28.2 二次函数与一元二次方程同步课时作业

28.2 二次函数与一元二次方程同步课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1.函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
2.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A. x2＋3x－1＝0 B. x2＋3x＋1＝0 C. 3x2＋x－1＝0 D. x2－3x＋1＝0
3.下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（ ）
A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
4.若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（　　）
A. 2019 B. 2018 C. 2017 D. 2016
5.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜－2 B.－2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4
6.抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．﹣=1
C．a+b+c＜0 D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9.方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x=﹣3和x=1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线______．
10.二次函数y=mx2+（m+2）x+m+2的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为______．
11.如图是二次函数y=ax2+bx的图象，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则实数m的最大值为　 　．
12.已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为______．
13.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是　 　．（只填序号即可）．
14.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　 　．
三、解答题
15.已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
16.如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
17.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.
18.已知二次函数y=﹣2x2+bx+c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
（1）不等式b+2c+8≥0是否成立？请说明理由；
（2）设S是△AMO的面积，求满足S=9的所有点M的坐标．
19.关于x的函数y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m（m是实数），探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
③当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
④当m≠0时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．
答案解析
一 、选择题
1.解：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，
∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，
当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，
综合上述：k的取值范围是k≤3，
故选：C.
2.A
【解析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解
故选A.
3.解：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，
∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，
∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点，
∵x＝＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧，
故选：D.
4.B
【解析】将（a，0）代入y=x2﹣2x﹣1，
∴a2﹣2a﹣1=0，
把a2﹣2a=1代入a2﹣2a+2017，
∴原式=1+2017=2018，
故选B．
5.解：∵当函数值y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，
∴当－2＜x＜4时，y＞0，
即自变量x的取值范围是－2＜x＜4 ，
故选：B.
6.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
解：∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m+4＞0，
解得m＜2，
故选A．
7.【考点】二次函数图象与系数的关系；根的判别式；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
解：A、错误．a＜0，b＞0，c＜0．
B、错误．﹣＞1．
C、错误．x=1时，y=a+b+c=0．
D、正确．观察图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣1有两个交点，所以关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根．
故选D．
8.【考点】抛物线与x轴的交点； 根的判别式；二次函数的性质．
【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，
∴b=﹣2a＞0，
∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），
∴3≤c≤4，
∴abc＜0，故①错误，
3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，
∴a﹣（﹣2a）+c=0，
∴c=﹣3a，
∴3≤﹣3a≤4，
∴﹣≤a≤﹣1，故③正确，
∵顶点坐标为（1，n），
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确，
一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误，
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选B．
二 、填空题
9.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根得出抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标，再根据对称轴公式即可得出结果．
解：∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x=﹣3和x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=，
即x=﹣1；
故答案为：x=﹣1．
10.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的定义．
【分析】根据题意得出一元二次方程的判别式△=0，得出含m的方程，解方程即可求出m的值．
解：根据题意得：y=0时，mx2+（m+2）x+m+2=0，△=0，
∴（m+2）2﹣4×m（m+2）=0，
整理得：4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点的性质、方程的解法；熟练掌握抛物线与x轴只有一个交点时判别式=0是解决问题的关键．
11.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解：（法1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣=﹣3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3．
（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
可以理解为y=ax2+bx和y=﹣m有交点，
可见，﹣m≥﹣3，
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
故答案是：3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
12.【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“关联”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，﹣4），则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．
解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A点坐标为（﹣1，0），
解方程组，
得或，
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，﹣4），
设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．
故答案为：y=x2﹣2x﹣3．
13.【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴的交点坐标即可确定；
②根据抛物线的对称轴即可判定；
③根据抛物线的顶点坐标及b=﹣a即可判定；
④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．
解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线的对称轴直线x=﹣=，
∴a=﹣b．
故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（，1），
∴1=，
∴b2﹣4ac=﹣4a．
∵b=﹣a，
∴a2﹣4ac=﹣4a，
∵a≠0，等式两边除以a，
得a﹣4c=﹣4，即a=4c﹣4．
故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，
∴方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．
14.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．
解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．
三 、解答题
15.（1）抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【解析】试题分析：（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；?
（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解得x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
16.【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点
【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，根据二次函数的性质求出点C′的坐标，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．
解：（1）由x2﹣4=0得，x1=﹣2，x2=2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y=x+m经过点A，
∴﹣2+m=0，
解得，m=2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD==2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2，
y=x2+bx+2=（x+）2+2﹣，
则点C′的坐标为（﹣，2﹣），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y=x﹣4，
∴2﹣=﹣﹣4，
解得，b1=﹣4，b2=6，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2﹣4x+2或y=x2+6x+2．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点的求法是解题的关键．
17.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE＝＝，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH＝BE＝×＝．
18.【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）由题意可知抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+8，由此求出b、c即可解决问题．
（2）设M（m，n），由题意?3?|n|=9，可得n=±6，分两种情形列出方程求出m的值即可；
解：（1）由题意抛物线的顶点坐标（3，8），
∴抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+8=﹣2x2+12x﹣10，
∴b=12，c=﹣10，
∴b+2c+8=12﹣20+8=0，
∴不等式b+2c+8≥0成立．
（2）设M（m，n），
由题意?3?|n|=9，
∴n=±6，
①当n=6时，6=﹣2m2+12m﹣10，
解得m=2或4，
②当n=﹣6时，﹣6=﹣2m2+12m﹣10，
解得m=3±，
∴满足条件的点M的坐标为（2，6）或（4，6）或（3+，﹣6）或（3﹣，﹣6）．
19.【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【分析】①通过反例即可判断；
②把m=﹣3代入，然后化成顶点式即可判断；
③求得与x轴的交点，进而求得|x1﹣x2|的值，即可判断；
④由y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m=（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，可知当2x2﹣x﹣1=0时，y的值与m无关，此时x1=1，x2=﹣，当x1=1，y=0；当x2=﹣时，y2=﹣，从而判定函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣）．
解：①假命题；
当m=0时，y=x﹣1为一次函数
与坐标轴只有两个交点，
②真命题；
当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，
∴顶点坐标是（，），
③真命题；
当m＞0时，由y=0得：△=（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）=（3m+1）2，
∴x=，
∴x1=1，x2=﹣﹣，
∴|x1﹣x2|=+＞，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于；
④真命题；
当m≠0时，y=2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m=（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，
当2x2﹣x﹣1=0时，y的值与m无关
此时x1=1，x2=﹣，
当x1=1，y=0；当x2=﹣时，y2=﹣，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣）．