28.1.2 二次函数y=ax2的图像性质同步课时作业

28.1.2二次函数y=ax2的图像性质同步课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1..若抛物线经过点P（1，－3），则此抛物线也经过点（ ）
A. P B. P C. P (1，3) D. P
2.已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
3.已知点（－1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. －
4.已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A. y15.下列说法中错误的是（ ）
A. 在函数中，当时有最大值
B. 在函数中，当时随的增大而增大
C. 抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线的开口最大
D. 不论是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点
6.当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　）
7.如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8.抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______．
9.直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是______.
10.若点A（-2，y1），B（-1，y2），C（8，y3）都在二次函数y=ax2(a<0)的图象上，则从小到大的顺序是_________．
11.写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的解析式：_________．
12.抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是________．
13.已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
三、解答题
14.在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？
15.已知抛物线经过点A(－2，－8).
（1）求的值,
（2）若点P(，－6)在此抛物线上，求点P的坐标.
16.已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
17.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y=ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
18.函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
答案解析
一 、选择题
1.D
【解析】
试题解析：∵将点P（1，-3）代入y=ax2得a=-3，
∴y=-3x2，
将四个点坐标分别代入解析式可知，当x=-1时，y=-3，即D选项正确，其他三个选项均不成立．
故选D．
2.C
【解析】∵抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴是y轴，
∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，且当x=0时，y=0，
∴0故选C．
点睛：在二次函数中，（1）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；（2）当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大.
3.B
【解析】∵点（-1，2）在二次函数的图象上，
∴，解得： .
故选B.
4.C
【解析】由a<－1可得a－1＜a＜a+1＜0，又因点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以 y35.C
【解析】A．在函数y=-x2中，当x=0时y有最大值0，正确，
因为：此抛物线顶点坐标在原点，开口方向向下，故当x=0时y有最大值0；
B．在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大，正确；
因为此抛物线对称轴为y轴，开口方向向上，则x＞0时y随x的增大而增大；
C．抛物线y=2x2，y=-x2，y=-x2中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；错误；
根据绝对值越大开口越小，可得抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大；
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点，正确，
因为y=ax2（a≠0）的顶点始终为原点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．
6.【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选D．
7.【考点】二次函数的图象．
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
∵CD⊥OB，
∴CD∥AB，
∴∠OCD=∠A，
∴∠AOD=∠OCD=45°，
∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD
=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征．
二 、填空题
8.(0，0) y轴 ≤0 ＞0 0 小 0．
【解析】解：抛物线y＝2x2的顶点，坐标为（0，0），对称轴是y轴．当x≤0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x＝0时，y有最小值是0．
故答案为： （0，0） ； y轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．
9.（-1，1）和（2，4）
【解析】由题意可得： ，解得： ， .
∴直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是：（-1，1）和（2，4）.
10.
【解析】∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，开口向下，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，
∴．
故答案是： .
11.y=2x2
【解析】图象的顶点在原点，开口向上的二次函数很多，如： .
12.a＞b＞c
【解析】试题分析：抛物线图象开口方向由a得正负决定，a为正开口向上，a为负开口向下.抛物线图象开口的大小由决定， 越大，开口越小， 越小，开口越大.所以根据图象可以判断a>0，b<0,c<0, <,所以b>c.故答案为a＞b＞c.
13.②④
【解析】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲 y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④ ．
三 、解答题
14.见解析
【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。
解：如图所示：
(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．
15.（1）;(2)
【解析】试题分析：（1）先将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2即可求出a的值；
（2）将P（m，﹣6）代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得到点P的坐标．
试题解析：解：（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y=ax2，可得4a=﹣8，即a=﹣2；
（2）∵a=﹣2，∴y=﹣2x2，将P（m，﹣6）代入y=﹣2x2，得﹣6=﹣2m2，解得m=± ，则点P的坐标为（，﹣6）或（﹣，﹣6）．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式．
16.（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
17.（1）y=﹣x+2，y=x2；（2）点C坐标为（﹣2，4）；（3）3．
【解析】试题分析：（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=kx+b，可求直线解析式；将B（1，1）代入抛物线y=ax2可求抛物线解析式；
（2）将（1）中所求的直线AB的解析式与抛物线y=ax2的解析式联立，得到方程组，解方程即可求出点C的坐标；
（3）已知A，B，C三点坐标，根据S△COB=S△AOC﹣S△OAB即可求△COB的面积．
试题解析：
（1）设直线表达式为y=kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y=kx+b的图象上，
∴，解得 ，，
∴直线AB的表达式为y=﹣x+2；
∵点B（1，1）在y=ax2的图象上，
∴a=1，其表达式为y=x2；
（2）由 ，解得 或，
∴点C坐标为（﹣2，4）；
（3）S△COB=S△AOC﹣S△OAB=×2×4﹣×2×1=3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积．
18.（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析
【解析】试题分析：
（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；
（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.
试题解析：
（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；
（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，
∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）作函数y=ax2的草图如下：