3.2 简单的三角恒等变换
课后篇巩固探究
1.cos2的值为( )
A. B. C. D.
解析cos2.
答案B
2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为( )
A. B.- C.± D.
解析因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin =-=-,故sin =±.
答案C
3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=( )
A. B.- C.1 D.
解析∵f(x)=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.
答案D
4.设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有( )
A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a
解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°,b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b>a>c.
答案A
5.已知,则的值等于( )
A. B.- C. D.-
解析因为=1,而,所以,故.
答案A
6.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递增
解析f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=sin,由最小正周期为π得ω=2,
由f(-x)=f(x)可知f(x)为偶函数,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=cos 2x,在上单调递减.
答案A
7.若tan α=,则= .?
解析因为tan α=,所以=7.
答案7
8.已知f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ= .?
解析因为f(x)=sin x+cos x=2=2sin,又因为f(θ)=2,
所以2sin=2,解得θ=.
答案
9.已知cos=m,则cos x+cos= .?
解析因为cos x+cos=cos x+cos xcos +sin xsin cos x+sin x=cos,所以cos x+cosm.
答案m
10.导学号68254108已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos 的值.
解∵0<α<,∴cos α=,
∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,
若0<α+β<,∵sin(α+β)∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,
∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,
∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
∵0<β<,∴0<,
∴cos .
11.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
证明由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
和差化积,得2sincos=-sin C. ③
2coscos=-cos C. ④
∵当cos=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cos≠0.
③÷④,得tan=tan C.
∴cos(A+B)==cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,
即cos(A-B)=-,
∴cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=.
第三章 三角恒等变换
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.函数f(x)=1-2sin2的最小正周期为( )
A.2π B.π C. D.4π
解析f(x)=1-2sin2=cos x,于是最小正周期为2π.
答案A
2.若cos,则cos(π-2α)=( )
A. B.- C. D.-
解析由已知得sin α=,所以cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=-.
答案B
3.函数f(x)=-cos2的单调增区间是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析∵f(x)==-cos=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,
∴增区间为,k∈Z.
答案C
4.已知α∈,cos α=-,则tan等于( )
A.7 B. C.- D.-7
解析由已知得tan α=,则tan.
答案B
5.函数f(x)=sin2+cos2-1是( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
解析f(x)=sin2+cos2-1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.
答案A
6.已知sin,则cos=( )
A.- B.- C.- D.
解析由sin,可得cos=sin,所以cos=2cos2-1=2·-1=-.
答案A
7.的值等于( )
A. B. C.1 D.2
解析.
答案A
8.三角函数f(x)=sin+cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )
A. B.,π C. D.,π
解析f(x)=sin+cos 2x=sin cos 2x-cos sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=-sin,振幅为,周期为T==π.
答案D
9.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析由一元二次方程根与系数的关系,得
∴tan(A+B)=.
在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-<0,
∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.故选A.
答案A
10.导学号68254113已知函数f(x)=cos4x+sin2x,下列结论中错误的是( )
A.f(x)是偶函数
B.函数f(x)最小值为
C.是函数f(x)的一个周期
D.函数f(x)在内是减函数
解析由f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故A正确;
f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=,又sin2x∈[0,1],则当sin2x=时,f(x)min=,所以B正确;
f=sin4-sin2+1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,
则f(x)=f.所以C也正确,选D.
答案D
11.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析∵f(x)=cos x-sin x
=cos,
(方法1)作图如图所示.
易知amax=π.
(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈,∴amax=π.
答案C
12.已知sin 2(α+γ)=nsin 2β,则=( )
A. B. C. D.
解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=nsin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=nsin(β+δ)cos(β-δ)+ncos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=ntan(β+δ)-ntan(δ-β),于是.
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,且函数y=f(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于 .?
解析因为f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,所以y=fsin,则有φ++kπ,因此φ=+kπ(k∈Z),当k=0时,φ=.
答案
14.化简= .?
解析原式=tan(90°-2α)·
=
=.
答案
15.(2018全国Ⅱ高考)已知tan,则tan α= .?
解析∵tan
=,
∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=.
答案
16.若函数f(x)=2sin x+bcos x在x=处取得最大值,则f(x)在上的最小值等于 .?
解析依题意有f=2sin +bcos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sin x+2cos x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.
答案2
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=Asin
(A>0,ω>0)的最小值为-2,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.
(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)若f,求f的值.
解(1)因为函数f(x)的最小值为-2,所以A=2.
由图象相邻两个对称中心之间的距离为,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是f(x)=2sin.
由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),
故其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)由f=1,可得2sin(θ-π)=,于是sin θ=-,因此f=2sin
=2sin=-2cos 2θ=4sin2θ-2=-.
18.(本小题满分12分)已知cos=-,sin,且α∈,β∈.
求:(1)cos; (2)tan(α+β).
解(1)∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,--β<.
∴sin,
cos.
∴cos=cos
=cos·cos+sin·sin=-.
(2)∵,
∴sin.
∴tan=-.
∴tan(α+β)=.
19.(本小题满分12分)已知向量a=(cos ωx,1),b=,函数f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=.
(1)求f的值;
(2)若f,f,且α,β∈,求cos(α-β)的值.
解(1)∵向量a=(cos ωx,1),b=
=((sin ωx+cos ωx),-1),
∴函数f(x)=a·b=2cos ωx(sin ωx+cos ωx)-1=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1=sin 2ωx+cos 2ωx=sin.
∵f(x)图象的一条对称轴为x=,
∴2ω×+kπ(k∈Z).
又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,
∴fsin=-cos =-1.
(2)∵f,f,
∴sin α=,sin β=.
∵α,β∈,∴cos α=,cos β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈,若f=2cos 2α,求α的大小.
解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,
所以f(x)的定义域为x∈Rx≠,k∈Z.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos 2α,得tan=2cos 2α,
即=2(cos2α-sin2α),
整理得=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).
因为α∈,所以sin α+cos α≠0.
因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=.
由α∈,得2α∈,
所以2α=,即α=.
21.
(本小题满分12分)如图,以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A,点B,P在单位圆上,且B,∠AOB=α.
(1)求的值;
(2)设∠AOP=θ,四边形OAQP的面积为S,f(θ)=(-1)2+S-1,求f(θ)的最值及此时θ的值.
解(1)依题意,tan α==-2,
∴=-10.
(2)由已知点P的坐标为P(cos θ,sin θ),
又,||=||,
∴四边形OAQP为菱形,∴S=2S△OAP=sin θ,
∵A(1,0),P(cos θ,sin θ),∴=(1+cos θ,sin θ),
∴=1+cos θ,
∴f(θ)=(1+cos θ-1)2+sin θ-1
=cos2θ+sin θ-1
=-sin2θ+sin θ=-.
∵≤sin θ≤1,
∴当sin θ=,即θ=时,f(θ)max=;
当sin θ=1,即θ=时,f(θ)min=-1.
22.导学号68254114(本小题满分12分)已知函数f(x)=4sincos x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.
解(1)f(x)=4sincos x+
=4cos x+=2sin xcos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x
=2sin.
∴函数f(x)的周期为T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,
得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).
∴f(x)的递增区间为(k∈Z).
(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,
且x1+x2=2×,
故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.
