课件22张PPT。3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式
问题思考
1.15°角是特殊角吗?如果不是特殊角,那么能否用特殊角的和与差来表示15°?如果15°=45°-30°,那么cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°吗?
提示15°角不是特殊角,但可以用特殊角的差来表示15°,例如15°=45°-30°,但cos(45°-30°)≠cos 45°-cos 30°.2.观察下表中的数据,你有什么发现?提示cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°; cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°.3.填空:(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .?
(2)此公式简记作C(α-β).
(3)使用条件:α,β都是任意角.4.做一做:(1)cos 15°= .?
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°= .?思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cos α-cos β. ( )
(2)对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cos α-cos β. ( )
(3)存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( )
(4)当α,β为锐角时,必有cos(α-β)>cos αcos β. ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:
(1)cos(-375°);
(2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°;
(3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;分析对于(1),应利用诱导公式将-375°转化为锐角再变为两特殊角之差然后利用公式计算;对于(2),应将sin 195°转化为-sin 15°再套用公式计算;对于(3),可将α+45°当作一个整体来处理;对于(4),应将 分别转化为cos 60°,sin 60°,然后套用公式计算.探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用公式C(α-β)求值的方法技巧
在利用两角差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.探究一探究二探究三变式训练1求值:
(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°;
(2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°).
解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°
=sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°)
=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给值求值问题 分析对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos α,sin β的值,然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.探究一探究二探究三探究一探究二探究三给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用两角差的余弦公式解决给值求角问题 分析利用两角差的余弦公式,求出cos(α-β)的值,然后根据α-β的范围求出α-β的值.探究一探究二探究三解决三角函数给值求角问题的方法步骤
(1)确定角的范围,根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数;
(3)结合三角函数值及角的范围求角.探究一探究二探究三123451.cos 50°=( )
A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°
B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°
C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°
D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°
解析cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°.
答案C12345答案C 12345答案B 1234512345课件29张PPT。3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的三角函数公式
问题思考
1.由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β以及诱导公式sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,能否将cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?
提示cos(α+β)=cos [α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β
2.填空:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β .?4.填空:(1)sin(α+β)=sin αcos β-cos αsin β .?
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .?7.两角和与差的三角函数公式: 8.做一做:(1)sin 75°= .?
(2)cos 77°cos 43°-sin 77°sin 43°= .?思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)× (8)√探究一探究二探究三思维辨析化简与求值
【例1】 化简下列各式:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)
=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
=1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°=2.
同理可得(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
∴原式=2×2=4.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题(1)求sin(α+β)的值;
(2)求cos(α-β)的值;
(3)求tan α的值.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析给值求值的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角问题探究一探究二探究三思维辨析根据三角函数值求角时,一般先求出该角的某个三角函数值,再确定该角的取值范围,最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数值,这要取决于该角的取值范围,然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定,一般地,若θ∈(0,π),则通常求cos θ,若 ,则通常求sin θ,否则容易导致增解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视隐含条件致误 探究一探究二探究三思维辨析在解决三角函数求值问题时,务必注意对隐含条件的挖掘,尤其是给值求角问题,一定要注意根据已知条件对角的范围进行精确界定,该缩角就要缩角,以免产生增解导致错误.12345答案D 612345答案A 612345答案B 612345612345解析观察可知18°+42°=60°,可运用两角和的正切公式求值.
∵tan 18°+tan 42°+tan 120°
=tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°
=-tan 60°tan 18°tan 42°,
∴原式=-1.
答案-16123456课件29张PPT。3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一二思维辨析一、二倍角的正弦、余弦和正切公式
问题思考
1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?2.上述cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢?
提示根据同角的三角函数关系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.一二思维辨析3.填空:二倍角的正弦、余弦、正切公式 一二思维辨析一二思维辨析二、二倍角公式的变形
问题思考
1.若将1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin 2α可化为什么形式?
提示1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根据二倍角的余弦公式,sin α,cos α与cos 2α的关系分别如何?3.填空:(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2;?
(2)升幂缩角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;一二思维辨析一二思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)√探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:分析对于(1)(2)(3),可直接逆用公式计算;对于(4),可将分子与分母同乘2sin 20°,然后连续逆用二倍角的正弦公式进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决条件求值问题 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用二倍角公式解决化简与证明问题
【例3】 (1)化简:
cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)·cos(90°-θ);分析(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos 2θ与1+cos 2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析1.对于三角函数式的化简,要注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.探究一探究二探究三思维辨析2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视角的范围致误 探究一探究二探究三思维辨析123451.下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin 8α=2sin 4αcos 4α
B.1-cos 2α=2sin2α
C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α
D.tan 2α=
解析由二倍角公式可知A,B,C项均一定成立,D项中的公式不一定成立.
答案D12345答案D 12345答案B 1234512345课件27张PPT。3.2 简单的三角恒等变换一二思维辨析?一二思维辨析一二思维辨析一二思维辨析二、辅助角公式
问题思考一二思维辨析答案(1)C (2)B 一二思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×探究一探究二探究三思维辨析用半角公式解决求值问题 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析已知θ的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析用半角公式解决化简与证明问题 探究一探究二探究三思维辨析化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析辅助角公式的应用
【例3】将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式:分析利用三角函数公式将函数解析式化为asin ωx+bcos ωx的形式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视对角的讨论致误 探究一探究二探究三思维辨析在一个等式的两边同时除以一个式子时,应确保这个式子不等于零,否则容易导致错解,当不能确定这个式子一定不为零时,应注意分类讨论.12345答案D 612345答案C 612345答案A 6123456123456123456
