2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课后篇巩固探究
1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.
答案C
2.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量( )
A.都相等 B.都共线
C.都不共线 D.模都相等
解析因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.
答案D
3.
如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是 ( )
A.
B.
C.
D.
解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量.
答案B
4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
解析由知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.
答案C
5.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析根据相等向量的定义,A中,的方向不同,故A错误;B中,的方向不同,故B错误;C中,的方向相反,故C错误;D中,的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.
答案D
6.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是( )
A.||=||
B.共线
C.共线
D.共线
解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此不一定与共线,C项错误.
答案C
7.给出下列四个条件:
①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是 .(填序号)?
解析②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.
答案①③④
8.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .?
解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC,
所以,
故||=.
答案
9.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:
①都是单位向量;
②;
③与相等的向量有3个;
④与共线的向量有3个;
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是 .(填序号)?
解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与相等的向量是,故③错误;④与共线的向量是,故④正确;⑤正确.
答案①②④⑤
10.导学号68254062
如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
(1)与相等的向量共有几个?
(2)与平行且模为的向量共有几个?
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?
解(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).
(2)与向量平行且模为的向量共有24个.
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
11.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
解(1)画出所有的向量如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.
∴||的最大值为,最小值为.
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
答案D
2.
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则=( )
A. B.
C. D.
解析.
答案B
3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.
答案A
4.
如图,在正六边形ABCDEF中,等于( )
A.0
B.
C.
D.
解析∵,
∴=0.
答案A
5.向量()+()+化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析()+()+.
答案C
6.在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,则||= .?
解析因为ABCD是矩形,所以对角线AC=,于是||=||=.
答案
7.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)= ;?
(2)= ;?
(3)= ;?
(4)= .?
解析(1)由平行四边形法则可知为;
(2);
(3);
(4)=0.
答案(1) (2) (3) (4)0
8.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB= .?
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
答案120°
9.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.
解存在,如图,=a,=b,
OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.
10.
如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:.
证明∵,
∴.
∵大小相等,方向相反,
∴=0.
故+0=.
B组 能力提升
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A. B.
C. D.
解析因为四边形ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是,故C项正确.
答案C
2.设a=()+(),b是任一非零向量,则在下列结论中:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.
正确结论的序号是( )
A.①⑤ B.②④⑤ C.③⑤ D.①③⑤
解析∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,∴①③⑤均正确.
答案D
3.
如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为 ?,方向为 .?
解析以为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,
即,则∠OAC=60°,
||=24,||=||=12,
∴∠ACO=90°,∴||=12.
∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为竖直向上.
答案12 N 竖直向上
4.
如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1);
(2);
(3).
解(1).
(2)=()+.
(3).
5.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?
解如图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,
所以可表示两次位移的和位移.
由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
则BC=AC=1,AB=.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km.
6.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).
解设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次位移的和指的是.依题意,有||+||=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,||==1 000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
课后篇巩固探究
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A. B.
C.=- D.=-
答案B
2.
已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
解析=b-c.
答案D
3.下列不能化简为的是( )
A. B.+()
C.()+() D.
解析D项中,,故选D.
答案D
4.
如图,点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则 ( )
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
解析因为=0,所以A项正确.
答案A
5.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析如图,因为m,n的长度相等,
所以||=||,即||=||,
所以ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
答案C
6.若四边形ABCD为正方形,且边长为2,则||= .?
解析||=|+()|=||=||=2.
答案2
7.
如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .?
解析由已知得,
则=a+c-b.
答案a+c-b
8.
如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有 .?
①;②;③;
④;⑤;
⑥;⑦.
解析因为四边形ACDF是平行四边形,
所以.
因为四边形ABDE是平行四边形,
所以.
综上知与相等的向量是①④.
答案①④
9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .?
解析如图,在平面内任取一点A,作=a,=b,以AD,AB为邻边作?ABCD,
则=a+b,=a-b.
由题意,知||=||=2,||=1.
过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
因为AB=BD=2,所以AE=ED=AD=.
在Rt△ABE中,cos∠EAB=.
易知∠CBF=∠EAB,
所以cos∠CBF=.
所以BF=BC·cos∠CBF=1×.
所以CF=.
所以AF=AB+BF=2+.
在Rt△AFC中,AC=,所以|a+b|=.
答案
10.导学号68254066
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且||=||=1,=0,cos∠DAB=,求||与||.
解∵=0,
∴.
∴四边形ABCD为平行四边形.
又||=||=1,
∴?ABCD为菱形.
∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.
∴||=||=||=2||=,
||=||=||=1.
11.如图,在?ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解(1)=a+b,=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,
故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为?ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.等于( )
A.2a-b B.2b-a
C.b-a D.a-b
解析原式=(2a+8b)-(4a-2b)=a+b-a+b=-a+2b=2b-a.
答案B
2.下列说法正确的个数为( )
①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.
答案B
3.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则( )
A.=2 B.=4
C.=2 D.=4
解析由已知得=2,所以=2.
答案A
4.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 ( )
A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线
C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线
解析因为=(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以.
又有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
答案D
5.
在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析=-)=.
答案A
6.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是 .?
解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.
答案梯形
7.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为 .?
解析因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线且向量a,b是两个不共线的向量,所以m=,解得m=-1或m=3.
答案-1或3
8.导学号68254069在△ABC中,点M为边AB的中点,若,且=x+y(x≠0),则= .?
解析∵M为AB的中点,∴).
又,∴存在实数λ,使=λ,
∴)=,
∴x=y=,
∴=1.
答案1
9.
如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.
证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,
∴.
∴.
同理可证明.
∴=-.
∴共线,又有公共点A.
∴M,A,N三点共线.
10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求+(2b-a);
(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.
∵a=3i+2j,b=2i-j,
∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.
(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,
∴x=a+b.
∴y=3x-b=3-b=a-b.
B组 能力提升
1.如图,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解析由已知易得四边形AODC为菱形,
所以a+b.
答案D
2.已知点P是△ABC内的一点,),则△ABC的面积与△PBC的面积之比为( )
A.2 B.3 C. D.6
解析设BC的中点为D,则=2.
∵)=,
如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点P作PF⊥BC,交BC于点F,
则.
∴=3.
答案B
3.已知,设=λ,则实数λ的值为 .?
解析因为,所以,于是,即,所以,所以,故λ=.
答案
4.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .?
解析由平面向量的加法运算,有.
因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ
=.
所以,
即解得故λ+μ=.
答案
5.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.
解∵,
∴3=2,即2-2.
∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴设=x+(1-x)+(x-1),
又,∴.
又,且=t,
∴=t.
∴解得t=.
6.导学号68254070已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.
(1)用向量a与b表示向量;
(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.
解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,
∴=-a.
∴=-a-b.
(2)假设存在实数λ,使=λ.
∵=a+b+(-b)=a+b,
=)
=2a+(-a+b)=a+b,
∴a+b=λ,
∴此方程组无解,
∴不存在实数λ,满足=λ.∴C,D,E三点不共线.
2.3.1 平面向量基本定理
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.在正方形ABCD中,的夹角等于( )
A.45° B.90° C.120° D.135°
解析如图,将平移到,则的夹角即为的夹角,且夹角为135°.
答案D
2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )
A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4
解析因为向量e1与e2不共线,
所以
答案D
3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为( )
A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2
C.3e1+2e2 D.2e1+3e2
答案C
4.若点D在△ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为( )
A. B. C. D.
解析∵=4=r+s,
∴)=r+s,
∴r=,s=-,∴3r+s=3×.
答案C
5.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
解析如图所示,利用平行四边形法则,
将分解到上,
有,
则=m=n,
很明显方向相同,则m>0;
方向相反,则n<0.
答案B
6.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为 .?
解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe1+2e2=3λe1+λye2,
所以故xy=3λ·=6.
答案6
7.
如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基底来表示= ,= .?
解析
=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=(e2-e1)=e1+e2.
答案e1+e2 e1+e2
8.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为 .?
解析由题意可画出图形,
在△OAB中,∠OAB=60°,
又|b|=2|a|,∴∠ABO=30°.
∴∠BOA=90°,a与c的夹角为180°-∠BOA=90°.
答案90°
9.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
所以λ不存在,故a,b不共线,
即a,b可以作为一组基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以
故c=2a+b.
10.
导学号68254073如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),
b,
(a+b)-a=(b-2a),
b-a=(b-2a).
(2)证明由(1)知,,∴共线.
又有公共点B,
∴B,E,F三点共线.
B组 能力提升
1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析设线段BC的中点为D,则有),因此由已知得+λ,即=λ,于是=λ,则,因此P点在直线AD上,又AD是△ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.
答案C
2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .?
解析如图,由题意知,D为AB的中点,,
∴
=)=-.
∴λ1=-,λ2=.∴λ1+λ2=-.
答案
3.
如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于 .?
解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则.
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,
故=4=2,
即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
答案6
4.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
解设=e1,=e2,
则=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,
∴
∴,即AP∶PM=4∶1.
5.导学号68254074如图,已知△OAB,若正实数x,y满足x+y<1,且有=x+y.证明:点P必在△OAB内部.
证明由题意可设x+y=t,t∈(0,1),则=1.设P'为平面内一点,且,则)=,所以点P'在直线AB上.又∈(0,1),所以点P'在线段AB上(异于端点).
因为=x+y=t ,t∈(0,1),
即点P在线段OP'上(异于端点),
所以点P必在△OAB内部.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
课后篇巩固探究
1.已知=(2,3),则点N位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.不确定
解析因为点M的位置不确定,所以点N的位置也不确定.
答案D
2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当=a+2b时,点B的坐标为( )
A.(2,7) B.(0,-7)
C.(3,-6) D.(-4,5)
解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),
∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).
设点B的坐标为(x,y),
则=(x+1,y+5),
∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),
∴
∴点B的坐标为(0,-7).
答案B
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即
∴
即c=(-2,0).故选D.
答案D
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
答案A
5.导学号68254077已知,且向量=(tan α,1),=(2tan α,-3),则=( )
A.(3,-2) B.(-3,-2)
C.(1,-4) D.(-1,4)
解析由,可得2sin α=sin α+cos α,于是tan α=1,
因此=(3tan α,-2)=(3,-2).
答案A
6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
答案D
7.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“??”,向量a??b=(a1,b1)??(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m??+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-2
C.2 D.
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则=m??+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
答案B
8.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是 .?
解析设C(x,y),则=(x-3,y+5),
3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).
∵=3,∴
解得x=0,y=1,即点C的坐标是(0,1).
答案(0,1)
9.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2= .?
解析∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
∴=(2,3),=(-3,3).
∴+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案(-4,9)
10.已知向量a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),若c=ka+lb,则k,l的值分别为 .?
解析∵a=(1,2),b=(3,1),c=(11,7),
∴(11,7)=k(1,2)+l(3,1),
即解得k=2,l=3.
答案2,3
11.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量= .?
解析设=(m,n),则=(-n,m),
所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即因此.
答案
12.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为 .?
解析设C(x1,y1),
依题意有(x1-2,y1+1)=(x1-1,y1-4),
解得即C(3,-6).
又依题意可得,
设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=(x0-4,y0+3),
解得故点E坐标为.
答案
13.导学号68254078若α,β是一组基底,γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .?
解析因为向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),所以有a=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4),
设a=x(-1,1)+y(1,2),
则有
答案(0,2)
14.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),
即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故=(-2,-4).
15.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),
∵|a|=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos 45°=,且y=2sin 45°=.
又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
∴x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=.
故a==(),b=.
(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B.
∵||=3,∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.
又A(2,0),
∴-(2,0)=,
.
16.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,
∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴
∴
(3)设M(x1,y1),由=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),
∴
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
同理,设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
∴
解得
∴N(9,2).∴=(9,-18).
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课后篇巩固探究
1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于( )
A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2
解析由已知得-(2m+3)+m2=0,
∴m=-1或m=3.
答案C
2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 ( )
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).
∴b-c=a.∴a与b-c共线.
答案C
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于( )
A.-2 B.2 C.- D.
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
所以,解得14m=-7n,=-.
答案C
4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于( )
A.45° B.30°
C.60° D.30°或60°
解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,
∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.
答案A
5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于( )
A.2 B. C.-3 D.-
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,
∴|EC|=.
∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.
∴λ=-3.
答案C
6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .?
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.
答案
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b= .?
解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,
所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).
故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).
答案(14,7)
8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .?
解析 =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),
=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,
所以共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
所以m+n=9或m+n=.
答案9或
9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量共线;
(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?
解(1)=(x,1),=(4,x).
∵,∴x2=4,x=±2.
(2)由已知得=(2-2x,x-1),
当x=2时,=(-2,1),=(2,1),
∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.
当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
∴,此时A,B,C三点共线.
又,
∴A,B,C,D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.
10.导学号68254081
如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解因为(0,5)=,所以C.
因为(4,3)=,
所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.
因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
因为,
所以x-4=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.
11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.
证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),
则=(x,y-1),=(1,-1).
∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0. ①
又||=||,∴x2+y2=2. ②
由①②联立,解得点E的坐标为.
设点F的坐标为(x',1),
由=(x',1)和共线,
得x'-=0,∴x'=-(2+),
∴点F的坐标为(-2-,1).
∴=(-1-,0),,
∴||=1+=||,即AF=AE.
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课后篇巩固探究
1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于( )
A.9 B.0 C.-3 D.-9
解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.
答案D
2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( )
A. B. C.13 D.21
解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.
|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,
所以|a+b|=.
答案A
3.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
解析∵|a+2b|=2,
∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.
∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.
设a与b的夹角为θ,
则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.
又0≤θ≤π,∴θ=.
答案B
4.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为( )
A.3 B.-3 C.- D.
解析由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a方向上的投影为=-3.
答案B
5.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为( )
A. B.1 C. D.2
解析设AB的长为a,因为,
所以·()=||2+=1+1··cos 120°=,解得a=2.
答案D
6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
解析设a+b与a的夹角为θ.
由|a+b|=|a-b|可得a·b=0,
由|a+b|=2|a|可得|b|=|a|,
于是cosθ=,故所求夹角为.
答案B
7.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( )
①|a·b|=|a|·|b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a|·|b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.
①∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),
∴由|a·b|=|a|·|b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故命题①是真命题.
②若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a|·|b|且以上各步均可逆.故命题②是真命题.
③当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题③是真命题.
④当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案C
8.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
解析|2a-b|=.
∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,
则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;
当θ=180°时,a·b=-2.
∴|2a-b|=0或4.
答案0或4
9.正三角形ABC边长为2,设=2=3,则= .?
解析)·()
=)·
=
=×2-×4+×4-2=-.
答案-
10.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为,则a与b的夹角为 .?
解析记向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影为|a|cos θ=2cos θ.因为a在b上的投影为,所以cos θ=.因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是 .?
解析(方法一)=||·||·cos(180°-∠B)=-||·||·cos∠B=-||·||·=-||2=-1.
(方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||·cos∠ABC=||,所以=-||2=-1.
答案-1
12.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是 .?
解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,
得(a+λb)·(λa+b)>0,
即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.
当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).
答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)
13.导学号68254084已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
证明(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°
=1×1×-1×1×=0,
故(a-b)⊥c.
14.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?
解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,
即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①
同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②
①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵,∴a=-c.
又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴.故四边形ABCD为正方形.
15.导学号68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)若|b|=1,求.
解(1)=a-b,
由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.
∴b,则=a+b,
=a+(-1)b.
(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,
则=a·[a+(-1)b]
=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b)
解析由a-b=(-2,-1),易得a·(a-b)=0,故a⊥(a-b),选D.
答案D
2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是( )
A.(3,4)
B.
C.
D.(1,1)
解析与a共线的单位向量是±=±(3,4),即与a共线的单位向量是.
答案C
3.若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的射影等于,则x的值等于( )
A. B.6 C.1 D.-2
解析依题意有,解得x=1.
答案C
4.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
解析如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).
故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
答案A
5.导学号68254087在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是( )
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
解析如图,A(0,0),E(2,1),
设F(x,2)(0≤x≤2),所以=(2,1),=(x,2),
因此=2x+2,
设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].
答案A
6.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A. B. C.2 D.10
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B.
答案B
7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .?
解析a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,
∵a与b的夹角为45°,
∴cos 45°=.
解得y=2或y=-(舍去).
答案2
8.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45°,则|a-b|= .?
解析由已知得|a|=1,|b|=,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|==1.
答案1
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.
综上,|a-b|=2或2.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
10.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解(1)当α=时,b=,a·b=,
∴|m|=,
∴当t=-时,|m|取得最小值.
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos,
∵a⊥b,∴|a-b|=,
|a+tb|=,
(a-b)·(a+tb)=5-t,
∴.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.
∴存在t=满足条件.
11.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
解因为=(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以,所以四边形ABCD是平行四边形.
因为=(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以=3×4+(-2)×6=0,
所以,所以四边形ABCD是矩形.
因为||=,||=2,||≠||,
所以四边形ABCD不是正方形.
综上,四边形ABCD是矩形.
B组 能力提升
1.已知O为坐标原点,向量=(3sin α,cos α),=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且,则tan α的值为( )
A.- B.- C. D.
解析由题意知6sin2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,由于α∈,所以tan α<0,解得tan α=-,故选A.
答案A
2.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=( )
A.- B.-1
C.-2 D.-2
解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),因为=2,所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),所以=0×1+1×(-1)=-1.
答案B
3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b= .?
解析设b=(x,y).
∵|b|==1,∴x2+y2=1.
∵a·b=x+y=,
∴x2+[(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.
∴2x2-3x+1=0.
∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.
∵(1,0)是与x轴平行的向量,
∴b=.
答案
4.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-] D.[0,]
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=cos θ,∵cos θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-].
答案C
5.导学号68254088已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
∴,∴AB⊥AD.
(2)解∵,四边形ABCD为矩形,
∴.
设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).
又=(1,1),∴
∴点C的坐标为(0,5).
∴=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2,||=2=8+8=16.
设的夹角为θ,
则cos θ=.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
6.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求的值;
(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,
由题意易知|BC|=10,
则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,
此时=(-10,0),
所以=-×(-10)+×0=14.
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,
所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.
2.5.1 平面几何中的向量方法
课后篇巩固探究
1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.
又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.
答案A
2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( )
A.- B. C.0 D.
解析如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为的夹角,
∴cos∠BDC=.
答案B
3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析因为,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.
答案C
4.已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论正确的是( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点,故选D.
答案D
5.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为( )
A.- B. C.- D.
解析因为3+4+5=0,
所以3+4=-5,
所以9+24+16=25.
因为A,B,C在圆上,
所以||=||=||=1.
代入原式得=0,
所以=-(3+4)·()
=-(3+4-3-4)
=-.
答案A
6.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.
答案B
7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且,其中O为坐标原点,则∠AOB= .?
解析如图所示,由||=||=||=1,,得四边形OACB为边长为1的菱形,
且∠AOB=120°.
答案120°
8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= .?
解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,
解得x=.
答案
9.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明 =()·()
=
=
=
=-|2+|2.
因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.
10.导学号68254091已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),
则D(1,0),=(2,-2).
设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),
由题设,所以=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.
所以.所以.又=(1,0),
所以cos ∠ADB=,
cos ∠FDC=,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
2.5.2 向量在物理中的应用举例
课后篇巩固探究
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=2 N,|F2|=4 N,则|F3|=( )
A.2 N B.2 N C.2 N D.6 N
解析由题意知-F3=F1+F2,平方得|F3|2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=4+16+8=28,∴|F3|=2 N,故选A.
答案A
2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( )
A.40 N B.10 N C.20 N D. N
解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.
答案B
3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )
A.10 m/s B.2 m/s
C.4 m/s D.12 m/s
解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.
∴|v|==2(m/s).
答案B
4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力的大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小等于 ( )
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
答案A
5.质点P在直线上作匀速直线运动,速度向量是v=(4,-3)(即质点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时,点P坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
解析设5秒后点P的坐标为(x,y),则(x,y)-(-10,10)=5v,即(x,y)-(-10,10)=(20,-15),
于是(x,y)=(10,-5).
答案C
6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于 .?
解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,
得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.
又θ∈[0,π],∴θ=.
答案
7.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为 .?
解析因为F1=(2,3),F2=(3,1),
所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
所以合力的大小为(N).
答案 (5,4)
8.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.?
解析如图,
用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.
由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.
又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.
即河水的流速是2 km/h.
答案2
9.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重力对物体m所做的功为 J(g=9.8 m/s2).?
解析物体m的位移大小为|s|=(m),
则支持力对物体m所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);
重力对物体m所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8××0.6=98(J).
答案0 98
10.导学号68254093已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?
解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.
依题意知,||=t,||=t,
∴=|=(t,t),
=|=(3t,2t),
由P0(-1,2),Q0(-2,-1),
得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),
∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),
∵,∴=0,
即2t-1+3t-9=0,解得t=2.
即当时所需的时间为2 s.
11.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.
解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.如图,设=-a,=-2a,=v.
∵,∴=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.
∵,∴=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,
∴∠APO=45°,||=||=|a|,即|v|=|a|.
∴实际风速的大小是|a|,为西北风.
第二章 平面向量
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.
如图所示,A,B,C是圆O上的三点,且三等分圆周,若=x+y,则 ( )
A.x=y=-1
B.x=y=1
C.x=y=
D.x=y=-
解析以为邻边作平行四边形OBDA,已知=0,所以=-,因此x=y=-1.
答案A
2.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
答案B
3.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于( )
A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)} D.?
解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),. ①
对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),. ②
由①②解得x=-2,y=-2,
故M∩N={(-2,-2)}.
答案C
4.
如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= ( )
A. B.
C. D.2
解析以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,
则A(0,0),B(1,0),C(1,1),M,D(0,1),于是=(1,1),=(-1,1),
所以则λ+μ=.
答案B
5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为( )
A.1 B.2 C. D.
解析a+b在a上的投影为=2.
答案B
6.
如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin πx(0≤x≤2)的图象交于A,B两点,则·()等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析设N(2,0),由题意知,
∴·()
==(1,0)·(2,0)=2.
答案B
7.已知△ABD是边长为2的等边三角形,且,则||等于( )
A. B. C. D.2
解析设AD的中点为E,则ABCE是平行四边形,连接BE,因为△ABD是边长为2的等边三角形,所以||=||=×2=,故选B.
答案B
8.已知△ABC是正三角形,若a=-λ与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是( )
A.λ< B.λ<2 C.λ> D.λ>2
解析由已知可得a·<0,即(-λ)·<0,因此||2-λ<0,若设正三角形ABC边长为m,则有m2-m2λ<0,解得λ>2.
答案D
9.导学号68254096在△ABC中,AB=,AC=2,若O为△ABC内部的一点,且满足=0,则=( )
A. B. C. D.
解析由=0可知O为△ABC的重心,于是)·()=)=.
答案C
10.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
解析假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,
即()·=0,
所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.
答案C
11.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A. B.
C. D.
解析如图,=-
=-)
=
=)
=.
答案A
12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.0
解析设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.
又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b与c共线,则实数λ的值为 .?
解析由题可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b与c共线,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.
答案-1
14.已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夹角为,则实数m的值为 .?
解析因为a·b=3+m,
且a·b=2cos,
所以(3+m)2=[]2,
解得m=-.
答案-
15.已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,=2,则的值为 .?
解析∵=2,∴.
∵菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,
∴||=||=a,
=||||cos 120°=-a2.
∵,
∴=()·()
=·()
=-
=-a2+a2+a2=-.
答案-
16.在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为 .?
解析由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求a-2b;
(2)设a,b的夹角为θ,求cos θ的值;
(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.
解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).
(2)cos θ==-.
(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,
所以(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0,
因为a2=5,b2=10,
所以5-10k2=0,
解得k=±.
18.(本小题满分12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|2a+3b|的大小.
解(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a与b的夹角为.
(2)|2a+3b|=
=
=.
19.导学号68254097(本小题满分12分)如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,=x·+y·.
(1)若,求x,y的值;
(2)若=3,||=4,||=2,且的夹角为60°时,求的值.
解(1)∵,
∴,即2,
∴,即x=,y=.
(2)∵=3,∴=3+3,即4+3,
∴.∴x=,y=.
·()
=
=×22-×42+×4×2×=-9.
20.导学号68254098(本小题满分12分)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
(1)证明设=m=n,
由题意知)
=+m)=,
又+n+n()
=(1-n)+n,
∴
∴=m,即M是CD的中点.
(2)解∵AB=2,BC=1,M是CD的中点,
∴MB=,∠ABM=45°,
∴=()·
=-()·=--||2
=-||||cos(180°-∠ABH)-||2
=||||cos 45°-||2
=|-||2=-,
又0<||≤,∴当||=,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.
21.(本小题满分12分)
如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.
(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
解(1)因为点P的斜坐标为(2,-2),
所以=2e1-2e2,
所以||2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以||=2,即点P到原点O的距离为2.
(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y),
则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,
则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1,
故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.
22.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
证明如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
