第二节 太阳与行星间的引力

第二节 太阳与行星间的引力
理解领悟
本节课我们将追寻牛顿的足迹，根据开普勒行星运动定律和匀速圆周运动的向心力公式（牛顿第二定律的圆周运动中的应用）推出太阳对行星的引力与行星的质量、行星与太阳间的距离的比例关系，再根据牛顿第三定律推出行星对太阳的引力与太阳的质量、太阳与行星间的距离的比例关系，从而进一步得到太阳与行星间的引力所遵循的规律，为重新“发现”万有引力定律打下基础。
1. 猜想与模型简化
根据力和运动的关系，已知力的作用规律，可以推测物体的运动规律；已知物体的运动规律，也可以推测力的作用规律。开普勒行星运动定律描述了行星绕太阳运动的规律，因此，可以根据这个规律推测太阳与行星间的引力的规律。
在讨论太阳与行星间的引力的规律时，可首先作出以下猜想：行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关。
为简单起见，我们可以建立如下的简化模型：把行星轨道当作圆来处理。
2. 太阳对行星的引力
太阳对行星的引力可以由开普勒运动定律和牛顿第二定律推得：
根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，公转周期为T，根据牛顿第二定律可得太阳对行星的引力为。
将开普勒行星运动第三定律变形为，代入上式可得
。
3. 行星对太阳的引力
设太阳的质量为M，根据牛顿第三定律，可得行星对太阳的引力F’的大小也存在与上述关系对称的结果，即 。
4. 太阳与行星间的引力
由于、，且，则有
。
设比例系数为G，则有 。
5. 对公式的说明
对公式，应注意以下几点：
① 公式表明，太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。
② 式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。
③ 太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
④ 至此，我们沿着牛顿的足迹，一直是在已有的观测结果（开普勒行星运动定律）和理论引导（牛顿运动定律）下进行推测和分析，观测结果仅对“行星绕太阳运动”成立（下面我们将把它推广到卫星绕行星的运动），这还不是万有引力定律。
6. 对“说一说”栏目问题的讨论
本节“说一说”栏目提出：“如果要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，我们需要观测这些卫星运动的哪些数据？观测前你对这些数据的规律有什么假设？”
我们知道，在推测和分析太阳与行星之间引力规律的过程中，应用了开普勒行星运动定律和牛顿运动定律，而开普勒行星运动定律是开普勒根据研究天文学家第谷的行星观测记录发现的。因此，要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，必须验证开普勒行星运动定律是否适用于围绕行星运转的卫星。这就需要观测卫星的运动，测出这些卫星围绕行星运转的轨道半径r和公转周期T，看看是否符合，并假设卫星围绕行星的运动是匀速圆周运动（限于我们目前的数学基础，作这样的简化假设是必要的）。经过类似的分析过程，即可得出公式同样适用于行星与卫星间的引力。
本节内容的应用主要涉及太阳与行星间引力规律的分析，以及对太阳与行星间（或行星与卫星间）引力的计算。
例1 试说明教材是如何追寻牛顿的足迹，一步步得出太阳与行星间的引力规律的。
提示 仔细阅读课文，加以归纳总结。
解析 教材在寻求太阳与行星间的引力规律时，大体经历了以下步骤:
提出猜想 行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关。
建立模型 行星轨道按照圆来处理。
理论论证 应用开普勒运动定律和牛顿运动定律，分三步进行推证：
1 根据开普勒第一、第二定律和牛顿第二定律进行计算，得到太阳对行星的引力
；
2 根据牛顿第三定律，得到行星对太阳的引力也存在与上述关系对称的结果，即
；
③ 根据上述两个关系式和，，得到太阳与行星间的引力，写成等式即 。
得出结论 太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
点悟 学习物理，不光要注意相关物理规律和公式的应用，还要关注相关物理规律和公式得出的过程，从中掌握更一般的研究方法。
例2 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看成是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）
A. 地球与月球间的引力将增大 B. 地球与月球间的引力将减小
C. 月球绕地球运动的周期将变长 D. 月球绕地球运动的周期将变短
提示 根据行星与卫星的引力公式和引力提供向心力进行分析。
解析 设地球与月球的质量分别为M和m，从月球上搬运矿藏的质量为△m，则开采前后地球与月球间的引力分别为
。
因M＞m，故
＞0，
即F ＞F ’，地球与月球间的引力将减小。
由 ，
可知，若M变大，则月球绕地球运动的周期T将变短。
正确选项为B、D。
点悟 本题为行星与卫星的引力公式的具体应用。解题过程中，对月球矿藏开采前后月地引力F 与F ’大小的比较，其数学方法的运用值得注意。
例3 两颗做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们的角速度和线速度分别为ω1、ω2和v1、v2。如果它们的轨道半径之比r1︰r2=1︰2，则下列式子正确的是（ ）
A. ω1︰ω2︰1 B. ω1︰ω2=2︰1
C. v1︰v2︰1 D. v1︰v2=1︰
提示 地球对人造地球卫星的引力提供了人造地球卫星绕地球运行的向心力。
解析 设地球和人造地球卫星的质量分别为M和m，由
，
可得 ω1︰ω2︰1。
由 ，
可得 v1︰v2=︰1。
正确选项为A、C。
点悟 本题在得出两颗人造地球卫星的角速度的比例关系ω1︰ω2︰1后，亦可根据v=ωr求得 v1︰v2=︰1。
关于比值问题，较好的处理方法是先推导所求的物理量与什么量成正比，与什么量成反比，然后再运用比值原理进行计算，注意写好物理量的下标，以免因颠倒而出错。
例4 两颗行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r2，若它们只受太阳的引力作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为多少？
提示 太阳对行星的引力提供了行星绕太阳运行的向心力，使行星获得了做圆周运动的向心加速度。
解析 设太阳的质量为M，由 ，
可得行星的向心加速度 。
所以，这两颗行星的向心加速度之比为
。
点悟 由上面的推证可知行星的向心加速度。值得注意的是式中的M是太阳的质量，而非行星的质量。由于题目中含有多余条件“两颗行星的质量分别为m1和m2”，粗心的学生往往会得出的错误结论。
例5 地球和金星都是围绕太阳运动的行星，设它们绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2，且r1＞r2，运转速率分别为v1、v2，公转周期分别为T1、T2，则有（ ）
A. v1＞v2，T1＞T2 B. v1＜v2，T1＜T2
C. v1＞v2，T1＜T2 D. v1＜v2，T1＞T2
提示 由太阳与行星间的引力公式和匀速圆周运动的公式作出判断。
解析 由太阳与行星间的引力公式和匀速圆周运动的公式可得
，
故行星的运转速率 。
因r1＞r2，故v1＜v2。
又，因r1＞r2，v1＜v2，故T1＞T2。
正确选项为D。
点悟 太阳对行星的引力提供了行星绕太阳运动的向心力，这是分析本题的关键。
例6 应用行星与卫星间的引力公式和牛顿运动定律证明：对于所有在圆周轨道上运行的地球卫星，其轨道半径的三次方与公转周期的二次方之比为一常量，即。
提示 行星对卫星的引力大小为，此力提供了卫星运动的向心力。
解析 由 ，，
可得 。
即对于所有在圆周轨道上运行的地球卫星，其轨道半径的三次方与公转周期的二次方之比为一常量。
点悟 前面我们应用开普勒行星运动定律和牛顿运动规律，推出了太阳与行星间的引力公式。本题中，我们反过来，根据行星与卫星间的引力公式和牛顿运动定律，推出了卫星围绕行星运转情况下的开普勒第三定律。要掌握这种数学演绎的推理论证方法。
例7、关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是（ ）
A.太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有，由此可知，太阳对行星的引力F引与太阳到行星的距离r成反比
B.太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有，由此可知，太阳对行星的引力F引与行星运动速度平方成正比
C.太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
D.以上说法均不对
分析 这是一道研究太阳对行星引力大小与什么量有关的问题，解决此问题时应找出各量的关系，通过推导得到最后表达式，才能得到正确的结论。
由向心力表达式F＝mv2/r和v与T的关系式v=2πr/T得F＝4π2mr/T2 ①
根据开普勒第三定律r3/T2=k变形得T2＝r3/k ②
联立①②有F＝4π2k·m/r2
故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
例8、设地球E（质量为M）是沿圆轨道绕太阳S运动的，当地球运动到位置P时，有一艘宇宙飞船（质量为m）在太阳和地球连线上的A处，从静止出发，在恒定的推进力F的作用下，沿AP方向做匀加速运动，如图所示，两年后在P处（飞船之间的引力不计），根据以上条件，求地球与太阳之间的引力.
解析： 设半年时间为t，地球绕太阳运行的半径为R，则飞船由A到P点的时间为4t，到Q点的时间为5t，P、Q两点的距离为2R，据牛顿第二定律和运动学公式，得
2R= ①
地球绕太阳运行的周期为一年，即T=2t，其向心力由地球与太阳间的引力来提供，所以F引=F向=MR②将①代入②得F引=.答案：
思维总结：太阳与行星之间的引力提供行星圆周运动的向心力是解决天体运动问题的一个重要思路.