专题1.3.2函数的奇偶性-2019届数学高一（必修一）全新视角透析

第一章 集合与函数的概念
1.3.2函数的奇偶性
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
B.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；
a数学抽象：运用符号表示函数的奇偶性
b逻辑推理：能证明函数的奇偶性
c数学运算：运用奇偶性解决函数相关计算
d 直观想象：能运用图像表示奇偶性
e 数学建模：在具体问题情境中运用奇偶性解决问题
【课标知识】
知识提炼
基础过关
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.常用结论快得分
(1)对于运算函数有如下结论：
奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；
奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶．
(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记偶函数g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．
(3)复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇．
(4)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
2．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin 　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x　　　　 B．y＝x2cosC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选B　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数也不是偶函数．
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　 B.　 C.　　D．－
4．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
5.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．

基础过关参考答案：1. 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　
【答案】x－1
5.【解析】由函数f(x)为奇函数，作出函数在[－5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
【答案】(－2,0)∪(2,5]
【能力素养】
探究一 函数的奇偶性
函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现；
视角1：函数奇偶性的判断
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
【解析】 (1)由f(x)＝，可知?
故函数f(x)的定义域为{x|－6定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由?x2＝1?x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，
(4)法一：画出函数f(x)＝的图象如图所示，
图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．
法二：易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．
法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．
【点评】　判定函数奇偶性的2种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
视角2：　函数奇偶性的应用
例2．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝(　　)
A．－2x　　　　　　　　　 B．2－x
C．－2－x D．2x
【解析】当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
【答案】C
例3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
例4．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，
且a＋b＝2，则t＝________.
【解析】f(x)＝＝t＋，
设g(x)＝，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.
∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.
【答案】1
【点评】函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
[注意]　利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0”的性质解决有关最值问题．
【变式训练】
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x
C.y＝2x＋ D.y＝x2＋sin x
【解析】对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
【答案】D
2.(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】C
3.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝
(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
【答案】C
4.(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
【解析】f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
【答案】1
探究二 函数性质的综合运用
函数的奇偶性及单调性是函数的两大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,
例5．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2]　　　　　　　 B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
【答案】D
例6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<0【答案】C
【点评】题“根”探求
看个性
角度(一)是已知函数单调递减且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；
角度(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
角度(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解
找共性
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题
【变式训练】
1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x－，则>0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】：选D　∵当x>0时，函数f(x)单调递增，又f(1)＝0，
∴f(x)＝2x－>0的解集为(1，＋∞)．
∵f(x)是奇函数，∴是偶函数，则>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】D
2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A.[1，2] B. C. D.(0，2]
【答案】C
3.设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.则M＋m＝________.
【解析】f(x)＝＝1＋，
令g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，故M＋m＝2.
【答案】2
4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
【答案】
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1,2
1,2,3
2,4
B
5,6,7
4,5,6
5,8,9,10
5,8,
C
9,10
7,8,9,10
9,10
一、选择题
1．下列函数中，为奇函数的是(　　)
A．y＝2x＋ B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sinx D．y＝
【答案】D
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】因为f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x.
所以f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
【答案】A
3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】`f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)，
则f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，选项A错；
|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，选项B错；
f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，选项C正确；
|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)g(x)|，D错．故选C.
【答案】C
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为(　　)
A.－1 B.1 C.0 D.2
【答案】0
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中
实线所示，
结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2【答案】C
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
【解析】因为f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，所以当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
【答案】－－1
7．已知函数f(x)为奇函数，函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝1，则f(3)＝________.
【解析】根据条件可得f(3)＝f(2＋1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
【答案】-1
8．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为________．
【答案】{x|x<－2或0三、解答题
9．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
【解析】 (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
所以1