1.2充分条件与必要条件学案新人教A版选修2_1

§1.2　充分条件与必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一　充分条件与必要条件
(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二　充要条件
思考　在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案　因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理　(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A(B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B(A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)
(3)q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)
类型一　充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1　下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A?B，q：A∩B＝A；
(4)p：a＞b，q：ac＞bc.
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵矩形的对角线相等，∴p?q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．
(4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
反思与感悟　充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件．
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件．
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，
有即p?q.但?
比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二　充要条件的探求与证明
命题角度1　充要条件的探求
例2　求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
解　(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
解　是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N*)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
命题角度2　充要条件的证明
例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝＜0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0，
此时Δ＝b2－4ac＞0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
反思与感悟　对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．
跟踪训练3　求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k＜－2.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
即
即
解得k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k＜－2.
类型三　利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4　设命题p：x(x－3)＜0，命题q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
答案　[3，＋∞)
解析　p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3；
q：2x－3＜m，即x＜.
由题意知p?q，q?p，
则在数轴上表示不等式如图所示，
则≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
反思与感悟　在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M(N，若p是q的必要不充分条件，则N(M，若p是q的充要条件，则M＝N；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围．
跟踪训练4　设A＝，B＝，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
答案　
解析　由题意知A＝(0,1)，B＝，
依题意，得B(A，
故∴1．“x＞0”是“x2＋x＞0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　由x2＋x＞0?x＜－1或x＞0，由此判断A符合要求．
2．若a，b，c是实数，则“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
解析　由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，
此时不等式ax2＋bx＋c＞0有解；
反过来，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0，
例如，当a＝b＝c＝1时，
不等式ax2＋bx＋c＞0，
即x2＋x＋1＝2＋＞0有解，
此时ac＝1＞0.故选B.
3．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0＜a＜1 B．0≤a≤1
C．0＜a＜ D．a≥1或a≤0
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
解析　当关于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立时，应有Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a≤1.
4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(用区间表示)
考点　充分条件的概念及判断
题点　由充分条件求取值范围
答案　[4，＋∞)
解析　因为p为q的充分条件，所以[1,4)?(－∞，m)，
得m≥4.
5．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则q是p的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　充分不必要
解析　由已知，得p：x＜－1或x＞1，则q是p的充分不必要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
解析　当x2为无理数时，x为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　B
3．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是(　　)
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　A
解析　因为sin 60°＝，故p?q，但当sin A＝时，A＝60°或120°.
5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(－∞，0]
C．[4，＋∞) D．(－∞，0)
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　充分、必要条件求参数的范围
答案　C
解析　由命题p：－3＜x＜1，因为p?q，
所以即所以a≥4.
6．下列四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
考点　充分、必要条件的判断
题点　充分不必要条件的判断
答案　A
解析　由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5?4≥3.5＋1，故a＞b?a≥b＋1，故A正确．
7．设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　D
解析　若＝＝<0，则M≠N，
即＝＝?M＝N；反之，若M＝N＝?，
即两个一元二次不等式的解集为空集时，
只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)，
而与系数之比无关．
8．设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是(　　)
A．0C．1
考点　充要条件的概念及判断
题点　寻求充要条件
答案　B
解析　f(x)＝
f(x)的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数，
则?0二、填空题
9．若a＝(1,2x)，b＝(4，－x)，则“a与b的夹角为锐角”是“0≤x＜”的_________条件．
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　既不充分也不必要
10．已知p：x2＋x－2＞0，q：x＞m.若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
答案　[1，＋∞)
解析　由x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2.
∵q是p的充分不必要条件，∴m≥1.
11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
答案　①④
解析　①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点　充分条件、必要条件的判断
题点　充分、必要条件的判断
解　(1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的范围
解　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p?q且q?p，得M(N，
∴或
解得≤a<2或即实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)
①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1，q：y＝f(x)为偶函数；
③p：cos α＝cos β，q：tan α＝tan β；
④p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
考点　充分、必要条件的判断
题点　充要条件的判断
答案　①④
解析　对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点?q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p；
对于②，当f(x)＝0时，q?p；
对于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，则有cos α＝cos β，但没有tan α＝tan β，p?q；
对于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA.
15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
考点　充分、必要条件的综合应用
题点　由充分、必要条件求参数的取值范围
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．