第四节 万有引力理论的成就

第四节 万有引力理论的成就
理解领悟
万有引力定律经受了实践的检验，取得了很大的成功，显示了万有引力理论的巨大威力。地球质量的确定、天体质量的计算以及未知天体的发现，都是运用万有引力理论的成功实例。本节教材使我们深刻地体会到了科学定律对人类探索未知世界的作用。
1. 实验室里“称量”地球的质量
地球的质量怎样称量？不可能用天平。但是，通过万有引力定律可以“称量”！那么，人们是怎样通过万有引力定律“称量”地球的呢？
若不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对该物体的万有引力，即
，
由此可得地球的质量 。
上式中地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，而卡文迪许在实验室中测出了引力常量G，利用上式就可算出地球的质量M。这意味着人们在实验室里测出了地球的质量。
通过万有引力定律“称量”地球的质量，这不能不说是个奇迹，其中的思想基础与牛顿的月—地检验是一致的，即相信天上人间服从共同的规律。教材中引用了著名文学家马克·吐温的话：“科学真是迷人。根据零星的事实，增加一点猜想，竟能赢得那么多收获！”他一语道出了科学发展的精髓。
2. 计算天体的质量
有了引力常量G的数值，我们可以用同样的方法去“称量太阳的质量”，其基本思路是：行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，我们可以利用或测量的数据是某个行星的轨道半径r（如地球）和周期T，根据
，
得到 。
许多天体的质量就是这样求得的。
运用类似的方法，已知卫星日绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前由观测人造卫星的运动测量地球的质量是一种重要的方法。
3. 发现未知天体
预见并发现未知行星，是万有引力理论威力的最生动例证。
1781年赫歇耳偶然发现了天王星，并且经过测量算出其轨道半径和周期，证明它是太阳系成员之一。此后天王星的运动就成为不断研究的主题，积累的数据表明，天王星的运动有某些极小的不规则性。这使人们怀疑，在天王星之外还有另一颗未知行星，正是它的存在使天王星的轨道发生了偏离。英国的亚当斯和法国的勒维耶独立地对此进行研究，计算出这颗新行星即将出现的时间和地点。1846年9月23日晚，德国天文学家戈勒在天文观测中认出这颗新行星，与预计的轨道只差1度。海王星就这样在笔尖下被发现了。
1930年3月14日，汤姆波夫根据海王星自身运动不规则的记载，用类似的方法又发现了冥王星。
正像教材引用物理学家冯·劳厄的话所说的：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”
4. 对“称量”地球质量的进一步思考
教材在推导地球质量的表达式时，指出“若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力”。对此，如何正确理解呢？
不妨认真思考一下：地面上物体的重力如何测量？测力计所显示的读数对应的力与地球对物体的引力是什么关系？被测量物体相对于地面静止不动是测量重力的条件。但是如果我们跳出地球看，地球自作自转，如果选择位于地心且不随地球自转而转动的参考系，物体还是静止不动的吗？这时物体做什么运动？物体受力情况与运动的关系又是怎样的？
事实上，由于地球的自转，地面上的物体在绕着地轴做匀速圆周运动，物体运动的向心力来自于地球对物体的万有引力的一个分力，而万有引力的另一个分力才是物体的重力。计算表明，由于地球自转的影响所造成的赤道与两极重力加速度的差异很小，所以才有“若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力”。
5. 对教材眉批中两个问题的解答
教材在眉批中提出：“不同行星与太阳的距离r和绕太阳公转的周期T都是各不相同的。但由不同行星的r、T计算出来的太阳质量必须是一样的！这里得到的计算太阳质量的公式能够保证这一点吗？”我们已经推得太阳的质量为
，
根据开普勒第三定律，式中，可见太阳的质量为
。
上述表达式与行星无关，因而由不同行星的r、T计算出来的太阳质量是一样的。
教材在眉批中还有一个问题：“木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星。通过卫星的运动，可以精确地测得卫星的质量。用这个方法测量行星的质量，是否需要知道卫星的质量？”由可知，卫星的质量m可在计算过程中消去，故用这个方法测量行星的质量不需要知道卫星的质量。
1. 惯性质量与引力质量
惯性质量与引力质量是两个不同的概念，但又有一定的联系。
惯性质量：物体在外力的作用下，产生加速度。加速度大小跟外力有关，跟物体的某种固有性质有关。这种固有性质叫做惯性。惯性的大小用质量来表征，这就是惯性质量。惯性质量的概念，是从牛顿第二定律引入的。
引力质量：任何物体之间都存在着吸引力。引力的大小跟物体之间的距离有关，跟物体本身所具有的产生引力场和受其他引力场作用的能力有关。物体的这种能力的大小用质量来表征，这就是引力质量。引力质量的概念，是从万有引力定律引入的。
当选择适当的单位时，同一个物体的惯性质量与引力质量数值相等。在一般情况下，我们就把它们统称为质量。但两者量度方法不同，惯性质量用惯性秤来量度，引力质量用天平来量度。
应用链接
本节知识的应用主要涉及万有引力定律在天文学中的分析与计算。
例1 利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量（已知引力常量G）（ ）
A. 已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
D. 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
提示 由涉及已知量和需求量的公式或关系式作出判断。
解析 根据地球表面的重力加速度公式，可知选项A是正确的。
根据卫星的运行速度公式，可知选项B是正确的。
根据线速度和周期及半径的关系式，算出半径r再代入，可知选项C也是正确的。同理可知选项D也是正确的。
正确选项为A、B、C、D。
点悟 应用万有引力定律分析中心天体的质量和环绕天体的运动，其基本方法是：把环绕天体的运动看成是匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，即
。
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算。
例2 地球公转的轨道半径是R1，周期是T1；月球绕地球运转的轨道半径是R2，周期是T2。则太阳质量与地球质量之比是（ ）
A. B. C. D.
提示 由环绕天体的轨道半径和运行周期，可求得中心天体的质量。
解析 地球环绕太阳做匀速圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力提供，有
，
则太阳的质量为 。
同理可得地球的质量为 。
所以，太阳质量与地球质量之比是
。
正确选项为B。
点悟 值得注意的是，运用万有引力等于向心力的关系，只能求出中心天体的质量，而无法求得环绕天体的质量，因为环绕天体的质量在等式中被消去了。
例3 在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”。这种学说认为引力常量G在缓慢地减小。根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
A. 公转半径R较大 B. 公转周期T较小
C. 公转速率v较大 D. 公转角速度ω较小
提示 由于G减小得非常缓慢，在并不太长的时间内，可以认为地球公转的R、v、T、ω等均保持不变，是匀速圆周运动，仍遵循天体运动的基本规律——所受万有引力等于做圆周运动的向心力。
解析 地球所受太阳的万有引力等于地球做圆周运动的向心力，据此有
。
所以，其公转速率的表达式为 ，
公转周期的表达式为 ，
公转角速度的表达式为 。
对于漫长的演变过程而言，由于引力常量G在缓慢地减小，地球所受的万有引力将逐渐减小，即有＜，地球将做离心运动，即公转半径R将增大。据此，可得公转速率v变小，公转周期T增大，而公转角速度ω则变小。正确选项为B、C。
点悟 提出某种理论或假设去推测事物发展变化的规律，然后与已知的事实相对照，以验证该理论或假设的正确性，并进而预测将要发生的或可能要发生的未来，这是科学研究的一种重要方法。事实上，从对我国古代历书记载的考古发现中，已经找到了一些支持“引力常量G在缓慢地减小”这一观点的证据。
例4 据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年。若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）
提示 太阳对行星的万有引力提供了行星绕太阳运动的向心力。
解析 设太阳的质量为M，地球的质量为m0，绕太阳公转的周期为T0，与太阳的距离为R0；新行星的质量为m，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R。根据万有引力定律和牛顿第二定律，得 ，。
由以上两式可得 。
已知T=288年，T0=1年，得 。
点悟 本题取材于新闻报道中的科学新发现，涉及万有引力定律和牛顿第二定律在天体运动中的应用。问题以太阳系新行星为研究对象，令人耳目一新。本题亦可直接应用开普勒第三定律，由得出结果。
例5 某星球可视为球体，其自转周期为T。在它的两极处用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？
提示 重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，但是不能认为重力就是地球队物体的吸引力。严格地讲，只有在两极处，重力才等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力。由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似地认为重力等于地球对物体的万有引力。
解析 设被测物体的质量为m，星球的质量为M，半径为R。在两极处，物体的重力等于万有引力，即 ；
在赤道上，因星球自转，物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，即 。
由以上两式解得星球的质量为。
根据密度的定义式，可得星球的平均密度为
。
点悟 分清物体的重力和地球对物体的万有引力的区别，是求解本题的关键。当地面上的物体随地球自转而做圆周运动时，重力只是地球对物体的万有引力的一个分力，另一分力则提供物体所需的向心力。
例6 太阳光经500s到达地球，地球的半径是6400km，试估算太阳质量与地球质量的比值（取一位有效数字）。
提示 地球围绕太阳做圆周运动所需的向心力是由太阳对地球的万有引力提供的，地球公转的周期是个生活常识，可作为已知量，从而计算出太阳的质量。在忽略地球自转影响的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的万有引力，由此可算出地球质量，从而可得太阳质量与地球质量的比值。
解析 地球到太阳的距离为
。
地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的万有引力，地球绕太阳公转的周期为，则
，
太阳的质量为 。
地球表面的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的万有引力，即
，
则地球的质量为 。
所以，太阳质量与地球质量的比值为
。
点悟 求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力等于万有引力，即，求得；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即，求得。当然，用第二种方法只能求中心天体的质量。