专题1.2.2函数的表示方法-2019届数学高一（必修一）全新视角透析
文档属性
| 名称 | 专题1.2.2函数的表示方法-2019届数学高一（必修一）全新视角透析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 213.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-30 16:18:56 | ||
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文档简介
第一章 集合与函数的概念
1.2.2函数的表示方法
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；
B.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
a数学抽象：函数解析法及能由条件求出函数解析式
b逻辑推理：由条件求解函数解析式
c数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算
d 直观想象：利用图像表示函数
e 数学建模：由实际问题构建合理的函数模型
【课标知识】
知识提炼
基础过关
1.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
2.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
．
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－ C. D．－
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2
，则a＝________.
4．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
基础过关参考答案： 1. 【解析】选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选
C.
【答案】C
2. 【解析】令t＝x－1，则x＝2t＋2，
f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，
解得a＝.
【答案】A
【答案】(x≠0)
【能力素养】
探究一 求函数解析式
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查
例1． (1)已知f＝x2＋，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解析】(1)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.
【点评】1.依题型准确选用4种方法速求函数解析式
题型
方法
步骤
已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式
配凑法
将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(1))
已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式
换元法
令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(2))
已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如典题领悟(3))
求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)
解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式．(如典题领悟(4))
2．谨防求函数解析式的2种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
【变式训练】
1．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
【答案】B
2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
【解析】 设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
【答案】 A
3．已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
【解析】 f＝＋＝2－＋1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
【答案】C
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
【答案】 2x－(x≠0)
探究二 分段函数
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，常见的命题角度有：（1）求值问题；（2）求参数或自变量的值或范围?.
例2：（1）求值问题
已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C. D.
【解析】依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.
【答案】B
【点评】求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
例3：（2）求参数或自变量的值(或范围)
(2017全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
【解析】由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
【答案】
【点评】求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
【变式训练】
1.（2015高考新课标2）设函数,( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
【答案】C
2.（2017山东高考）设,若,则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
3.设若，则的取值范围为_____________.
【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，
，满足.
【答案】
【点评】题“根”探求
看个性
角度(一)是求分段函数的函数值；
角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围
找共性
(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；
(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
1
B
2,8
4,8
2,3,4,6,8
3,5,7
5,7
7
C
6
4，6
一、选择题
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )
【解析】由题意，先匀速行驶，图像应为直线，停留一段时间，图像为平行于x轴的一段线段，之后加速则图像是上凸的曲线。故选C
【答案】C
2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】B
3.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C
【答案】C
4.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
可得有两个交点，所以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选B．
【答案】B
5.（2015高考新课标2）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）
【答案】B
6.（2016高考新课标2理）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.
【答案】C
二、填空题
7.（2017北京理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
【解析】作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大，所以第一位选 ,分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选
【答案】；
8.若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数的取值范围是 ．
【答案】
1.2.2函数的表示方法
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；
B.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
a数学抽象：函数解析法及能由条件求出函数解析式
b逻辑推理：由条件求解函数解析式
c数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算
d 直观想象：利用图像表示函数
e 数学建模：由实际问题构建合理的函数模型
【课标知识】
知识提炼
基础过关
1.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
2.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
．
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－ C. D．－
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2
，则a＝________.
4．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
基础过关参考答案： 1. 【解析】选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选
C.
【答案】C
2. 【解析】令t＝x－1，则x＝2t＋2，
f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，
解得a＝.
【答案】A
【答案】(x≠0)
【能力素养】
探究一 求函数解析式
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查
例1． (1)已知f＝x2＋，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解析】(1)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.
【点评】1.依题型准确选用4种方法速求函数解析式
题型
方法
步骤
已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式
配凑法
将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(1))
已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式
换元法
令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(2))
已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如典题领悟(3))
求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)
解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式．(如典题领悟(4))
2．谨防求函数解析式的2种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
【变式训练】
1．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
【答案】B
2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
【解析】 设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
【答案】 A
3．已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
【解析】 f＝＋＝2－＋1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
【答案】C
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
【答案】 2x－(x≠0)
探究二 分段函数
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，常见的命题角度有：（1）求值问题；（2）求参数或自变量的值或范围?.
例2：（1）求值问题
已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C. D.
【解析】依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.
【答案】B
【点评】求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
例3：（2）求参数或自变量的值(或范围)
(2017全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
【解析】由题意知，可对不等式分x≤0,0
【答案】
【点评】求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
【变式训练】
1.（2015高考新课标2）设函数,( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
【答案】C
2.（2017山东高考）设,若,则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
3.设若，则的取值范围为_____________.
【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，
，满足.
【答案】
【点评】题“根”探求
看个性
角度(一)是求分段函数的函数值；
角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围
找共性
(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；
(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
1
B
2,8
4,8
2,3,4,6,8
3,5,7
5,7
7
C
6
4，6
一、选择题
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )
【解析】由题意，先匀速行驶，图像应为直线，停留一段时间，图像为平行于x轴的一段线段，之后加速则图像是上凸的曲线。故选C
【答案】C
2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】B
3.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C
【答案】C
4.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
可得有两个交点，所以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选B．
【答案】B
5.（2015高考新课标2）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）
【答案】B
6.（2016高考新课标2理）已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）
（A）0 （B） （C） （D）
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.
【答案】C
二、填空题
7.（2017北京理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
【解析】作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大，所以第一位选 ,分别作关于原点的对称点，比较直线 斜率，可得最大，所以选
【答案】；
8.若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数的取值范围是 ．
【答案】