人教版九年级下册26.1反比例函数测试（含答案解析）

反比例函数及解析式测试
时间：100分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，直线与双曲线交于、两点，则当时，x的取值范围是　　
A. 或B. 或C. 或D.
如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作?ABCD，其中C、D在x轴上，则为　　
A. 2B. 3C. 4D. 5
如图所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中A的横坐标为2，当时，x的取值范围是　　
A. 或B. 或C. 或D. 或
如图，直角三角形ABC位于第一象限，，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是　　
A. B. C. D.
如图，反比例函数与一次函数交于点、两点，则使得的x的取值范围是　　
A. B. 或C. 或D. 或
已知点，，若反比例函数与线段AB有公共点时，k的取值范围是　　
A. 或 B. 或C. 或 D. 或
如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，轴交AB于C，交AB于D，，则k的值为　　
A. B. C. D.
如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点的横坐标分别为，则关于x的不等式的解集为　　
A. B. C. D. 或
如图，是反比例函数和一次函数的图象，若，则相应的x的取值范围是　　
A. B. C. D.
反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是　　
A. 1 B. C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C点，且，则k的值为______．
直线与双曲线交于和两点，则的值为______ ．
如图，直线与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，轴于M，轴于N，现有以下结论：；≌；若，则；当时，其中结论正确的是______ ．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，C?，交y轴于点B，交x轴于点D，那么不等式的解集是______ ．
如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知的面积为2，则______．
设函数与的图象的交点坐标为，则的值是______ ．
如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点点P是线段AB上一动点不与点A和B重合，过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是______ ．
如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．的值为______ ．在点A运动过程中，当BP平分时，点C的坐标是______ ．
如图，已知等边三角形OAB与反比例函数的图象交于A、B两点，将沿直线OB翻折，得到，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为______ 已知
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A，B，过点B作轴于点D，交的图象于点C，连结若是等腰三角形，则k的值是______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
如图，已知反比例函数的图象与直线都经过点，且该直线与x轴的交点为B．求反比例函数和直线的解析式；求的面积．

已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，求k的值．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，．求反比例函数与一次函数的解析式；求的面积．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接OB，若的面积为．Ⅰ求反比例函数与一次函数的关系式；Ⅱ若，是反比例函数图象上的两点，且，求实数a的取值范围．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点已知，．?求反比例函数和一次函数的解析式；求的面积；请结合图象直接写出当时自变量x的取值范围．
如图，已知一次函数b为常数，的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数为常数，的图象在第二象限内交于点C，作轴于D，若．求一次函数与反比例函数的解析式；观察图象直接写出不等式的解集；在y轴上是否存在点P，使得是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

答案和解析
【答案】
1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. A 7. A8. B 9. A 10. A
11. ??
12. 36??
13. ??
14. 或??
15. 4??
16. ??
17. ??
18. ；??
19. ??
20. 或??
21. 解：把代入得，所以反比例函数的解析式为；把代入得，解得，所以直线解析式为；当时，，解得，则，所以的面积．??
22. 解：由题意得：，解得，故．??
23. 解：点在反比例图象上，将，代入反比例解析式得：，即，反比例解析式为，点D在反比例函数图象上，且，即D纵坐标为3，将代入反比例解析式得：，即，点D坐标为，设直线解析式为，将C与D坐标代入得：，解得：，一次函数解析式为；过C作轴于点H，，，对于一次函数，令，求得，故A，由D坐标，得到，，．??
24. 解：Ⅰ点，点，，解得，点坐标为，把代入得，把、代入得，解得，一次函数的关系式为；Ⅱ当，且；当时，时，，实数a的取值范围为或．??
25. 解：把代入得：，解得，故反比例函数的解析式为：，把代入得，则，把，代入得：，解得，故一次函数的解析式为；设直线AB交x轴于D点，则令代入得即的面积；由图象知：当时，自变量x的取值范围为或．??
26. 解：，，，，，，，，把A、B两点的坐标分别代入可得，解得，一次函数解析式为，反比例函数的图象经过点C，，反比例函数的解析式为； 由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，即线段包含A点，不包含C点所对应的自变量x的取值范围，，的解集为； ，，，是以BC为一腰的等腰三角形，有或两种情况，当时，即，，或，点坐标为或；当时，则点C在线段BP的垂直平分线上，线段BP的中点坐标为，点坐标为；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或．??
【解析】
1. 解：根据图象可得当时，x的取值范围是：或．故选C．当时，x的取值范围就是求当的图象在的图象下边时对应的x的范围．本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，理解当时，求x的取值范围就是求当的图象在的图象下边时对应的x的范围，解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
2. 解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把代入得，，则，即A的横坐标是，；同理可得：B的横坐标是：．则．则．故选D．设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．
3. 解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，点B的横坐标为．观察函数图象，发现：当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，当时，x的取值范围是或．故选D．由正、反比例的对称性结合点A的横坐标即可得出点B的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点B的横坐标本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
4. 解：在中，令，则，则A的坐标是，把代入得：；C的坐标是，B的坐标是，设直线BC的解析式是，则，解得：，则函数的解析式是：，根据题意，得：，即，，解得：．则k的范围是：．故选B．把A点的坐标代入即可求出k的最小值；当反比例函数和直线BC相交时，求出的值，得出k的最大值．本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，根的判别式等知识点，解此题的关键是理解题意进而求出k的值题目较好，难度适当．
5. 解：根据函数的图象可得：x的取值范围是或．故选D．求x的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的自变量x的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的图象的交点，正确利用数形结合，理解求x的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的自变量x的取值范围是关键．
6. 解：当时，如下图： 将代入反比例函数的解析式得，随x的增大而减小，当时，反比例函数与线段AB有公共点．当时，反比例函数与线段AB有公共点．当时，如下图所示： 设直线AB的解析式为．将点A和点B的坐标代入得：，解得：，．所以直线AB所在直线为．将与联立，得：，整理得：．，解得：．综上所述，当或时，反比例函数与线段AB有公共点．故选：A．当时，将代入反比例函数的解析式的，当时，反比例函数与线段AB有公共点；当时，将代入反比例函数的解析式得：，当时，反比例函数图象与线段AB有公共点．本题主要考查的是反比例函数的图象的性质，利用数形结合是解答本题的关键．
7. 解：过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，令代入，，，，令代入，，，，勾股定理可知：，， 设，，，，，，，，，，在反比例函数的图象上，，故选过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出的正弦值与余弦值，再设，从而可表示出BD与AC的长度，根据列出即可求出k的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．
8. 解：观察图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，关于x的不等式的解集为：? 故选：B．求关于x的不等式的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
9. 解：由图形可知：若，则相应的x的取值范围是：；故选A．观察图象得到：当时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即满足．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问题．
10. 解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，，，，．故选A．由点为反比例函数的图象与一次函数的图象的交点，可得出、，将其代入中即可求出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出、是解题的关键．
11. 解：作轴于D，则，在和中， ≌，，由直线可知，，，把代入解得，，，代入得，，解得，故答案为．作轴于D，易得≌，根据全等三角形的性质得出，根据图象上的点满足函数解析式，把C点纵坐标代入反比例函数解析式，可得横坐标；根据待定系数法，可得一次函数的解析式．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象上的点满足函数解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
12. 解：由图象可知点，关于原点对称，，，把代入双曲线，得， ．故答案为：36．由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故，，再代入得出答案．本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解决问题的关键是应用两交点坐标关于原点对称．
13. 解：设点，，点A、B在双曲线上，．将代入中，整理得：，，又，，，，．在和中，，≌，正确；≌，，，≌，正确；作于点H，如图1所示． ，，≌，，．在和中，，≌，同理：≌，≌≌≌，，正确； 延长MA、NB交于G点，如图2所示．，，，为等腰直角三角形，当时，，、ON不确定，无法得出，错误．综上所述：结论正确的是．故答案为：．设点，，根据反比例函数图象上点的坐标即可得出，将代入中，整理后根据根与系数的关系即可得出，从而得出、，即、，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出≌，正确；根据全等三角形的性质即可得出，正确；作于点H，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可得出、，由相等的边角关系利用全等三角形的判定定理AAS即可证出≌，同理即可得出≌≌≌，再利用反比例系数k的几何意义即可得出，正确；延长MA、NB交于G点，由、可得出，进而得出为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质以及即可得出GA、GB的长度，由OM、ON的值不确定故无法得出AM、BN的值，错误综上即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例系数k的几何意义，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
14. 解：根据图象法可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象上边时，对应的自变量x的范围是：或，不等式的解集是：或．故答案为：或．不等式的解集就是一次函数的图象在反比例函数的图象上边时，对应的自变量x的范围，根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点?，C?，由两函数的交点的横坐标即可得出结论．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．
15. 解：反比例函数及的图象均在第一象限内，，．轴，，．，解得：．故答案为：4．由反比例函数的图象过第一象限可得出，，再由反比例函数系数k的几何意义即可得出，，根据的面积为2结合三角形之间的关系即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义用系数k来表示出三角形的面积是关键．
16. 解：函数与的图象的交点坐标是，将，代入反比例解析式得：，即，代入一次函数解析式得：，即，则，故答案为：．由两函数的交点坐标为，将，代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及的值代入即可求出值．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将，代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．
17. 解：设反比例函数解析式为，一次函数解析式为，由已知得：和，解得：和．一次函数解析式为，反比例函数解析式为．点P在线段AB上，设点P的坐标为．令，则；令，则，解得：．点，点．．当时，四边形PMON面积最大，最大面积为．故答案为：．由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数与反比例函数的解析式，设出点P的坐标为由反比例的函数解析式表示出来M、N点的坐标，分割矩形OCPD，结合矩形和三角形的面积公式即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是利用分割法求出四边形PMON面积关于点P横坐标的函数关系式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分割法找出面积的函数关系式，再结合函数的性质单调性、二次函数的顶点之类来解决最值问题．
18. 解：把点代入反比例函数得：，故答案为：；连接OC，作轴于M，轴于N，如图所示：则，，，根据题意得：点A和点B关于原点对称，，是等腰直角三角形，AB为斜边，三线合一，，，，，即，，在和中，，≌，，，平分，，，，设，则，点A在反比例函数上，，即，解得：，，，点C的坐标为：；故答案为：： 把点代入反比例函数，求出k即可；连接OC，作轴于M，轴于N，则，，先由AAS证明≌，得出，，再由三角形的角平分线性质得出，根据平行线的性质得出比例式：，设，则，根据题意得出方程：，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线性质、平行线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用三角形的角平分线的性质才能得出结果．
19. 解：如图，过O作轴于M，是等边三角形，，，、B关于直线OM对称，、B两点在反比例函数的图象上，且反比例函数关于直线对称，直线OM的解析式为：，，过B作轴于F，过C作轴于N，，，，，是等腰直角三角形，，设，则，，，，轴，轴，，∽，，故答案为：．作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线OM：，求出，根据的正弦列式可以表示BF的长，证明∽，可得结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，根据等腰直角三角形斜边是直角边的倍表示斜边的长，从而解决问题．
20. 解：点B是和的交点，，解得：，，点B坐标为，点A是和的交点，，解得：，，点A坐标为，轴，点C横坐标为，纵坐标为，点C坐标为，，若是等腰三角形，，则，解得：；，则，解得：；故答案为或．根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标用k表示，再讨论，，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．
21. 把A点坐标分别代入和中分别求出k和b即可得到两函数解析式；利用一次函数解析式求出B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点
22. 把代入一次函数和反比例函数，联立组成方程组，求解即可．本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题；用到的知识点为：两个函数图象相交，交点的坐标都适合这两个函数解析式．
23. 将C坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再由DE为3得到D纵坐标为3，将代入反比例解析式中求出x的值，即为D的横坐标，设直线解析式为，将D与C的坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；过C作CH垂直于x轴，由C、D的纵坐标确定出DE与CH的长，分别为三角形ADE与三角形ACE中AE边上的高，由三角形CDE的面积三角形AED的面积三角形AEC的面积，求出即可．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24. 先根据三角形面积公式可计算出n，得到B点坐标为，然后利用待定系数法确定两个函数的解析式；分类讨论：当P点与Q点不在同一象限，则，且；当P点与Q点在同一象限，即，根据反比例函数的性质得到在每一象限，y随x的增大而减小，所以时，．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数解析式也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
25. 此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式；求三角形的面积或割或补，此题采用割补法较为容易；根据图象由两交点A、B，当反比例函数位于一次函数图象上时求x的取值范围．本题考查了待定系数法求函数解析式，无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．
26. 由平行线分线段成比例可求得CD的长，则可求得A、B、C、的坐标，再利用待定系数法可求得函数解析式；由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案；由B、C的坐标可求得BC的长，当时，则可求得P点坐标，当时，可知点C在线段BP的垂直平分线上，则可求得BP的中点坐标，可求得P点坐标．本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、函数与不等式、等腰三角形的性质、数形结合及分类讨论思想等知识在中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在中注意利用数形结合思想，在中确定出的两种情况是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．