20.3.2 等边三角形同步课时作业（2）
文档属性
| 名称 | 20.3.2 等边三角形同步课时作业（2） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-31 21:35:09 | ||
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文档简介
20.3.2 等边三角形同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A． 6 B． 3 C． 9 D． 12
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（????? ）
A． 5 B． 10 C． 12 D． 13
3．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ? ? ? ? ）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． 4m B． m C． 8m D． 16m
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
8．在中，为直角，，于D，若，则AB的长度是( )
A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
9．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
二、填空题
10．小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE,∠EDC=15°，则线段CD=_______.
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝___________
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM=____________.
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
17．如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
20．如图所示，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点E作，交BC的延长线于点F． 求的大小； 若，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故选C.
点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
2．B
【解析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．C
【解析】分析：连接BE，由线段垂直平分线的性质得AE=BE，只要在Rt△BCE中求出BE的长，根据AC=AE+CE即可求出AC的长.
详解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∴∠DBE=∠A=30°,
∴∠CBE=60°-30°=30°,
∴BE=2CE=2×=2,
∴AC=AE+CE=+=3.
故选C.
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两直角互余，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是正确做出辅助线，把AC=AE+CE转化为AC=AE+BE.
4．C
【解析】分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
详解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选：C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
5．A
【解析】试题解析：
过C作于 则
故选B．
点睛： 角所对的直角边等于斜边的一半.
6．A
【解析】
【分析】
首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30?直角三角形性质可解决．
【详解】
因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60?,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30?,∠CDF=30?,
所以，BE=BD, CF=DC,
所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形；等边三角形的性质．解题关键点：运用等边三角形的性质及含30?直角三角形性质.
8．A
【解析】
【分析】
由已知条件易得∠B=60°，∠BDC=90°，由此根据可得∠BCD=30°，从而可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
【详解】
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故选A.
【点睛】
熟知“含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
9．B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．1
【解析】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为：1.
11．2
【解析】分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
12．1或4
【解析】分析：
如图1和图2，分点D、点E分别在线段CB和AC上和点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上两种情形画出符合题意的图形，再结合已知条件分别进行分析解答即可.
详解：
（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD=BC=1；
（2）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
点睛：能根据题意分两种情况画出符合题意的图形，且熟悉“等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质”是解答本题的关键.
13．3
【解析】分析：过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
详解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
14．2＜AD＜8
【解析】【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点睛】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
15．5
【解析】分析：过P作PC⊥MN于点C，由等腰三角形的性质可知MC=1，在Rt△OPC中，可求得OP=2MC，结合条件则可求得OM的长．
详解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC=MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5．
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，利用等腰三角形及直角三角形的性质得到关于OM的方程是解题的关键．
16．2
【解析】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为：2.
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
17．AD=2.
【解析】
【分析】
由△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，可得AB＝4，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AD．
【详解】
∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
18．证明见解析.
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形可得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合AE=CD可得△ABE≌△CAD，由此可得∠ABE=∠CAD，结合∠BPQ=∠ABE+∠BAP可得∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，再结合BQ⊥AD即可得到∠BQP=90°，∠PBQ=30°，由此即可得到PQ=BP.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴PQ=BP.
【点睛】
熟悉“等边三角形的性质、全等三角形的判定方法和含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
19．3
【解析】【分析】连接AD，由题意易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，再由DE⊥AB，可知在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，从而即可得出EB：EA的值．
【详解】如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
20．（1）30°；（2）6.
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
详解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，
是等边三角形．
，
，，
．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21．见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】
(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，
20.3.2 等边三角形同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A． 6 B． 3 C． 9 D． 12
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（????? ）
A． 5 B． 10 C． 12 D． 13
3．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ? ? ? ? ）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． 4m B． m C． 8m D． 16m
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
8．在中，为直角，，于D，若，则AB的长度是( )
A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
9．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
二、填空题
10．小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE,∠EDC=15°，则线段CD=_______.
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝___________
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM=____________.
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
17．如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
20．如图所示，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点E作，交BC的延长线于点F． 求的大小； 若，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故选C.
点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
2．B
【解析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．C
【解析】分析：连接BE，由线段垂直平分线的性质得AE=BE，只要在Rt△BCE中求出BE的长，根据AC=AE+CE即可求出AC的长.
详解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∴∠DBE=∠A=30°,
∴∠CBE=60°-30°=30°,
∴BE=2CE=2×=2,
∴AC=AE+CE=+=3.
故选C.
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两直角互余，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是正确做出辅助线，把AC=AE+CE转化为AC=AE+BE.
4．C
【解析】分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
详解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选：C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
5．A
【解析】试题解析：
过C作于 则
故选B．
点睛： 角所对的直角边等于斜边的一半.
6．A
【解析】
【分析】
首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30?直角三角形性质可解决．
【详解】
因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60?,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30?,∠CDF=30?,
所以，BE=BD, CF=DC,
所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形；等边三角形的性质．解题关键点：运用等边三角形的性质及含30?直角三角形性质.
8．A
【解析】
【分析】
由已知条件易得∠B=60°，∠BDC=90°，由此根据可得∠BCD=30°，从而可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
【详解】
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故选A.
【点睛】
熟知“含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
9．B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．1
【解析】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为：1.
11．2
【解析】分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
12．1或4
【解析】分析：
如图1和图2，分点D、点E分别在线段CB和AC上和点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上两种情形画出符合题意的图形，再结合已知条件分别进行分析解答即可.
详解：
（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD=BC=1；
（2）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
点睛：能根据题意分两种情况画出符合题意的图形，且熟悉“等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质”是解答本题的关键.
13．3
【解析】分析：过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
详解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
14．2＜AD＜8
【解析】【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点睛】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
15．5
【解析】分析：过P作PC⊥MN于点C，由等腰三角形的性质可知MC=1，在Rt△OPC中，可求得OP=2MC，结合条件则可求得OM的长．
详解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC=MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5．
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，利用等腰三角形及直角三角形的性质得到关于OM的方程是解题的关键．
16．2
【解析】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为：2.
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
17．AD=2.
【解析】
【分析】
由△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，可得AB＝4，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AD．
【详解】
∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
18．证明见解析.
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形可得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合AE=CD可得△ABE≌△CAD，由此可得∠ABE=∠CAD，结合∠BPQ=∠ABE+∠BAP可得∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，再结合BQ⊥AD即可得到∠BQP=90°，∠PBQ=30°，由此即可得到PQ=BP.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴PQ=BP.
【点睛】
熟悉“等边三角形的性质、全等三角形的判定方法和含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
19．3
【解析】【分析】连接AD，由题意易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，再由DE⊥AB，可知在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，从而即可得出EB：EA的值．
【详解】如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
20．（1）30°；（2）6.
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
详解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，
是等边三角形．
，
，，
．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21．见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】
(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A． 6 B． 3 C． 9 D． 12
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（????? ）
A． 5 B． 10 C． 12 D． 13
3．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ? ? ? ? ）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． 4m B． m C． 8m D． 16m
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
8．在中，为直角，，于D，若，则AB的长度是( )
A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
9．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
二、填空题
10．小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE,∠EDC=15°，则线段CD=_______.
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝___________
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM=____________.
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
17．如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
20．如图所示，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点E作，交BC的延长线于点F． 求的大小； 若，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故选C.
点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
2．B
【解析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．C
【解析】分析：连接BE，由线段垂直平分线的性质得AE=BE，只要在Rt△BCE中求出BE的长，根据AC=AE+CE即可求出AC的长.
详解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∴∠DBE=∠A=30°,
∴∠CBE=60°-30°=30°,
∴BE=2CE=2×=2,
∴AC=AE+CE=+=3.
故选C.
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两直角互余，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是正确做出辅助线，把AC=AE+CE转化为AC=AE+BE.
4．C
【解析】分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
详解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选：C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
5．A
【解析】试题解析：
过C作于 则
故选B．
点睛： 角所对的直角边等于斜边的一半.
6．A
【解析】
【分析】
首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30?直角三角形性质可解决．
【详解】
因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60?,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30?,∠CDF=30?,
所以，BE=BD, CF=DC,
所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形；等边三角形的性质．解题关键点：运用等边三角形的性质及含30?直角三角形性质.
8．A
【解析】
【分析】
由已知条件易得∠B=60°，∠BDC=90°，由此根据可得∠BCD=30°，从而可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
【详解】
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故选A.
【点睛】
熟知“含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
9．B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．1
【解析】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为：1.
11．2
【解析】分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
12．1或4
【解析】分析：
如图1和图2，分点D、点E分别在线段CB和AC上和点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上两种情形画出符合题意的图形，再结合已知条件分别进行分析解答即可.
详解：
（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD=BC=1；
（2）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
点睛：能根据题意分两种情况画出符合题意的图形，且熟悉“等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质”是解答本题的关键.
13．3
【解析】分析：过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
详解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
14．2＜AD＜8
【解析】【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点睛】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
15．5
【解析】分析：过P作PC⊥MN于点C，由等腰三角形的性质可知MC=1，在Rt△OPC中，可求得OP=2MC，结合条件则可求得OM的长．
详解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC=MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5．
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，利用等腰三角形及直角三角形的性质得到关于OM的方程是解题的关键．
16．2
【解析】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为：2.
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
17．AD=2.
【解析】
【分析】
由△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，可得AB＝4，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AD．
【详解】
∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
18．证明见解析.
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形可得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合AE=CD可得△ABE≌△CAD，由此可得∠ABE=∠CAD，结合∠BPQ=∠ABE+∠BAP可得∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，再结合BQ⊥AD即可得到∠BQP=90°，∠PBQ=30°，由此即可得到PQ=BP.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴PQ=BP.
【点睛】
熟悉“等边三角形的性质、全等三角形的判定方法和含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
19．3
【解析】【分析】连接AD，由题意易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，再由DE⊥AB，可知在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，从而即可得出EB：EA的值．
【详解】如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
20．（1）30°；（2）6.
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
详解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，
是等边三角形．
，
，，
．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21．见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】
(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，
20.3.2 等边三角形同步课时作业（2）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A． 6 B． 3 C． 9 D． 12
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（????? ）
A． 5 B． 10 C． 12 D． 13
3．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，B＝60°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若EC＝，则AC的长为（ ）
A． B． C． D． 3
4．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC//OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ? ? ? ? ）
A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.5
5．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． 4m B． m C． 8m D． 16m
6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
7．如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
8．在中，为直角，，于D，若，则AB的长度是( )
A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
9．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
二、填空题
10．小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降_____米．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
12．已知等边△ABC的边长为2，点D在射线CB上，点E在射线AC上，且AD=AE,∠EDC=15°，则线段CD=_______.
13．若∠BAC＝30°，AP 平分∠BAC，PD∥AC，且 PD＝6，PE⊥AC，则 PE＝___________
14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．
15．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，OP+OM=17，则OM=____________.
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，求AC的长．
17．如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
18．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：PQ=BP．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．
20．如图所示，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上，且，过点E作，交BC的延长线于点F． 求的大小； 若，求DF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，
∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.
故选C.
点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.
2．B
【解析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得斜边长为10，故选B.
3．C
【解析】分析：连接BE，由线段垂直平分线的性质得AE=BE，只要在Rt△BCE中求出BE的长，根据AC=AE+CE即可求出AC的长.
详解：连接BE.
∵∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°.
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∴∠DBE=∠A=30°,
∴∠CBE=60°-30°=30°,
∴BE=2CE=2×=2,
∴AC=AE+CE=+=3.
故选C.
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两直角互余，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是正确做出辅助线，把AC=AE+CE转化为AC=AE+BE.
4．C
【解析】分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．
详解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝5．
∵PD＝PM，
∴PD＝5．
故选：C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
5．A
【解析】试题解析：
过C作于 则
故选B．
点睛： 角所对的直角边等于斜边的一半.
6．A
【解析】
【分析】
首先证明△BAD≌△ACE，从而可得到∠CAE=∠ABD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠BPF=60°，最后在Rt△BPF中，依据含30°角的直角三角的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠ACE=60°．
在△BAD和△ACE中
，
∴△BAD≌△ACE．
∴∠CAE=∠ABD．
∴∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠BAP+∠EAC=∠BAC=60°．
∴在Rt△BPF中，∠PBF=90°-60°=30°．
∴BP=2PF=6．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BPF的度数是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30?直角三角形性质可解决．
【详解】
因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60?,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30?,∠CDF=30?,
所以，BE=BD, CF=DC,
所以，BE+CF=BD+DC=BC=10.
故选：B
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形；等边三角形的性质．解题关键点：运用等边三角形的性质及含30?直角三角形性质.
8．A
【解析】
【分析】
由已知条件易得∠B=60°，∠BDC=90°，由此根据可得∠BCD=30°，从而可得BC=2BD=4，AB=2BC=8.
【详解】
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4，
∴AB=2BC=8.
故选A.
【点睛】
熟知“含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
9．B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．1
【解析】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降×2=1米.
故答案为：1.
11．2
【解析】分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
12．1或4
【解析】分析：
如图1和图2，分点D、点E分别在线段CB和AC上和点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上两种情形画出符合题意的图形，再结合已知条件分别进行分析解答即可.
详解：
（1）如图1，当点D、点E分别在线段CB和AC上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠AED=∠CDE+∠C=15°+60°=75°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠AED=75°，
∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠CAD，
∴AD是等边三角形BC边上的中线，
∴CD=BC=1；
（2）如图2，当点D、点E分别在CB的延长线和AC的延长线上时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB =60°，
∵∠CDE=15°，
∴∠E=∠ACB-∠CDE=60°-15°=45°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠E=45°，
∴∠DAE=180°-45°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠DAE-∠ACB=30°，
∴CD=2AC=4.
综合（1）（2）可得：CD=1或4.
故答案为：1或4.
点睛：能根据题意分两种情况画出符合题意的图形，且熟悉“等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质”是解答本题的关键.
13．3
【解析】分析：过P作PF⊥AB于F，根据平行线的性质可得∠FDP=∠BAC=30°，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
详解：过P作PF⊥AB于F．∵PD∥AC，∴∠FDP=∠BAC=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=3．
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，∴PE=PF=3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．
14．2＜AD＜8
【解析】【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
【详解】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8．
【点睛】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.
15．5
【解析】分析：过P作PC⊥MN于点C，由等腰三角形的性质可知MC=1，在Rt△OPC中，可求得OP=2MC，结合条件则可求得OM的长．
详解：如图，过P作PC⊥MN于点C，
∵PM=PN，
∴MC=MN=1，
∴OC=OM+MC=OM+1，
∵∠AOB=60°，
∴OP=2OC=2（OM+1），
∵OP+OM=17，
∴2（OM+1）+OM=16，解得OM=5，
故答案为：5．
点睛：本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质，利用等腰三角形及直角三角形的性质得到关于OM的方程是解题的关键．
16．2
【解析】【分析】根据垂直平分线性质得AE=BE，得∠B=∠BAE=15°，再求∠AEC=30°,利用直角三角形性质可求AC.
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°.
又∵在△AEC中，∠C＝90°，
∴AC＝AE＝2.
故答案为：2.
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 运用中垂线性质得到线段相等，再得到角相等，利用直角三角形性质求边是关键.
17．AD=2.
【解析】
【分析】
由△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，可得AB＝4，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AD．
【详解】
∵△ABC周长为12，在等边三角形ABC中，
∴AB＝4，
∵BD⊥BC，AD⊥BD于D，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝2．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
18．证明见解析.
【解析】
【分析】
由△ABC是等边三角形可得AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，结合AE=CD可得△ABE≌△CAD，由此可得∠ABE=∠CAD，结合∠BPQ=∠ABE+∠BAP可得∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，再结合BQ⊥AD即可得到∠BQP=90°，∠PBQ=30°，由此即可得到PQ=BP.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴PQ=BP.
【点睛】
熟悉“等边三角形的性质、全等三角形的判定方法和含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
19．3
【解析】【分析】连接AD，由题意易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，再由DE⊥AB，可知在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，从而即可得出EB：EA的值．
【详解】如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设EA=x，
在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
∴EB：EA=3x：x=3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
20．（1）30°；（2）6.
【解析】
分析：（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
详解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，
是等边三角形．
，
，，
．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21．见解析
【解析】
【分析】
（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，利用等边对等角的性质可得∠ABE=∠A；结合三角形外角的性质可得∠BEC的度数，再在Rt△BCE中结合含30°角的直角三角形的性质，即可证明第（1）问的结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=CD，再利用直角三角形锐角互余的性质可得到∠ABC=60°，至此不难判断△BCD的形状
【详解】
(1)证明：连结BE，如图．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD.
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握30°角的直角三角形的性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键，