2018—2019学年高中数学新人教A版必修4课后习题习题课——三角恒等变换的应用

习题课——三角恒等变换的应用
课后篇巩固探究
1.函数y=cos2的图象向左平移个单位,所得的图象对应的函数是(　　)
A.值域为[0,2]的奇函数　　B.值域为[0,1]的奇函数
C.值域为[0,2]的偶函数 D.值域为[0,1]的偶函数
解析y=cos2,左移个单位后为y=cos 4x,为偶函数,值域为[0,1].
答案D
2.函数f(x)=sin xcos x+cos2x-1的值域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.[-1,0] D.
解析f(x)=sin xcos x+cos2x-1
=sin 2x+-1
=sin 2x+cos 2x-
=sin,
因为-1≤sin≤1,所以y∈.
答案A
3.函数f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(x∈R)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.π
解析f(x)=sin 2x-4sin3xcos x=2sin xcos x-4sin3xcos x=2sin xcos x(1-2sin2x)=sin 2xcos 2x=sin 4x,所以函数的最小正周期T=,选C.
答案C
4.设a=2sin 13°cos 13°,b=,c=,则有(　　)
A.c解析因为a=2sin 13°cos 13°=sin 26°,b==tan 26°,c==sin 25°,且正弦函数y=sin x在上为增函数,所以a>c;在上tan α>sin α,所以b>a,所以c答案A
5.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线(　　)
A.x= B.x= C.x= D.x=-
解析因为函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,所以f=0,即sin +λcos =0,解得λ=-,故g(x)=-sin xcos x+sin2x,整理得g(x)=-sin,所以对称轴直线方程为2x+=kπ+,当k=-1时,一条对称轴是直线x=-.
答案D
6.已知函数f(x)=sin2ωx的最小正周期为π,则ω=　　　　　.?
解析由于f(x)=sin2ωx=-cos 2ωx+,因此=π,解得ω=±1.
答案±1
7.已知向量a=(sin α,1),b=(3,3cos α-),若a⊥b,则cos的值等于　　　　　.?
解析由a⊥b,得a·b=0,即3sin α+3cos α-=0,因此sin α+cos α=,即cos,于是cos,故cos.
答案
8.已知函数f(x)=2asin ωxcos ωx+2cos2ωx-(a>0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程;
(2)若f(α)=,求sin的值.
解(1)f(x)=asin 2ωx+cos 2ωx=sin(2ωx+φ),
由题意知f(x)的周期为π,由=π,知ω=1.
由f(x)的最大值为2,得=2,
又a>0,∴a=1,∴f(x)=2sin.
令2x++kπ,解得f(x)的对称轴为x=(k∈Z).
(2)由f(α)=,知2sin,
即sin,
∴sin=sin
=-cos 2
=-1+2sin2=-1+2×=-.
9.导学号68254110已知向量a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.
解f(x)=a·b+λ=(sin ωx-cos ωx)(sin ωx+cos ωx)+2sin ωxcos ωx+λ
=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx+λ
=sin 2ωx-cos 2ωx+λ=2sin+λ.
(1)因为函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,所以2ω×π-=kπ+,k∈Z,解得ω=,k∈Z.
又ω∈,所以k=1,则ω=,所以f(x)=2sin+λ,最小正周期为.
(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,
即λ=-2sin=-2sin =-,
故f(x)=2sin.
由0≤x≤,有-x-,
所以-≤sin≤1,
得-1-≤2sin≤2-,故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-].