1.1 菱形的性质与判定同步练习（含解析）

1.1 菱形的性质和判定练习题（含解析）
一、单选题
1．下列命题正确的是（?? ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，若∠DAB=60°，则对角线BD的长为(?? )
A．?1??????????????????????????????????????B．???????????????????????????????????????C．?2?????????????????????????????????????D．?
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（??? ）。
A．20 B．24 C．40 D．48
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）。
A．????????? ? ???B．?2????????? ???? ??????C．??????????????? ????????????D．?4
5．若菱形 的周长是16， ∠A=60° ，则对角线 的长度为（　　 ）
A．?2?????????????? ?????????B．?????? ??????????????????C．?4?????????????? ????????D．?
6．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱
形ABCD的周长为（?? ）
A．?24???????????????????? ?????????B．?18???????? ?????????????????C．?12??????????? ???????????D．?9
7．菱形 的两条对角线长分别为 和 ，则它的周长和面积分别为（? ? ）
A．?? ???????????? ?????B．?? ???? ????C．?? ????????? ???????D．??
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ??）
A．?AB＝ EF?????? ?B．?AB＝2EF???????? ????C．?AB＝ EF?? ?????D．?AB＝ EF
9．如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ??）
A．?6????????? ???? ?B．?3 ??????????????????? ???????C．?2 ??? ???????????D．?4．5
二、填空题
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．
11．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是________．
12．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0）点D在y轴上，则点C的坐标是________。
13．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为________．
15．如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为________（结果留根号）．
16．如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若 ＝ ， 则正△ABC的边长是________．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．
18．如图：在△ABC中，∠BAC = ，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形．
19．如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F处，折痕交CD边于点E．求证：四边形ADEF是菱形．

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN．求证：四边形ABCD是菱形．
21．如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE．求证:四边形BCED是菱形．

22．如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．?

23．如图，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】C
【解析】A．改成为：对角线“互相平分”的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B．改成为：对角线相等的“平行四边形”是矩形，故B不符合题意；C．正确，故C符合题意；D．改成为：对角线互相垂直且相等的“平行四边形”是正方形，故D不符合题意；故答案为：C．
2．【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故答案为：C．
3．【答案】A
【解析】设对角线AC、BC交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8∴A0=3,BO=4,AC⊥BC，∴AB=5,∴C菱形ABCD=4×5=20．故答案为：A．
4．【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°,∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO= ，∴AC=2A0=4 ，∴S△ACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 ，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴ ,∴ ,∴S△COE= S△CAD= ×4 = ．故答案为：A．
5．【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的周长是16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4．∴对角线BD的长度为4．故答案为：C．
6．【答案】A
【解析】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故答案为：A．
7．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，∵AC=8cm，BD=6cm，∴AD=5cm，周长=4×5=20 cm， S菱形ABCD= AC?BD=24cm2 ． 故答案为：B．
8．【答案】D
【解析】连接AC、BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EH= BD，EF= AC，∵EH=2EF，∴OA=EF，OB=2OA=2EF，在Rt△AOB中，AB= = EF，故答案为：D．
9．【答案】C
【解析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P， 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC=6 ，BD=6，∴AB= ，由S菱形ABCD= AC?BD=AB?E′M得 ×6 ×6=3 ?E′M，解得：E′M=2 ，即PE+PM的最小值是2 ，故答案为：C．
二、填空题
10．【答案】
【解析】如图， 由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4，又∵∠1=60°，∴∠2=30°，sin∠2= ，∴CD=2，cos∠2=cos30°= ，OD=2 ，∴C（2 ，2），设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得 ，解得 ，直线AC的表达式是y=﹣ x+4，故答案为：y=﹣ x+4．11．【答案】
【解析】依照题意画出图形，如图所示． 在Rt△AOB中，AB=2，OB= ，∴OA= =1，∴AC=2OA=2，∴S菱形ABCD= AC?BD= ×2×2 =2 ．故答案为：2 ．
12．【答案】（－5，4）
【解析】∵A（3，0），B（-2，0）,∴AB=5，AO=3，BO=2，又∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD=BC=AB=5，在Rt△AOD中，∴OD=4，作CE⊥x轴， ∴四边形OECD为矩形，∴CE=OD=4，OE=CD=5，∴C（-5,4）．故答案为：（-5,4）．
13．【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC= ，∴OB=1，∴BD=2．故答案为2．
14．【答案】2．8
【解析】作EH⊥BD于H， 由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8﹣x，在Rt△EHB中，BH= x，EH= x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2 ， 即（8﹣x）2=（ x）2+（6﹣x）2 ， 解得，x=2．8，即BE=2．8，故答案为：2．8．
15．【答案】2
【解析】连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），∴MN= = = ，∴a=3时，MN有最小值，最小值为2 ，故答案为2 ．
16．【答案】12
【解析】设正△ABC的边长为x ， 则高为 x ， S△ABC＝ x· x＝ x2．∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x－ ， 较短的对角线为( x－ ) ＝ x－1，∴黑色菱形的面积＝ (x－2)2 ， ∴ ＝ ＝ ， 整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝ (不符合题意，舍去)，x2＝12．∴△ABC的边长是12．答案：12
三、解答题
17．【答案】证明：∵CE//AB，BE//CD，∴四边形BECD是平行四边形．又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，∴CD＝ AB．又∵CD为AB边上的中线∴BD＝ AB．∴BD＝CD．∴平行四边形BECD是菱形
【解析】由平行四边形的定义可得四边形BECD是平行四边形，再证得一组邻边相等即可得解；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD，则根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形。
18．【答案】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中 ?∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．
【解析】由已知用边角边易证△ACG≌△FCG，可得∠CAD=∠CFG，结合已知条件易得∠B=∠CFG，由平行线的判定可得GF∥AB，根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得AD∥EF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFG是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AEFG是菱形．
19．【答案】证明：由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠DEA=∠FEA∵四边形ABCD是平行四边形∴DE∥AF∴∠DEA=∠EAF∴∠EAF=∠FEA∴AF=EF????∴AF=AD=DE=EF∴四边形ADEF是菱形．
【解析】由折叠的性质和平行四边形的性质易证AF=AD=DE=EF，根据有四条边相等的四边形是菱形可得四边形ADEF是菱形。
20．【答案】证明：∵AD∥BC，∴ , ?∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴ ?在△ABM和△ADN中， ?∴△ABM≌△ADN(AAS)，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．
【解析】由题意易证两组对角相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，结合已知用角角边易证△ABM≌△ADN，则可得AB=AD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形。
21．【答案】证明：∵ ≌ ， ∴ ?，在 和 中 ,∴ ≌ ?，∴ ，又∵ ，∴ ?，∴ ，∴ ，∴ ，∴四边形BCED是菱形．
【解析】由ΔABC≌ΔABD可得BC=BD,∠1=∠2 ，用边角边可证ΔBEC≌ΔBED，则CE=DE，根据平行线的性质易证CE=CB，于是有CE=CB=DB=DE，由四边都相等的四边形是菱形可得四边形BCED是菱形．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【解析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
23．【答案】解：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中， ，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，
又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形
【解析】根据平行四边形的性质，得出BO=DO，∠EDB=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，得出OE=OF，就可证得四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证。
1.1 菱形的性质和判定练习题（含解析）
一、单选题
1．下列命题正确的是（?? ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，若∠DAB=60°，则对角线BD的长为(?? )
A．?1??????????????????????????????????????B．???????????????????????????????????????C．?2?????????????????????????????????????D．?
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（??? ）。
A．20 B．24 C．40 D．48
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）。
A．????????? ? ???B．?2????????? ???? ??????C．??????????????? ????????????D．?4
5．若菱形 的周长是16， ∠A=60° ，则对角线 的长度为（　　 ）
A．?2?????????????? ?????????B．?????? ??????????????????C．?4?????????????? ????????D．?
6．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱
形ABCD的周长为（?? ）
A．?24???????????????????? ?????????B．?18???????? ?????????????????C．?12??????????? ???????????D．?9
7．菱形 的两条对角线长分别为 和 ，则它的周长和面积分别为（? ? ）
A．?? ???????????? ?????B．?? ???? ????C．?? ????????? ???????D．??
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ??）
A．?AB＝ EF?????? ?B．?AB＝2EF???????? ????C．?AB＝ EF?? ?????D．?AB＝ EF
9．如图，在菱形ABCD中，AC=6 ，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ??）
A．?6????????? ???? ?B．?3 ??????????????????? ???????C．?2 ??? ???????????D．?4．5
二、填空题
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是________．
11．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是________．
12．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0）点D在y轴上，则点C的坐标是________。
13．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为________．
15．如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为________（结果留根号）．
16．如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若 ＝ ， 则正△ABC的边长是________．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．
18．如图：在△ABC中，∠BAC = ，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形．
19．如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F处，折痕交CD边于点E．求证：四边形ADEF是菱形．

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN．求证：四边形ABCD是菱形．
21．如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,并且CE∥BD,连接DE．求证:四边形BCED是菱形．

22．如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．?

23．如图，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】C
【解析】A．改成为：对角线“互相平分”的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B．改成为：对角线相等的“平行四边形”是矩形，故B不符合题意；C．正确，故C符合题意；D．改成为：对角线互相垂直且相等的“平行四边形”是正方形，故D不符合题意；故答案为：C．
2．【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故答案为：C．
3．【答案】A
【解析】设对角线AC、BC交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8∴A0=3,BO=4,AC⊥BC，∴AB=5,∴C菱形ABCD=4×5=20．故答案为：A．
4．【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°,∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO= ，∴AC=2A0=4 ，∴S△ACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 ，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴ ,∴ ,∴S△COE= S△CAD= ×4 = ．故答案为：A．
5．【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的周长是16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=4．∴对角线BD的长度为4．故答案为：C．
6．【答案】A
【解析】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故答案为：A．
7．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，∵AC=8cm，BD=6cm，∴AD=5cm，周长=4×5=20 cm， S菱形ABCD= AC?BD=24cm2 ． 故答案为：B．
8．【答案】D
【解析】连接AC、BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∴OA= AC，OB= BD，AC⊥BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EH= BD，EF= AC，∵EH=2EF，∴OA=EF，OB=2OA=2EF，在Rt△AOB中，AB= = EF，故答案为：D．
9．【答案】C
【解析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P， 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC=6 ，BD=6，∴AB= ，由S菱形ABCD= AC?BD=AB?E′M得 ×6 ×6=3 ?E′M，解得：E′M=2 ，即PE+PM的最小值是2 ，故答案为：C．
二、填空题
10．【答案】
【解析】如图， 由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4，又∵∠1=60°，∴∠2=30°，sin∠2= ，∴CD=2，cos∠2=cos30°= ，OD=2 ，∴C（2 ，2），设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得 ，解得 ，直线AC的表达式是y=﹣ x+4，故答案为：y=﹣ x+4．11．【答案】
【解析】依照题意画出图形，如图所示． 在Rt△AOB中，AB=2，OB= ，∴OA= =1，∴AC=2OA=2，∴S菱形ABCD= AC?BD= ×2×2 =2 ．故答案为：2 ．
12．【答案】（－5，4）
【解析】∵A（3，0），B（-2，0）,∴AB=5，AO=3，BO=2，又∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD=BC=AB=5，在Rt△AOD中，∴OD=4，作CE⊥x轴， ∴四边形OECD为矩形，∴CE=OD=4，OE=CD=5，∴C（-5,4）．故答案为：（-5,4）．
13．【答案】2
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC= ，∴OB=1，∴BD=2．故答案为2．
14．【答案】2．8
【解析】作EH⊥BD于H， 由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8﹣x，在Rt△EHB中，BH= x，EH= x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2 ， 即（8﹣x）2=（ x）2+（6﹣x）2 ， 解得，x=2．8，即BE=2．8，故答案为：2．8．
15．【答案】2
【解析】连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM= ∠APC=60°，∠EPN= ∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN= （4﹣a），∴MN= = = ，∴a=3时，MN有最小值，最小值为2 ，故答案为2 ．
16．【答案】12
【解析】设正△ABC的边长为x ， 则高为 x ， S△ABC＝ x· x＝ x2．∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x－ ， 较短的对角线为( x－ ) ＝ x－1，∴黑色菱形的面积＝ (x－2)2 ， ∴ ＝ ＝ ， 整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝ (不符合题意，舍去)，x2＝12．∴△ABC的边长是12．答案：12
三、解答题
17．【答案】证明：∵CE//AB，BE//CD，∴四边形BECD是平行四边形．又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，∴CD＝ AB．又∵CD为AB边上的中线∴BD＝ AB．∴BD＝CD．∴平行四边形BECD是菱形
【解析】由平行四边形的定义可得四边形BECD是平行四边形，再证得一组邻边相等即可得解；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD，则根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形。
18．【答案】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中 ?∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．
【解析】由已知用边角边易证△ACG≌△FCG，可得∠CAD=∠CFG，结合已知条件易得∠B=∠CFG，由平行线的判定可得GF∥AB，根据同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得AD∥EF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFG是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AEFG是菱形．
19．【答案】证明：由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠DEA=∠FEA∵四边形ABCD是平行四边形∴DE∥AF∴∠DEA=∠EAF∴∠EAF=∠FEA∴AF=EF????∴AF=AD=DE=EF∴四边形ADEF是菱形．
【解析】由折叠的性质和平行四边形的性质易证AF=AD=DE=EF，根据有四条边相等的四边形是菱形可得四边形ADEF是菱形。
20．【答案】证明：∵AD∥BC，∴ , ?∵∠BAD=∠BCD，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴ ?在△ABM和△ADN中， ?∴△ABM≌△ADN(AAS)，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．
【解析】由题意易证两组对角相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，结合已知用角角边易证△ABM≌△ADN，则可得AB=AD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形。
21．【答案】证明：∵ ≌ ， ∴ ?，在 和 中 ,∴ ≌ ?，∴ ，又∵ ，∴ ?，∴ ，∴ ，∴ ，∴四边形BCED是菱形．
【解析】由ΔABC≌ΔABD可得BC=BD,∠1=∠2 ，用边角边可证ΔBEC≌ΔBED，则CE=DE，根据平行线的性质易证CE=CB，于是有CE=CB=DB=DE，由四边都相等的四边形是菱形可得四边形BCED是菱形．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AD=CD，又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（AAS）．
【解析】先利用菱形的性质可求出∠A=∠C，AD=CD，再结合已知条件DE⊥AB，DF⊥BC，可得∠AED=∠CFD，从而由AAS可证△ADE≌△CDF。
23．【答案】解：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中， ，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，
又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形
【解析】根据平行四边形的性质，得出BO=DO，∠EDB=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，得出OE=OF，就可证得四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证。