1.2 矩形的性质与判定同步练习（含解析）

1.2矩形的性质和判定练习题（含解析）
一、单选题
1．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（??? ）。
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（?? ）
A．?∠A=∠B???????????????? ?????B．?∠A=∠C??? ????????????C．?AC=BD??????? ?? ??????????D．?AB⊥BC
3．已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（?? ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设 ， ， ， ，若 ， ，则（??? ）
A．????????????? ???B．?C．?????????????? ?D．?
5．如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则
k的取值为（ ??）
A．?－ ???????? ??? ??B．???????????????? ??????C．?－2??????????????? ????????D．?2
6．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（?? ）
A．?12厘米?????????????? ????B．?16厘米?????? ???????C．?20厘米??????????? ?????????????D．?28厘米
7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（?? ）
A．?10????????????? ??????B．?12?????????????????? ??????C．?16???????????????? ?????????????D．?18
8．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（?? ）
A．?2个 ???? ???????B．?3个??????????? ?????????????C．?4个????????????? ???????????D．?5个
9．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（?? ）
A．?1???????????????? ?????B．????????????? ??????C．???????????? ??D．?
10．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（?? ）
A．?1??????????????????? ???B．?2????????????? ???????????????C．?3???????????? ?????????????D．?4?
二、填空题（共7题；共7分）
11．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________．
12．如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把矩形 沿 折叠，点 落在点 处，则点 的坐标为________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________．
15．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为________．
16．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2 ）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为________．
17．如图，在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处．下列结论正确的是________． （写出所有正确结论的序号）①当 为线段 中点时， ；②当 为线段 中点时， ；③当 三点共线时， ；④当 三点共线时， ．
三、解答题
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
19．在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB，BC分别交于点M，N，求证：BM=CN．
20．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
22．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
23．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
25．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
26．如图，□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】C
【解析】如图，依题可得：∠1＝35°，∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠1=90°，???∴∠ECA=55°，又∵纸片EFGD为矩形，∴DE∥FG，∴∠2=∠ECA=55°，故答案为：C．
2．【答案】B
【解析】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，故答案为：B．
3．【答案】C
【解析】①正确．②等腰梯形是对角线相等，错误．③菱形也两个角相等，错误．④正确．故答案为：C．
4．【答案】A
【解析】∵矩形ABCD∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°①同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB）=30°∴ 故答案为：A
5．【答案】A
【解析】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，∵四边形OACB是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，∴-2k=1，∴k=－ ，故答案为：A．
6．【答案】C
【解析】如图， ∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF= = =20，∴AD=20厘米．故答案为：C．
7．【答案】C
【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC ， S△AMP=S△AEP ， S△PBE=S△PBN ， S△PFD=S△PDM ， S△PFC=S△PCN ， ∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故答案为：C．
8．【答案】B
【解析】如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3， 故答案为：B．
9．【答案】C
【解析】如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵ ，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH= PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH= PG= × = ，故答案为：C．
10．【答案】B
【解析】①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故答案为：B
二、填空题
11．【答案】3或1．2
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上， 如图1， 当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1．2；如图2， 当AP=DP时，此时P为BD中点，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；综上，PE的长为1．2或3，故答案为：1．2或3．
12．【答案】
【解析】设BD交OA于点E,由折叠得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，在△ODE和△BAE中， ，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2 ， 解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA， ∵S△OED= OD?DE= OE?DF，∴DF= ，OF= ，则D（ ，- ）．故答案为：（ ，- ）．
13．【答案】
【解析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF= x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE= ，AB=2，∴BE=1，∴ME= ，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴ ，∴ ，解得：x= ∴AF= 故答案为： ．
14．【答案】2．5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO= BD，∴OD= BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ= DO=2．5．故答案为：2．5．
15．【答案】
【解析】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P， ∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF=PQ，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，由DG∥BC知△ADG∽△ABC，∴ ，即 ，则EF=DG= （4﹣x），∴EG= = = ，∴当x= 时，EG取得最小值，最小值为 ，故答案为： ．
16．【答案】（-2 ，6）
【解析】连接OB1 ， 作B1H⊥OA于H， 由题意得，OA=6，AB=OC=2 ，则tan∠BOA= ，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O， ，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2 ，∴点B1的坐标为（-2 ，6），故答案为：（-2 ，6）．
17．【答案】①③④
【解析】如图1，当E是AB的中点时，即AE=BE，
由折叠可得AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确；如图2，当E是AB的中点时，即AE=BE=EF= ，过E作EG⊥AF，垂足为G， 则AF=2AG，∵∠AGE=∠B=90°，∠BEC=∠EAG，∴△AGE~△EBC，∴ ，而AE=BE= ，CE= ，则 ，解得AG= ，则AF=2AG= ，故②正确；如图3，当点A，F，C在同一直线上时，则∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BF=BE，CF=BC=2， ∵AB=3，BC=2，∴ ，则AF= ．设AE=x，则BE=EF=3-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得 ，则 ，解得 ，即AE= ，故③正确；如图3，AF= ，CF=2，AF≠CF，∴△CEF与△AEF不可能全等，故④错误；故答案为：①②③．
三、解答题
18．【答案】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形．
【解析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AODE为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，则∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AODE是矩形．
19．【答案】证明：作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点， 则有AB=AE=EF=FC， ?∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵E为AB的中点，∴AB=CF，∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
【解析】作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，则AB=AE=EF=FC，根据同角的余角相等得出∠AEM=∠FEN，然后利用ASA判断出Rt△AME≌Rt△FNE，根据全等三角形对应边相等得出AM=FN，再根据等式的性质，即可得出结论。
20．【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F在反比例函数 （k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为 （x＞0）
【解析】根据矩形的性质由矩形的边长OA=3，OC=2得出B点的坐标，又F为AB的中点，故能得出F点的坐标，然后将F点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出比例系数K的值，从而得出反比例函数的解析式。
21．【答案】解： ∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，∠AEF=∠DCE， CE=EF,∠EAF=∠EDC,,CD=EA,DE=2，AD+DC=8,DE+2AE=8， AE=3
【解析】根据矩形的性质及垂直的定义，可得∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，就可证得∠AEF=∠DCE，再利用ASA可证得△AEF和△DCE全等，利用全等三角形的性质得出CD=EA，然后由DE=2，AD+DC=8，求出AE的长。
22．【答案】证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线∴AE＝ AB，AD＝ AC，ED是△ABC的中位线∴ED∥BC，ED＝ BC．∵点M，N分别为线段BO和CO的中点∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线∴MN∥BC，MN＝ BC∴ED∥MN，ED＝MN∴四边形EDNM是平行四边形∴OE＝ON，OD＝OM．∵AB＝AC∴AE＝AD．在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD∴3OE＝3OM，即OE＝OM．又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN∴四边形EDNM是矩形
【解析】利用已知证明ED是△ABC的中位线，MN是△OBC的中位线，可证得ED∥BC，ED∥MN，ED＝MN，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形EDNM是平行四边形，再证明△ABD≌△ACE，可得出BD＝CE，然后证明DM＝EN，就可证得结论。
23．【答案】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20
【解析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形四边形ENFM的周长。
24．【答案】解：∵△ABC为直角三角形, ?? ? ?∵D为AC的中点，∴BC=DC，∴在△DEC和△BAC中， ?∴△DEC≌△BAC,即AB=DE,∠DEB=30°， ?∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF为等边三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4 ?答：DF的长为
【解析】先证明△DEC≌△BAC，得出AB=DE，∠DEB=30°，再证明△DEF是等边三角形，得出DF=AB，然后利用勾股定理求出AB的长，即可得出DF的长。
25．【答案】（1）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）（2）解：连接DF， ∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形
【解析】（1）利用线段中点的定义，可得出AE=DE，再根据平行线的性质可得出∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理，可证得结论。（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，证得AE=DE，就可得出四边形ABDF是平行四边形，得出DF=AB，由AB=AC，可得出DF=AC，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形。
26．【答案】解：结论：四边形PQMN为矩形．在平行四边形ABCD中, ?又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD， 同理 ?又∵∠CMD=∠NMQ，∠APB=∠NPQ，∴四边形PQMN为矩形．
【解析】利用平行四边形的性质，可证得它的邻角互补，再利用角平分线的定义，可得出每两个相邻的内角的平分线互相垂直，就可证得有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论。
1.2矩形的性质和判定练习题（含解析）
一、单选题
1．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（??? ）。
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（?? ）
A．?∠A=∠B???????????????? ?????B．?∠A=∠C??? ????????????C．?AC=BD??????? ?? ??????????D．?AB⊥BC
3．已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（?? ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设 ， ， ， ，若 ， ，则（??? ）
A．????????????? ???B．?C．?????????????? ?D．?
5．如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则
k的取值为（ ??）
A．?－ ???????? ??? ??B．???????????????? ??????C．?－2??????????????? ????????D．?2
6．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（?? ）
A．?12厘米?????????????? ????B．?16厘米?????? ???????C．?20厘米??????????? ?????????????D．?28厘米
7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（?? ）
A．?10????????????? ??????B．?12?????????????????? ??????C．?16???????????????? ?????????????D．?18
8．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（?? ）
A．?2个 ???? ???????B．?3个??????????? ?????????????C．?4个????????????? ???????????D．?5个
9．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（?? ）
A．?1???????????????? ?????B．????????????? ??????C．???????????? ??D．?
10．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（?? ）
A．?1??????????????????? ???B．?2????????????? ???????????????C．?3???????????? ?????????????D．?4?
二、填空题（共7题；共7分）
11．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________．
12．如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把矩形 沿 折叠，点 落在点 处，则点 的坐标为________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为________．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________．
15．如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGD，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为________．
16．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2 ）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为________．
17．如图，在矩形 中， ，点 为线段 上的动点，将 沿 折叠，使点 落在矩形内点 处．下列结论正确的是________． （写出所有正确结论的序号）①当 为线段 中点时， ；②当 为线段 中点时， ；③当 三点共线时， ；④当 三点共线时， ．
三、解答题
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
19．在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，两直角边与AB，BC分别交于点M，N，求证：BM=CN．
20．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式．
21．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
22．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
23．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。
25．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
26．如图，□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】C
【解析】如图，依题可得：∠1＝35°，∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠1=90°，???∴∠ECA=55°，又∵纸片EFGD为矩形，∴DE∥FG，∴∠2=∠ECA=55°，故答案为：C．
2．【答案】B
【解析】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，故答案为：B．
3．【答案】C
【解析】①正确．②等腰梯形是对角线相等，错误．③菱形也两个角相等，错误．④正确．故答案为：C．
4．【答案】A
【解析】∵矩形ABCD∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°①同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB）=30°∴ 故答案为：A
5．【答案】A
【解析】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，∵四边形OACB是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，∴-2k=1，∴k=－ ，故答案为：A．
6．【答案】C
【解析】如图， ∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF= = =20，∴AD=20厘米．故答案为：C．
7．【答案】C
【解析】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC ， S△AMP=S△AEP ， S△PBE=S△PBN ， S△PFD=S△PDM ， S△PFC=S△PCN ， ∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故答案为：C．
8．【答案】B
【解析】如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3， 故答案为：B．
9．【答案】C
【解析】如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵ ，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH= PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH= PG= × = ，故答案为：C．
10．【答案】B
【解析】①如图，EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故答案为：B
二、填空题
11．【答案】3或1．2
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上， 如图1， 当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1．2；如图2， 当AP=DP时，此时P为BD中点，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；综上，PE的长为1．2或3，故答案为：1．2或3．
12．【答案】
【解析】设BD交OA于点E,由折叠得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，在△ODE和△BAE中， ，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2 ， 解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA， ∵S△OED= OD?DE= OE?DF，∴DF= ，OF= ，则D（ ，- ）．故答案为：（ ，- ）．
13．【答案】
【解析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF= x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE= ，AB=2，∴BE=1，∴ME= ，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴ ，∴ ，解得：x= ∴AF= 故答案为： ．
14．【答案】2．5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO= BD，∴OD= BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ= DO=2．5．故答案为：2．5．
15．【答案】
【解析】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P， ∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF=PQ，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，由DG∥BC知△ADG∽△ABC，∴ ，即 ，则EF=DG= （4﹣x），∴EG= = = ，∴当x= 时，EG取得最小值，最小值为 ，故答案为： ．
16．【答案】（-2 ，6）
【解析】连接OB1 ， 作B1H⊥OA于H， 由题意得，OA=6，AB=OC=2 ，则tan∠BOA= ，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O， ，∴△AOB≌△HB1O，∴B1H=OA=6，OH=AB=2 ，∴点B1的坐标为（-2 ，6），故答案为：（-2 ，6）．
17．【答案】①③④
【解析】如图1，当E是AB的中点时，即AE=BE，
由折叠可得AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确；如图2，当E是AB的中点时，即AE=BE=EF= ，过E作EG⊥AF，垂足为G， 则AF=2AG，∵∠AGE=∠B=90°，∠BEC=∠EAG，∴△AGE~△EBC，∴ ，而AE=BE= ，CE= ，则 ，解得AG= ，则AF=2AG= ，故②正确；如图3，当点A，F，C在同一直线上时，则∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BF=BE，CF=BC=2， ∵AB=3，BC=2，∴ ，则AF= ．设AE=x，则BE=EF=3-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得 ，则 ，解得 ，即AE= ，故③正确；如图3，AF= ，CF=2，AF≠CF，∴△CEF与△AEF不可能全等，故④错误；故答案为：①②③．
三、解答题
18．【答案】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形．
【解析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AODE为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，则∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AODE是矩形．
19．【答案】证明：作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点， 则有AB=AE=EF=FC， ?∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵E为AB的中点，∴AB=CF，∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
【解析】作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，则AB=AE=EF=FC，根据同角的余角相等得出∠AEM=∠FEN，然后利用ASA判断出Rt△AME≌Rt△FNE，根据全等三角形对应边相等得出AM=FN，再根据等式的性质，即可得出结论。
20．【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F在反比例函数 （k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为 （x＞0）
【解析】根据矩形的性质由矩形的边长OA=3，OC=2得出B点的坐标，又F为AB的中点，故能得出F点的坐标，然后将F点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出比例系数K的值，从而得出反比例函数的解析式。
21．【答案】解： ∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，∠AEF=∠DCE， CE=EF,∠EAF=∠EDC,,CD=EA,DE=2，AD+DC=8,DE+2AE=8， AE=3
【解析】根据矩形的性质及垂直的定义，可得∠AEF+∠DEC=90°，∠DCE+∠DEC=90°，就可证得∠AEF=∠DCE，再利用ASA可证得△AEF和△DCE全等，利用全等三角形的性质得出CD=EA，然后由DE=2，AD+DC=8，求出AE的长。
22．【答案】证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线∴AE＝ AB，AD＝ AC，ED是△ABC的中位线∴ED∥BC，ED＝ BC．∵点M，N分别为线段BO和CO的中点∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线∴MN∥BC，MN＝ BC∴ED∥MN，ED＝MN∴四边形EDNM是平行四边形∴OE＝ON，OD＝OM．∵AB＝AC∴AE＝AD．在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD∴3OE＝3OM，即OE＝OM．又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN∴四边形EDNM是矩形
【解析】利用已知证明ED是△ABC的中位线，MN是△OBC的中位线，可证得ED∥BC，ED∥MN，ED＝MN，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形EDNM是平行四边形，再证明△ABD≌△ACE，可得出BD＝CE，然后证明DM＝EN，就可证得结论。
23．【答案】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20
【解析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形四边形ENFM的周长。
24．【答案】解：∵△ABC为直角三角形, ?? ? ?∵D为AC的中点，∴BC=DC，∴在△DEC和△BAC中， ?∴△DEC≌△BAC,即AB=DE,∠DEB=30°， ?∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF为等边三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4 ?答：DF的长为
【解析】先证明△DEC≌△BAC，得出AB=DE，∠DEB=30°，再证明△DEF是等边三角形，得出DF=AB，然后利用勾股定理求出AB的长，即可得出DF的长。
25．【答案】（1）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）（2）解：连接DF， ∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形
【解析】（1）利用线段中点的定义，可得出AE=DE，再根据平行线的性质可得出∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理，可证得结论。（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，证得AE=DE，就可得出四边形ABDF是平行四边形，得出DF=AB，由AB=AC，可得出DF=AC，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形。
26．【答案】解：结论：四边形PQMN为矩形．在平行四边形ABCD中, ?又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD， 同理 ?又∵∠CMD=∠NMQ，∠APB=∠NPQ，∴四边形PQMN为矩形．
【解析】利用平行四边形的性质，可证得它的邻角互补，再利用角平分线的定义，可得出每两个相邻的内角的平分线互相垂直，就可证得有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论。