3.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量及其线性运算
1．空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：
＝＋＝a＋c；
＝－＝a－b＝－c.
若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝b＋a；
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
知识点三 共线向量(或平行向量)
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
1．在空间中，单位向量唯一．(×)
2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)
3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)
4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)
类型一 空间向量的概念及应用
例1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．
(2)向量的相反向量有，，，，共4个．
(3)||＝
＝＝＝3.
引申探究
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量．
解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
跟踪训练1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
其中不正确的命题的序号为________．
答案 ①②
解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．
类型二 空间向量的线性运算
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)－；
(2)＋＋.
解 (1)－＝－＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解 结合加法运算，得
＋＝，＋＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．
2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
类型三 向量共线定理的理解与应用
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c.
所以＝－＝a＋b－c－b＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．
反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.
2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a∥b，则a＝λb(λ∈R)．
3．判定或证明三点(如P，A，B)是否共线
(1)是否存在实数λ，使＝λ.
(2)对空间任意一点O，是否有＝＋t.
(3)对空间任意一点O，是否有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用，表示向量.
解 ＝－
＝(＋)－
＝－(－)＝－.
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③空间向量的减法满足结合律；
④在四边形ABCD中，一定是＋＝.
答案 ②
解析 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在?ABCD中，才有＋＝，故④不正确．
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，与向量相等的向量有________个．
答案 3
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个．
答案 4
解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
所以4个式子的运算结果都是.
4．化简2＋2＋3＋3＋＝________.
答案 0
解析 2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.
5．若非零空间向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________.
考点 空间向量的数乘运算
题点 空间共线向量定理及应用
答案 ±1
解析 由ke1＋e2与e1＋ke2共线，
得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即故k＝±1.
空间向量加法、减法运算的两个技巧：
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
一、填空题
1．下列命题中，假命题是________．(填序号)
①任意两个向量都是共面向量；
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律；
③只有零向量的模等于0；
④共线的单位向量都相等．
答案 ④
解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．
2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
答案 c－a－b
解析 如图，
∵＋＋＋＝0，
即a＋b＋－c＝0，
∴＝c－a－b.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋－＝________.
答案 2
解析 －＋－＝(＋)－(＋)
＝－＝2.
4．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：
①AB＋＝；②－＝；③|A|＋|B|＝|A|；④|A|－|A|＝|B|.其中一定不成立的是____________．(填序号)
答案 ②
解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：A＋B＝A恒成立；对于③：当A，B，A方向相同时，有|A|＋|B|＝|A|；对于④：当B，A，A在一条直线上且B与A，A方向相反时，有|A|－|A|＝|B|.
只有②一定不成立．
5．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋
＝＋＝，
故＋－－＝－＝0.
6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________，－＋＝________.
答案
解析 ＋＋＝＋＋＝，
－＋＝－(－)
＝－＝.
7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若C＝a，C＝b，C1＝c，则＝________.
答案 －a＋b－c
解析 如图，
＝＋＝＋(－)
＝－＋－＝－c＋b－a.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
答案 1
解析 ∵＝＋＝＋
＝＋＝＋(＋)，
∴x＝1，y＝.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别是________．
答案 ，－
解析 由于＝＋＝＋(＋)
＝＋＋，
所以m＝，n＝－.
10．在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号)
①＋＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③＋＋＋＝0；
④－＋＋＝0.
答案 ②
解析 易知四边形EFGH为平行四边形，
所以＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＝0.
11.如图，已知在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示)
答案 3a＋3b－5c
解析 设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋
＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c
二、解答题
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋；
(4)＋－.
解 (1)＋＝.
(2)＋＋＝＋
＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
(4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.
13.如图，设O为?ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
解 ∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
∴x＝，y＝－.
三、探究与拓展
14．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
答案 －8
解析 ∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
∴∴k＝－8.
15.如图，设点A是△BCD所在平面外的一点，点G是△BCD的重心．
求证：＝(＋＋)．
证明 连结BG，延长后交CD于点E，由点G为△BCD的重心，知＝.
∵E为CD的中点，
∴＝＋.
∴＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝(＋＋)．
3.1.2 共面向量定理
学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．
知识点一 共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
知识点二 共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
知识点三 空间四点共面的条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得＝x＋y＋z，且x，y，z满足x＋y＋z＝1，则A，B，C，D四点共面．
1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×)
2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×)
3．若P，M，A，B共面，则＝x＋y.(×)
类型一 向量共面的判定
例1 给出以下命题：
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；
②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量；
③若存在有序实数组(x，y)使得＝x＋y，则O，P，A，B四点共面；
④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；
⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．
其中正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 ①错，空间中任意两个向量都是共面的；
②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；
③正确，因为，，共面，
∴O，P，A，B四点共面；
④错，没有强调零向量；
⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．
反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．
跟踪训练1 下列说法正确的是________．(填序号)
①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；
②设平行六面体的三条棱是，，，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋；
③若＝(P＋)成立，则P点一定是线段AB的中点；
④在空间中，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共面；
⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．
答案 ④
类型二 向量共面的证明
例2 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．
考点 空间向量的数乘运算
题点 空间共面向量定理及应用
解 连结BG.
因为＝－，＝，
所以＝－，
因为＝＋，
所以＝＋－＝－＋＋.
因为＝，所以＝，
所以＝(－＋＋)
＝－＋＋.
又因为＝－，
所以＝－＋＋，
因为＝m，
所以＝m＝－＋＋，
因为＝－＋＝－＋，
所以＝＋＋.
又因为G，B，P，D四点共面，
所以1－＝0，m＝.
即m的值是.
反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
证明 ＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
又，不共线，
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．
类型三 共面向量定理的应用
例3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明 记＝a，＝b，＝c，则＝a＋c，
＝－＝a－b，
＝＋＝b＋c，
所以＋＝a＋c＝，又与不共线，
所以，，共面．
又由于AB1?平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.
反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．
跟踪训练3 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M，N，使＝k，＝k(0≤k≤1)．
求证：MN∥平面ABB1A1.
证明 ＝k·＝k(＋)＝kb＋kc，
又∵＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，
∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc
＝(1－k)a－kc.又a与c不共线．
∴与向量a，c是共面向量．
又MN?平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1.
1．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0时，则有无数多个λ使之成立．
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为________．
答案
解析 由题意知，x＋＋＝1，
所以x＝.
3．下列命题中，正确命题的个数为________．
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若＝，则A，B，C，D四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
答案 0
解析 当a，b中有零向量时，①不正确；＝时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.
答案
解析 ∵P与A，B，C共面．∴＝α＋β，∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，
∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.
共面向量定理的应用：
(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．
(2)空间中四点共面的条件
空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x，y使得＝x＋y，①
此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，，实质就是平面MAB内平面向量的一组基底．
另外有＝＋x＋y，②
或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，③
①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．
一、填空题
1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________.
答案 0 0
解析 ∵a，b是两个不共线的向量，
∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0.
2．下列结论中，正确的是________．(填序号)
①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.
答案 ②③
解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．
3．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是________．
答案 共面向量
解析 如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．
4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
答案
解析 ＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋.
∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.
5．i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．
答案 1
解析 若A，B，C，D四点共面，则向量，，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，
使得a＋b＋c＝0.
即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，
∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.
∵i，j，k不共面，
∴∴
6.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝________.(用a，b，c表示)
答案 －a＋b＋c
解析 ＝＋＋＝＋(－)＋＝a＋(b－a)＋(－)
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
7．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝________.
答案
解析 由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.
8．已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 易得c＝ta＋μb＝(－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ)，
所以解得
故λ的值为－.
9．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有＝2＋＋λ，则λ＝________.
答案 －
解析 因为P，A，B，C四点共面，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－.
10．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
答案
解析 ∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)．
∴∴λ＝.
11．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．
①已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若a与b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．
答案 3
解析 ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，①正确；
若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故②不正确；
由向量平行知③不正确；
由空间向量共面知④不正确．
故共有3个命题不正确．
二、解答题
12.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D共面．
证明 方法一 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0，
则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.
因为e1，e2不共线，所以
则是其中一组解，则－5＋＋＝0，
所以A，B，C，D共面．
方法二 观察可得＋＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5，所以＝＋.
由共面向量知，，，共面．
又它们有公共点A，所以A，B，C，D四点共面．
三、探究与拓展
14．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝GB，过E，F，G三点的平面与对角线AC1交于点P，则AP∶PC1＝________.
答案
解析 设＝m，
因为＝＋＋
＝＋＋
＝3＋＋2，
所以＝3m＋m＋2m，
又因为E、F、G、P四点共面，所以3m＋m＋2m＝1，
所以m＝，所以AP∶PC1＝3∶16.
15.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量．
证明 设＝a，
＝b，＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴＝c－a，
又O是B1D1的中点，
∴＝(a＋b)，
∴＝－(a＋b)，
＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)．
∵D1D綊C1C，∴＝c，
∴＝＋＝(b－a)＋c.
若存在实数x，y，使＝x＋y (x，y∈R)成立，则
c－a＝x＋y
＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.
∵a，b，c不共线，∴
得
∴＝＋，又与不共线，
∴，，是共面向量．
3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示
学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
知识点一 空间向量基本定理
思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？
答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．
梳理 空间向量基本定理
(1)定理内容：
①条件：三个向量e1，e2，e3不共面．
②结论：对空间中任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)基底：
定义
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量
正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示
(3)推论：
①条件：O，A，B，C是不共面的四点．
②结论：对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
知识点二 空间向量的坐标表示
思考 若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？
答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1)．
梳理 (1)空间向量的坐标表示：
①向量a的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)．
②向量的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点A(x，y，z)，向量是确定的，即＝(x，y，z)．
(2)空间中有向线段的坐标表示：
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
①坐标表示：＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：
运算
表示方法
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)
(4)空间向量平行的坐标表示：
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，则a∥b?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．
1．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间的一个基底．(√)
2．若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)．(×)
3．在空间直角坐标系O－xyz中向量的坐标就是B点坐标减去A点坐标．(√)
类型一 空间向量基本定理及应用
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解 假设，，共面，
由向量共面的充要条件知存在实数x，y，
使＝x＋y成立．
所以＝e1＋2e2－e3
＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋e3.
得解得
故，，共面，不可以构成空间的一个基底．
反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
跟踪训练1 以下四个命题中正确的是________．(填序号)
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
答案 ②③
解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．
例2 如图，在空间四边形OABC中，点D是边BC的中点，点G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和.
解 因为＝＋
＝＋＝＋(－)，
又点D为BC的中点，所以＝(＋)，
所以＝＋(－)
＝＋×(＋)－
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
而＝－，
又因为＝＝·(＋)＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？
解 ＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
＝＝×(＋)
＝(b＋c)．
所以＝－
＝(b＋c)－
＝－a＋b＋c.
反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．
跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量．
(1)；(2)；(3)；(4).
解 连结AC，AD′.
(1)＝(＋)
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.
类型二 空间向量的坐标表示
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
(1)，，；
(2)，，.
解 (1)＝＋＝＋＝＋
＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－
＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－
＝－＝.
引申探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．
解 ＝＋＝－＋＝，
＝＋＝－
＝－＋＝，
＝＋＝.
反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量的坐标．
解 ∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，
∴＝.
类型三 空间向量的坐标运算及应用
例4 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．
(1)求＋，－；
(2)是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由．
解 ＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)．
－＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)．
(2)假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得
＝(－2，－1,2)．由题意得
(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，
所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
所以所以
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．
反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标．
2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．
跟踪训练4 已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明 ∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴＝＝，
∴与共线，即AB∥CD，
又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴≠≠，∴与不平行．
∴四边形ABCD为梯形．
1．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是________．
答案 (12,14,10)
解析 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.
答案 (2，－4,2)
解析 依题意，得b＝a－(－1,2，－1)
＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．
3．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b＝________.
答案 (8,0,4)
解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．
答案 (0,2,1) (2,2,1)
解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A(0,0,0)，C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，则的坐标为(0,2,1)，的坐标为(2,2,1)．
5．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
答案 a＋b＋c
解析 ＝＋＝＋×(＋)
＝＋×(－＋－)
＝＋＋＝a＋b＋c.
1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．
一、填空题
1．有下列三个命题：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
其中为真命题的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a，b，c共面，故只有①②正确．
2．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．
答案 (5,13，－3)
解析 由四边形ABCD是平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1,12，－6)，
所以解得
即D点坐标为(5,13，－3)．
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________.
答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)
解析 由题图可知，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，所以＝(1,0,0)，＝(1,0,1)，＝(－1,1，－1)．
4．已知a＝(3,5,7)，b＝(6，x，y)，若a∥b，则xy的值为________．
答案 140
解析 显然x≠0，y≠0.
因为a∥b，所以＝＝，
即x＝10，y＝14，所以xy＝140.
5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为________．
答案 ，－1，－
解析 ∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3，
∴∴
6．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
答案 0
解析 因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，
由题意得∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
7．已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为________．
答案 2,10,7
解析 ∵A与A′关于x轴对称，
∴?
8．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
答案 －
解析 ∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，
∴＝＝(y≠0)，
∴x＝，y＝－.
9．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是________．
考点 空间向量的正交分解
题点 向量的坐标
答案
解析 设点C的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
10.如图，点M为OA的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则实数组(x，y，z)＝________.
答案
解析 因为＝－
＝＋0－，所以实数组(x，y，z)＝.
11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量＝________.(用a，b，c表示)
答案 a－b＋c
解析 ∵＝－2，
∴－＝－2(－)，
∴b－a＝－2(－c)，
∴＝a－b＋c.
二、解答题
12．已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
解 由已知p＝2a＋3b－c，
设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋
(y＋z)b＋zc，
则有解得
故p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．
13．已知O，A，B，C四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P点坐标：
(1)＝(－)；(2)＝(－)．
解 ＝－＝(2,6，－3)，
＝－＝(－4,3,1)．
(1)设P点坐标为(x，y，z)，
则＝(x，y，z)，(－)＝，
所以＝，即P点坐标为.
(2)设P点坐标为(x，y，z)，
则＝－＝(x－2，y＋1，z－2)，
由(1)知(－)＝，所以
解得所以P点坐标为.
三、探究与拓展
14．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________．(填序号)
①2a；②－b；③c；④a＋c.
答案 ③④
解析 ∵p＝2a－b，q＝a＋b，
∴p与q共面，a，b共面．
而c与a，b不共面，
∴c与p，q可以构成另一个基底，
同理a＋c与p，q也可构成一组基底．
15．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．
解 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示，则A，A1，B1，C1，
所以＝(0,0,2)，＝，
＝.
3.1.5 空间向量的数量积
学习目标 1.理解空间向量的夹角及有关概念．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角．
知识点一 空间向量的夹角
1．定义：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
2．图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝0
〈a，b〉是锐角
〈a，b〉是直角
〈a，b〉是钝角
〈a，b〉＝π
3.范围：0≤〈a，b〉≤π.
4．空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积
思考 两个向量的数量积是数量，还是向量？
答案 数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量．
梳理 (1)定义：
①设a，b是空间两个非零向量，把数量|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积．
②记作：a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)运算律：
交换律
a·b＝b·a
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)坐标表示：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
②a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
③|a|＝＝.
④cos〈a，b〉＝.
知识点三 空间中两点间的距离公式
思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？
答案 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关．
梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.
1．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)
2．〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点．(×)
3．在△ABC中，〈，〉＝∠B.(×)
4．对于向量a，总有|a|2＝a2.(√)
类型一 空间向量的数量积运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
解 ①此命题不正确．
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确．
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，
|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|.
③此命题正确．
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直．
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．
解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.
②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×－4×16＝27－24－64＝－61.
反思与感悟 1.已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．
2．如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
答案
解析 ∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
解 如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋ )·(＋)；(2)|＋＋|.
解 (1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.
(2)|＋＋|
＝
＝
＝＝.
类型二 利用数量积求夹角或模
例3 如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长；
(2)求与的夹角的余弦值．
解 (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)设与的夹角为θ，
方法一 ∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cosθ＝＝＝.
方法二 设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cosθ＝＝＝.
反思与感悟 1.求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成的角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a，b〉∈时，它们相等；而当〈a，b〉∈时，它们互补.
跟踪训练3 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
解 ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例4 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
反思与感悟 1.证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
2．证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练4 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
答案 45°
解析 ∵a与2b－a垂直，∴a·(2b－a)＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
∴2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
∴4cos〈a，b〉－4＝0，∴cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为45°.
1．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________．
答案 3
解析 ∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．
答案
解析 依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
3．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
答案
解析 cos〈a，b〉＝＝－，
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.
4．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案
解析 ||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，
∴||＝，∴EF的长为.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
答案
解析 ∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
2．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
一、填空题
1．设a，b，c为两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________.
答案
解析 |a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，故|a－2b＋3c|＝.
2．已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为________．
答案
解析 ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝.
3．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
答案
解析 ＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，·＝－7，||＝，||＝，
∴cosθ＝＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
4．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.
答案 2
解析 据题意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
答案
解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos＋22＝7，∴|a＋b|＝.
6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案
解析 将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，
再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝.
7．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
8．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．
答案 90°
解析 ∵a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，
∴a＋b＝(sinα＋cosα，2，sinα＋cosα)，
a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，
∴(a＋b)(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
∴向量a＋b与a－b的夹角是90°.
9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ＝________.
答案 －
解析 ∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，
∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.
10．将AB＝2，BC＝2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，则B，D间的距离为________．
答案
解析 作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.
由已知可得AC＝4，DE＝BF＝，
∴AE＝1，CF＝1，∴EF＝2.
∵二面角的大小为60°，
∴与的夹角为120°，
∴||2＝(＋＋)2＝7，
∴||＝，
∴B，D间的距离为.
11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________．
答案 ∪
解析 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以所以t＝－，
故t的取值范围是∪.
二、解答题
12．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，求以，为邻边的平行四边形的面积S.
解 ∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴||＝＝，||＝＝，cos〈，〉＝＝＝，
且〈，〉∈[0，π]，
∴sin〈，〉＝，
∴S＝||||·sin〈，〉＝7，
∴以，为邻边的平行四边形的面积为7.
13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求与夹角的余弦值．
解 以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
故||＝＝，
所以线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又因为||＝，||＝，
所以cos〈BA1，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.
三、探究与拓展
14．已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．
答案
解析 由已知可得：
≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|
由于上式对任意单位向量e都成立．
∴≥|a＋b|成立．
∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.
即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.
15.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明 ＝＋，
＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·＝||||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．
知识点一 向量法判断线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
知识点二 向量法判断线面垂直
思考 若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
答案 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直．
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内．
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.
梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
判断下面结论的对错：
1．AP⊥AB；(√)
2．AP⊥AD.(√)
3.是平面ABCD的法向量．(√)
4.∥.(×)
类型一 证明线线垂直
例1 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
证明 设AB的中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC，BC，C1C两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∴＝(－3,0,0)，
＝(0，－4,4)，
∴·＝0，∴AC⊥BC1.
类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，
E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)
＝(－1，－1，1)．
＝(2,2,2)－(2,0,0)
＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
而·
＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
方法二 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1，
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，
AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤
(1)基向量法：
①设出基向量，然后表示直线的方向向量；
②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示；
③利用数量积计算．
(2)坐标法：
①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示；
②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；
③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行．
跟踪训练2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：直线PB1⊥平面PAC.
证明 如图，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(1,0,0)，
A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(1,1,1)，
＝(0，－1，－2)，
＝(－1,0，－2)．
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，
所以PB1⊥平面PAC.
类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，
E，
故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4)．
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E，连结AC，设AC与BD相交于点O，连结OE，则点O的坐标为.
因为＝(0,0,1)，＝，
所以＝，所以∥.
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
1．若直线l1的方向向量为a＝(2，－4,4)，l2的方向向量为b＝(4,6,4)，则l1与l2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”)
答案 垂直
解析 因为a·b＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0，
所以l1⊥l2.
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”)
答案 垂直
解析 ∵a∥μ，∴l⊥α.
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”)
答案 垂直
解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________．
答案 5
解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)
①⊥；②⊥；③⊥；④⊥.
答案 ④
解析 由题意知PA⊥平面ABCD，
所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，③正确．
证明垂直问题的方法：
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；
②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
一、填空题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 10
解析 因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
答案 －10
解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知直线l的方向向量为e＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n＝(λ∈R)．若l⊥α，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 ∵l⊥α，∴e∥n，∴＝＝，∴λ＝－.
4．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________．
答案 (－1,0,2)
解析 由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)
①CE⊥BD；②A1C1⊥BD；③AD⊥BC1；④CD⊥BE.
答案 ①②
解析 以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0，1)，
C1(0,1,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，
＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.显然A1C1⊥BD，故只有①②正确．
6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量；④∥.
其中正确的结论是________．(填序号)
答案 ①②③
解析 因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，
则⊥，即AP⊥AB；
·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，
则⊥，即AP⊥AD，
又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
故是平面ABCD的一个法向量．
＝－＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)，
所以与不平行．
7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为________．
答案 垂直
解析 以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
依题意可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，
M(，2,0)．
∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，
＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
8．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
答案 或
解析 由题意得⊥，
∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.
∴2cos2x－cosx＝0，
∴cosx＝0或cosx＝.
又∵x∈[0，π]，
∴x＝或x＝.
9．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
∴即解得
∵|n|＝，∴＝，
解得z＝1或z＝－1.
当z＝1时，y＝4，x＝－2；
当z＝－1时，y＝－4，x＝2，
∴n＝(－2,4,1)或n＝(2，－4，－1)．
10．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)＝________.
答案
解析 ·＝3＋5－2z＝0，故z＝4.·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.所以(x，y，z)＝.
二、解答题
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，E，
A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，
F.
∴＝，＝(－1,0,0)，＝，
∴·＝0×(－1)＋1×0＋×0＝0，
·＝－＝0，
∴⊥，⊥，
即AE⊥A1D1，AE⊥D1F，又A1D1∩D1F＝D1，
A1D1，D1F?平面A1D1F，
∴AE⊥平面A1D1F.
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用向量法证明：
(1)平面A1BD∥平面CB1D1；
(2)AC1⊥平面A1BD.
证明 以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，C1(0,1,1)．
(1)∴＝(－1,0，－1)，
＝(0,1，－1)，
＝(1,1,0)，
＝(0,1，－1)，
设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.
∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．
设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，
∴n2＝(－1,1,1)，
∴n1＝n2，即n1∥n2.
∴平面A1BD∥平面CB1D1.
(2)又＝(－1,1,1)，∴∥n1.
∴是平面A1BD的法向量，
∴AC1⊥平面A1BD.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
证明 以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D，
设BE＝x(0≤x≤)，
则E(x,1,0)，
·＝(x,1，－1)·＝0，即⊥.
所以当x∈[0， ]时都有PE⊥AF，即无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
三、探究与拓展
14．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是______．
答案 －3或1
解析 ∵|a|＝＝6，∴x＝±4，
又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，
当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
15．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
(1)证明 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)，
＝(－a，a，e－a)，
＝(－a，－a，0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)解 设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，
得n1＝(1，－1，－1)，n2＝，
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
3.2.3 空间的角的计算
学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
知识点一 空间角的计算(向量法)
空间三种角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为e，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈e，n〉|＝
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝.
[0，π]
知识点二 向量法求线面角、二面角的原理
1．向量法求直线与平面所成角的原理
条件
直线l(方向向量为e)与平面α(法向量为n)所成的角为θ
图形
关系
〈e，n〉∈，θ＝－〈e，n〉
〈e，n〉∈，θ＝〈e，n〉－
计算
sinθ＝|cos〈e，n〉|
2.向量法求二面角的原理
条件
平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n1，n2〉＝φ
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cosθ＝cosφ
cosθ＝－cosφ
1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)
2．若向量n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.(×)
3．直线与平面所成角的范围为.(×)
类型一 求两条异面直线所成的角
例1 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
解 以O为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，
A(，0,0)，A1(，1，)，
B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|
＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．
跟踪训练1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解 不妨设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，
∴||＝，||＝，·＝－1＋0＋4＝3.
又·＝||||cos〈，〉
＝cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.
类型二 求直线和平面所成的角
例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
解 以A点为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0，a)，
C1，
方法一 取A1B1的中点M，
则M，连结AM，MC1，
有＝，＝(0，a,0)，
＝(0,0，a)．
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又AB∩AA1＝A，AB，AA1?平面ABB1A1，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角．
由于＝，＝，
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝.
∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
方法二 ＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
＝.
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，
∴即
∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0)．
∵＝，
∴cos〈，n〉＝＝－，
∴|cos〈，n〉|＝.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．
跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1)．
显然是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sinθ＝cosβ＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cosθ＝＝.
类型三 求二面角
例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．
解 方法一 如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝AB＝a，AC＝b，连结BD与AC交于点O，取AD的中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴E，O，
＝，＝(b,0,0)．
∵·＝0，
∴⊥，
∵＝＝，·＝0，
∴⊥.
∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角)．
cos〈，〉＝＝.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0，a)为平面ABCD的法向量，
＝，＝(b,0,0)．
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由
得
∴x＝0，y＝z，∴取m＝(0,1,1)，
cos〈m，〉＝＝＝.
又∵〈m，〉∈[0°，180°]，
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．
跟踪训练3 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解 (1)以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉
＝＝
＝，
又异面直线所成角的范围为，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，
所以
即取z＝1，得x＝2，y＝－2，
所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的法向量．
同理，取平面ABA1的法向量为n2＝(0,1,0)．
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ，
由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.
所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．
答案 ±
解析 由
＝＝，
可知这个二面角的余弦值为或－.
2．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是________．
答案 60°
解析 ＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴a与b所成的角是60°.
3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是________．
答案
解析 以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA1＝2AB＝2，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，
故＝(1,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)，
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2,1)．
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.
4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．
答案 30°
解析 以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1), 所以cos〈，n〉＝＝－，
又因为〈，n〉∈[0°，180°]，
所以〈，n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角是30°.
向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cosθ＝|cosφ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
一、填空题
1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为________．
答案 30°
解析 异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以l1与l2这两条异面直线所成的角为180°－150°＝30°.
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．
答案 45°或135°
解析 cos〈m，n〉＝＝＝，
即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为________．
答案
解析 线面角的范围是.
∵〈a，n〉＝，
∴l与法向量所在直线所成角为，
∴l与α所成的角为.
4．已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与ED1所成角的余弦值为________．
答案
解析 ∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，
∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，
∴||＝2，||＝，
·＝0－2＋4＝2，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴AB1与ED1所成角的余弦值为.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．
答案
解析 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，
B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．
又＝(0,0,1)，
则cos〈，〉＝＝＝.
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.
6．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为________．
答案
解析 以A1为坐标原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则A(0,0,2)，C(2,2,2)，E(1,0,0)，＝(2,2,0)，＝(1,0，－2)．
∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1，则＝(2,2,0)是平面BDD1B1的一个法向量．
设直线AE与平面BDD1B1所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝.
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．
答案 90°
解析 以A1为坐标原点，，的方向为y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，
B1，C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，∴⊥.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为________．
答案
解析 如图所示，取AC的中点O，连结OB，
取A1C1的中点O1，连结OO1，
以O为坐标原点，OC，OO1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
易得B(－，0,0)，A(0，－1,0)，C1(0,1,3)，B1(－，0,3)，
∴＝(0,0,3)，＝(－，1,3)，＝(0,2,3)，
设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则
即∴n＝，
设BB1与平面AB1C1所成的角为θ，θ∈，
∵sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴θ＝.
9.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．
答案
解析 以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)．
＝(1,2，－1)，
＝(－2,2,0)，
故cos〈，〉＝＝.
10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为________．
答案
解析 如图，以点D1为坐标原点，D1A1－D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝a，则AA1＝2a，
所以D(0,0,2a)，C1(0，a,0)，B(a，a,2a)，C(0，a,2a)．
设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
∴∴n＝，
∴·n＝(0，－a,0)·＝a，
∴cos〈，n〉＝＝，
设CD与平面BDC1所成角为α，
∴sinα＝.
二、解答题
11．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，求该二面角的大小．
解 由条件，知·＝0，·＝0，＝＋＋.
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2.
∴cos〈，〉＝－，
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝120°，
∴二面角的大小为60°.
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是CC1，D1A1，AB的中点，求GA与平面EFG所成角的正弦值．
解 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)．
∴＝(1，－2,1)，
＝(2，－1，－1)，
＝(0，－1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，
则由n⊥，n⊥，得
即
解得x＝y＝z.令x＝1，得n＝(1,1,1)．
设GA与平面EFG所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
∴GA与平面EFG所成角的正弦值为.
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．
(1)求异面直线BD1与CE所成的角的余弦值；
(2)求二面角A1－EC－A的余弦值．
解 如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E，A1(1,0,1)，
(1)＝(－1，－1,1)，
＝，故cos〈，〉＝＝＝－，
又异面直线所在角的范围是，
所以异面直线BD1与CE所成的角的余弦值是.
(2)因为DD1⊥平面AEC，所以为平面AEC的一个法向量，＝(0,0,1)，设平面A1EC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝，＝(－1,1，－1)，
则即
取n＝(1,2,1)，所以cos〈，n〉＝＝，
结合图形知，二面角A1－EC－A的余弦值为.
三、探究与拓展
14．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
答案 0
解析 ·＝·(－)
＝·－·
＝||·||·cos－||·||·cos＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
15.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)证明：PC⊥AD；
(2)求二面角A－PC－D的正弦值；
(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
(1)证明 如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．
可得＝(0,1，－2)，
＝(2,0,0)，
则·＝0，所以PC⊥AD.
(2)解 由(1)可得＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
令z＝1，可得n＝(1,2,1)．
又＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，
所以cos〈，n〉＝＝，
从而sin〈，n〉＝.
所以二面角A－PC－D的正弦值为.
(3)解 由(2)可得＝(2，－1,0)．
设AE＝h，h∈[0,2]，则E(0,0，h)，
所以＝.
所以cos〈，〉＝＝＝，
解得h＝，即AE＝.
第3章 空间向量与立体几何
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．
第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
第2层 化简向量
例2 如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD.设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；(3)－(＋)．
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)
＝－＝.
，，如图所示．
点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．
第3层 证明立体几何问题
例3 如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，又∵与有公共点B，
∴B，G，N三点共线．
2 空间向量易错点扫描
易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
错解 a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件．
错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．
剖析 当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，
所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．
正解 必要不充分
易错点2 忽略两向量的夹角的定义
例2 如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
错解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.
错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量，的夹角与二面角α—AB—β的平面角互补，而不是相等．
正解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错点3 判断是否共面出错
例3 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一个基底的是________．(将正确答案的序号填上)
①；②；③；④或.
错解 a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以，都与a，b共面，不能构成空间的一个基底，故填④.
剖析 ＋＝(a＋b)，说明＋与a，b共面，但不能认为，都与a、b共面．
设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x，y不存在，所以a，b与不共面，
故a，b与可构成空间的一个基底．
同理a，b与也可构成空间的一个基底．
因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a，b共面，故不能构成空间的一个基底．
正解 ③
易错点4 混淆向量运算和实数运算
例4 阅读下列各式，其中正确的是________．(将正确答案的序号填上)
①a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
②a·b＝0?a＝0或b＝0
③(a·b)·c＝a·(b·c)
④·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解 ①(或②或③)
剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故①③错误；若a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故②错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解 ④
易错点5 忽略建系的前提
例5 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE的中点，试合理建立坐标系，求，所成角的余弦值．
错解 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直．
正解 设AC，BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大小．
错解 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(1,0,1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°.
所以二面角A－BD1－C的大小为60°.
剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．
正解 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．
由题意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．
所以cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
结合图形知二面角A－BD1－C的大小为120°.
3 空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
1．利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．
2．利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解 过B点作BP⊥BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，
所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)．
点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
3．利用面面垂直关系
例3 如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连结BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小．
解 取AE中点M，连结BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M－xyz，如图，
则M(0,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
4 用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．
1．求解、证明问题
例1 在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点，OA，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2．定位问题
例2 如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
解题提示 假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在．
解 因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，DA，DC?平面ABCD，
所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直，如图，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)．
因为点M在DG上，假设存在点
M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即
令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量．
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．
5 向量与立体几何中的数学思想
1．数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
例1 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求二面角A1－EC－D的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．
(1)证明 因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，
平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解 因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2)．
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，得m＝(2，－2,1)．
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
由图可知，二面角A1－EC－D的平面角为锐角，
所以二面角A1－EC－D的余弦值为.
(3)解 过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，
FM?平面A1B1C1D1，FM⊥A1B1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝××FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2．转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求二面角A－DF－C的平面角的余弦值．
分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
(1)证明 以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．
∵E为AB的中点，∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝，
∴＝＋＝(0,0,2)＋
＝.
设n＝(x1，y1，z1)是平面DFC的法向量，
则∴
取x1＝1，得平面DFC的一个法向量n＝(1,0，－1)．
设p＝(x2，y2，z2)是平面D1EC的法向量，
则∴
取y2＝1，得平面D1EC的一个法向量p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n⊥p，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解 设q＝(x3，y3，z3)是平面ADF的法向量，
则∴
取y3＝1，得平面ADF的一个法向量q＝(0,1，－1)，
设二面角A－DF－C的平面角为θ，由题中条件可知θ∈，则cos θ＝－＝－＝－，
∴二面角A－DF－C的平面角的余弦值为－.
3．函数思想
例3 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)．问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由．
分析 写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解．
解 由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－，
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴f(t)max＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11)．b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．
4．分类讨论思想
例4 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析 由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在．
解 假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连结AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，∴·＝0，∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即0＜a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0
