课件43张PPT。1.1.1 任意角一二三思维辨析一、角的概念
问题思考
1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?
提示具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0°<α≤360°.
(2)在奥运会比赛中,跳水项目是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三位数字表示翻腾的周数).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?
提示5253B中第3位数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.一二三思维辨析2.填空:(1)角的概念:平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类一二三思维辨析3.做一做:每周一早晨,光明中学都会在操场上举行升旗仪式,若升旗仪式需要15分钟,则15分钟的时间,钟表的分针走过的角度是 .?答案-90° 一二三思维辨析二、象限角
问题思考
1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,那么如何区分不同大小、不同范围的角呢?
提示固定其顶点和始边的位置,根据其终边的位置来确定角的大小与范围.
2.填空:象限角的定义
(1)前提:
①角的顶点与原点重合;
②角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;
角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.一二三思维辨析3.做一做:在平面直角坐标系中,指出下列各角分别是第几象限角.
(1)30°; (2)120°; (3)-60°; (4)225°.
答案(1)第一象限角;(2)第二象限角;(3)第四象限角;(4)第三象限角.一二三思维辨析三、终边相同的角
问题思考
1.在同一平面直角坐标系内作出30°,390°,-330°,750°角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?
提示终边在相同的位置,它们之间相差360°的整数倍.
2.填空:一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
3.做一做:与-40°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}
答案A一二三思维辨析4.终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};
终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.一二三思维辨析思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)第一象限的角都是锐角. ( )
(2)小于90°的角一定是锐角. ( )
(3)终边相同的角一定相等. ( )
(4)第四象限角可以是负角. ( )
(5)三角形的内角必是第一、二象限的角. ( )
(6)第二象限的角都是钝角. ( )
(7)-435°是第三象限角. ( )
(8)若角α是第一象限角,则角 是第一、三象限的角. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析任意角的概念及其表示
【例1】 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而 ×360°=60°,2×360°=720°,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°,-720°.
答案B探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析确定任意角的方法:
(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.
(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240° D.-240°
解析一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是-240°,故选D.
答案D探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析任意角的概念及其表示
角度1 终边相同的角的求解
【例2】 写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.
分析根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°~1 080°范围内的角为435°角和795°角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α (k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 终边在某条直线上的角的集合
【例3】 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析定0°~360°范围内终边在所给直线上的两个角→分别写出与两个角终边相同的角的集合→写出两个集合的并集即可探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.
(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析求解终边在某条直线上的角的集合的基本原则
1.若所求角β的终边在某条射线上,则集合的形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z}.
2.若所求角β的终边在某条直线上,则集合的形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3 区域角的求解
【例4】 如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;
(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°<α<75° +k·360°,k∈Z}.
(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:
(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;
(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;
(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练2已知角α=2 018°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
解(1)由2 018°除以360°,得商为5,余数为218°.
∴取k=5,β=218°,α=5×360°+218°.
又β=218°是第三象限角,∴α为第三象限角.
(2)与2 018°终边相同的角为k·360°+2 018°(k∈Z).
令-360°≤k·360°+2 018°<720°(k∈Z),∴k=-6,-5,-4.
将k的值代入k·360°+2 018°中,
得角θ的值为-142°,218°,578°.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析象限角及其应用
角度1 给定一个角判断它是第几象限角
【例5】 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角.
(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解作出各角的终边如图所示. 探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析由图可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是第二象限角;(4)-520°是第三象限角角.
(1)405°=45°+360°,所以在0°~360°范围内,与405°角终边相同的角是45°.
(2)-45°=315°-360°,所以在0°~360°范围内,与-45°角终边相同的角是315°角.
(3)495°=135°+360°,所以在0°~360°范围内,与495°角终边相同的角是135°角.
(4)-520°=200°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与-520°角终边相同的角是200°角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析(1)作给定的各个角时,可先找出在0°~360°范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.
(2)判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 对 (n∈N*)所在象限的判定
【例6】 若角α是第二象限角,试确定角2α, 是第几象限角.
分析解∵α是第二象限角,∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),则
(1)180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
∴2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.由α所在象限,确定 所在象限,也可用如下方法判断:
(1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域;
(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(如图所示);
?
?
?
?
(3)确定区域:找出与角α所在象限标号一致的区域,即为所求.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析【案例】 (开放探究题)已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+ k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
分析分别作出两集合中角的终边所在的区域,找公共部分,然后写出对应角的集合.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解∵30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,∴当k为偶数,
即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,
210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
∴集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内.
又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内,
∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
∴A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析点评解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素,其方法有:
(1)将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识,即分类讨论);
(2)列举法把集合具体化;
(3)数形结合,即在平面直角坐标上分别作出这些角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对任意角的概念不清导致角的范围写错
【典例】 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+30°<α
错解二终边为OA的角为k·360°+30°(k∈Z),终边为OB的角为k·360°+150°(k∈Z),
所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°+150°<α提示错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.
正解因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为β=30°+k·360°,k∈Z,终边为OB的角为γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.
2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.123451.下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角必是第一或第二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是负角
D.钝角比第三象限角小
解析90°角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
答案B123452.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360°
B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°
D.-45°-10×180°
解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
答案A123453.给出下列四个命题:①-75°角是第四象限角;②245°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-300°角是第一象限角,其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析由于-90°<-75°<0°,故-75°角为第四象限角;由于180°<245°<270°,故245°角是第三象限角;由于360°+90°<475°<360°+180°,故475°角是第二象限角;由于-360°<-300°<-270°,故-300°角是第一象限角,所以①②③④均为真命题.
答案D123454.与-2 018°角终边相同的最小正角是 .?
解析∵-2 018°=-6×360°+142°,∴所求值为142°.
答案142°123455.若角α的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.
解以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为k·360°-30°(k∈Z),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°-30°<α问题思考
1.(1)在平面几何中,1°的角是怎样定义的?
提示将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
(2)在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度量除了角度制外,是否也有不同的单位制呢?
提示有不同的单位制,即弧度制.
2.填空:弧度制的定义一二三思维辨析3.将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB长为2r,则∠AOB的大小为多少弧度?
提示-2弧度.
4.填空:弧度数的计算一二三思维辨析5.做一做:已知半径为12 cm,弧长为8π cm的弧,其所对的圆心角为α,则α的弧度数的绝对值是 .?一二三思维辨析二、角度制与弧度制的换算
问题思考
1.由360°=2π弧度,180°=π弧度,你能进行角的角度数与弧度数的转换吗?即1°的角等于多少弧度?1弧度的角等于多少度?一二三思维辨析2.角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算一二三思维辨析(2)一些特殊角与弧度数的对应关系 一二三思维辨析答案C 一二三思维辨析三、弧度制下扇形的弧长与面积公式
问题思考
1.在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推导吗?一二三思维辨析2.填空:扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则答案5π 75π 60+5π. 一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)1弧度的角与1度的角大小是相等的. ( )
(2)用弧度制表示角时,都是正角. ( )
(3)在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的. ( )
(4)用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写. ( )
(5)π弧度的角大于π°的角. ( )
(6)扇形的半径为5,圆心角是60°,则弧长为300. ( )
(7)扇形的面积为16,半径为4,则圆心角为1. ( )
(8)扇形的半径增加2倍,圆面积增加4倍. ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)×探究一探究二探究三弧度与角度的互化
【例1】 (1)把112°30'化为弧度;
(2)把 rad化成度;
(3)将-1 485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三变式训练1已知α1=-570°,α2=750°, .
(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角;
(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内,找出与它们有相同终边的所有角.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三用弧度表示角及其范围
【例2】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.分析先将边界角由角度化为弧度,再根据阴影部分写出角的集合.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三用弧度制表示角应注意的问题:
(1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.
(2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如-π~π,0~2π)内的角,再加上2kπ,k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x=α+kπ,k∈Z};终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.思维辨析探究一探究二探究三变式训练2以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.思维辨析探究一探究二探究三弧长公式与面积公式的应用
【例3】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
分析(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.思维辨析探究一探究二探究三延伸探究本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析混用角度制与弧度制致误 两个错解分别错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示两个错解都是由于混用了角度和弧度.探究一探究二探究三思维辨析在解决角度制和弧度制的有关问题时,要遵循转换的原则,表达的形式要符合基本的原则和规范性,即在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.123451.1 920°转化为弧度数是( ) 答案D 123452.下列角中,终边在y轴正半轴上的角是( ) 解析根据角的概念可知, 是以x轴的正半轴为始边,顺时针旋转了270度,故在y轴的正半轴上.
答案D12345解析角的表示必须保持度量单位一致,即角度制与弧度制不能混用,排除A;而180°角与π角对应,于是1°角与 角对应,故选C.
答案C12345123455.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.课件34张PPT。第1课时 三角函数的定义一二三思维辨析一、三角函数的定义
问题思考
1.填空:在直角坐标系中,称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.一二三思维辨析2.如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x,y),根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表示sin α,cos α,tan α?这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢?一二三思维辨析3.填空:如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.
设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.
(1)y叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;
(2)x叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x;正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.一二三思维辨析一二三思维辨析5.如果在角α的终边上有一点M(3,4),那么如何求角α的三个三角函数值?7.如果角α的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin α,cos α,tan α的值是否还存在?
提示终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或(0,-1),这时tan α的值不存在,因为分母不能为零,但sin α,cos α的值仍然存在.一二三思维辨析8.填空:三角函数的定义域如下表所示. 一二三思维辨析二、三角函数值的符号
问题思考
1.根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin α,cos α,tan α在不同象限内的符号吗?
提示当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,tan α>0;当α在第二象限时,sin α>0,cos α<0,tan α<0;当α在第三象限时,sin α<0,cos α<0,tan α>0;当α在第四象限时,sin α<0,cos α>0,tan α<0.一二三思维辨析2.sin α,cos α,tan α在各个象限的符号如下:
?
?
?
记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.一二三思维辨析3.做一做:判断下列各三角函数值的符号 一二三思维辨析三、诱导公式一
问题思考
1.30°,390°,-330°三个角的终边有什么关系?它们与单位圆的交点坐标相同吗?这三个角的正弦值、余弦值、正切值相等吗?
提示终边相同,与单位圆的交点坐标相同,三个角的正弦值、余弦值、正切值相等.
2.填空:诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.一二三思维辨析一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)sin 3>0,cos 4>0. ( )
(2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应. ( )
(3)sin α,cos α,tan α的值与点P(x,y)在角α终边上的位置无关. ( )
(4)不存在角θ,使得sin θ<0,cos θ<0,tan θ<0. ( )
(5)若sin α=sin β,则必有α=β. ( )
(6)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化. ( )
(7)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos α= . ( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)×探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数的定义求三角函数值
【例1】 求解下列各题:分析(1)先求出x的值,再计算;(2)利用三角函数的定义的推广求解;(3)先在终边上取点,再利用定义求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数值的符号判断
【例2】 (1)若sin α·tan α<0,且 ,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)判断下列各式的符号:
①sin 105°·cos 230°; ② .
分析(1)由已知条件确定出sin α,cos α的符号即可确定角α的象限; (2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数符号的判定:
对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知α=2,则点P(sin α,tan α)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为α=2∈ ,即α在第二象限,所以sin α>0,tan α<0,则点P(sin α,tan α)在第四象限.
答案D探究一探究二探究三思维辨析诱导公式一的应用
【例3】 求下列各式的值:
(1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°);分析将角转化为k·360°+α或2kπ+α的形式,利用公式一求值,注意熟记特殊角的三角函数值.
解(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2 tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°
=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.探究一探究二探究三思维辨析诱导公式一的应用策略:
(1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;
(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π角的三角函数值,即可把负角的三角函数转化为0到2π间的三角函数,亦可把大于2π的角的三角函数转化为0到2π间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2求下列三角函数值: 探究一探究二探究三思维辨析忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角α的终边过点P(-3a,4a),a≠0,则cos α= .?探究一探究二探究三思维辨析在利用三角函数的定义解决问题时,如果终边上一点的坐标中含有参数,那么要注意对其进行分类讨论,以免丢解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知角α的终边在直线y=x上,则sin α= .?
解析易知角α的终边在第一象限或第三象限,
当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,1),12345答案D 123452.若tan θ·sin2θ<0,则角θ在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第二象限或第四象限 D.第二象限或第三象限
解析因为tan θ·sin2θ<0,所以tan θ<0,于是角θ在第二象限或第四象限.
答案C12345答案A 12345123455.判断下列各式的符号:
(1)tan 120°·sin 269°;解(1)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.
∴tan 120°·sin 269°>0.课件31张PPT。第2课时 三角函数线一二三思维辨析一、有向线段
问题思考
1.直线、射线、线段有什么区别?
提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有两个端点,有限长.
2.填空:有向线段
(1)定义:带有方向的线段叫做有向线段.
(2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负.
(3)记法:有向线段AB的数量记为AB.
(4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|.一二三思维辨析二、三角函数线
问题思考
1.假设第一象限角α的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin α,cos α的值恰好等于线段MP,OM的长度,当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按照同样的作法,sin α,cos α的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果不相等,那么sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的数量有何关系?
提示当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin α,cos α的值不等于线段MP,OM的长度,sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的数量是一致的.一二三思维辨析2.填空:三角函数线
如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).
?
?
过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM ,tan α=AT .单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.一二三思维辨析3.做一做:如图,210°角的正弦线为 ,余弦线为 ,正切线为 .?解析由三角函数线的定义可知,210°角的正弦线为MB,余弦线是OM,正切线是PD.
答案MB OM PD一二三思维辨析三、特殊角的三角函数线
问题思考
1.0°,180°角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90°,270°角的正弦线、余弦线有何特点?90°,270°角的正切线能否作出?
提示0°,180°角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是一个点;90°,270°的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不存在.
2.填空:特殊角的三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.一二三思维辨析3.做一做:下列角的正切线不存在的是( )解析当角α的终边与y轴重合时,正切线不存在.
∵ 的终边在y轴的非负半轴上,∴正切线不存在.
答案B一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( )
(2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线的起点一定是(1,0). ( )
(3)三角函数线只能表示0°~360°之间角的三角函数值. ( )
(4)任意大小的角都有正切线. ( )
(5)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x轴的正半轴上. ( )
(6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相等、符号相同. ( )
答案(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√探究一探究二探究三思维辨析作三角函数线
【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.解如图. 其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT.探究一探究二探究三三角函数线的作法步骤:
(1)作平面直角坐标系和角的终边.
(2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A.
(3)过点P作x轴的垂线,垂足为M.
(4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T.
(5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线.思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数线比较三角函数值的大小 探究一探究二探究三思维辨析解 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数线比较大小的步骤:利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2(1)下列关系正确的是( )
A.sin 10°B.sin 20°C.sin 10°D.sin 20°|OM1|>|M1P1|>|M2P2|,
∴cos 10°>cos 20°>sin 20°>sin 10°,故选C.
答案C探究一探究二探究三思维辨析(2)解如图所示,角α的终边交单位圆于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,过x轴的正半轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT,交角α的终边于点T,连接AP,则有MP=sin α,AT=tan α,S△OAP【例3】 根据下列条件,求角α的取值集合:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析利用三角函数线求角的取值集合的方法
利用三角函数线求角的取值集合,关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin x≥b,cos x≥a(或sin x≤b,cos x≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan x≥c(或tan x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置,结合图象可得.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析忽视角的范围致误 探究一探究二探究三思维辨析当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时,应特别注意角的范围的表达形式,这时可以用一个区间来表示(须用到负角),也可用两个区间并集来表示.123451.下列说法不正确的是( )
A.当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点
B.当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在
C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D.余弦线和正切线的始点都是原点
解析余弦线的起点是原点,但正切线的始点是(1,0)点.
答案D123452.已知角α是第四象限角,则角α的正弦线MP是下图中的( )解析正弦线的画法是:作角α的终边,与单位圆交于点P,作PM垂直x轴于点M,则有向线段MP是正弦线,故A正确.
答案A12345解析 答案D 1234512345课件46张PPT。1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数基本关系
问题思考
1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?2.填空:同角的三角函数基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.3.做一做:(1)sin22 019°+cos22 019°=( )
A.0 B.1
C.2 019 D.2 019°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ= .?
解析(1)由平方关系知sin22 019°+cos22 019°=1.答案(1)B (2)-1
4.已知sin α(cos α)的值,能否求出cos α(sin α),tan α的值?已知sin α±cos α的值,怎样求出sin αcos α的值?
提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题.5.填空:同角三角函数基本关系式的变形
(1)平方关系sin2α+cos2α=1的变形
①sin2α=1-cos2α;②cos2α=1-sin2α;③1=sin2α+cos2α;
④(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;⑤(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.?①sin α=tan α·cos α;? 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系求值
角度1 已知某个三角函数值,求其余三角函数值分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求解该角的正切值即可.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;
第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;
第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值
【例2】 已知tan α=2,则分析在这里,注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,就把所求值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入,就能快速求其值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解析(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin α,cos α的一次齐次式,可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0),然后整体代入tan α=2的值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析已知tan α,求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法
已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的齐次式(次数相同).探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3 利用sin α+cos α,sin α-cos α与sin αcos α三者之间的关系求值探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析1.由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α可知如果已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.sin θ±cos θ的符号的判定方法:
(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cos θ,即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ?
(2)sin θ+cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin θ=-cos θ,即sin θ+cos θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin θ>-cos θ,即sin θ+cos θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ<-cos θ,即sin θ+cos θ<0.如图②所示.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系化简
【例4】 化简下列各式:分析(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析三角函数式的化简过程中常用的方法
(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析(3)①原式=(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)+3sin2αcos2α
=cos4α+2sin2αcos2α+sin4α=(sin2α+cos2α)2=1.
②因为180°<α<270°,所以sin α<0,探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系证明恒等式
角度1 一般恒等式的证明探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:
(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;
(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;
(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2 给出限制条件的恒等式证明问题
【例6】 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
分析切化弦→利用sin2θ+cos2θ=1将余弦转化为正弦→整理得证探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析【案例】 (开放探究题)从已知条件sin θ+cos θ= ,且θ∈(0,π)可以得到以下结论:
(1) ;?
(2) ;?
(3) .?探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:
(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析忽视角的取值范围致误 以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?
提示错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin α>0,cos α<0,因此解是唯一的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析在利用sin θ±cos θ,sin θcos θ之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sin θcos θ的值求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,需开方,因此要由角的范围确定取“+”还是“-”.12345答案B 12345答案C 12345答案C 12345答案sin α 123455.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.
证法一左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α)=1+2(cos α-sin α)+(cos α-sin α)2=(1-sin α+cos α)2=右边.
所以原式成立.
证法二左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α,
右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α.
故左边=右边.所以原式成立.
证法三令1-sin α=x,cos α=y,则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x.
故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.所以原式成立.课件27张PPT。第1课时 诱导公式二、三、四一二三思维辨析一、诱导公式二
问题思考
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角π+α的终边有什么关系?
(2)角α与角π+α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)在一条直线上,方向相反;
(2)关于原点对称;
(3)横、纵坐标都互为相反数.一二三思维辨析2.填空:(1)角π+α与角α的终边关于原点对称(如图所示).
(2)诱导公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.?一二三思维辨析一二三思维辨析二、诱导公式三
问题思考
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角-α的终边有什么关系?
(2)角α与角-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)关于x轴对称;(2)关于x轴对称;(3)横坐标相等,纵坐标互为相反数.
2.填空:(1)角-α与角α的终边关于x轴对称(如图所示).
?
(2)诱导公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.?一二三思维辨析一二三思维辨析三、诱导公式四
问题思考
1.观察单位圆,回答下列问题:
(1)角α与角π-α的终边有什么关系?
(2)角α与角π-α的终边与单位圆的交点P,P1有什么对称关系?
(3)在(2)中,点P,P1的坐标有什么关系?
提示(1)关于y轴对称;
(2)关于y轴对称;
(3)横坐标互为相反数、纵坐标相等.一二三思维辨析2.填空:(1)角π-α与角α的终边关于y轴对称(如图所示).
?
?
?
?
(2)诱导公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α.?一二三思维辨析一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打
“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数诱导公式中的角α应为锐角. ( )
(2)存在角α,使sin(π+α)=sin α,cos(π-α)=cos α. ( )
(3)当α是第三象限角时,tan(-α)=tan α. ( )
(4)tan(α-π)=tan α. ( )
(5)sin(2π-α)=sin α. ( )
(6)sin(180°-300°)=-sin 300°. ( )
(7)若α,β满足α+β=π,则sin α=sin β且tan α=tan β. ( )
答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)×探究一探究二探究三利用诱导公式解决求值问题
【例1】 (1)求sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°的值;
(2)已知cos(α-55°)=- ,且α为第四象限角,求sin(α+125°)的值.
分析(1)利用诱导公式将负角化为正角,进而化为锐角进行求值;(2)寻求α-55°与α+125°之间的关系,利用诱导公式进行化简.探究一探究二探究三解(1)sin 585°cos 1 290°+cos(-30°)sin 210°+tan 135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos 30°sin 210° +tan(180°-45°)
=sin 225°cos 210°+cos 30°sin 210°-tan 45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos 30°·sin(180°+30°)-tan 45°
=sin 45°cos 30°-cos 30°sin 30°-tan 45°探究一探究二探究三探究一探究二探究三1.利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤:2.利用诱导公式解决给值求值问题的策略:
(1)弄清楚已知条件与所求式中角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.探究一探究二探究三延伸探究本例(2)中,条件不变,如何求tan(595°-α)的值?探究一探究二探究三利用诱导公式解决化简问题 分析充分利用所学的四个诱导公式对角进行转化,并结合同角三角函数关系式进行化简.探究一探究二探究三利用诱导公式一~四化简应注意的问题:
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
(2)化简时函数名不发生改变,但一定要注意函数的符号有没有改变.
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.探究一探究二探究三探究一探究二探究三利用诱导公式解决证明问题 分析观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.探究一探究二探究三关于三角恒等式的证明,常用方法:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异.探究一探究二探究三12345解析tan(-600°)=-tan 600°=-tan(360°+240°)=-tan 240°
=-tan(180°+60°)=-tan 60°=- .
答案B12345答案C 12345答案D 1234512345答案-1 课件29张PPT。第2课时 诱导公式五、六一二思维辨析一、诱导公式五、六
问题思考
1.观察单位圆,回答下列问题:一二2.填空: 思维辨析一二思维辨析一二思维辨析?一二思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)×探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式化简或求值
【例1】 计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”. 探究一探究二探究三思想方法变式训练1cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°= ( )
A.90 B.45 C.44.5 D.44
解析cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°
=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos245°+…+sin23°+sin22°+sin21°
=(cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+(cos23°+sin23°)+…+(cos244°+sin244°)+cos245°
=44×1+
=44.5.
答案C探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式证明三角恒等式
【例2】 求证:分析本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别化简为同一式子进行证明.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法诱导公式的综合应用
角度1 诱导公式与同角三角函数关系式的综合探究一探究二探究三思想方法诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤为:(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.
(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到答案.探究一探究二探究三思想方法角度2 诱导公式在三角形中的应用 分析首先利用诱导公式化简已知的两个等式,然后结合sin2A+cos2A=1,求出cos A的值,再利用A+B+C=π进行求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式解决三角形中有关问题时,既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式,还要注意三角形的隐含条件——三内角和等于180°,以及下面的公式的灵活运用.
在△ABC中,常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用 探究一探究二探究三思想方法利用诱导公式化简三角函数时,要注意诱导公式的符号,即kπ±α的三角函数值的符号与k是奇数还是偶数有关,因此在解决问题时,要注意对k进行讨论.12345答案B 12345答案A 123453.已知sin 10°=k,则cos 620°=( )
A.k B.-k
C.±k D.不能确定
解析cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=-cos 80°
=-sin 10°=-k.
答案B12345答案-sin2α 12345课件34张PPT。1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一二思维辨析一、正弦函数的图象
问题思考
1.对于任意一个实数x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否将sin x,cos x看作是关于变量x的函数?
提示唯一,可以.
2.正、余弦函数的解析式及其定义域一二思维辨析3.作函数图象最基本的方法是什么?如果用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取哪些点?如何在平面直角坐标系中比较精确地描出这些点,并画出y=sin x在[0,2π]内的图象?
提示作函数图象最基本的方法是描点法;用描点法作正弦函数y=sin x在[0,2π]内的图象,可取当x=0, ,…时的各点;可以借助正弦线的平移比较精确地画出这些点.
4.填空:利用正弦线作正弦函数的图象
利用正弦线作正弦函数图象的步骤:
(1)等分;(2)作正弦线;(3)平移得点;(4)连线.
5.当x∈[2π,4π],[-2π,0],…时,y=sin x的图象如何?
提示根据诱导公式一,可将函数y=sin x在[0,2π]内的图象通过向左、向右平移得到.一二思维辨析6.填空:正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
7.在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,起关键作用的点有哪几个?
提示一个最高点、一个最低点、三个图象与x轴的交点.
8.填空:“五点作图法”作正弦曲线(2)将所得图象向左、向右平移(每次2π个单位长度).一二思维辨析答案B 一二思维辨析二、余弦函数的图象
问题思考一二思维辨析一二思维辨析思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时,所取的“五点”是相同的. ( )
(2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线y=1和y=-1之间. ( )
(3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称. ( )一二思维辨析答案(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)× (8)√ (9)√探究一探究二探究三思想方法用“五点法”作三角函数的图象
【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1- cos x,x∈[-2π,2π].
分析(1)先在[0,2π]上找出5个关键点,再用光滑曲线连接即可;(2)先用“五点法”作出函数在[0,2π]上的图象,再通过对称或平移得到[-2π,0]上的图象.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:
(1)列表:探究一探究二探究三思想方法变式训练1画出函数y=3+2cos x,x∈[0,2π]的简图.
解列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,得函数y=3+2cos x,x∈ [0,2π]的图象(如图所示).探究一探究二探究三思想方法利用“图象变换法”作三角函数的图象
【例2】 利用图象变换法作出下列函数的图象:
(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];分析(1)先作函数y=cos x的图象,再得到y=-cos x的图象,最后得到y=1-cos x的图象;(2)先将解析式化简为y=|sin x|,再画出函数y=sin x的图象,最后得到y=|sin x|的图象.探究一探究二探究三思想方法解(1)先用“五点法”作出函数y=cos x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到y=-cos x的图象,最后将该图象向上平移1个单位,即得y=1-cos x的图象(如图①).
(2) =|sin x|,先用“五点法”作出函数y=sin x在[0,4π]上的图象,再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象关于x轴对称翻折到上方,即得y=|sin x|的图象(如图②).探究一探究二探究三思想方法图象变换的规律
1.平移变换
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的;
(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的.探究一探究二探究三思想方法2.对称变换
(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;
(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左边得到;
(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.探究一探究二探究三思想方法延伸探究本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?探究一探究二探究三思想方法正、余弦曲线的简单应用 分析构造三角不等式→画函数图象→求函数定义域 探究一探究二探究三思想方法1.用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
2.利用三角函数线解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位置.
(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法利用数形结合思想方法解决问题
【典例】 方程lg x=sin x的解的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.探究一探究二探究三思想方法答案D 探究一探究二探究三思想方法数形结合的思想方法是一种重要的数学思想方法,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象的解决.探究一探究二探究三思想方法变式训练(1)方程2x=cos x的解的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
(2)在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是( )(3)函数y=3cos x(0≤x≤π)的图象与直线y=-3及y轴围成的图形的面积为 .?探究一探究二探究三思想方法解析(1)画出y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.探究一探究二探究三思想方法答案(1)D (2)C (3)3π 123451.用“五点法”作函数y=2-3sin x的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是( )答案B 123452.函数y=cos(x+3π)的图象与余弦函数图象( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于原点和x轴对称
D.关于原点和坐标轴对称
解析因为y=cos(x+3π)=-cos x,所以其图象与余弦函数y=cos x的图象关于原点和x轴都对称.
答案C12345答案D 123454.函数y=x2-cos x的零点个数为 .?
解析在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos x的图象,如图所示.则两个函数图象有2个交点,∴函数y=x2-cos x的零点有2个.答案2 123455.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象.
解列表:课件30张PPT。第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)一二三思维辨析一、周期函数
问题思考
1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)可以怎样表示?
提示sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z);f(x+2kπ)=f(x).
2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?
提示周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2π.一二三思维辨析4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.
5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为
__________的周期函数.?
(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)= __________.
解析(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.
(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).
答案(1)3 (2)f(x)一二三思维辨析二、正弦函数与余弦函数的周期性
问题思考
1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?
提示正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2π.
2.填空:(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数y=cos x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.一二三思维辨析答案(1)2π (2)4π 一二三思维辨析6.函数y=sin x(x>0),y=sin x(x<0),y=sin x(0≤x≤10π)分别是周期函数吗?
提示y=sin x(x>0)是周期函数,y=sin x(x<0)是周期函数,y=sin x(0≤x≤10π)不是周期函数.
7.填空:一个函数是否是周期函数,与其定义域有关,一般地,周期函数的定义域是无穷区间.一二三思维辨析三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性
问题思考
1.根据诱导公式有sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?
提示奇偶性.
2.填空:(1)正弦函数y=sin x是奇函数,其图象关于原点对称;
(2)余弦函数y=cos x是偶函数,其图象关于y轴对称.一二三思维辨析答案(1)A (2)B 一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×探究一探究二探究三思维辨析求三角函数的周期
【例1】 求下列三角函数的周期:
(1)y=3sin x,x∈R;
(2)y=cos 2x,x∈R;
(3)y= ,x∈R;
(4)y=|cos x|,x∈R.
分析对于(1)(2)(3),可采用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.探究一探究二探究三思维辨析解(1)3sin(x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2π.
(2)cos 2(x+π)=cos(2x+2π)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x的周期为π.探究一探究二探究三思维辨析求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式,再利用T= 求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1求下列函数的最小正周期: (2)y=cos|x|. (2)因为函数y=cos x为偶函数,所以y=cos|x|=cos x,从而函数y=cos|x|与y=cos x的图象一样,因此最小正周期相同,为2π.探究一探究二探究三思维辨析三角函数奇偶性及其应用
【例2】 判断下列函数的奇偶性:分析求定义域→定义域是否关于原点对称→看f(-x)与f(x)的关系→确定奇偶性探究一探究二探究三思维辨析解(1)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R.
∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.探究一探究二探究三思维辨析1.判断函数奇偶性的常用方法:
(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.
(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos(π+x);
(2)f(x)=sin(cos x).
解(1)函数f(x)的定义域为R,
∵f(x)=x·cos(π+x)=-x·cos x,
∴f(-x)=-(-x)·cos(-x)=x·cos x=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)的定义域为R,
∵f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x).
∴f(x)为偶函数.探究一探究二探究三思维辨析函数奇偶性、周期性的综合问题 探究一探究二探究三思维辨析(2)因为f(x+3)=-f(x),
所以f(x+6)=-f(x+3),
所以f(x+6)=f(x),
故函数是周期为6的周期函数.
又因为函数是奇函数,所以f(2 019)=f(6×337-3)=f(-3)=-f(3)=-3.探究一探究二探究三思维辨析1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;
(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;探究一探究二探究三思维辨析答案0 探究一探究二探究三思维辨析对周期函数的概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,正确的有 .(填序号)?错解①②③④
本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
提示根据周期函数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期公式对各个命题加以判断.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的函数.123451.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
答案A12345答案C 12345A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数答案C 123454.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)= .?
解析由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,
则f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1).
又f(1)=1,则f(5)=-1.
答案-112345课件46张PPT。第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)一二三思维辨析一、正弦函数与余弦函数的单调性
问题思考
1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区间进行整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?怎样整合这些区间?一二三思维辨析(2)余弦函数y=cos x在区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减.一二三思维辨析3.做一做:(1)函数y=sin 2x-1的单调递增区间是 ;?
(2)函数y=3-cos 2x的单调递增区间是 .?一二三思维辨析二、正弦函数与余弦函数的最值和值域
问题思考
1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取得最大值和最小值?余弦函数呢?一二三思维辨析(2)余弦函数y=cos x当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取最大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1.
(3)正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x的值域都是[-1,1].解析(1)因为y=sin x的最大值为1,所以y=2-3sin x的最小值是-1.答案(1)-1 (2)4kπ(k∈Z) 一二三思维辨析三、正弦函数与余弦函数的对称性
问题思考
1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线对称?一二三思维辨析2.填空:(1) (2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴都经过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,亦即函数y=sin x(y=cos x)的最值点;正弦曲线(余弦曲线)的对称中心都经过正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点,亦即函数y=sin x(y=cos x)的零点.一二三思维辨析答案(1)D (2)C 一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)√ (8)×探究一探究二探究三探究四思维辨析求三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递减区间:分析(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解;(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:
(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;
(2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析单调性在三角函数中的应用
角度1 利用单调性比较三角函数值的大小
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)sin 220°与sin 230°;分析观察各角,利用诱导公式,先将异名三角函数化为同名三角函数,非同一单调区间上的角化为统一单调区间上的角,再根据单调性比较大小.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析角度2 已知三角函数的单调情况求参问题探究一探究二探究三探究四思维辨析答案D 探究一探究二探究三探究四思维辨析比较三角函数值大小的方法
(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;
(2)不同名的函数化为同名函数;
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数的值域(或最值)问题
角度1 利用三角函数的有界性和单调性求值域(或最值)
【例4】 求下列函数的值域:(2)y=|sin x|+sin x.
分析利用正弦函数的有界性和单调性来求解.(1)由x的取值范围,确定2x+ 的取值范围,再由正弦函数的单调性求解;(2)先去绝对值符号,再求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析角度2 化为f(sin x)或g(cos x)型的函数求值域(或最值)
【例5】 求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值:探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析角度3 分离常数法求值域(或最值) 探究一探究二探究三探究四思维辨析与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路
1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,结合函数的单调性确定值域.
3.求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.探究一探究二探究三探究四思维辨析4.求形如 ,ac≠0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
综上可知,求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有:(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解;
(2)转化为关于sin x的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数奇偶性与对称性问题 探究一探究二探究三探究四思维辨析答案(1)B (2)A 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练4(1)下列函数中是偶函数的是( )
A.y=sin 2x B.y=-sin x
C.y=sin|x| D.y=sin x+1探究一探究二探究三探究四思维辨析解析(1)A,B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin|-x|=sin|x| =f(x),∴y=sin|x|是偶函数.
(2)本题很容易先求φ值再去求对称中心,其实本题所要强调的是正弦函数与余弦函数的性质之间的关系.不难发现,对于函数y=sin(ωx+φ)和y=cos(ωx+φ),正弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标便是余弦函数的对称中心的横坐标,反之,正弦函数的对称中心的横坐标是余弦函数的对称轴与x轴交点的横坐标.于是本题中y=cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)对称.
答案(1)C (2)A探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意对A分A>0和A<0两种情况进行分类讨论.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析解决与三角函数有关的复合函数问题时,讨论函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则,尤其是当与对数函数、幂函数等进行复合时,要格外引起注意.12345答案C 12345答案C 12345答案B 1234512345课件33张PPT。1.4.3 正切函数的性质与图象一二思维辨析一、正切函数的图象
问题思考
1.根据同角的三角函数基本关系中的商数关系,你能否推断y=tan x是一个周期函数?一二思维辨析2.填空:(1)正切函数的图象(如图):
?
?
?
?
?
?
(2)正切函数的图象叫做正切曲线.
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线___________________所隔开的无穷多支曲线组成的.一二思维辨析二、正切函数的性质
问题思考
1.观察正切曲线,思考:正切函数的值域是什么?正切函数是整个定义域上的增函数吗?正切函数会不会在某一区间内是减函数?正切函数的图象关于某些直线对称吗?关于某些点对称吗?
提示正切函数的值域是R;正切函数在整个定义域上不是增函数;正切函数不会在某一区间内是减函数,正切函数的图象不可能关于某条直线对称;关于一些点是对称的.一二思维辨析2.填空: 一二思维辨析一二思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数在其定义域内是单调递增函数. ( )
(3)函数y=|tan x|与y=tan x的周期相等,都是π. ( )
(4)函数y=tan x的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z). ( )
(5)直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两个交点之间的距离为π. ( )答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)× 探究一探究二探究三思维辨析正切函数的定义域与值域问题
【例1】 求下列函数的定义域和值域:分析根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图象求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.解形如tan x>a的不等式的步骤:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析正切函数的图象及其应用
角度1 求单调区间探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析角度2 比较大小
【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:分析利用周期性化角到某个单调区间内→利用函数的单调性比较大小探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析 正切函数的单调性在比较大小中的应用技巧
利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小,实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在同一个单调区间内比较大小.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析正切函数的周期性与奇偶性
【例4】 (1)求函数 的最小正周期;
(2)已知函数f(x)=asin x+btan x+2 018,若f(2 019)=-1,求f(-2 019)的值.
分析(1)根据正切函数最小正周期求解;(2)根据函数y=asin x+btan x是奇函数求解.探究一探究二探究三思维辨析(2)令g(x)=asin x+btan x,则f(x)=g(x)+2 018.
因为g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),
所以g(x)是奇函数.
因为f(2 019)=g(2 019)+2 018=-1,
所以g(2 019)=-2 019,则g(-2 019)=2 019,
故f(-2 019)=g(-2 019)+2 018=2 019+2 018=4 037.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析答案(1)A (2)±2 弄错正切函数图象的对称中心致误 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析正切函数y=tan x图象的对称中心是 (k∈Z),而不是(kπ,0) (k∈Z),要熟记.在求参数的值时,务必注意参数的取值范围,在所给定的范围内求解.12345答案B 6123452.函数f(x)=sin xtan x( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数由f(-x)=sin (-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)=sin xtan x=f(x),则f(x)是偶函数.故选B.
答案B612345答案< 6123456123456123456123456课件43张PPT。1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象一二三四思维辨析一、φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响
问题思考提示y=sin(x+φ)的图象可以由函数y=sin x的图象经过左右平移|φ|个单位得到.一二三四思维辨析2.填空:如图,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的.一二三四思维辨析答案B 一二三四思维辨析二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
问题思考
1.在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin 2x与y=sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间有什么关系?
提示y=sin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(x+φ)的图象经过左右伸缩变换得到.一二三四思维辨析2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到.一二三四思维辨析答案B 一二三四思维辨析三、A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
问题思考
1.在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sin x与 y= sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin(ωx+φ)的图象之间有什么关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上下伸缩变换得到.一二三四思维辨析2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0问题思考
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.一二三四思维辨析(2)变换法:
由y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的方法如下:
①先平移后伸缩②先伸缩后平移 一二三四思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.一二三四思维辨析答案(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)√ (9)× (10)√探究一探究二探究三探究四思维辨析用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤
第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
角度1 图象的变换方式分析本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析角度2 求函数的解析式 分析确定逆向变换过程→由伸缩变换确定ω→由平移变换确定φ→确定函数解析式答案B 探究一探究二探究三探究四思维辨析1.对函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有:
①振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A>1时伸长,A<1时缩短.
②周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的,ω>1时缩短,ω<1时伸长.
③相位变换(横向平移变换):是由φ引起的,φ>0时左移,φ<0时右移.
④上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k>0时上移,k<0时下移.
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.若相应变换的函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化一致,再利用相应的变换得到结论.
3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0)的图象得到y=sin x的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数图象变换的应用 答案B 探究一探究二探究三探究四思维辨析函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性:
(1)当φ=kπ(k∈Z)时,函数是奇函数;
(2)当φ=kπ+ (k∈Z)时,函数是偶函数;
(3)当φ≠kπ,且φ≠kπ+ (k∈Z)时,函数是非奇非偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析图象的综合应用
【例5】 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示， ,则f(0)= .?分析本题提供的图象蕴含着丰富的信息,关键是如何利用这些信息,本题可以通过求函数解析式来解,也可以寻找解决问题的新途径,充分利用三角函数的性质来求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析由图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)+k的一般步骤:
第一步:定A,k,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A,k的值.
第二步:定周期,借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期.
第三步:定ω,根据周期公式确定参数ω的值.
第四步:定φ,利用函数图象及五点作图法中的“五点”,建立关于φ的方程,求之即得φ的值.探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析答案(1)D (2)0 探究一探究二探究三探究四思维辨析三角函数图象平移变换规则不清致误 探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一探究二探究三探究四思维辨析在解决三角函数图象的平移变换时,注意以下几点:
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数;
(2)弄清楚平移的方向,即平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象要清楚;
(3)平移的单位数是针对单一自变量x而言的,不是ωx+φ中的φ,而是 .12345答案C 123452.将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数答案A 123453.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)得 的图象.?
解析依题意知,将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后,可得y=sin 6x的图象.
答案y=sin 6x123451234512345课件28张PPT。1.6 三角函数模型的简单应用一二思维辨析一、三角函数模型的作用
问题思考
1.三角函数能够模拟现实中的许多周期现象,你能举出一些这样的例子吗?
提示物理中的简谐振动、交流电中的电流、海洋潮汐和水车问题等都是日常生活中的一些周期现象.
2.填空:三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥重要作用.一二思维辨析二、应用三角函数模型解决问题的一般程序
问题思考
1.填空:
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目周期性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.一二思维辨析2.做一做:如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为 .?一二思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型. ( )
(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决. ( )(4)若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=4sin 200πt,t∈[0,+∞),则电流的最大值为4 A. ( )
(5)方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内有且仅有一个根. ( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×探究一探究二探究三思维辨析三角函数模型在日常生活中的应用
【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
分析函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2),可用五点作图法解决(3),由函数解析式或图象得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数.探究一探究二探究三思维辨析描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.探究一探究二探究三思维辨析在日常生活中,呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
?
?
?
?
?
(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数模型在物理中的应用
【例2】 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0).
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;探究一探究二探究三思维辨析分析对于(1),由于解析式的类型已经确定,只需根据图象确定参数A,ω,φ的值即可.其中A可由最大值与最小值确定,ω可由周期确定,φ可通过特殊点的坐标,解方程求得.对于(2),可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三角函数在物理中的应用
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为 .
(1)作出函数的图象;
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少?
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少?
(4)单摆来回摆动一次需多长时间?探究一探究二探究三思维辨析数据拟合三角函数模型问题
【例3】已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据.(1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?
分析作出散点图→判断形状构建模型→求参数探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析处理数据拟合和预测问题的几个步骤:
(1)根据原始数据,绘出散点图;
(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.探究一探究二探究三思维辨析延伸探究本例(2)中,按照规定,该海滨浴场在每天上午对冲浪爱好者开放之前,须首先对海滨浴场的各种设施进行全面详细的安全检查,且检查工作必须在海浪高度低于 米时进行,试问:海滨浴场工作人员须在上午的哪个时段对设施进行安全检查?探究一探究二探究三思维辨析不能正确理解简谐运动的过程致误
【典例】 弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在点B,经0.5 s振子首次达到点C.求:
(1)振动的振幅、周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.
错解(1)因为B,C相距20 cm,
所以振幅A=20 cm.
因为从点B经0.5 s振子首次达到点C,
所以周期T=0.5 s,频率f= =2.
(2)5 s内的路程=位移=5A=5×20=100 cm.探究一探究二探究三思维辨析?探究一探究二探究三思维辨析?探究一探究二探究三思维辨析对于简谐振动,要结合物理中所学的知识加强对相关概念以及解析式y=Asin(ωx+φ)中参数意义的理解,弄清它们之间的区别与联系,以便正确求解.12341.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 周期后,乙的位置将移至( )A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定
解析相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点.
答案C12342.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
解析由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8 s,A=5 cm.当t=0.1 s或0.5 s时,v为零.
答案D1234答案D 12344.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)= ,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.
(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?