20.3.2 等边三角形同步课时作业（1）

20.3.2 等边三角形同步课时作业（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．等边三角形的一个角是（ ）．
A． B． C． D．
2．一个等边三角形的对称轴共有(　　)
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 6条
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A． 30 B． 20 C． 25 D． 15
4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )
A． 等边三角形 B． 等腰直角三角形 C． 等腰三角形 D． 含30°角的直角三角形
5．如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有(　　)
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
6．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A． 45° B． 55° C． 60° D． 75°
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A． 90° B． 120° C． 270° D． 360°
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A． 12 B． 9 C． 8 D． 6
二、填空题
9．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
10．等边三角形的边长为a，则它的周长为_____．
11．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E、F，连接AF，BE相交于点P，若AE=CF，则∠APB= ______ ．
12．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1=25°，则∠2=______.
13．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：①________?；②________?；
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：________?；（只需写出一个）
14．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=________?时，△AOP为等边三角形．
15．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝________cm.
三、解答题
16．16．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？
17．已知：如图,点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE.
18．已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.
19．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
20．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？

21．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
参考答案
1．B
【解析】等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故选B.
2．C
【解析】试题解析：一个等边三角形有3条对称轴.
故选C.
3．D
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠DAC=∠BAC=30°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED= ==75°，
∴∠EDC=∠ADC?∠ADE=90°?75°=15°.
故选D.
点睛：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的应用.解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用。
4．A
【解析】∵这个三角形是轴对称图形 ，
∴一定有两个角相等，
∴这是一个等腰三角形.
∵有一个内角是60°，
∴这个三角形是等边三角形.
故选A.
5．D
【解析】【分析】根据等边三角形性质和PA＝PD.可得BP=CP=AP=DP，根据等边三角形的每一个角都是60°,可得∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，又∠APD=90°，所以利用周角等于360°求出∠BPC=150°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠PBC=15°；再根据等腰直角三角形的性质可得∠PAD=45°，再根据同旁内角互补求出AD∥BC；再求出∠ABC+∠PCB=90°，然后判断出PC与AB垂直．
【详解】∵△APB与△CDP是等边三角形，
∴PA=PB=AB，PD=DC=PC，∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，
∵PA＝PD.
∵PA=PB=AB=PD=DC=PC，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故选：D.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质;熟记各性质是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得到∠ABD=∠C=60°，AB=BC，从而根据SAS证明△ABD≌△CBE，然后根据全等三角形的性质求得∠BAP=∠CBE，从而求得∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．
【详解】
∵等边三角形ABC
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，
又∵BD=CE
∴△ABD≌△CBE（SAS）
∴∠BAP=∠CBE，
∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．
故选：C.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，关键是利用全等三角形的判定与性质解题.
7．B
【解析】
【分析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，∴∠1+∠2=120°．故选：B.
【点睛】
考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
8．B
【解析】分析：根据∠B=60°，AB=AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC=3，即可求出△ABC的周长．
详解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，
故选：B．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．
9．100°
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠1=100°.
故答案为：100°.
10．3a
【解析】等边三角形的边长为a，进而求出它的周长．
解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a．
故答案为3a．
11．120°
【解析】分析：
由已知条件先证△ABE≌△CAF，由此可得∠ABE=∠CAF，从而可得∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°，由此即可得出∠APB=180°-60°=120°．
详解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=CA，
∵在△ABE和△CAF中：，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠CAF+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
故答案为：120°.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握“等边三角形的性质和全等三角形的判定方法与性质”是解决问题的关键．
12．35°
【解析】过C作CM∥直线l．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM．
∵∠ACB=60°，∠1=25°，∴∠1=∠MCB=25°，
∴∠2=∠ACM=∠ACB﹣∠MCB=60°﹣25°=35°．
故答案为：35°．
13． AD⊥BC △ABD≌△ACD △ABC是等边三角形
【解析】分析：（1）根据三线合一的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；
（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形．
详解：（1）①AD⊥BC；②△ABD≌△ACD；
故答案为：AD⊥BC，△ABD≌△ACD．
（2）∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
14．a
【解析】分析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
详解：∵AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
点睛：本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
15．4
【解析】分析：先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
详解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，∴BE=BC=4cm．
故答案为：4．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
16．∠B=∠C=60°，△ABC是等边三角形．
【解析】试题分析：利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．
试题解析：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
17．证明见解析.
【解析】分析：首先通过平行线证明△DFG和△EFC全等，从而得出△ABC为等边三角形，然后根据角度之间的关系得出△ADG也是等边三角形，从而得出答案．
详解： 证明：∵DG∥BC，∴∠DGF=∠ECF,在△DFG和△EFC中，，
∴△DFG≌△EFC(AAS)， ∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD， ∴AD=CE.
点睛：本题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用，属于中等难度的题型．得出△ADG是等边三角形是解决这个问题的关键．
18．证明见解析.
【解析】
分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论．
详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．
∵D为的AC中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．
19．见解析
【解析】分析：
由已知条件易得：AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由此可得∠BCD=∠ACE，从而可由“SAS”证得△BDC≌△AEC.
详解：
△BDC≌△AEC．理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE．，
∴△BDC≌△AEC（SAS）.
点睛：这是一道涉及“等边三角形的性质和全等三角形的判定”的几何题，由已知条件得到∠ACB=∠DCE=60°，进而得到∠BCD=∠ACE是解答本题的关键.
20．4
【解析】【分析】连接DP，先证△ODP是等边三角形，得∠OPD=60°，PO=PD，由已知证AOP=∠DPB，再证△AOP≌△BPD，可得AO=BP，可得AP=AB﹣AP=6﹣2.
【详解】解：连接DP，
∵∠DOP=60°，OD=OP，
∴△ODP是等边三角形，
∴∠OPD=60°，PO=PD，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=60°，
∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，
∴∠AOP=∠DPB，
在△AOP和△BPD中
，
∴△AOP≌△BPD，
∴AO=BP=2，
∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4
【点睛】本题考核知识点：等边三角形，全等三角形. 解题关键点：熟记等边三角形和全等三角形的性质与判定.
21．（1）证明见解析；（2）∠AEB=60°．
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE；
（2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案．
证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE；
（2）在等边△ECD中，
∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键．