BAF＝36°＋36°＝72°
12. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝_______
【解答】解：连接OA、OB、OC
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴∠AOB＝∠BOC＝72°
∵OA＝OB，OB＝OC
∴∠OBA＝∠OCB＝54°
在△OBP和△OCQ中
∴△OBP≌△OCQ
∴∠BOP＝∠COQ
∵∠AOB＝∠AOP＋∠BOP，∠BOC＝∠BOQ＋∠QOC
∴∠BOP＝∠QOC
∵∠POQ＝∠BOP＋∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ＋∠QOC
∴∠POQ＝∠BOC＝72°
13. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝_________°
【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°－108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE－∠EAD＝72°，
故答案是：72°．
