20.3.1 等腰三角形同步课时作业（2）

20.3.1 等腰三角形同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在一张为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（　　）
/
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　　)
/
A． 2.5 B． 1.5 C． 2 D． 1
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，且AB=BD，则∠DAC的度数为（　　）
/
A． 20° B． 30° C． 40° D． 50°
4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有(　　)
/
A． 4个 B． 6个 C． 8个 D． 10个
5．如图，AC与BD相交于O，∠1=∠4，∠2=∠3，△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为17cm，则AB=（　　）
/
A． 4cm B． 8cm C． 12cm D． 无法确定
6．如图，四边形ABCD，∠A=110°，若点D在AB、AC的垂直平分线上，则∠BDC为（　　）
/
A． 90° B． 110° C． 120° D． 140°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E两点分别在AC， BC上，BD是∠ABC的平分线，DE//AB，若BE=5 cm，CE=3 cm，则△CDE的周长是（ ）
/
A．15 cm B．13 cm C． 11 cm D．9 cm
8．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）．
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
9．已知等腰△ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于(　　)．
A． 8 cm B． 2 cm或8 cm C． 5 cm D． 8 cm或5 cm
二、填空题
10．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是_________.
11．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
/
12．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是______．
13．在△??????中，∠??=80°，当∠??=__________时，△??????是等腰三角形．
14．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点（不与B、C重合），连接AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC=　 　．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F.
求证：△AEF是等腰三角形．
/
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
/
17．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.
(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
/
18．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
/
19．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．
/
参考答案
1．B
【解析】有两种情况：
①当∠A为顶角时，如图1，此时AE=AF=5cm．
/
②当∠A为底角时，如图2，此时AE=EF=5cm．
/
故选：B．
2．D
【解析】∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=?BE=?AE=（AC-BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=×（5-3）=2．
故选D.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等角对等边及等腰三角形“三合一”性质是解答本题的关键．
3．B
【解析】【分析】根据等腰三角形性质先求出∠C=∠B，∠BAD=∠BD，再根据三角形外角性质求出∠DAC=∠BDA-∠C.
【详解】因为，AB=AC，∠B=40°，
所以，∠C=∠B=40°
因为，AB=BD，
所以，∠BAD=∠BDA=
180
??
?∠??
2
=
180
??
?
40
??
2
=
70
??
,
因为，∠BDA是三角形ACD的外角，
所以，∠DAC=∠BDA-∠C=70o-40o=30o.
故选：B
【点睛】本题考核知识点：等腰三角形，三角形外角.解题关键点：熟记等腰三角形，三角形外角性质.
4．C
【解析】
【分析】
根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB=
10
，然后即可确定C点的位置．
【详解】
如图，
/
AB=
3
2
+
1
2
=
10
，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
5．B
【解析】分析：先求出∠ABC=∠BAD，然后利用角边角证明△ABC与△BAD全等，根据全等三角形的周长相等可得△ABD的周长为25cm，再根据等角对等边的性质得到AO=BO，求出△AOD的周长等于AD+BD，然后代入数据进行计算即可求出AB的长度．
详解：∵∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠ABC=∠BAD.
在△ABC与△BAD中，
∵∠2＝∠3 ，? ?
AB＝BA ，? ?
∠ABC＝∠BAD， ? ?
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∵△ABC的周长为25cm，
∴△BAD的周长为25cm，
∵∠2=∠3，
∴AO=BO，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD=AD+BO+OD=AB+BD=17cm，
∴AB=△ABD的周长-AD-BD=25-17=8cm．
故选B.
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定，等要三角形的判定，求出△AOD的周长等于线段AB与BD的和是解题的关键．????
6．D
【解析】试题解析：连接AD，
/
∵点D在AB、AC的垂直平分线上，
∴BD=AD，DC=AD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠BAC=110°=∠BAD+∠CAD，
∴∠B+∠C=110°，
∴∠BDC=360°-（∠B+∠C）-∠BAC=360°-110°-110°=140°，
故选D．
【点睛】本题考查了四边形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
7．B
【解析】∵BD是∠ABC的平分线，

，
, .
,

,
,
,
.

8．C
【解析】分析：根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．
详解：如图，根据题意，????=
1
2
????，
/
∵△??????是等腰三角形，且????=????，????⊥????，
∴????=????，
∴△??????，△??????是等腰直角三角形，
∴∠??=∠??=45°，
∴∠??????=180°?45°×2=90°，
即这个等腰三角形的顶角度数为90°，
故选：C．
点睛：本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．
9．D
【解析】分析：因为BC是腰是底不确定，因而有两种可能，当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC全等，所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8cm或5cm．
详解：分为两种情况：当BC是底时，△ABC的腰长是5cm，
∵△ABC与△A′B′C′全等，
∴△A′B′C′的腰长也是5cm；
当BC是腰时，腰长就是8cm，且均能构成三角形，
∵△A′B′C′与△ABC全等，
∴△A′B′C′的腰长也等于8cm，
即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm，
故选：D．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用，用了分类讨论思想．
10．7或3
【解析】根据题意画出图形，如图，
/
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
有两种情况：
①若AB+AD的长为6，则2x+x=6，
解得x=2，
则x+y=9，即2+y=9，
解得y=7；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，
解得x=3，
则x+y=6，即3+y=6，
解得y=3；
所以等腰三角形的底边长是7或3.
故答案为：7或3.
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中线的性质和分类讨论思想.利用等腰三角形的性质并运用分类讨论思想是解题的关键所在.
11．3
【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
12．40°
【解析】分析：根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解．
详解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°．
故答案为：40°．
点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
13．80°或50°或20°
【解析】【分析】分三种情况分析，∠B可能是顶角，也可能是底角.
【详解】∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°
【点睛】本题考核知识点：等腰三角形.解题关键点：熟记等腰三角形性质.
14．36°或126°．
【解析】如图，∵AB=AC，∠CAB=108°，
∴∠ABC=∠C=36°，
当点D在线段BC时，
∵AB=BD，
∴∠BAD=72°，
∴∠DAC=36°，
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD，
∴∠D′AB=18°，
∴∠D′AC=126°，
综上所述：∠DAC=36°或126°，
故答案为：36°或126°．
/
15．见解析
【解析】试题分析：首先根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得：AD为∠BAC的角平分线，根据平行线的性质得出∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，从而∠FEA=∠F，得出等腰三角形．
试题解析：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， 又∵AD∥EF，
∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形．
16．小莉说法正确，证明见解析.
【解析】分析：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF，然后证明△ADE和△ADF全等，从而得出∠E=∠F，结合∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC得出∠ABC=∠ACB，从而得出答案．
详解：小莉说法正确．
证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．
则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC． ∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADF＝90°． ∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF（SAS）． ∴ ∠E＝∠F． ∴ ∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．
∴∠ABC＝∠ACB． ∴ AB＝AC． 即△ABC是等腰三角形．
/
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定与三角形全等，属于基础题型．解决这个问题的关键就是作出辅助线得出三角形全等．
17．（1）△ABC是等腰三角形，∠B＝40°；（2）见解析.
【解析】分析：(1)、根据Rt△ADE的内角和得出∠DAC=70°，根据平行线的性质得出∠C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．
详解：解：(1)∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°， ∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝70°， 又∵∠BAC＝70°，∴∠BAC＝∠C，∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－70°－70°＝40°.
(2)∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，属于基础题型．明确等腰三角形底边上的三线合一定理是解决这个问题的关键．
18．（1）见解析；（2）∠EBC =21°，∠F=23°．
【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．
试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)、解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°．
19．（1）证明见解析；（2）75．
【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
????=????
∠??=∠??????
????=????
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC=
180°?30°
2
=75°，
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
/