6 第1课时 一元二次方程的实际应用(一)
知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题
1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375
C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
2．2017·贵阳期末如图2－6－1所示，某小区计划在一块长20 m，宽15 m的矩形荒地上建造一个花园(图中阴影部分)，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径x是多少？(精确到0.1 m)
图2－6－1
知识点 2 用一元二次方程解决动态几何图形问题
3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?
图2－6－2
4．教材习题2.9第2题变式题如图2－6－3所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过几秒后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一？
图2－6－3
5．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．
图2－6－4
6．如图2－6－5，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为( )
A．1或4 B．1或6
C．2或4 D．2或6
图2－6－5
图2－6－6
7．如图2－6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发________时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
图2－6－7
9．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止．
(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
图2－6－8
10．如图2－6－9，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由．
图2－6－9
1．A
2．解：根据题意，得4×πx2＝×20×15，
解得x1≈6.9，x2≈－6.9(舍去)．
答：每个扇形的半径x大约是6.9 m.
3．解：设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，根据题意，得
62＋(16－5x)2＝102，
整理，得25x2－160x＋192＝0，
解得x1＝1.6，x2＝4.8.
答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.
4．解：设经过x s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．
根据题意，得(6－x)(8－x)＝×6×8×，
化简，得x2－14x＋36＝0，
解得x1＝7＋(舍去)，x2＝7－.
所以经过(7－)s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．
5．解：存在．
因为OE垂直平分AB，AB＝200 cm，
所以OA＝100 cm.
当老鼠C在OA上运动时，设两只老鼠同时爬行x s时，两只老鼠与点O组成的△COD的面积为1800 cm2，
则AC＝2x cm，OC＝(100－2x)cm，OD＝3x cm.
由S△OCD＝OC·OD，
得(100－2x)·3x＝1800.
整理，得x2－50x＋600＝0.
解得x1＝20，x2＝30.
当x＝20时，2x＝40<100；
当x＝30时，2x＝60<100，
所以x＝20和x＝30均符合题意．
所以当两只老鼠同时爬行20 s或30 s时，它们与点O组成的△COD的面积为1800 cm2.
6．C [解析] ∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，∴12×6－×12x－×2x(6－x)－×6×(12－2x)＝28，化简、整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.
7．1 s或5 s [解析] 设点D出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2，由题意，得×12×12－×4x2－×(12－2x)2＝20，化简、整理得x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5.
8．解：设小道进出口的宽度应为x m，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.
整理，得x2－35x＋34＝0.
解得x1＝1，x2＝34.
∵34>30，∴不合题意，舍去，∴x＝1.
答：小道进出口的宽度应为1 m.
9．解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
此时AP＝x cm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm.
由S△PBQ＝BP·BQ＝4，
得(5－x)·2x＝4.
整理，得x2－5x＋4＝0.
解得x1＝1，x2＝4.
当x＝4时，2x＝8>7，
说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，
∴1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)设y s后PQ的长度等于5 cm，此时AP＝y cm，BP＝(5－y)cm，BQ＝2y cm.
由BP2＋BQ2＝52，
得(5－y)2＋(2y)2＝52.
整理，得y2－2y＝0.
解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝2.
∴2 s后，PQ的长度等于5 cm.
(3)假设△PBQ的面积能等于7 cm2，此时点P，Q的运动时间为z s，则(5－z)·2z＝7，
整理，得z2－5z＋7＝0.
∵(－5)2－4×7＝－3<0，
∴方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不可能等于7 cm2.
10．解：假设轮船途中会遇到台风，且经过t h最初遇到，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，则AC＝20t，AE＝AB－BE＝100－40t.
∵AC2＋AE2＝EC2，
∴(20t)2＋(100－40t)2＝(20)2，
400t2＋10000－8000t＋1600t2＝4000，
t2－4t＋3＝0，
(t－1)(t－3)＝0，
解得t1＝1，t2＝3(不合题意，舍去)．
答：若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会遇到台风，经过1 h轮船最初遇到台风．
第2课时 一元二次方程的实际应用(二)
知识点 1 用一元二次方程解决与增长率有关的问题
1．2017·辽阳共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )
A．1000(1＋x)2＝1000＋440
B．1000(1＋x)2＝440
C．440(1＋x)2＝1000
D．1000(1＋2x)＝1000＋440
2．2017·巴中巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求每次下调的百分率．
知识点 2 用一元二次方程解决与营销有关的问题
3．某商店如果将每件进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品售价每件涨0.5元，其每天的销售量就会减少10件，若要想每天赚得640元的利润，则售价应定为每件( )
A．12元 B．16元
C．12元或16元 D．14元
4．教材习题2.10第1题变式题某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件每降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1400元，那么每件应降价________元．
5．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元；(用含x的代数式表示)
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
6．2017·遵义模拟某地举行一次足球单循环比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，共进行了55场比赛．如果设有x个球队，根据题意列出方程为( )
A．x(x＋1)＝55 B．x(x－1)＝55
C.x(x－1)＝55 D．2x(x＋1)＝55
7．某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有( )
A．81台 B．648台
C．700台 D．729台
8．如图2－6－10①，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′(如图②)，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
图2－6－10
A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm
9．读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
10．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和能等于12 cm2吗？ 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
11．天山旅行社为吸引游客组团去黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图2－6－11所示)：
图2－6－11
某单位组织员工去黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去黄果树风景区旅游？
12．水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，则每天的总毛利润为多少元？
(2)现市场要保证每天总毛利润为6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水费、电费、房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每千克应涨价多少元？
1．A
2．解：设每次下调的百分率为x，
根据题意，得5000(1－x)2＝4050，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：每次下调的百分率为10%.
3．B 4.6或10
5．解：(1)每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，每件商品盈利(50－x)元，故答案为2x，(50－x)．
(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100，
化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去，∴x＝20.
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．
6．C
7．D ．
8．B
9．解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
根据题意，得x2＝10(x－3)＋x，
即x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意．
答：周瑜去世时的年龄为36岁．
10．解：(1)设剪成两段后其中一段的长度为x cm，则另一段的长度为(20－x)cm.
根据题意，得＋＝17，
整理，得x2－20x＋64＝0，
解得x1＝16，x2＝4.
当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16.
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm和16 cm.
(2)不能．理由：不妨设剪成两段后其中一段的长度为y cm，则另一段的长度为(20－y)cm.由题意，得＋＝12，整理，得y2－20y＋104＝0，移项并配方，得(y－10)2＝－4＜0，此方程无解，即两个正方形的面积之和不能等于12 cm2.
11．解：∵25×1000＝25000(元)<27000元，
∴该单位去黄果树风景区旅游的人数超过了25人．
设该单位去黄果树风景区旅游的人数为x人，则人均费用为[1000－20(x－25)]元．
由题意，得x[1000－20(x－25)]＝27000.
整理，得x2－75x＋1350＝0，
解得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去；
当x＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去黄果树风景区旅游．
12．解：(1)18×(500－8×20)＝6120(元)．
(2)设每千克应涨价x元，则日销售量为(500－20x)千克．
根据题意，得(10＋x)(500－20x)＝6000.
解得x＝10或x＝5.
因为要使顾客得到实惠，所以每千克应涨价5元．
(3)设每千克应涨价y元，根据题意，得
(10＋y)(500－20y)(1－10%)－0.9(500－20y)－102＝5100.
整理，得(y－8)2＝0，所以y＝8.
因此，每千克应涨价8元．
