（全国通用版）2018_2019高中数学第一章常用逻辑用语疑难规律方法学案新人教A版选修2_1

第一章 常用逻辑用语
1　怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分也不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析　T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．
答案　充分不必要
2．抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2　(1)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“?x0∈[1,2]，x－a≥0”与命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
解析　(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)命题p转化为当x0∈[1,2]时，(x－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．
答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
2　判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．
例1　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以p?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析　依题意，有A?B?C?D且A ?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案　必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A(B，则p是q的充分不必要条件；④若B(A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析　设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P(Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案　[9，＋∞)