20.3.1 等腰三角形同步课时作业（1）
文档属性
| 名称 | 20.3.1 等腰三角形同步课时作业（1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-30 11:06:26 | ||
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文档简介
20.3.1 等腰三角形同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A． 50° B． 65° C． 50°或65° D． 50°或80°
2．如图，在中，，，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则
A． B． C． D．
3．等腰三角形的腰长为，底边长为，则该三角形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A． BD=AD B． BD=CD C． ∠B=∠C D． ∠BAD=∠CAD
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,则∠BAE=（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 80°
6．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC； ②AD=BC；③∠B=∠C； ④BD=CD。正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．已知等腰三角形的两边长为m和n．且m、n满足 =0，则这个三角形的周长是( )．
A． 13或17 B． 17 C． 13 D． 14或17
8．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为
A． 6 B． 7 C． 8 D． 7或8
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（ ）
A． D是BC中点 B． AD平分∠BAC C． AB＝2BD D． ∠B＝∠C
二、填空题
10．如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，AB=AC,BC边的中点D处有一个重锤，小明建BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，其中的道理是____________________________.
11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD=CD=BC，若∠ACD=40°，则∠B=_____°．
12．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是_____．
13．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于_____°．
14．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是______________.
15．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A=_______，∠B=_______。
16．如图，等边中，AD是中线，于点E，，则点D到AB的距离为：______．
三、解答题
17．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，用尺规作图：在AC的延长线上截取AD=AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹），求∠BDC的度数。
18．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACD的度数．
19．已知，如图，，E是AB的中点，，求证：．
20．如图,在△ABC中,AB=AC,DE是△ABE的对称轴,△BCE的周长为14,BC=6,求AB的长.
21．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：DE=DF．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．
参考答案
1．D
【解析】【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
当顶角∠A=50°时
∠B=∠C=
当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故正确选项为：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解．
【详解】
，，
，
以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
3．B
【解析】如图等腰，过顶点作，
∴，
∵底边，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选．
4．A
【解析】分析：由在中，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
详解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD.
无法确定BD=AD.
故B. C.?D正确，A错误.
故选A.
点睛：考查等腰三角形的性质.熟练运用等角对等边以及三线合一的性质是解答本题的关键.
5．A
【解析】分析：利用等腰三角形性质，垂直平分线性质求解.
详解：AB=AC，∠BAC=100°,∠B=40°，AB的垂直平分线，所以∠BAE=∠B=40°，
故选A.
点睛：等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
6．C
【解析】试题解析：①∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，故本小题正确；
②∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，
∵∠B与∠BAC的大小不能确定，
∴AD与BC的长度无法比较，故本小题错误.
③∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，故本小题正确；
④∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠CAB，
∴BD=CD，故本小题正确.
故选C.
7．B
【解析】
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【详解】
∵=0，
∴m+n-10=0，m-n-4=0，
解得m=7，n=3，
当m=7作腰时，三边为7，7，3，符合三边关系定理，周长为：7+7+3=17，
当m=7作底时，三边为7，3，3，此三角形不存在．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
8．D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是2，底边是3时，②当腰是3，底边是2时，求出即可．
【详解】
∵（a-2）2+|b-3|=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
9．C
【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ，
∴D是BC中点，∠B=∠C，(故A、D正确)
∠BAD=∠CAD(故B正确)
无法得到AB=2BD，(故C不正确).
故选：C.
10．等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.
【解析】分析:因为等腰三角形底边上的中线和底边上高所在直线互相重合.
详解: ∵在三角测平架中,AB=AC,
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高, 又AD自然下垂, ∴BC处于水平位置, 故答案为：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.
点睛:本题主要考查等腰三角形三线合一性质,解决本题的关键是要掌握等腰三角形三线合一的性质.
11．80
【解析】
【分析】
根据等边对等角可得∠A=∠ACD,∠B=∠BDC,然后利用三角形外角性质可得.
【详解】
因为，在△ABC中，AD=CD=BC
所以，∠A=∠ACD=40°,∠B=∠BDC,
又因为∠BDC=∠A+∠ACD=40°+40°=80°，
所以，∠B=∠BDC=80°.
故答案为：80
【点睛】
本题考核知识点：等腰三角形性质.解题关键点：熟记等腰三角形性质.
12．20°
【解析】
【分析】
根据“等腰三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理”结合“已知条件”进行分析解答即可.
【详解】
∵DB=DE，AB=AC，
∴∠B=∠DEB，∠CAB=∠ACB，
∵∠ADE=∠B+∠DEB，
∴∠ADE=2∠B，
又∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ACB=4∠B=∠CAB，
又∵∠B+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠B+4∠B+4∠B=180°，
∴∠B=20°.
故答案为：20°.
【点睛】
熟知“等腰三角形的性质：等边对等角；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形内角和为180°”是解答本题的关键.
13．65
【解析】分析：利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
详解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．
故答案为：65．
点睛：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14．30°
【解析】分析：根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再根据是三角形内角和定理得到∠A=40°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可求∠DCB的度数．
详解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15． 500 650
【解析】∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A+∠B=115°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-115°=65°，
∴∠B=∠C=65°，∠A=180°-65°-65°=3=50°.
即（1）∠A=50°，（2）∠B=65°.
16．3
【解析】
【分析】
作DF⊥AB,根据等腰三角形性质可得AD是∠BAC的角平分线；根据角平分线性质可得DF=DE=3.
【详解】
作DF⊥AB,
因为，三角形ABC是等边三角形，AD是中线
所以，∠BAD=∠CAD=30?,即：AD是∠BAC的角平分线.
因为，，
所以，DF=DE=3,
所以，D到AB的距离为3.
故答案为：3
【点睛】
本题考核知识点：等腰三角形性质，角平分线性质. 解题关键点：熟记等腰三角形“三线合一”性质.
17．67.5°
【解析】分析：根据尺规作图的方法，以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于D，然后连结BD即可；根据等腰三角形的性质，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形内角和可求出∠ADB=67.5°；
详解：(1)如图所示，
(2)∵AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB
∵∠BAC=45°,
∴∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°
点睛：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和.
18．（1）证明见解析；（2）60°
【解析】试题分析：（1）利用SAS即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数，进而利用三角形的内角和得出∠ACD的度数．
试题解析：
（1）证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝30°＋45°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．见解析
【解析】
【分析】
由CE=DE易得∠ECD=∠EDC，结合AB∥CD易得∠AEC=∠BED，由此再结合AE=BE，CE=DE即可证得△AEC≌△BED，由此即可得到AC=BD.
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵是AB的中点，
∴，
在和中，，
∴≌．
∴．
【点睛】
熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.
20．8
【解析】试题分析：由DE是△ABE的对称轴，根据轴对称的性质可得AE=BE，再由C△BCE=BC+CE+BE=14，可得BC+AC=14，从而求得AB的长.
试题解析：
因为DE是△ABE的对称轴,
所以AE=BE.
所以C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14.
因为BC=6,所以AC=8.
所以AB=AC=8.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，又因DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理即可证得DE=DF；（2）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CDA=90°，又因DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，可得∠ADE=∠ADF=45°，利用ASA证得△AED≌△AFD，根据全等三角形等的性质即可得结论.
试题解析：
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．
点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
22．证明见解析
【解析】分析：先利用等边对等角证出∠B=∠C，再线段垂直平分线的性质得到ED=EC，进而得到∠EDC=∠C，利用等量代换得到∠EDC=∠B，最后利用平行线的判定即可证出结论.
详解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分CD，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠EDC=∠B，
∴DF∥AB．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定.利用等腰三角形的性质、垂直平分线的性质证出∠EDC=∠B是解题的关键.
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A． 50° B． 65° C． 50°或65° D． 50°或80°
2．如图，在中，，，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则
A． B． C． D．
3．等腰三角形的腰长为，底边长为，则该三角形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（ ）
A． BD=AD B． BD=CD C． ∠B=∠C D． ∠BAD=∠CAD
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,则∠BAE=（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 80°
6．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC； ②AD=BC；③∠B=∠C； ④BD=CD。正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．已知等腰三角形的两边长为m和n．且m、n满足 =0，则这个三角形的周长是( )．
A． 13或17 B． 17 C． 13 D． 14或17
8．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为
A． 6 B． 7 C． 8 D． 7或8
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（ ）
A． D是BC中点 B． AD平分∠BAC C． AB＝2BD D． ∠B＝∠C
二、填空题
10．如图，墙上钉了根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，再这个测平仪中，AB=AC,BC边的中点D处有一个重锤，小明建BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，其中的道理是____________________________.
11．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD=CD=BC，若∠ACD=40°，则∠B=_____°．
12．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是_____．
13．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于_____°．
14．如图，在三角形ABC中，AD=AC=BC，∠CDA=70°，则∠DCB的度数是______________.
15．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A=_______，∠B=_______。
16．如图，等边中，AD是中线，于点E，，则点D到AB的距离为：______．
三、解答题
17．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，用尺规作图：在AC的延长线上截取AD=AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹），求∠BDC的度数。
18．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACD的度数．
19．已知，如图，，E是AB的中点，，求证：．
20．如图,在△ABC中,AB=AC,DE是△ABE的对称轴,△BCE的周长为14,BC=6,求AB的长.
21．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：DE=DF．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DE∥AB．
参考答案
1．D
【解析】【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
当顶角∠A=50°时
∠B=∠C=
当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故正确选项为：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解．
【详解】
，，
，
以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
3．B
【解析】如图等腰，过顶点作，
∴，
∵底边，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选．
4．A
【解析】分析：由在中，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
详解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD.
无法确定BD=AD.
故B. C.?D正确，A错误.
故选A.
点睛：考查等腰三角形的性质.熟练运用等角对等边以及三线合一的性质是解答本题的关键.
5．A
【解析】分析：利用等腰三角形性质，垂直平分线性质求解.
详解：AB=AC，∠BAC=100°,∠B=40°，AB的垂直平分线，所以∠BAE=∠B=40°，
故选A.
点睛：等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
6．C
【解析】试题解析：①∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，故本小题正确；
②∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，
∵∠B与∠BAC的大小不能确定，
∴AD与BC的长度无法比较，故本小题错误.
③∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，故本小题正确；
④∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD平分∠CAB，
∴BD=CD，故本小题正确.
故选C.
7．B
【解析】
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【详解】
∵=0，
∴m+n-10=0，m-n-4=0，
解得m=7，n=3，
当m=7作腰时，三边为7，7，3，符合三边关系定理，周长为：7+7+3=17，
当m=7作底时，三边为7，3，3，此三角形不存在．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
8．D
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是2，底边是3时，②当腰是3，底边是2时，求出即可．
【详解】
∵（a-2）2+|b-3|=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意此题要分为两种情况讨论．
9．C
【解析】∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ，
∴D是BC中点，∠B=∠C，(故A、D正确)
∠BAD=∠CAD(故B正确)
无法得到AB=2BD，(故C不正确).
故选：C.
10．等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.
【解析】分析:因为等腰三角形底边上的中线和底边上高所在直线互相重合.
详解: ∵在三角测平架中,AB=AC,
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高, 又AD自然下垂, ∴BC处于水平位置, 故答案为：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合.
点睛:本题主要考查等腰三角形三线合一性质,解决本题的关键是要掌握等腰三角形三线合一的性质.
11．80
【解析】
【分析】
根据等边对等角可得∠A=∠ACD,∠B=∠BDC,然后利用三角形外角性质可得.
【详解】
因为，在△ABC中，AD=CD=BC
所以，∠A=∠ACD=40°,∠B=∠BDC,
又因为∠BDC=∠A+∠ACD=40°+40°=80°，
所以，∠B=∠BDC=80°.
故答案为：80
【点睛】
本题考核知识点：等腰三角形性质.解题关键点：熟记等腰三角形性质.
12．20°
【解析】
【分析】
根据“等腰三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理”结合“已知条件”进行分析解答即可.
【详解】
∵DB=DE，AB=AC，
∴∠B=∠DEB，∠CAB=∠ACB，
∵∠ADE=∠B+∠DEB，
∴∠ADE=2∠B，
又∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ACB=4∠B=∠CAB，
又∵∠B+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠B+4∠B+4∠B=180°，
∴∠B=20°.
故答案为：20°.
【点睛】
熟知“等腰三角形的性质：等边对等角；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形内角和定理：三角形内角和为180°”是解答本题的关键.
13．65
【解析】分析：利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
详解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．
故答案为：65．
点睛：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
14．30°
【解析】分析：根据等腰三角形的性质得到∠ACD=70°，再根据是三角形内角和定理得到∠A=40°，再根据等腰三角形的性质得到∠B=40°，根据三角形外角的性质可求∠DCB的度数．
详解：∵AC=AD，∠CDA=70°，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠A=40°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠DCB=30°．
故答案为：30°．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15． 500 650
【解析】∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A+∠B=115°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-115°=65°，
∴∠B=∠C=65°，∠A=180°-65°-65°=3=50°.
即（1）∠A=50°，（2）∠B=65°.
16．3
【解析】
【分析】
作DF⊥AB,根据等腰三角形性质可得AD是∠BAC的角平分线；根据角平分线性质可得DF=DE=3.
【详解】
作DF⊥AB,
因为，三角形ABC是等边三角形，AD是中线
所以，∠BAD=∠CAD=30?,即：AD是∠BAC的角平分线.
因为，，
所以，DF=DE=3,
所以，D到AB的距离为3.
故答案为：3
【点睛】
本题考核知识点：等腰三角形性质，角平分线性质. 解题关键点：熟记等腰三角形“三线合一”性质.
17．67.5°
【解析】分析：根据尺规作图的方法，以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于D，然后连结BD即可；根据等腰三角形的性质，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形内角和可求出∠ADB=67.5°；
详解：(1)如图所示，
(2)∵AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB
∵∠BAC=45°,
∴∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°
点睛：本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和.
18．（1）证明见解析；（2）60°
【解析】试题分析：（1）利用SAS即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数，进而利用三角形的内角和得出∠ACD的度数．
试题解析：
（1）证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝30°＋45°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．见解析
【解析】
【分析】
由CE=DE易得∠ECD=∠EDC，结合AB∥CD易得∠AEC=∠BED，由此再结合AE=BE，CE=DE即可证得△AEC≌△BED，由此即可得到AC=BD.
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵是AB的中点，
∴，
在和中，，
∴≌．
∴．
【点睛】
熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.
20．8
【解析】试题分析：由DE是△ABE的对称轴，根据轴对称的性质可得AE=BE，再由C△BCE=BC+CE+BE=14，可得BC+AC=14，从而求得AB的长.
试题解析：
因为DE是△ABE的对称轴,
所以AE=BE.
所以C△BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14.
因为BC=6,所以AC=8.
所以AB=AC=8.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，又因DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理即可证得DE=DF；（2）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CDA=90°，又因DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，可得∠ADE=∠ADF=45°，利用ASA证得△AED≌△AFD，根据全等三角形等的性质即可得结论.
试题解析：
（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．
点睛：本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
22．证明见解析
【解析】分析：先利用等边对等角证出∠B=∠C，再线段垂直平分线的性质得到ED=EC，进而得到∠EDC=∠C，利用等量代换得到∠EDC=∠B，最后利用平行线的判定即可证出结论.
详解：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF垂直平分CD，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠EDC=∠B，
∴DF∥AB．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、平行线的判定.利用等腰三角形的性质、垂直平分线的性质证出∠EDC=∠B是解题的关键.