1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
梳理 (1)全称量词及全称命题的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．
知识点二 存在量词、特称命题
思考 找出下列命题的共同特征，并判断其真假．
(1)存在x0∈R，x≤0；
(2)有些三棱锥是正四面体．
答案 所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．
梳理 (1)存在量词及特称命题的要命
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(2)表示
特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
(3)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)
(3)全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)
类型一 判断命题的类型
例1 将下列命题用“?”或“?”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2≥0.
(2)?x0＜0，ax＋2x0＋1＝0(a＜1)．
(3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点 量词与命题
题点 全称(存在)量词的识别
解 命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为特称命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
类型二 判断命题的真假
例2 判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2－x＋1＞；
(2)?α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟 要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x0∈R,2x＋x0＋1<0；
(3)?x∈R，sin x＋cos x≤.
考点 特称(全称)命题的真假性判断
题点 特称(全称)命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是特称命题．
∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.故该命题是假命题．
(3)该命题是全称命题．
∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题．
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例3 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 (1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋
反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．
跟踪训练3 已知命题p：“?x0∈R，sin x0＜m”，命题q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 因为“?x0∈R，sin x0＜m”是真命题，所以m＞－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
又p，q均为真命题，
所以实数m的取值范围是(－1,2).
1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x0，＝x0
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点 全称量词与全称命题
题点 全称命题的识别
答案 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
考点 特称命题的真假性判断
题点 特称命题真假的判断
答案 A
3．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“?”或“?”可表述为____________．
考点 存在量词与特称命题
题点 特称命题的符号表示
答案 ?x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)＞0
4．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2＋x＋1＞0；真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
(3)?x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
一、选择题
1．下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；
②命题“?x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；
③命题“?x0∈R，x＋4x0＋4≤0”是特称命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的识别
答案 C
解析 只有②③正确．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
考点 存在量词与特称命题
题点 特称命题的真假判断
答案 B
3．已知命题“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 B
解析 原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，
由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－24．已知命题“?x0∈R，x＋ax0－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．[－16,0] B．(－16,0) C．[－4,0] D．(－4,0)
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 A
解析 由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，
∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.
5．下面命题是真命题的是( )
A．?x∈R，x3≥x
B．?x0∈R，x＋1＜2x0
C．?xy＞0，x－y≥2
D．?x0，y0∈R，sin(x0＋y0)＝sin x0－sin y0
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 D
6．若“?x∈，cos x≤m”是真命题，则实数m的最小值为( )
A．－ B．－ C. D.
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 C
7．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 全称量词与全称命题
题点 全称命题的真假性判断
答案 C
解析 ①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，
④为假命题．
二、填空题
8．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 1
解析 ∵?x∈，∴tan x≤1，∴m≥1，故实数m的最小值为1.
9．已知命题p：?c＞0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：?x∈R，x2＋2c－3＞0.若p，q均为真命题，则实数c的取值范围为________．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
答案 (2,3)
解析 由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，
所以解得2＜c＜3.
故实数c的取值范围为(2,3)．
10．若命题“?x0∈R，ax＋ax0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
考点 特称命题的真假性判断
题点 由特称命题真假性求参数的取值范围
答案 [0,4)
解析 由题意知，?x∈R，ax2＋ax＋1＞0恒成立，
当a＝0时，1＞0恒成立，满足条件；
当a≠0时，若ax2＋ax＋1＞0恒成立，
则解得0＜a＜4.综上所述a∈[0,4)．
11．有下列四个命题：
p1：?x0∈(0，＋∞)， ＜；
p2：?x0∈(0,1)，＞；
p3：?x∈(0，＋∞)，＞；
p4：?x∈，＜
其中为真命题的是________．
考点 量词与命题
题点 全称(特称)命题的真假性判断
答案 p2，p4
解析 因为幂函数y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以当x∈(0,1)时，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即＞，所以命题p2是真命题；因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈(0,1]时，y＝≥0，当x∈(1，＋∞)时，y＝＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝在上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝在上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．
三、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x0，使得＝2.
考点 全称(特称)命题的真假性判断
题点 全称(特称)命题的真假性判断
解 (1)是特称命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是特称命题，用符号表示为“?x0∈R，＝2”，是假命题．
13．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题p，q均为真命题，求实数a的取值范围．
考点 命题的真假性判断
题点 由命题真假求参数的取值范围
解 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立，
所以a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
又p，q均为真命题，
所以实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
四、探究与拓展
14．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
考点 量词与命题
题点 特称(全称)命题的真假性判断
答案 C
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
15．已知f(x)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 易知f(t)∈.
由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，
则g(m)＞0对任意m∈恒成立，
所以即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x0∈R，x－2x0＋1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
全称命题的否定是特称命题．
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0∈R，x＋1<0.
答案 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1≥0.
梳理 写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．
对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．
(1)命题綈p的否定为p.(√)
(2)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x0，使得x＋1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x0∈R,2x0＋1≥0；
(2)q：?x0∈R，x－x0＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R,2x＋1＜0，綈p为假命题．
(2)綈q：?x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，∴綈q是真命题．
(3)綈r：一切分数都是有理数，綈r是真命题．
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x＋ax0＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于特称命题“?x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
1．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x2＜0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0
C．?x0∈R，|x0|＋x＜0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
2．?m0，n0∈Z，使得m＝n＋2 017的否定是( )
A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 017
B．?m0，n0∈Z，使得m≠n＋2 017
C．?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 017
D．以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
3．命题“?x∈R，x＞sin x”的否定是________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x0∈R，x0≤sin x0
4．由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为：?x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)?x0∈R，x＋2x0＋2＝0；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．
由为?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立．
(2)綈p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
因为所有的正方形都是菱形．
(3)綈p：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是( )
①存在实数x0，使得x＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 x2＋2≥2，故①是假命题；?x∈R，|sin x|≤1，故②是假命题；f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，所以③是真命题．故选B.
2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．存在x0∈R，x－x＋1≤0
B．存在x0∈R，x－x＋1≥0
C．存在x0∈R，x－x＋1＞0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x－x＋1＞0”．故选C.
3．已知命题p：存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是( )
A．存在a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
B．存在a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0
D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 易知綈p：对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0，故选D.
4．已知p：?x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果p是假命题，那么a的取值范围是( )
A．a＜ B．0＜a≤ C．a≤ D．a≥
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 易知綈p：?x0∈R，ax＋2x0＋3≤0，
显然当a＝0时，满足题意；
当a＞0时，由Δ≥0，得0＜a≤；
当a＜0时，满足题意．
所以a的取值范围是.
5．下列命题中，假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 对于?x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当06．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 D
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )
A．?x1∈R，f(x1)≤f(x0) B．?x1∈R，f(x1)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 C
解析 当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于?x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．
二、填空题
8.“若|x|+|y|=0，则x，y全为0”的否定为 .
答案 若|x|+|y|=0，则x，y不全为0
9.函数y=x+b的值随x的增加而增加的否定为 .
答案 若x增加，则函数y=x+b的值不增加
10．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2＜0，若p为假，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，＋∞)
解析 綈p：?x0∈R，x＋ax0＋2≥0为真命题，
显然a∈R.
11．命题“对任意x∈R，都有|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是_________________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3
三、解答题
12．若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为“?x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立”，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以－3≤a≤1.
故所求实数a的取值范围为[－3,1]．
13．已知p：?a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝
sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当p是假命题时，求实数b的最大值．
考点 全称量词的否定
题点 全称量词的命题的否定
解 (1)綈p：?a0∈(0，b](b∈R且b＞0)，
函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.
四、探究与拓展
14．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y＞0，则实数x的取值范围为____________．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，
∵当a∈[－1,1]时，y＝f(a)＞0恒成立，
∴对a的系数讨论如下：
①当x＝2时，f(a)＝2＞0显然成立；
②当x≠2时，由f(a)＞0，a∈[－1,1]恒成立，得
即
解得x＞或x＜－.
综上可得，x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
15．给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)甲、乙中至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个真命题．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 当甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
解得a＞或a＜－1.
当乙命题为真时，2a2－a＞1，解得 a＞1或a＜－.
(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，
a的取值范围是∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
当甲真乙假时，a的取值范围是；
当甲假乙真时，a的取值范围是，
故a的取值范围为∪.
