2018—2019学年高中数学新人教A版必修4课后习题习题课——函数y=Asin（ωxφ）的性质及其应用

习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
课后篇巩固探究
A组　基础巩固
1.函数y=3sin的相位和初相分别是(　　)
A.-x+ B.x-,-
C.x+ D.x+
解析因为y=3sin
=3sin=3sin,
所以相位和初相分别是x+.
答案C
2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R
的最小正周期是π,且f(0)=,则(　　)
A.ω=,φ= B.ω=,φ=
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=
解析∵=π,∴ω=2.
∵f(0)=,∴2sin φ=.
∴sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.
答案D
3.函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴在内,则满足此条件的一个φ值为(　　)
A. B.
C. D.
解析由2x+φ=kπ+得函数图象的对称轴x=(k∈Z),
依题意有,
于是kπ-<φ当k=0时-<φ<,故满足此条件的一个φ值为.
答案A
4.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= (　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
解析由函数的图象可得-x0=,解得ω=4.
答案B
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f(x)的图象可由y=cos 2x的图象(　　)
A.向右平移个长度单位
B.向左平移个长度单位
C.向右平移个长度单位
D.向左平移个长度单位
解析由图象可得T=4=π,
所以ω=2,即f(x)=sin(2x+φ).
又因为图象经过点,
所以1=sin,解得φ=-,
故f(x)=sin.
而y=cos 2x=sin,
且f(x)=sin,
所以应将y=cos 2x=sin的图象向右平移个长度单位.
答案A
6.若函数y=2cos(2x+φ)(0≤φ≤2π)是偶函数,且在内是增函数,则实数φ等于　　　　　.?
解析由函数是偶函数,可得φ=0,π,2π,但当φ=0,2π时,y=2cos 2x,在内是减函数,不合题意;
当φ=π时,y=-2cos 2x,在内是增函数,符合题意,故φ=π.
答案π
7.函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=时,函数f(x)取得最大值2,当x=时,函数f(x)取得最小值-2,则函数解析式为　　　　　　　　　.?
解析由题意可知A=2,,
所以T=π.因此=π,即ω=2.
故f(x)=2sin.
答案f(x)=2sin
8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω=　　　　　.?
解析∵f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间内有最小值,无最大值,
∴f(x)图象关于直线x=对称,即关于直线x=对称,且∴·ω++2kπ,k∈Z,且0<ω<12,
∴ω=.
答案
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,0<φ<的周期为π,且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的最值.
解(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M,得A=2.
由周期T=π,得ω==2.
由点M在图象上,得2sin=-2,
即sin=-1,
所以+φ=2kπ-(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),
又φ∈,所以k=1,φ=.
所以函数的解析式为f(x)=2sin.
(2)因为x∈,所以2x+,
所以当2x+,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;
当2x+,即x=时,函数f(x)取得最大值.
10.导学号68254051已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的一个对称中心为,且图象上相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
解(1)因为函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的一个对称中心为,
所以sin=0,
又图象上相邻两条对称轴间的距离为,
因此周期T满足T==2×,解得ω=2,
所以sin=0,
结合-≤φ<,可得φ=-,
故f(x)=sin.
(2)因为fsin,
所以sin.
又<α<,所以0<α-,
故cos,
于是cos=cos
=-cos=-.
B组　能力提升
1.
下列函数中,图象的一部分如图所示的是(　　)
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
解析∵点在函数图象上,
∴当x=时,函数的最大值为1.
对于A,当x=时,y=sin=sin,不符合题意;
对于B,当x=时,y=sin=0,不符合题意;
对于C,当x=时,y=cos=0,不符合题意;
对于D,当x=时,y=cos=1,而且当x=-时,y=cos=0,
函数图象恰好经过点,符合题意.故选D.
答案D
2.已知点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m
的图象的一个对称中心,且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为,则(　　)
A.f(x)的最小正周期是π
B.f(x)的值域为[0,4]
C.f(x)的初相φ=
D.f(x)在区间上单调递增
解析由题意知,且函数f(x)的最小正周期T=4×=2π,
所以ω==1.
将ω=1代入①,得φ=kπ+(k∈Z).
又|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=sin+2.
所以函数f(x)的值域为[1,3],初相为,故排除A,B,C选项.
答案D
3.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0),且对任意的实数x满足f=f,则f的值为　　　　　.?
解析根据条件f=f可知,函数f(x)关于直线x=对称,且周期为π,而,即直线x=距离对称轴的距离为,即个周期,因此f=0.
答案0
4.已知函数f(x)=sin(φ为常数),有以下说法:
①不论φ取何值,函数f(x)的周期都是π;
②存在常数φ,使得函数f(x)是偶函数;
③函数f(x)在区间[π-2φ,3π-2φ]上是增函数;
④若φ<0,函数f(x)的图象可由函数y=sin的图象向右平移|2φ|个单位长度得到.
其中所有正确说法的序号是　　　　　　　.?
解析函数的周期T=4π,故①错误;
当φ=时,f(x)为偶函数,故②正确;
由-2φ+π≤x≤3π-2φ,得+φ≤,故③错误;
y=sin的图象向右平移|2φ|个单位长度后得到y=sin=sin的图象,故④正确.
答案②④
5.导学号68254052已知函数f(x)=2sin+a.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
解(1)易知T==π.
(2)f(x)=2sin+a=2sin+a.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)由0≤x≤,得≤2x+,所以f(x)的最小值为-2+a=-2.所以a=0.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,且f(0)=f.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式,并写出它的单调增区间.
解(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为x=,
则,即T=π.
所以函数的最小正周期是π.
(2)由题图可知,A=2,因为T=π,所以ω==2.
又f=-2,
所以2sin=-2,即sin=-1.
因此+φ=2kπ-,即φ=2kπ-,k∈Z.
因为0<φ<2π,所以φ=.
所以函数的解析式为f(x)=2sin.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z.
所以函数的单调增区间为,k∈Z.