专题1.3.1函数的单调性与最值-2019届数学高一（必修一）全新视角透析

第一章 集合与函数的概念
1.3.1函数的单调性与最值
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；
B.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
a数学抽象：运用符号表示函数的单调性
b逻辑推理：能证明函数的单调性
c数学运算：运用单调性解决解不等式
d 直观想象：能运用图像表示单调性
e 数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决问题
【课标知识】
知识提炼
基础过关
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)
(2)函数y＝的单调递减区间是
(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)
(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)则f(x)为增函数.(　　)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是
[1，＋∞).(　　)
2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)
A.y＝－x
B.y＝x2－x
C.y＝ln x－x
D.y＝ex－x
3.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么(　　)
A.a＝－2
B.a＝2
C.a≤－2
D.a≥2
4.函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是
________.
5.函数f(x)＝(x≥2)的最大值为
________.
基础过关参考答案：1. 【解析】　(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.
【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
【答案】C
4. 【解析】f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lg u在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减.
【答案】(－∞，0)
5.【解析】易得f(x)＝＝1＋，
当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
【答案】2
【能力素养】
探究一 确定函数的单调区间
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中；
例1．（1）试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【解析】法一：设－1f(x)＝a＝a，
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
（2）.求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解析】易知f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，
可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
【点评】1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题)
2．熟记函数单调性的4个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．
3．谨防3种失误
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．
(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
【变式训练】
1．(2017全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) 　C．(1，＋∞)　 D．(4，＋∞)
【解析】由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
【答案】D
2．下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
【答案】C
3．已知函数y＝，那么(　　)
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
【解析】函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，
∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，
∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.
【答案】A
4．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
探究二 求函数的最值（值域）
函数的值域?最值?是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域、最值问题。
例2：方法1：　性质法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
【解析】由y＝，可得x2＝.
由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，故所求函数的值域为[－1,1)．
【答案】[－1,1)
【点评】(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x2≥0，ex>0等)求解即可．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数
y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数
y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．
例3：方法(二)　数形结合法求函数的值域(最值)
1．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
【解析】函数y＝
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．　
【答案】[3，＋∞)
【点评】先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．
例4：方法(三)　换元法求函数的值域(最值)
1．函数y＝x＋的最大值为________．
【答案】.
【点评】对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．
例5：方法(四)　分离常数法求函数的值域(最值)
1．函数y＝的值域为________．
【解析】y＝＝＝3＋，
因为≠0，所以3＋≠3，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
【答案】{y|y∈R且y≠3}
【点评】通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
【变式训练】
1．若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.
【解析】∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，
∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.
即解得a＝1，b＝.
【答案】1　
2．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
【答案】：[0，＋∞)
3．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
【解析】∵≤f(x)≤，∴≤≤.
令t＝，则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.
∴g(x)的值域为.
【答案】
4．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
【答案】
【点评】求函数值域（最值）的类型及其方法
(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x2≥0，|x|≥0，≥0，ex>0等)确定函数的值域或最值．
(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(3)形如求y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(4)形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法。
探究三 函数单调性的应用
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，常见的命题角度有：
?1?比较函数值的大小；（2）解函数不等式；?3?利用单调性求参数的取值范围；
例1：角度1:　比较函数值的大小
已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b　　　　　　 B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)，∴b>a>c.
【答案】D
【点评】比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
例2：角度2:解函数不等式
定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．
所以原不等式的解集为.
【答案】：
【点评】求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)例3：角度3:　利用单调性求参数的取值范围(或值)
已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.又函数f(x)在R上单调，
而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
【答案】B
【点评】　利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
【变式训练】
1．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围_____．
【解析】由已知可得解得－33，
所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．
【点评】
看个性
角度(一)是函数值大小的比较，转化为在同一单调区间内的自变量的大小比较；
角度(二)是角度(一)的拓展，是把函数不等式问题转化为两函数值大小比较问题；
角度(三)是在角度(一)和角度(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较
找共性
对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
2
1,2，3
B
3,5,8
4，5,6,9
4，5，8,9，10
3，4,6,8
7，
C
11,12
11,12
11,12
10，
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ln(x＋2)　　　　　 B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
【解析】函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
【答案】A
2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　)
A. B.
C. D.
【答案】D
3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
【答案】D
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
由图易知原函数在上单调递增．
【答案】B
5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
【答案】A
6.若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝(　　)
A.4 B.2 C. D.
【解析】当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，
此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.
当0有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝.
此时g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数.故a＝.
【答案】D
7.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为(　)
A.[0，3] B.(1，3)
C.[2－，2＋] D.(2－，2＋)
【答案】D
二、填空题
8.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.
【解析】　依题意，h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
【答案】1
9．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．
【解析】设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，
所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
【答案】：[3，＋∞)
10.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知
f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
【答案】(－∞，1]∪[4，＋∞)
三、解答题
11.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.
【解析】(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(2)解　∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f ＝，f(2)＝2，易知a＝.
12.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，
当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，
在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.