1.1.1 四种命题
学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．
知识点一 命题的概念
思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．
(1)这幅画真漂亮！
(2)求证是无理数；
(3)菱形是平行四边形吗？
(4)等腰三角形的两底角相等；
(5)x＞2012；
(6)若x2＝20122，则x＝2012.
答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．
梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题．
(2)分类
命题
知识点二 命题的构成形式
1．命题的一般形式为“若p则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
知识点三 四种命题及其关系
思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？
答案 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．
梳理 (1)四种命题的概念
名称
形式
原命题
若p则q
逆命题
若q则p(交换原命题的条件和结论)
否命题
若非p则非q(同时否定原命题的条件和结论)
逆否命题
若非q则非p(同时否定原命题的条件和结论后，再交换)
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.
1．命题均能判断其真假．(√)
2．我们所学习过的定理均为命题．(√)
3．命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×)
4．命题：若sinA＞sinB，则A＞B，其逆命题为真命题．(×)
类型一 命题的概念及真假判断
例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；
(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
解 (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)
①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x＞2；⑤这座山真险啊！
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
答案 ①②③
解析 依据命题定义，得①②③为命题．
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．(填序号)
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；又因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
引申探究
1．本例中命题④改为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
2．本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC是________三角形．
答案 直角
解析 由·＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形．
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(5)当x＝4时，2x＋1＞0.
解 (1)能判断真假，是命题，是假命题．
(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．
(3)不能判断真假，不是命题．
(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．
(5)能判断真假，是命题，是真命题．
类型二 四种命题的关系及真假判断
例3 把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解 (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．
(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．
跟踪训练3 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
例4 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
解 (1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．
2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练4 下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①“正三角形都相似”的逆命题；
②“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
答案 ②③
解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．
②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－<0.故为真命题．
③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．
∵x不是无理数，∴x是有理数．
又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数．故为真命题．
所以真命题是②③.
类型三 等价命题的应用
例5 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)
若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．
跟踪训练5 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
1．下列语句：
①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.
其中是命题的为________．(填序号)
答案 ①②③
解析 依据命题的定义知只有①②③为命题．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．
考点 四种命题的概念
题点 按要求写出命题
答案 若|a|＝|b|，则a＝－b
3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．
答案 若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
答案 4
解析 逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，
全为真命题．
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
解 (1)命题p的否命题为“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p则q”为真；确定“若p则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．
一、填空题
1．给出下列命题
①若a>b，则a3>b3；
②若a>1，则<1；
③一元二次方程x2－x＋1＝0无实数解；
④若a≥b，则ac2≥bc2.
其中为真命题的是________．(填序号)
答案 ①②③④
解析 显然①成立，②成立；而对于③：判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：结合不等式性质，可知该命题为真命题．
2．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是________．
答案 若tanα≠1，则α≠
3．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
答案 4
解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直．
4．给出下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若{an}既是等差数列，又是等比数列，则an＝an＋1(n∈N*)”的逆命题；
③“若m＞1，则不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R”的逆否命题．
其中所有真命题的序号是________．
答案 ①③
解析 ①的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{an}中，若an＝an＋1(n∈N*)，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m＞1时，Δ＝4－4m＜0恒成立，x2＋2x＋m＞0的解集为R是真命题．因此逆否命题是真命题．
5．已知命题“若m－1答案 [1，2]
解析 由已知得若1∴∴1≤m≤2.
6．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．
考点 命题的定义及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析 由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.
7．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f(x)＝logax在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
考点 四种命题的概念
题点 按要求写命题
答案 当a＞0，a≠1时，若loga2≥0，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数．
8．已知命题“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”为真命题，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈(0,2)．
9．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－2]
解析 p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，
解得－2＜a＜2.
q为真命题时，5－2a＞1，
解得a＜2.
当p真q假时，a∈?.
当p假q真时，即a≤－2.
故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
10．命题“对于正数a，若a＞1，则lga＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
答案 4
解析 逆命题：对于正数a，若lga＞0，则a＞1，否命题：对于正数a，若a≤1，则lga≤0.逆否命题：对于正数a，若lga≤0，则a≤1.根据对数的性质可知都是真命题．
二、解答题
11．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.
解 (1)若ac>bc，则a>b.
∵当ac>bc，c<0时，a(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴该命题是真命题．
12．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0，命题q：1－x＋<1，若命题p，q至少有一个是真命题，求实数x的取值范围．
解 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋<1，得x2－4x<0，解得0若命题p，q至少有一个是真命题，则有以下三种情形：
①p真q假；②p假q真；③p真q真．
当p真q假时，有
解得x≤－1或x≥4.
当p假q真时，有解得0当p真q真时，有解得3≤x<4.
综上，满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞)．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
三、探究与拓展
14．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是________．
考点 命题的真假判断
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)
解析 若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．
15．写出命题“当2m＋1＞0时，如果＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
解 由2m＋1＞0，得m＞－.
由＞0，得m＜－3或m＞，
又m＞－，所以m＞.
由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，
又m＞－，所以2＜m＜3.
由此可知，原命题可变为“如果m＞，那么2＜m＜3”，
显然原命题是假命题．
逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，
那么＞0”，
即“如果2＜m＜3，那么m＞”，它是真命题．
否命题为“当2m＋1＞0时，如果≤0，
那么m2－5m＋6≥0”，
因为所以
所以－＜m＜，
由得
即－＜m≤2或m≥3，
所以否命题可表述为“如果－＜m＜，
那么－＜m≤2或m≥3”，它是真命题．
逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，
那么≤0”，
则逆否命题可表述为“如果－＜m≤2或m≥3，
那么－＜m＜”，它是假命题．
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
1．框图表示
2．条件与结论之间的关系
p?q且q?p
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的既不充分又不必要条件
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．
梳理 (1)如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p?q.
(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
1．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
2．当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件．(√)
类型一 充分条件、必要条件的判断
例1 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．(填序号)
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac＜0是函数f(x)没有零点的充要条件．
答案 ①②④
解析 ①正确，因为Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；
②正确，因为Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ＞0；
③错误，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac＞0，也有可能Δ＝0；
④正确，因为Δ＝b2－4ac＜0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
解 (1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件．
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件．
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，
有即p?q.但?
比如，当α＝1，β＝5时，而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．
类型二 充要条件的探求与证明
例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求．
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是即∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由．
解 是充要条件．
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3符合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N*)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件．
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，∵a1＝S1＝4＋t，a2＝S2－S1＝5，a3＝S3－S2＝7，∴10＝11＋t，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件．
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件．
例3 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
证明 ①充分性：若点P满足＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1，消去y，得
＝x＋(1－x)＝x(－)＋，
∴－＝x(－)，即＝x.
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上．
②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使得＝t＝t(－)，
∴＝＋＝＋t－t＝(1－t)＋t.
令1－t＝x，t＝y，则＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
综上，点P在直线l上的充要条件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”．
跟踪训练3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
证明 ①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例4 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．
由已知p?q且q?p，得M(N，
∴或
解得≤a<2或即实数a的取值范围是.
反思与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围．
2．根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
(2)若p是q的充分不必要条件，则M(N，若p是q的必要不充分条件，则N(M，若p是q的充要条件，则M＝N.
(3)根据集合的关系列不等式(组)．
(4)求出参数的范围．
跟踪训练4 设A＝，B＝，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________．
答案
解析 由题意知A＝(0,1)，B＝，依题意，得B(A，
故∴1．从“?”，“?/”与“?”中选出适当的符号填空：
(1)x＞1________x＞0；
(2)a＞b________a2＞b2；
(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；
(4)A??________A＝?.
答案 (1)? (2)? (3)? (4)?
2．“a>1”是“<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 由a>1可得到<1，反之不成立．
3．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，则有a≤－3.
4．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
考点 充分条件的概念及判断
题点 由充分条件求取值范围
答案 [4，＋∞)
解析 因为p为q的充分条件，所以[1,4)?(－∞，m)，
得m≥4.
5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充要
解析 (1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，
∴l1∥l2，即a＝0?l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，
l1：y＝x－，l2：y＝x－.
令＝，方程无解．
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件．
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论．
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．
一、填空题
1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由sinφ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，
此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．
2．若集合A＝，B＝{x|x－2<2}，则“m∈A”是“m∈B”的________条件．
答案 充分不必要
解析 ∵A＝＝{x|0∴A(B，则“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．
答案 充要
解析 ①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图．
②当一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0.∵b<5，∴k>4.
4．已知不等式m－1答案
解析 由题意得((m－1，m＋1)，
则有或
∴－≤m≤.
5．对任意实数a，b，c，下列命题中，是真命题的是________．(填序号)
①“ac>bc”是“a>b”的必要条件；
②“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件；
③“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；
④“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件．
答案 ②③
解析 由②得当a＝b时，得到ac＝bc；由③得ac2>bc2?a>b.
6．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．
答案 m＝0
解析 当m＝0时，原方程即x＝2，满足条件，当m≠0时，＝2，则m＝1或m＝－，但Δ＝[－(m＋1)]2－8m2，m＝1及m＝－均使Δ<0，故m＝0.
7．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b“的________条件．
答案 充要
解析 在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．
8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n≥0得1≤n≤4，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.
9．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 p：0＜x＜3，q：x＜，
若p是q的充分不必要条件，则≥3，即m≥3.
10．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cosα③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为________．
答案 ③
解析 ①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②∵2π>，cos2π>cos，∴α>β?cos αβ.∴“α>β”是“cosα11．有下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分条件；
②“x＞0”是“x2＞0”的必要不充分条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
答案 ①④
解析 ①当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②x＞0?x2＞0，x2＞0?x＞0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
二、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分又不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r＞0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．求方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)有两个正根的充要条件．
解 方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)有两个正根等价于
?
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)有两个正根的充要条件是b2≥4ac，且b＞0，c＜0.
三、探究与拓展
14．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．
考点 充分条件、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 必要不充分
解析 命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”与命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”互为逆否命题，当a＝3，b＝0时，有a＋b＝3，所以命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”是假命题，所以命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题，所以a≠1或b≠2推不出a＋b≠3.“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，所以命题“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题，所以a＋b≠3?a≠1或b≠2，所以“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3成立”的必要不充分条件．
15．设a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．求证：a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
证明 充分性：∵A＝2B，∴A－B＝B，则sin(A－B)＝sinB，则sinAcosB－cosAsinB＝sinB，结合正弦、余弦定理得a·－b·＝b，化简整理得a2＝b(b＋c)；
必要性：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，且a2＝b(b＋c)，得b2＋bc＝b2＋c2－2bccosA，
∴1＋2cosA＝＝，
即sinB＋2sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sinB＝sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)，
由于A，B均为三角形的内角，
故必有B＝A－B，即A＝2B.
综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.
第1课时 “或”“且”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其真假．
知识点一 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
(2)当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.
知识点二 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题．
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
(2)当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”．
(3)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(×)
2．“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(×)
3．命题“5＞6或5＞2”是真命题．(√)
类型一 含有“且”“或”命题的构成
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆．
解 (1)是p∧q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
反思与感悟 1.不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．
2．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．
跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．
答案 p∧q
例2 分别写出下列命题的“p∧q”“p∨q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解 (1)p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.
(1)0≤2；
(2)30是5的倍数，也是6的倍数．
解 (1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中
p：0<2；q：0＝2.
(2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数．
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．
(1)p：函数y＝sinx是奇函数，q：函数y＝sinx在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交．
解 (1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
反思与感悟 形如p∨q，p∧q命题的真假根据真值表判定，真值表为
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的命题的真假．
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
解 (1)∵p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(3)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
解 因为p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，
所以所以m＞2.
因为q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
所以Δ＜0，即16(m－2)2－16＜0，
所以16(m2－4m＋3)＜0，
所以1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p为真，q为假或者p为假，q为真．
即或
解得m≥3或1＜m≤2.
所以m的取值范围为(1,2]∪[3，＋∞)．
引申探究
本例中若将“p∧q为假”改为“p∧q为真”，求实数m的取值范围．
解 由本例得当p为真命题时，m＞2，当q为真命题时，1＜m＜3.
因为p∨q为真，p∧q为真，
所以p，q均为真命题，
即解得2＜m＜3，
所以m的取值范围为(2,3)．
反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)讨论p，q的真假．
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算．
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
跟踪训练4 已知p：(x＋2)(x－3)≤0，q：|x＋1|≥2，若“p∧q”为真，则实数x的取值范围是________．
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,3]
解析 由(x＋2)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3.
由|x＋1|≥2，解得x≥1或x≤－3.
∵“p∧q”为真，∴
解得1≤x≤3，则实数x的取值范围是[1,3].
1．命题“方程x2＝4的解为x＝±2”，使用的逻辑联结词是________．
答案 或
解析 x＝±2，即x＝－2或x＝2.
2．已知命题p，q，若p为真命题，下列说法正确的是________．(填序号)
①p∧q必为真；②p∧q必为假；③p∨q必为真；④p∨q必为假．
答案 ③
解析 p∨q一真则真，故必有p∨q为真．
3．已知p：函数y＝sinx的最小正周期为，q：函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，则p∧q是________命题．(填“真”“假”)
答案 假
解析 易知命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题．
4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 命题p：由函数f(x)在R上为减函数，得2a－1<0，解得a<，
命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，
得－≤1，解得a≥－2.
由p∧q为真，得p，q都为真，故a的取值范围为∩[－2，＋∞)，即为.
5．已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假．
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解．
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．
1．判断不含有逻辑联结词的命题的构成形式的关键是弄清构成它的命题的条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．
(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假．
(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．
一、填空题
1．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为________．
答案 4
解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于(A∩B)?A，A∩B?(A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
2．命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题．(填“真”“假”)
答案 假
解析 该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题．
因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题．
3．设p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点 “p∧q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∧q”形式命题的真假求参数的值
答案 3 －3
解析 若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，
所以有解得
4．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是________．(填序号)
①10或15是5的倍数；
②x2－3x－4＝0的两根是4和－1；
③有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
答案 ③
解析 ①②为p∨q的形式；③为p∧q的形式，其中p：有两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个角是45°的三角形是直角三角形，p，q均为真命题，所以p∧q为真命题．
5．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．则四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有________个．
答案 2
解析 命题p为真命题，命题q为假命题，故p∨q为真命题，p∧q为假命题．
6．命题s具有“p∨q”形式，已知“p∧r”是真命题，那么s是________命题．(填“真”“假”)
答案 真
解析 由“p∧r”为真命题，可知命题p为真命题，故“p∨q”为真命题．
7．若“x∈[2,5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点 “p∨q”形式命题真假性的判断
题点 由“p∨q”形式命题的真假求参数的取值范围
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，
由于命题是假命题，
所以1≤x＜2，即x∈[1,2)．
8．给出命题p：ax＋b>0的解为x>－，命题q：(x－a)(x－b)<0的解为a答案 假
解析 由题意得命题p为假命题，命题q也为假命题，
故“p∧q”为假命题．
9．已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．
答案 (－1,2)
解析 当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1当q为真命题时，x－2<0，则x<2.
当p且q为真命题时，p和q均为真命题，
从而－110．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，
∴|a|≥1.
若命题q为真，
即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即函数y＝x2＋2ax＋2a的图象与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
11．设p：关于x的不等式ax>1(a＞0且a≠1)的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为______________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 若p真，则0若q真，有解得a>.
若q假，则a≤，
又p和q有且仅有一个为真，
∴当p真q假时，0当p假q真时，a＞1，
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
二、解答题
12．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
解 (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p∧q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∧q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.又因为当x＝1时，x2－2x＋1＝0，所以p假q假，所以“p∧q”为假，故该命题为假命题．
13．设p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；q：设a＝(2x2＋x，－1)，b＝(1，ax＋2)，不等式a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真命题，则ax2－4x＋a>0对x∈R都成立，
当a＝0时，f(x)＝lg(－4x)的定义域不为R.
当a≠0时，则16－4a2<0且a>0，即解得a>2.
若q为真命题，则由a·b>0对任意x∈(－∞，－1)恒成立，
知2x2＋x－(ax＋2)>0，即a>2x－＋1对任意x∈(－∞，－1)恒成立，则a>max.
令g(x)＝2x－＋1(x≤－1)，可知g(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以g(x)≤1，故a≥1.
又p∨q为真命题，p∧q为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题．
若p真q假，则无解；
若p假q真，则则1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为[1,2]．
三、探究与拓展
14．已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p为真知，0由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使x＋>恒成立，需<2，即c>，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0当p假q真时，c的取值范围是c＞1.
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
15．已知c>0，设p：平面区域x＋2y＋c＞0包括点(0,0)，(1，－1)，q：曲线y＝4x2－4c＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
解 ∵平面区域x＋2y＋c＞0包括点(0,0)，(1，－1)，
∴∴c＞1，
令A＝.
由y＝4x2－4c＋c2＋1与x轴交于不同的两点，可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所对应的判别式
Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0.
解得c>，令B＝.
根据题意，如果p真，q假，则无解；
如果p假，q真，则＜c≤1，
∴c的取值范围为.
第2课时 “非”
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．
(2)p：y＝tanx是偶函数；q：y＝tanx不是偶函数．
答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定．
梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定
对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．
复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定复合命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断复合命题的真假．
知识点三 命题的否定与否命题
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？
答案 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．
梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．
①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；
②p与“綈p”的真假必定相反；
③“綈p”必须包含p的所有对立面．
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．
1．命题的否定和否命题是一回事．(×)
2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)
3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)
类型一 綈p命题及构成形式
例1 写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
引申探究
写出本例中所给命题的否命题．
解 (1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．
(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．
跟踪训练1 写出下列命题的否定形式．
(1)p：y＝sinx是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)p：5不是75的约数．
解 (1) 綈p：y＝sinx不是周期函数．
(2) 綈p：3≥2.
(3) 綈p：空集不是集合A的子集．
(4) 綈p：5是75的约数．
类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断
例2 分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数．
(2)p：7＞7；q：7＝7.
考点 綈p形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
引申探究
在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．
解 (1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．
(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，
所以綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；
(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．
反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．
跟踪训练2 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．
考点 “綈p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 ④
解析 由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．
类型三 命题的否定的真假应用
例3 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?，解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
等价于a＝0或
由于?解得0所以0≤a<4.
因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
反思与感悟 由真值表可判断p∨q，p∧q，綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p，q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
跟踪训练3 已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________．
答案 {x|－1解析 由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p∧q：x∈{－1,0,1,2}．
綈p：x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－11．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号)
①“p∨q”为假，“綈q”为假；
②“p∨q”为真，“綈q”为假；
③“p∧q”为假，“綈p”为假；
④“p∧q”为真，“p∨q”为假．
答案 ②
解析 显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故②正确．
2．命题“若a>b，则3a>3b”的否命题是________________，命题的否定为________________．
答案 若a≤b，则3a≤3b 若a>b，则3a≤3b
3．“a≥5且b≥2”的否定是________．
答案 a<5或b<2
解析 “p∨q”的否定是“(綈p)∧綈q”，而“p∧q”的否定为“(綈p)∨(綈q)”．
4．给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号)
①命题“p∧q”为真； ②命题“p∨q”为假；
③命题“p∨(綈q)”为真； ④命题“p∧(綈q)”为真．
答案 ③④
解析 依题意得命题p为真命题，命题q为假命题．
故p∧q为假，p∨q为真，p∨(綈q)为真，p∧(綈q)亦为真，只有③④正确．
5．已知a＞0，且a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q：抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，若(綈p)∧q为真命题，则实数a的取值范围为________________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
答案
解析 由函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a＜1.
若抛物线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
则Δ＝(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
∵(綈p)∧q为真命题，∴p为假命题，且q为真命题，
于是有∴a＞.
∴所求实数a的取值范围是.
1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．
2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．
一、填空题
1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)
答案 ②③
解析 由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．
则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，
∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．
∴为真命题的是①④.
4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)
①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．
答案 ②
解析 由(x＋2)(x－3)<0，得－2∵1∈(－2,3)，∴p真．
∵?≠{0}，∴q为假，
∴“p∨q”为真．
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
答案 [1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
6．已知p：x2＋2x－3>0，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的________条件．
答案 充分不必要
解析 p：{x|x>1或x<－3}，q：{x|2则綈p：{x|－3≤x≤1}，綈q：{x|x≥3或x≤2}．
∴(綈p)?(綈q)且(綈q)?(綈p)．
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
7．若命题p：x∈{1,2,3,4}，命题q：x∈{x|x≤0或x≥5，x∈R}，则p是綈q的____________条件．
答案 充分不必要
解析 ∵q：x∈{x|x≤0或x≥5，x∈R}，
∴綈q：x∈{x|0∴p?綈q但綈q?/p.
8．已知p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假，则x的值为________．
答案 －1,0,1,2
解析 ∵p且q为假，∴p，q中至少有一个为假．又“綈q”为假，∴q为真，进而可知p为假．由p假q真可得∴∴x的取值为－1,0,1,2.
9．命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是__________________________________________、_______________________．
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，－3]
解析 由题意，知－≥4，解得a≤－3.
10．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①p∨q是假命题；②(綈p)∧q是假命题；③p∧q是真命题；④(綈p)∨q是真命题．
答案 ②
解析 p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，
又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；
q中，f(－x)＝＝＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，
故q为假，故(綈p)∧q为假．
11．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面或相交．
二、解答题
12．写出下列命题的否定及否命题．
(1)若m2＋n2＋x2＋y2＝0，则实数m，n，x，y全为零；
(2)若x<0，则x2>0.
解 (1)命题的否定：若m2＋n2＋x2＋y2＝0，
则实数m，n，x，y不全为零．
否命题：若m2＋n2＋x2＋y2≠0，
则实数m，n，x，y不全为零．
(2)命题的否定：若x<0，则x2≤0.
否命题：若x≥0，则x2≤0.
13已知p：关于x的不等式|2x－3|0)，q：x(x－3)<0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由|2x－3|0)，得由x(x－3)<0，得0若綈p是綈q的必要不充分条件，
则q是p的必要不充分条件，
∴或解得0故实数m的取值范围是(0,3)．
三、探究与拓展
14．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①p∧q是真命题；②p∨q是假命题；③綈p是假命题；④綈q是假命题．
考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断
题点 判断“p∨q”“p∨q”形式命题的真假
答案 ③
解析 因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题．因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p是假命题，綈q是真命题．
15．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0}．
(1)当a＝时，求(?UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)A＝{x|2当a＝时，B＝.
∴?UB＝，
∴(?UB)∩A＝.
(2)由綈p是綈q的必要条件，得q是p的必要条件，
即p?q，可知A?B，
由a2＋2>a，得B＝{x|a∴解得a≤－1或1≤a≤2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．
1.3.1 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．
答案 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．
梳理 全称量词与全称命题
全称量词
所有、任意、一切、每一个
符号
?x
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
知识点二 存在量词、存在性命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m∈Z，m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
答案 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
梳理 存在量词与存在性命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
?x
存在性命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)
3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．(×)
类型一 判断命题的类型
例1 将下列命题用“?”或“?”表示．
(1)实数的平方是非负数；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；
(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
考点 量词与命题
题点 全称(存在性)命题的符号表示
解 (1)?x∈R，x2≥0.
(2)?x＜0，ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．
(3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.
反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤
(1)判断此语句是否为命题．
(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词．
(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)若a＞0且a≠1，则对任意x，ax＞0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；
(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sinx|；
(4)存在实数x，使得x2＋1＜0.
解 (1)，(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)，(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．
类型二 判断命题的真假
例2 判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2－x＋1＞；
(2)?α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；
(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
考点 全称(存在性)命题的真假性判断
题点 全称(存在性)命题真假的判断
解 (1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋
＝2＋≥＞0，
∴x2－x＋1＞恒成立．
(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
反思与感悟 1.要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
2．要判定存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假．
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x∈R,2x2＋x＋1<0；
(3)?x∈R，sinx＋cosx≤.
考点 全称(存在性)命题的真假性判断
题点 全称(存在性)命题真假的判断
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在性命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题．
(3)该命题是全称命题．
∵sinx＋cosx＝sin≤恒成立，
∴对任意实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．
类型三 全称命题、存在性命题的应用
例3 (1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由ax2＋2x＋a<0，得a(x2＋1)<－2x，
∵x2＋1>0，∴a<－＝－，
当x>0时，x＋≥2，∴－≥－1，
当x<0时，x＋≤－2，∴－≤1，
∴－的最大值为1.
又∵?x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立，
∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．
(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立．
②当m＋1≠0，则
由得
即综上，m<－.
反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3 已知命题p：“?x∈R，sinx＜m”，命题q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围
解 由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
因为“?x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，
所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).
1．下列命题是全称命题的个数为________．
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③四边形的内角和是360°.
答案 2
解析 ①③是全称命题．
2．下列命题中，不是全称命题的是________．(填序号)
①任何一个实数乘以0都等于0；
②自然数都是正整数；
③每一个向量都有大小；
④一定存在没有最大值的二次函数．
答案 ④
解析 ④是存在性命题．
3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是________．(填序号)
①a≥0；②a<0；③b≤0；④b>1.
答案 ②
解析 函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0.
4．存在性命题“?x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”“假”)
答案 假
解析 不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．
5．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则存在性命题为真，否则命题为假．
一、填空题
1．下列命题为存在性命题的是________．(填序号)
①奇函数图象关于原点对称；
②有些实数的平方是0；
③末位数字为偶数的整数能被2整除；
④有一个向量a，其方向不能确定．
答案 ②④
解析 依据存在性命题概念知，只有②④符合题意．
2．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为________．(填序号)
答案 ①②④
解析 ①所有无理数都是实数，为真命题；
②显然为真命题；
③显然不成立，为假命题；
④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．
3．下列全称命题中真命题的个数为________．
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
答案 3
解析 ①②③为真命题．
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；
④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；
⑤是存在性命题，是真命题；
⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
5．下列存在性命题是假命题的是________．(填序号)
①存在x∈Q，使2x－x3＝0；
②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；
③有的素数是偶数；
④有的有理数没有倒数．
答案 ②
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是________．(填序号)
①?x∈R，f(x)≤f(x1)；
②?x∈R，f(x)≥f(x1)；
③?x∈R，f(x)≤f(x1)；
④?x∈R，f(x)≥f(x1)．
答案 ③
解析 ∵x1是方程2ax＋b＝0的解，
∴x1＝－，
又∵a>0，
∴f(x1)是y＝f(x)的最小值，
∴f(x)≥f(x1)恒成立．
7．已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 由题意得Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
8．?x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,1)
解析 由题意得不等式mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，
当m＝0时，显然成立，当
即当0所以实数m的取值范围是[0,1)．
9．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 [－16,0]
解析 由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，
∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.
10．已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，
由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－211．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [e,4]
解析 由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；?x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围为[e,4]．
二、解答题
12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)存在一条直线，其斜率不存在；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(3)存在实数x，使得＝2.
解 (1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(2)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(3)是存在性命题，用符号表示为“?x∈R，＝2”，是假命题．
13．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立，
所以a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
三、探究与拓展
14．有下列四个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，x＜x；
p2：?x∈(0,1)，x＞x；
p3：?x∈(0，＋∞)，x＞x；
p4：?x∈，x＜x.
其中为真命题的是________．
考点 量词与命题
题点 全称(存在性)命题的真假性判断
答案 p2，p4
解析 因为幂函数y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数，所以当x∈(0,1)时，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即x＞x，所以命题p2是真命题；因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y＜1，当x∈(0,1]时，y＝x≥0，当x∈(1，＋∞)时，y＝x＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝x在上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝x在上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．
15．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．
考点 全称命题的真假性判断
题点 恒成立求参数的取值范围
解 由题意知f(t)∈.
由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，
当x＝2时，g(m)＝0，显然不等式不成立，所以x≠2，
则g(m)＞0对任意m∈恒成立，
所以
即
解得x＞2或x＜－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个质数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
答案 (1)将量词“所有”换为“存在一个”，然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；
(2)存在一个质数不是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
全称命题的否定是存在性命题．
知识点二 存在性命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定，并归纳写存在性命题否定的方法．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1<0.
答案 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数”，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1≥0.
梳理 写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．
对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．存在性命题的否定是全称命题．
1．命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(×)
2．命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．(×)
3．全称命题的否定一定是存在性命题．(√)
类型一 全称命题的否定
例1 判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；
(2)所有能被5整除的整数都是奇数；
(3)对任意的x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
解 (1)当x＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．
命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1＞0.
(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．
命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．
(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．
命题的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．
反思与感悟 1.全称命题的否定
全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键．
2．常见词语的否定
原词
否定词
原词
否定词
原词
否定词
等于
不等于
是
不是
至少一个
一个也没有
大于
不大于
都是
不都是
任意
某个
小于
不小于
至多一个
至少两个
所有的
某些
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在能被5整除的整数，末位不是0.
类型二 存在性命题的否定
例2 写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x∈R，2x＋1≥0；
(2)q：?x∈R，x2－x＋＜0；
(3)r：有些分数不是有理数．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解 (1)綈p：?x∈R，2x＋1＜0，綈p为假命题．
(2) 綈q：?x∈R，x2－x＋≥0.
∵x2－x＋＝2≥0，
∴綈q是真命题．
(3) 綈r：一切分数都是有理数，綈r是真命题．
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1)其否定：任意x>1，x2－2x－3≠0(假)．
(2)其否定：所有的素数都不是奇数(假)．
(3)其否定：所有的平行四边形都是矩形(假)．
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，
借助二次函数的图象易知Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
解 由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．
故实数a的取值范围为[－2,2]．
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(a＜f(x)min)．
(2)对于存在性命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．
(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在性命题为真命题解决，同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
1．命题“?x∈R，x＞sinx”的否定是________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x∈R，x≤sinx
2．已知a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是________________．
答案 ?x>1，logax≤0
解析 a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是“?x>1，logax≤0”．
3．对?x>0，a答案 (－∞，2)
解析 因为x>0，故x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，
又a故a4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________．
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为：?x∈R，使e|x－1|－m＞0，
且为真命题．m＜e|x－1|.
只需m＜(e|x－1|)min＝1.故a＝1.
5．对下列命题的否定说法错误的是________．(填序号)
①p：能被2整除的数是偶数；非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；
②p：有些矩形是正方形；非p：所有的矩形都不是正方形；
③p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形不都是正三角形；
④p：?n∈N,2n≤100；非p：?n∈N,2n>100.
答案 ③
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误．
1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．
2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．
3．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：
原词语
否定词语
原词语
否定词语
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n－1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n＋1)个
任意的
某个
能
不能
所有的
某些
等于
不等于
一、填空题
1．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 ?x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
2．下列命题中假命题有________个．
①?x∈(0，＋∞)，＋1≥x；
②?x，y∈Z，使得x＋y＝3；
③?x∈R，x2－2x－3＝0；
④所有正方形都是菱形；
⑤?x∈R，|x|≥x.
答案 1
解析 ①为假命题，②③④⑤为真命题．
3．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则綈p是____________．
答案 ?x∈R，sinx>1
解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，?x∈R，sinx>1.
4．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________________________．
答案 ?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)?N*或f(n)>n”，全称命题的否定为存在性命题．
5．已知p：?x∈R,9x2－6x＋1＞0，q：?x∈R，sinx＋cosx＝，则p∨q是________命题．(填“真”“假”)
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 真
解析 由于9x2－6x＋1＝(3x－1)2≥0，所以p为假命题．因为sin x＋cosx＝sin≤，
所以q为真命题，
因此p∨q是真命题．
6．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________．
答案 存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3
解析 全称命题的否定为存在性命题．
7．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是______________．
答案 有些函数没有奇偶性
解析 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是存在性命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．
8．若“?x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵0≤x≤，∴0≤tanx≤1，∵“?x∈，
tanx≤m”是真命题，∴m≥1，∴实数m的最小值为1.
9．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 [3,8)
解析 因为p(1)是假命题，
所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，
故实数m的取值范围是[3,8)．
10．设命题p：?x∈R，x2＋ax＋2＜0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 (－∞，＋∞)
解析 綈p：?x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，
显然a∈R.
11．已知命题p：?x∈R，x－2>lgx，命题q：?x∈R，sinx①命题p∨q是假命题；
②命题p∧q是真命题；
③命题p∧(綈q)是真命题；
④命题p∨(綈q)是假命题．
答案 ③
解析 对于命题p：取x＝10，则有10－2>lg10，
即8>1，故命题p为真命题；
对于命题q，取x＝－，
则sinx＝sin＝－1，
此时sinx>x，故命题q为假命题，
因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，
命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．
二、解答题
12．已知命题p：?x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
解 ∵綈p是假命题，
∴p是真命题．
也就是?x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)，
令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1，
∴对任意x∈R，f(x)≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]．
13．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．
∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则
∴解得a≤－3，
∵綈p为假，
∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．
三、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题p的否定与q均为真命题，则实数m的取值范围为________．
答案 (－3，－2]∪[2,3)
解析 由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以命题p的否定为“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－315．已知p：?x∈R,2x>m(x2＋1)，q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
解 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.
若p：?x∈R,2x>m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；
当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，
所以m<－1.
若q：?x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.
又p∧q为真，故p，q均为真命题．
所以m<－1且m≥－2，
所以m的取值范围为[－2，－1)．
第1章 常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件，
即A∩B＝?或A，B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，当a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
点评 要把充分(必要)条件和集合结合起来，这样更简洁、明了．
2．抓住量词，对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．
解析 (1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p，q对应的集合分别为A，B，则可由A(?RB出发解题．
解 设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A(?RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为.
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A则B”为原命题，那么“若綈A则綈B”为原命题的否命题，“若A则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
点评 如果所给命题是“若A则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是“若A则B”的形式，则需要先将其改写成“若A则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．
3 判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈(P∩M)．
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以pD/?q；若x∈(P∩M)，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈(P∩M)”的必要不充分条件．
答案 必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 依题意，有A?B?C?D且AD?B?CD?D，由命题的传递性可知D?A，但AD?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案 必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A(B，则p是q的充分不必要条件；④若B(A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P(Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案 [9，＋∞)
4．等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
例4 已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B)．
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题．
剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题．
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A(B，则A∩B＝A((A∪B)＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题．
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题．
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断．
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是________．
①x>3；②x>4；③x>2；④x∈{1,2,3}．
错解 由不等式x－3>0成立，得x>3，
显然x>3?x>2，又x>2?x>3，因此填③.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，pD?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
正解 ②
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故填充要．
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．
正解 必要不充分
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”．
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．
错解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解 (1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区6 不能正确否定结论
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图象关于y轴对称．
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图象不关于y轴对称．
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称．
5 解“逻辑”问题的三意识
1．转化意识
由于互为逆否命题的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明．
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8<0}．
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}，
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为q是p的必要不充分条件，
所以p?q，q?p，由A(B得
或即a≤－4或－≤a<0.
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪.
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数f(x)＝－(5－a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即g(x)＝x2＋2x＋a的值域包含(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1.
函数f(x)＝－(5－a)x是减函数?5－a>1?a<4，
即q真?a<4.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,4)．
答案 (1,4)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x?B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
